2023年人教版初中數(shù)學(xué)九年級垂直于弦的直徑（教學(xué)案例1）

2023年人教版初中數(shù)學(xué)《垂直于弦的直徑》（教學(xué)案例1）

一、明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、理解圓的軸對稱性，掌握垂徑定理及推論。

2、通過折疊等方法理解圓是軸對稱圖形，從而進(jìn)一步理解垂徑定理及其推論。

閱讀教材第81至83頁內(nèi)容，完成自主預(yù)習(xí)區(qū)。

如圖，AB是。O的一條弦，作直徑CD,使CDA.AB,垂足為M.

（1）如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？C

（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由.

【學(xué)生展示】

【教師小結(jié)】（1）是軸對稱圖形，其對稱軸是直線CD.\

（2）AM=BM,即垂直于弦的直徑CD平分弦AB,

并且平分弧AB、弧ADB.

三、合作探究

1.圓是對稱圖形，任何一條.都是它的對稱軸，它也:

是中心對稱圖形，對稱中心為:.

2.垂直于弦的直徑弦，并且王至弦所對的兩條弧，即一條直線

如果滿足：①?②;

那么可以推出：③;?_=_;0_=_.

3.平分弦（一）的直徑垂直于弦，并且弦所對的兩條弧.

【小組討論】

問題i

求CD的長.

【學(xué)生展示】

【教師小結(jié)】常用輔助線：連接半徑，由半徑、半弦、弦心距構(gòu)造直角三角形.

。。的半徑為5,弦AB的長為8,M是弦AB上的動點(diǎn),則線段OM

的長的最小值和最大值各為多少？

【學(xué)生展示】

【教師小結(jié)】當(dāng)OM與AB垂直時，OM最?。槭裁矗琈在A（或B）處時

OM最大.

問題已知：如圖，線段AB與（DO交于C、D兩點(diǎn),

且。A=OB.求證:AC=BD.

【學(xué)生展示】

【教師小結(jié)】過圓心作垂徑是圓中常用輔助線.

問題I已知0O的直徑是50cm,。。的兩條平行弦AB=40cm,

CD=48cm,求弦AB與CD之間的距離.

【教師小結(jié)】①AB、CD在點(diǎn)O兩側(cè)，②AB、CD在點(diǎn)O同側(cè).

【學(xué)生展示】

四、當(dāng)堂檢測

1.教材第83頁練習(xí)

2.提升練習(xí)

(1)如圖，弦AB_L直徑CD于E,寫出圖中所有的弧

_____________________________________________________

優(yōu)弧有:;乂耳_夕

劣弧有：；最長的弦是：_；

相等的線段有:；相等的弧有：；

此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，對稱軸是什么？

(2)在。。中，直徑為10cm,圓心。到AB的距離為3cm,則弦AB的

長為—

(3)在。。中，直徑為10cm,弦AB的長為8cm,則圓心。到AB的距

離為_

【教師小結(jié)】圓中已知半徑、弦長、弦心距三者中的任何兩個，即可求出另

一個.

(4)有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示,D

正常水位下水面寬AB=60m,水面到拱頂距離

CD=18m,當(dāng)洪水泛濫，水面寬MN=32m時是；匕

否需要采取緊急措施？請說明理由(當(dāng)水面距拱4號=^

頂3m以內(nèi)時需采取緊急措施).

五、拓展提升

已知：如圖，AB是。。的直徑，CD是弦，AE_LCD,垂足是E,

BF±CD,垂足是F,求證:CE=DF.

小明同學(xué)是這樣證明的：/一、

證明：???CM_LCD?，CM=MD./

VAE〃OM〃BF，1.ME=MF.'

/.ME-CM=MF-MD.￡k^k_^F

即CE=DF.

橫線及問號是老師給他的，老師還寫了如下評語:“你的解題思路

很清晰，但證明過程欠完整，相信你再思考一下，一定能寫出完整

的證明過程”.請你幫助小明訂正此題，好嗎？

六、課后作業(yè)

一、選擇題

1.如圖所示，。。的半徑為5,弦AB=8,M是AB上的動點(diǎn)，則

0M不可能為（）

2.（濰坊）如圖，。。的直徑AB=12,CD是。0的弦，CD_LAB,

垂足為P，且BP：AP=1：5,則CD的長為（）

A.4/2B.8/2C.2/5D?必

3.“兩龍”高速公路是目前浙江省高速公路隧道和橋梁最多的

路段，如圖所示是一個單心圓曲隧道的截面，若路面AB寬

為10米，凈高CD為7米，則此隧道單心圓的半徑OA是

27^7（）

A.5米B.斗米C.今米D.7米

二、填空題

4.如圖，。0的半徑長為6cm,圓內(nèi)有一點(diǎn)P,OP的長為

3.6cm,經(jīng)過P點(diǎn)的最短的弦和最長的弦的長度分別是

第4題圖第5題圖

5.（臺州）把球放在長方形紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截

面如圖所示，已知EF=CD=16厘米，則球的半徑為

厘米.

三、解答題

1.（邵陽）如圖所示，某窗戶由矩形和弓形組成.已知弓形的跨度

AB=3只，弓形的高EF=1m.