航天器控制原理5

第五章

航天器的被動(dòng)姿態(tài)控制系統(tǒng)自旋衛(wèi)星的穩(wěn)定性和章動(dòng)性自旋衛(wèi)星的章動(dòng)阻尼雙自旋衛(wèi)星穩(wěn)定系統(tǒng)重力梯度穩(wěn)定系統(tǒng)重力梯度穩(wěn)定衛(wèi)星的天平動(dòng)阻尼自旋穩(wěn)定的原理：利用航天器繞自旋軸旋轉(zhuǎn)所獲得的陀螺定軸性，使航天器的自旋軸方向在慣性空間定向。主要優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單。抗干擾。因?yàn)楫?dāng)自旋航天器受到恒定干擾力矩作用時(shí)，其自旋軸是以速度漂移，而不是以加速度漂移。自旋穩(wěn)定能使航天器發(fā)動(dòng)機(jī)的推力偏心影響減至最小。5.1

自旋衛(wèi)星的穩(wěn)定性和章動(dòng)性點(diǎn)擊觀看虛擬現(xiàn)實(shí)演示5.1.1

自旋衛(wèi)星的穩(wěn)定性令坐標(biāo)系的主慣量分別為是衛(wèi)星的主軸本體坐標(biāo)系，從而衛(wèi)星，，；慣量積為零。那么衛(wèi)星姿態(tài)自由轉(zhuǎn)動(dòng)()的歐拉動(dòng)力學(xué)方程即可由式(3.33)(3.33)5.1.1

自旋衛(wèi)星的穩(wěn)定性令坐標(biāo)系的主慣量分別為是衛(wèi)星的主軸本體坐標(biāo)系，從而衛(wèi)星，，；慣量積為零。那么衛(wèi)星姿態(tài)自由轉(zhuǎn)動(dòng)()的歐拉動(dòng)力學(xué)方程即可由式(3.33)得(5.1)式中,

,

,

是衛(wèi)星對(duì)空間的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速

在本體坐標(biāo)系

各軸上的分量。要分析自旋體自由運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，必須從歐拉動(dòng)力學(xué)方程式(5.1)中解出星體角速率

,

,

。不失一般性，假設(shè)衛(wèi)星繞

軸自旋，且;星體相對(duì)于自旋軸是軸對(duì)稱的，即，

。為此，式(5.1)可以進(jìn)行簡(jiǎn)化，得出(5.2a)(5.2b)(5.2c)將式(5.2b)和(5.2c)相互替代，則上式化為=常數(shù)(5.3a)(5.3b)(5.3c)式中(5.4)顯然，要使衛(wèi)星繞自旋軸

旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定，必須使

，

始終為微量，滿足條件

，

，即動(dòng)力學(xué)方程式(5．3)的

，

解必須是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。其充要條件是由式(5．4)分析得滿足的條件是：(a)(b)且且，即星體繞最大主慣量軸旋轉(zhuǎn)；，即星體繞最小主慣量軸旋轉(zhuǎn)。當(dāng)條件(a)或(b)成立時(shí)，

和

將在有限值內(nèi)振蕩；反之，

和

將發(fā)散，并導(dǎo)致自旋軸翻滾。由上述簡(jiǎn)單分析得知，自旋軸為最大慣量軸(a)和最小慣量軸(b)都是穩(wěn)定的，星體保持自旋穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)形狀如圖5.2所示。1958年美國(guó)發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星“探險(xiǎn)者—1號(hào)”(Explorer—I)，它是一個(gè)長(zhǎng)圓柱體，帶有四根橫向伸出的撓性鞭狀天線(見圖5.3)。本來要使衛(wèi)星繞其最小慣量軸自旋穩(wěn)定，但運(yùn)行一個(gè)軌道周期之后，衛(wèi)星便顯示出半角為1

rad的進(jìn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。在幾天之內(nèi)，衛(wèi)星獲得了另一種本質(zhì)上穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)—繞其最大慣量軸旋轉(zhuǎn)?！疤诫U(xiǎn)者-51號(hào)”但是在這次飛行前，人們沒有懷疑過繞最小慣量軸旋轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性。從此例可以看出實(shí)踐出真知的道理。點(diǎn)擊觀看虛擬現(xiàn)實(shí)演示上面分析過，一個(gè)絕對(duì)剛體無論繞最大慣量軸或者繞最小慣量軸的旋轉(zhuǎn)都是穩(wěn)定的，但是由于鞭狀天線的彎曲提供了一種通過結(jié)構(gòu)阻尼耗散能量的機(jī)構(gòu)，所以“探險(xiǎn)者一1號(hào)”并不是剛體。因?yàn)閾p失了機(jī)械能，動(dòng)量矩守恒原理迫使衛(wèi)星繞著一根與旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸傾斜的軸進(jìn)動(dòng)，進(jìn)動(dòng)和彎曲運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)耦合能使能量耗散過程繼續(xù)下去，直到獲得最小能量動(dòng)力學(xué)狀態(tài)，繞最大慣量軸旋轉(zhuǎn)。綜上所述，假設(shè)對(duì)稱自旋衛(wèi)星近似于剛體,不受外力矩作用，定義自旋軸慣量

與橫向軸慣量

之比為慣量比

，即則自旋衛(wèi)星的穩(wěn)定準(zhǔn)則就可以總結(jié)如下：若若，衛(wèi)星是短粗的，短粗衛(wèi)星自旋運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定。，衛(wèi)星是細(xì)長(zhǎng)的，細(xì)長(zhǎng)衛(wèi)星自旋運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定。注意，在工程上為了確保穩(wěn)定性，應(yīng)設(shè)計(jì)至少5.1.2

自旋衛(wèi)星的章動(dòng)性為了便于分析，仍考慮航天器是相對(duì)于自旋軸

對(duì)。此時(shí)，線性化的稱的星體的情況，即歐拉動(dòng)力學(xué)方程式(5．1)可寫為=常數(shù)（5.5a）(5.5b)(5.5c)式中從方程組式(5.5)可以看出，對(duì)稱自旋衛(wèi)星的自旋運(yùn)動(dòng)是獨(dú)立的，它和橫向運(yùn)動(dòng)之間沒有耦合作用。設(shè)橫向運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)分別為

,

,

,

,求解方程組式(5.5)得(5.7)(5.8)從上兩式可以看出對(duì)稱自旋衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)是在本體坐標(biāo)系中，橫向角速度分量

，

周期性地變化，周期為

，幅值取決于它們的初始值，而自旋轉(zhuǎn)速始終為常值。用

乘方程式(5.5b)，用

乘方程式(5.5c)，將兩結(jié)果相加得這表明

為常數(shù)，為此定義合成角速率常值于是，在本體坐標(biāo)系中，星體的轉(zhuǎn)速矢量(5.9)可以表達(dá)為式中，

是

，

的合成角速度矢量。由于它們處在和自旋軸垂直的平面內(nèi)，因此稱之為橫向角速度。由于

和

周期性變化，所以在本體坐標(biāo)系

Oyz平面內(nèi)，

繞Ox軸以速率

旋轉(zhuǎn)，而幅值

恒定。由此可見，星體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速

繞自旋軸Ox

作圓錐運(yùn)動(dòng)，如圖5.4所示。點(diǎn)擊觀看虛擬現(xiàn)實(shí)演示考慮到在無外力矩作用下，航天器動(dòng)量矩H守恒，即在空間中固定不變，以此為基準(zhǔn)便可以進(jìn)一步討論自旋衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由式(3．22)和(3．32)知，H在本體坐標(biāo)系中可表示為(5.11)從上式看出，H由橫向和軸向兩部分組成。由于繞Ox軸旋轉(zhuǎn)，因此Ox也必然作圓錐運(yùn)動(dòng)，才可能使得它們的合矢量H在空間定向。從式(5.10)中解出代人式(5.11)得這里

為

的模，(

)即為（5.12）方向的單位矢量。從式(5．12)可以得出兩條重要的結(jié)論。航天器動(dòng)量矩H、瞬時(shí)轉(zhuǎn)速

和自旋軸Ox3個(gè)矢量必定在同一平面內(nèi)。在空間的運(yùn)動(dòng)由兩種圓錐運(yùn)動(dòng)合成，一是繞自旋軸Ox(即

方向)的圓錐運(yùn)動(dòng)，如式(5.12)右邊第二項(xiàng)所示，其轉(zhuǎn)速速率為

；二是繞動(dòng)量矩H的圓錐運(yùn)動(dòng)，如式(5.12)右邊第一項(xiàng)所示，其轉(zhuǎn)速速率為

。我們稱自旋衛(wèi)星瞬時(shí)轉(zhuǎn)速

的這兩種圓錐運(yùn)動(dòng)為章動(dòng)。其中

繞自旋軸的圓錐運(yùn)動(dòng)稱為本體章動(dòng)，所形成的軌跡圓錐稱為本體錐，

稱為本體章動(dòng)速率；繞

的圓錐運(yùn)動(dòng)稱為空間章動(dòng)，所形成的圓錐稱為空間錐，

則稱為空間章動(dòng)速率。顯然，由于H固定不變，空間錐在空間也是固定的。整個(gè)自旋衛(wèi)星的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)可以綜合描述為：星體繞自旋軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)本體錐在空間錐上滾動(dòng)。兩錐切線方向即為

方向，如圖5．5所示。由于本體錐在空間錐上滾動(dòng)，所以星體自旋軸Ox也繞H作圓錐運(yùn)動(dòng)，且其速率就是

，如圖5．6所示。點(diǎn)擊觀看虛擬現(xiàn)實(shí)演示，自旋軸Ox與動(dòng)量矩H之間的夾角

稱為章動(dòng)角。由式(5．11)中包含的矢量間的幾何關(guān)系，特別是容易得出(5．13)或(5．14)恒定，所以章動(dòng)角可見，對(duì)于軸對(duì)稱自旋衛(wèi)星，由于也是常值，且O≤

<90°。類似地，還可以通過式(5.10)和圖5.4描述的幾何關(guān)系確定

與自旋軸

Ox之間的夾角

為代人式(5．13)得與

之間的關(guān)系式(5.16)此外，將式(5．14)代入還可得再從式(5．6)中解出(5．17)代人式(5．17)便得到了本體章動(dòng)速率與空間章動(dòng)速率之間的關(guān)系,即(5．18)利用式(5．6)、(5．16)、(5．18)，可以討論自旋衛(wèi)星不同慣量情況下的章動(dòng)運(yùn)動(dòng)。情況1：

，即星體為扁粗形，自旋軸為最大慣量軸，如圖5．2(a)所示。，與

同號(hào)，這表明

繞自旋軸本體錐旋轉(zhuǎn)的方向和自旋方向同向；與

同號(hào)，這表明本體錐與空間錐旋轉(zhuǎn)的方向相同；，

H

在

與Ox之間，空間錐在本體錐之內(nèi)。情況2：

，即星體為細(xì)長(zhǎng)形，自旋軸為最小慣量軸，如圖5．2(b)所示。，與

異號(hào)，這表明

繞自旋軸的本體錐旋轉(zhuǎn)方向和自旋方向相反；與

異號(hào)，這表明本體錐與空間錐旋轉(zhuǎn)的，

在H和Ox之間，空間錐在本體錐方向相反；(3)之外?？傊?，從本節(jié)的討論可以看出，只要橫軸存在初始角速度和或角加速度和，即使外力矩不再存在，衛(wèi)星將始終存在不衰減的橫向角速度(即見，和

)。由式(5.13)和(5.15)顯，

，章動(dòng)就存在，從而影響自旋衛(wèi)星的定向性。由此可以知道，消除章動(dòng)是設(shè)計(jì)自旋穩(wěn)定衛(wèi)星最基本的任務(wù)。本節(jié)是以自旋軸為Ox為例進(jìn)行討論的，若自旋軸為

Oy或Oz，結(jié)論不會(huì)改變。以上分析是假設(shè)衛(wèi)星本體軸與主慣量軸完全重合的情況。若衛(wèi)星本體軸與主慣量軸不重合時(shí)(實(shí)際上是存在的)，還要產(chǎn)生自旋軸搖擺運(yùn)動(dòng)，為此自旋衛(wèi)星設(shè)計(jì)和星體總裝時(shí)還要求把自旋軸搖擺消除或者降低到允許水平以下。5.2

自旋衛(wèi)星的章動(dòng)阻尼章動(dòng)存在將使自旋軸產(chǎn)生圓錐運(yùn)動(dòng)，這樣星體上各種探測(cè)器就不能平穩(wěn)地掃描。消除章動(dòng)，使自旋軸、轉(zhuǎn)速和動(dòng)量矩三者重合，就成為自旋衛(wèi)星控制的重要任務(wù)。章動(dòng)阻尼按是否使用星上能源分為被動(dòng)章動(dòng)阻尼和主動(dòng)章動(dòng)阻尼兩種形式。被動(dòng)章動(dòng)阻尼通過被動(dòng)章動(dòng)阻尼器來吸收衰減章動(dòng)能量;主動(dòng)章動(dòng)阻尼則是在星上設(shè)置控制系統(tǒng)。5.2.1

被動(dòng)章動(dòng)阻尼器在被動(dòng)章動(dòng)阻尼器內(nèi)裝有阻尼塊，此阻尼塊與航天器殼體之間是懸浮的或者是彈性聯(lián)接的。當(dāng)航天器自旋軸作圓錐運(yùn)動(dòng)時(shí)，航天器內(nèi)各點(diǎn)的離心力不斷地變化，阻尼塊將在阻尼器內(nèi)部產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。被動(dòng)章動(dòng)阻尼器的工作原理就是利用阻尼塊的相對(duì)運(yùn)動(dòng)耗散星體章動(dòng)的動(dòng)能，起到阻尼航天器的橫向角速度，達(dá)到消除章動(dòng)角的目的。航天器上采用的被動(dòng)章動(dòng)阻尼器的種類很多，各種阻尼器的主要區(qū)別在于：阻尼塊的形式：有固體(球狀、塊狀)或液體等；阻尼塊支撐的形式：有軸承、懸掛或封閉容器；阻尼的方式：有利用黏性氣體內(nèi)部摩擦、黏性液體內(nèi)部摩擦、機(jī)械摩擦、或磁一渦流等；恢復(fù)力的方式：有利用離心力或機(jī)械彈簧等。下面介紹兩種典型的被動(dòng)章動(dòng)阻尼器。1．管中球阻尼器阻尼器由一對(duì)圓弧形彎管組成，彎管裝在星體的子午面內(nèi)，稱為子午面阻尼器(見圖5.7)；或裝在平行于赤道面的平面內(nèi)，稱為赤道面阻尼器。彎管的凹面朝著自旋軸，并且圓弧的等分線垂直于自旋軸并和自旋軸相交。管內(nèi)有一球，作為阻尼塊，球的直徑略小于管子的內(nèi)徑。當(dāng)星體只有自旋時(shí)，球停留在管子的對(duì)稱中心；當(dāng)星體有章動(dòng)時(shí)，球?qū)⒈黄葋砘貪L動(dòng)。阻尼是黏性液體或氣體阻尼。利用阻尼力所做的功來耗散章動(dòng)的功能，使章動(dòng)角逐漸衰減。管中球阻尼器主要缺點(diǎn)是有剩余章動(dòng)角，這是滾動(dòng)摩擦造成的。管中球阻尼器接著，從能量的角度來分析管中球阻尼器對(duì)章動(dòng)的阻尼作用。自旋衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能可寫為(5．19)利用式(5．13)、(5．14)和(5．15)所包含的幾何關(guān)系得對(duì)式(5．19)進(jìn)行變換得故得(5．20)對(duì)上式求導(dǎo)，則得到自旋衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)能量耗散速率(5．21)顯然，若

，即當(dāng)

時(shí)，必有

，這樣章動(dòng)角

將減小，直到章動(dòng)消失( =0°)，對(duì)應(yīng)最小能量狀態(tài)。這也正是對(duì)稱自旋衛(wèi)星繞最大慣量軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，被動(dòng)章動(dòng)阻尼能消除章動(dòng)的根據(jù)。反之，當(dāng)時(shí)，必有

，則章動(dòng)角

將不斷增大，直到物體繞其橫軸旋轉(zhuǎn)(平旋， =90°)，這也對(duì)應(yīng)于最小能量狀態(tài)。同時(shí)，這也正是當(dāng)衛(wèi)星存在非剛性能量耗散時(shí)，繞最小慣量軸的旋轉(zhuǎn)不穩(wěn)定的理論根據(jù)，而且也說明當(dāng)自旋衛(wèi)星繞最小慣量軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，被動(dòng)章動(dòng)阻尼不可能消除章動(dòng)。于是，此處僅針對(duì)

的情況分析管中球阻尼器對(duì)章動(dòng)的阻尼效果。如圖5．7所示，Ox為自旋軸。當(dāng)星體章動(dòng)時(shí)，小球在管內(nèi)發(fā)生移動(dòng)，則小球?qū)πl(wèi)星所做的微功為(5．22)其中阻尼力的幅值為式中，為阻尼系數(shù)；(5．23)為小球相對(duì)于其平衡位置的微位移；

為小球的瞬時(shí)速度。將式(5．22)寫成(5．24)積分便可得小球每一個(gè)往返周期中的平均做功為(5．25)式中，T為阻尼器運(yùn)動(dòng)的周期。。每一周期中的平均做功量等于動(dòng)能改變量，即因此由式(5·21)得時(shí)(5．26)當(dāng)為了從方程式(5．26)中解得角與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，必須先求得式(5．25)中

的顯式表達(dá)式。為解得，需要不同程度地簡(jiǎn)化假設(shè)條件。但是，一般來說，對(duì)式(5．25)積分以后，

?？杀磉_(dá)為(5．27)是系統(tǒng)參數(shù)的函數(shù)。此時(shí)，式中，式(5．26)變?yōu)?5．28)或(5．29)而式(5．29)可寫成(5．30)式中，系統(tǒng)的阻尼時(shí)間常數(shù)r為方程式(5．30)的解具有如下形式：式中，為初始章動(dòng)角。如果由于自旋衛(wèi)星內(nèi)部的能量耗散而不是外力矩使章動(dòng)完全消除，即

，則由于動(dòng)量矩守恒，衛(wèi)星的自旋角速度將增加。設(shè)衛(wèi)星初始自旋角速度為

，初始橫向角速度為

，則初始動(dòng)量矩的大小H可表示為當(dāng)章動(dòng)消除后，自旋角速度為

，而，所以故得這表明由于章動(dòng)阻尼，衛(wèi)星的自旋角速度將增大。2．液體環(huán)阻尼器液體環(huán)阻尼器有二種，環(huán)面垂直于自旋軸或平行于自旋軸，前者用于早期高速自旋的衛(wèi)星上。由于一系列的因素，自旋速率不宜過高，因此采用環(huán)面平行于自旋軸的阻尼器，提高阻尼效率。環(huán)的形狀有圓形，方形或U字形，環(huán)內(nèi)充滿或只充部分黏性液體。星體章動(dòng)時(shí)，液液體在環(huán)內(nèi)周期性地來回流動(dòng)，利用液體內(nèi)部的黏滯剪切力矩來耗散章動(dòng)能量。圖5．8所示是一種圓環(huán)形阻尼器，內(nèi)徑為2a的圓管被彎成圓環(huán)形，管內(nèi)全部充滿液體，環(huán)的半徑為R，R>>a。3．被動(dòng)章動(dòng)阻尼器小結(jié)設(shè)計(jì)一個(gè)被動(dòng)章動(dòng)阻尼器應(yīng)滿足下列要求：(1)阻尼器單位質(zhì)量產(chǎn)生阻尼效果大；剩余章動(dòng)角??；星體轉(zhuǎn)速變化和星體內(nèi)部質(zhì)量與溫度的變化對(duì)阻尼效果影響?。蛔枘崞饕阌诎惭b，而且希望對(duì)安裝的部位和安裝精度沒有嚴(yán)格的要求；具有線性阻尼特性。一種阻尼器不可能都具備上述的所有性能，要根據(jù)星體的具體情況，如慣量、自旋轉(zhuǎn)速、要求阻尼的時(shí)間、剩余章動(dòng)角以及飛行程序等綜合因素來設(shè)計(jì)阻尼器以實(shí)現(xiàn)這些性能。5.2.2

主動(dòng)章動(dòng)阻尼主動(dòng)章動(dòng)阻尼是一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)，它包括姿態(tài)測(cè)量章動(dòng)敏感器和改變航天器動(dòng)量矩的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。章動(dòng)敏感器一般可以采用速率陀螺、加速度計(jì)、太陽敏感器、紅外地平儀和磁強(qiáng)計(jì)等，然后進(jìn)行信息處理，提供有關(guān)章動(dòng)角的信息。一般采用噴氣執(zhí)行機(jī)構(gòu)，控制系統(tǒng)可以是星上閉環(huán)控制或者通過地面站遙控。美國(guó)應(yīng)用技術(shù)衛(wèi)星ATS一4和ATS一5在過渡軌道是自旋穩(wěn)定的。這兩顆衛(wèi)星是細(xì)長(zhǎng)形的，在自旋狀態(tài)下，當(dāng)發(fā)生章動(dòng)時(shí)，這章動(dòng)是不收斂(不穩(wěn)定)的，為此必須加主動(dòng)章動(dòng)阻尼系統(tǒng)。美國(guó)應(yīng)用技術(shù)衛(wèi)星國(guó)際通信衛(wèi)星Ⅳ號(hào)和Ⅵ號(hào)也采用主動(dòng)章動(dòng)控制，主動(dòng)章動(dòng)控制系統(tǒng)在星體安裝位置見圖5．9。一般采用互為獨(dú)立的雙套系統(tǒng)，即兩個(gè)加速度計(jì)、兩個(gè)噴管。其目的一方面是互為備份，另一方面是加強(qiáng)主動(dòng)章動(dòng)控制效果。這種主動(dòng)章動(dòng)控制系統(tǒng)保證任何時(shí)間章動(dòng)角不大于0．5°。國(guó)際通信衛(wèi)星v號(hào)點(diǎn)擊觀看虛擬現(xiàn)實(shí)演示衛(wèi)星與通信視頻資料自旋穩(wěn)定雖然簡(jiǎn)單，但是不能使天線對(duì)地定向，為此發(fā)展了雙自旋衛(wèi)星。這種衛(wèi)星具有自旋和消旋兩部分。這兩部分總動(dòng)量矩不為零(若為零則稱為零動(dòng)量雙自旋衛(wèi)星)，在消旋部分帶有指向地球的穩(wěn)定平臺(tái)(例如天線裝置)。雙自旋衛(wèi)星結(jié)構(gòu)原理見圖5.10。雙自旋衛(wèi)星既能保持自旋穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)，又能容許用一個(gè)定向的平臺(tái)來設(shè)置科學(xué)儀器和天線等。5.3

雙自旋衛(wèi)星穩(wěn)定系統(tǒng)5.3.1

雙自旋衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)與章動(dòng)運(yùn)動(dòng)研究如圖5.11所示的雙自旋衛(wèi)星。首先如圖示定義衛(wèi)星本體坐標(biāo)系(1)自旋軸為分別為

和

，，并假設(shè)：，平臺(tái)和自旋體相對(duì)于

的慣量；(2)衛(wèi)星相對(duì)于自旋軸

對(duì)稱，即(3)自旋體的自旋角速率

滿足；，

,

。和

分別為平臺(tái)的三軸角速度分量。點(diǎn)擊觀看虛擬現(xiàn)實(shí)演示在無外力矩作用的情況下，雙自旋衛(wèi)星的自由運(yùn)動(dòng)歐拉動(dòng)力學(xué)方程參照式(3.29)得(5.31a)(5.31b)(5.31c)式中(5.32)將式(5．32)代人式(5．31)，并假設(shè)即認(rèn)為自旋體恒速自旋，則可使方程線性化。最后得到(5.33a)(5.33b)(5.33c)式中(5.34)式(5.33a)表明

為常數(shù)。方程式(5.33)的解為(5．35)(5．36)，

和

,的角頻率，即平式中，

，的初值，而臺(tái)章動(dòng)頻率。和

，

分別是則代表平臺(tái)橫向速率的幅值為(5．37)且仍有即雙自旋衛(wèi)星的橫向速率也為恒值。雙自旋衛(wèi)星在無外力矩作用時(shí)，其動(dòng)量矩H在空間恒定不變，其幅值是(5．39)與單自旋衛(wèi)星章動(dòng)運(yùn)動(dòng)分析過程相類似，雙自旋衛(wèi)星的章動(dòng)角

即為若平臺(tái)為消旋平臺(tái)，則。5．3．2

雙自旋衛(wèi)星的穩(wěn)定性對(duì)于圖5.11所示的雙自旋理想剛體系統(tǒng)，其動(dòng)能為(5．41)在無能量耗散時(shí)，，，均為常值，也就是為常值。但是當(dāng)系統(tǒng)存在能量耗散時(shí)，動(dòng)能不再是常數(shù)，而是時(shí)間的減函數(shù)。因此式中，

和(5．42)分別是平臺(tái)和自旋體的能量耗散率。這些能量耗散可能來自于平臺(tái)和自旋體的結(jié)構(gòu)阻尼、撓性振動(dòng)、液體阻尼或晃動(dòng)等許多情況。當(dāng)外力矩為零時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒，即

。所以由式(5．39)得也就是(5．43)由于式(5．42)和(5．43)必須同時(shí)成立，因此聯(lián)立這兩個(gè)方程得(5．44)式中針對(duì)式(5．44)，在一般情況下總可以如下取方程的解：代人式(5．43)得雙自旋衛(wèi)星的章動(dòng)動(dòng)能的變化率為(5．45)式中為雙自旋結(jié)構(gòu)整體章動(dòng)頻率。式(5．45)表明。當(dāng)(5．47)時(shí)，，由式(5．40)知章動(dòng)角減小。當(dāng)衛(wèi)星帶有一個(gè)基本上消旋的平臺(tái)時(shí)，等于軌道角速度，或者很小可以忽略。這時(shí)平臺(tái)的章動(dòng)頻率近似為而自旋體的章動(dòng)頻率近似為代入式(5．47)，穩(wěn)定性判據(jù)變?yōu)?5．48)分析式(5．48)可以知道，對(duì)于自旋慣量矩的雙自旋衛(wèi)星，式(5．48)的穩(wěn)定性判據(jù)總能被滿足(因?yàn)榘炊x，

和

總為負(fù))。這意味著系統(tǒng)自旋是穩(wěn)定的，要阻尼章動(dòng)，阻尼器可以配置在平臺(tái)和自旋體的任一方上。因此說

代表著雙自旋衛(wèi)星有利的慣量配置。另一方面，對(duì)于慣量配置不利的雙自旋衛(wèi)星，，由于自旋體上能量耗散，

為負(fù)，故為正。此時(shí)要使衛(wèi)星自旋穩(wěn)定，

必須具有更大的負(fù)量，這可以在消旋部分配置一個(gè)大型能量耗散器(阻尼器)去克服在自旋體部分的不穩(wěn)定因素。所以在這種情況下，阻尼器必須配置在消旋部分。對(duì)于雙自旋衛(wèi)星而言，若慣量比

定義為那么雙自旋衛(wèi)星的穩(wěn)定性可以總結(jié)如下：假設(shè)自旋部分和消旋部分都近似于剛體，均相對(duì)于自旋軸對(duì)稱，消旋體繞自旋軸角速度為零，則：由于星體內(nèi)可動(dòng)部件的影響，慣量比

大于1(短粗)的雙自旋衛(wèi)星的自旋運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。慣量比小于1(細(xì)長(zhǎng))的雙自旋衛(wèi)星，只要消旋部分的可動(dòng)部件引起的能量耗散足夠快，其運(yùn)動(dòng)也是穩(wěn)定的。短粗雙自旋衛(wèi)星的慣量比

設(shè)計(jì)準(zhǔn)則與自旋衛(wèi)星相同。細(xì)長(zhǎng)雙自旋衛(wèi)星，為保證穩(wěn)定，須在消旋部分安裝被動(dòng)章動(dòng)阻尼器，或者在星上設(shè)置主動(dòng)章動(dòng)控制系統(tǒng)。5.3.3

雙自旋衛(wèi)星的消旋控制系統(tǒng)消旋控制系統(tǒng)是雙自旋衛(wèi)星的關(guān)鍵部分，連接消旋平臺(tái)和自旋體兩部分。消旋控制系統(tǒng)的主要任務(wù)是：①保證星上通信天線始終精確指向地心而不隨星體轉(zhuǎn)動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)通信。②為射頻信號(hào)提供一個(gè)機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)環(huán)節(jié)，使射頻信號(hào)能通過它而進(jìn)入天線。圖5.12表示一個(gè)典型消旋控制系統(tǒng)的原理框圖。這個(gè)系統(tǒng)主要由三大部分組成：消旋組合件或稱為軸承和能源傳輸機(jī)構(gòu)，消旋控制電子設(shè)備和姿態(tài)敏感器(如紅外地平儀和太陽敏感器)。在引力場(chǎng)中，任何形狀的物體，由于體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)所受的引力不同，對(duì)其質(zhì)心產(chǎn)生的引力梯度矩也將隨其質(zhì)量分布的幾何尺度及其在引力場(chǎng)中的角位置等的不同而不同。應(yīng)該指出，引力梯度矩的值是很小的，對(duì)于一般的工程來說，可以認(rèn)為重心重合于質(zhì)心，引力梯度矩等于零。但是對(duì)軌道上的航天器來說，外力矩接近于零，且運(yùn)行時(shí)間又很長(zhǎng)，因此引力梯度矩的影響是不能忽略的。5.4

重力梯度穩(wěn)定系統(tǒng)重力梯度被動(dòng)穩(wěn)定就是航天器利用地球或其他天體的引力場(chǎng)，在不依賴飛輪、推力器和伺服系統(tǒng)等主動(dòng)控制部件的情況下，獲得對(duì)地球或其他天體姿態(tài)定向的一種穩(wěn)定方式。它的主要優(yōu)點(diǎn)是長(zhǎng)壽命，功耗需求低；缺點(diǎn)則是制力矩小，需要天平動(dòng)阻尼，且指向精度低，例如各軸精度在1°～10°左右。5.4.1

重力梯度穩(wěn)定原理利用航天器各部分質(zhì)量在重力場(chǎng)中具有不同的重力，以及在軌道運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生不同的離心力，重力和離心力的合力產(chǎn)生一個(gè)恢復(fù)力矩，即重力梯度力矩。這個(gè)恢復(fù)力矩雖然很小，但是它能起穩(wěn)定作用，使航天器的某根體坐標(biāo)軸指向地球。用啞鈴式結(jié)構(gòu)來說明航天器在軌道上由于重力和離心力作用所產(chǎn)生的恢復(fù)力矩是最直觀而又最簡(jiǎn)便的方法。抽象的啞鈴式結(jié)構(gòu)具有以下特點(diǎn)：(1)啞鈴兩端質(zhì)量和相等；啞鈴兩端距中心的臂長(zhǎng)和相等，；啞鈴臂無質(zhì)量(也可理解為已等效至兩端)。1．俯仰通道圖5.13表示了啞鈴式衛(wèi)星在軌道平面內(nèi)，即俯仰通道，偏離當(dāng)?shù)卮咕€時(shí)的情況，為俯仰角。在軌道平面（俯仰）的重力和離心力啞鈴兩端質(zhì)量和所產(chǎn)生的凈力矩為(5.50)式中 ，

和分別為兩啞鈴端質(zhì)量

和(5.51)到地心的距離。質(zhì)量和的離心力和對(duì)衛(wèi)星質(zhì)量中心產(chǎn)生的力矩可表示為(5.52)根據(jù)上式，這說明在俯仰平面內(nèi)，質(zhì)量和的離心力所產(chǎn)生的力矩相互抵消，恢復(fù)力矩僅由質(zhì)量和在重力場(chǎng)中所受重力而產(chǎn)生。2．滾動(dòng)通道圖5.14表示在軌道法平面(即滾動(dòng)平面)內(nèi)啞鈴式衛(wèi)星偏離鉛垂線的情況,為滾動(dòng)角。在軌道法平面（滾動(dòng)）的重力和離心力在軌道法平面所受凈重力矩可以表示為(5.53)由離心力所產(chǎn)生的凈恢復(fù)力矩為(5.54)顯然在滾動(dòng)平面內(nèi)，恢復(fù)力矩不僅取決于重力而且還取決于離心力。這兩種力產(chǎn)生的力矩方向相同，所以它比在俯仰平面的恢復(fù)力矩要大。3．偏航通道圖5.15表示偏航平面內(nèi)啞鈴式衛(wèi)星偏離速度方向的情況。其中圖(a)和(b)所示分別為在軌道平面內(nèi)、水平平面內(nèi)的投影。質(zhì)量

和

所產(chǎn)生的重力矩相互抵消。質(zhì)量

和

的離心力和。所產(chǎn)生的力矩在數(shù)量上相等，而且方向相同，即式中，

為啞鈴在軌道平面內(nèi)投影對(duì)地心張角的一半，如圖5．15(a)所示。為偏航角，5.4.2

重力梯度力矩假設(shè)航天器繞地球運(yùn)行的某時(shí)刻到地心的距離為Ro，地心為

，航天器質(zhì)心為O，質(zhì)量為年

。首先建立質(zhì)心軌道坐標(biāo)系

和航天器本體坐標(biāo)系

。于是質(zhì)心O到地心

的矢徑即可在兩個(gè)坐標(biāo)系中表示為(5．56)式中

，

，

，為在本體坐標(biāo)系中的投影。根據(jù)與之間的坐標(biāo)變換關(guān)系得(5.57a)令

表示航天器質(zhì)心(5.57b)(5.57c)到任一質(zhì)量元dm的矢徑，即于是從地球中心到該質(zhì)量元的矢徑(5.58)(見圖5.16)就為(5.59)重力場(chǎng)作用到質(zhì)量元上的重力為式中,

；

。這里G為萬有引力常數(shù)，為地球質(zhì)量。這個(gè)力產(chǎn)生的繞航天器質(zhì)心的力矩即為(5.61)因?yàn)樗詫⑸鲜秸归_并去掉高階項(xiàng)，即得到代入方程式(5．61)中，有將上式積分，就得到整個(gè)航天器受到的重力梯度力矩為(5．63)應(yīng)用式(5.56)～(5.58)，再進(jìn)行相應(yīng)的矢量運(yùn)算，最終得到航天器重力梯度力矩的標(biāo)量形式，即

在坐標(biāo)系上的投影為(5.64a)(5.64b)(5.64c)將式（5.57）代入則得(5.65a)(5.65b)(5.65c)式中，

，

，

分別為航天器的三軸慣量，它們是若本體坐標(biāo)系那么慣量積

，各軸取為航天器的主慣量軸，，

均為零。，則容易證明此時(shí)若航天器的軌道角速度某時(shí)刻為軌道角動(dòng)量滿足下面關(guān)系：也就是將達(dá)形式，即(5.66a)(5.66b)(5.66c)當(dāng)星體的姿態(tài)是對(duì)地定向，

，

和

均為小角度時(shí)，

，

,

則上面各式中略去高階微量可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為(5.67a)(5.引力(含重力)梯度力矩具有如下性質(zhì)：(1)引力梯度力矩隨高度的增加而減小。(2)引力梯度力矩與航天器的質(zhì)量分布有關(guān)。

(3)引力梯度力矩與航天器的角位置有關(guān)。5.4.3

穩(wěn)定性分析已知航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程由式(3．38)描述，即(3．38)將在小角度條件下重力梯度力矩式(5．67)分別代人式(3．38)并化簡(jiǎn)得(5．68a)(5．68b)(5．68c)當(dāng)偏航和滾動(dòng)通道為弱耦合時(shí)，上式可近似為(5．69a)(5．69b)(5．69c)由這一組二階微分方程組知道，要使得系統(tǒng)穩(wěn)定，必須有(5．70a)(5．70b)(5．70c)同時(shí)成立。其條件即為(5．71)進(jìn)一步分析運(yùn)動(dòng)方程組(5．69)發(fā)現(xiàn)，航天器在重力梯度力矩的作用下，其各通道的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)均是在平衡(穩(wěn)定)姿態(tài)周圍無阻尼振蕩，稱之為天平動(dòng)。天平動(dòng)的自然頻率由式(5．70)容易得到，分別為(5.72)相應(yīng)的天平動(dòng)周期即為(5.73)式中，為航天器的軌道周期。特殊地，對(duì)于某些航天器，若其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)使得各主慣量軸慣量滿足，則天平動(dòng)頻率就相應(yīng)為在設(shè)計(jì)重力梯度穩(wěn)定航天器時(shí)應(yīng)解決三個(gè)問題：(1)增大起穩(wěn)定作用的恢復(fù)力矩和限制擾動(dòng)力矩。