多頻窄帶數(shù)字信號處理仿真系統(tǒng)設(shè)計

數(shù)字信號處理三級工程小組報告多頻窄帶數(shù)字信號處理仿真系統(tǒng)設(shè)計指導(dǎo)教師：班級組號：組長：成員：課題組成員分工及奉獻(xiàn)：教務(wù)處2023年12月多頻窄帶數(shù)字信號處理仿真系統(tǒng)設(shè)計摘要:數(shù)字信號處理系統(tǒng)中的信號都是以離散時間形態(tài)存在的，所以對離散時間信號的研究是數(shù)字信號的根本所在。所以我們從信號的采集這個根本點出發(fā)，使用C語言利用數(shù)字信號處理知識設(shè)計并實現(xiàn)一個具有信號采集、信號時域及頻域分析、FIR濾波器設(shè)計、數(shù)字信號濾波等功能的多頻窄帶數(shù)字信號處理軟件仿真系統(tǒng)?？梢哉f，本次報告是對整個數(shù)字信號處理這門課程的一個整合。關(guān)鍵字：譜分析，F(xiàn)IR濾波器，c語言1.信號采集及波形實際生活中遇到的信號一般都是模擬信號，如圖：圖1.1實際生活中的信號對它進(jìn)行等間隔采樣便可以得到時域離散信號。時域離散信號(discrete-timesignal)即只在一系列別離的時間點n(n是整數(shù)，n=0，±1，±2，……〕上才有取值的一種信號。時域離散信號可以用一個離散時間的數(shù)字序列來表示。假設(shè)信號用xa(t)表示，它的波形如〔a〕；按照時間T等間隔的對xa(t)取它的幅度，得到一串有序的數(shù)據(jù){xa(0)，xa(T)，xa(2T)，...},波形如〔b〕；當(dāng)n取{0,1,2，...}時，xa(nT)={xa(0)，xa(T)，xa(2T)，...},現(xiàn)在將這一串?dāng)?shù)字序列用x(n)表示，如〔c〕。例如：其中f1=200Hz，f2=250Hz，f3=300Hz，fs=1000Hz通過時域采樣利用MATLAB仿真為：圖1.2連續(xù)信號的采集2.信號的頻域分析2.1用DFT對信號進(jìn)行譜分析所謂的譜分析，就是計算信號的傅里葉變換。計算機(jī)所能處理的信號必須是離散的，DFT是一種時域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值運算。對于持續(xù)時間很長的信號，采樣點數(shù)太多，以致無法存儲和計算，只好截取有限點進(jìn)行DFT變換，所以用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析必然是存在誤差的。模擬信號離散信號離散信號Xa〔t〕fsX〔n)DFTX〔k〕下面我們通過實例來分析一下連續(xù)信號的DFT變換例：其中f1=200HZ,f2=250HZ,f3=300HZ,fs=1000HZ通過仿真，我們可以得到x(n)在n=0,1,2…9的10點離散傅里葉變換，此時得到了x(n)的頻域信息，繪得頻譜圖如下：圖2.1.1x(n)10點DFT變換由圖2.1.1可見，圖中各點都含有一定幅值，在第3和第4點出現(xiàn)了最高幅值，但是并不能分辨出原始信號的三種正弦波的頻率200Hz，250Hz和300Hz。它們發(fā)生混疊喪失，已經(jīng)不能完全地被我們觀察到。當(dāng)我們將〔1〕式中的x(n)以補零的方式補到100點時，那么在0≤n＜10時有值，而在11≤n＜100時值為0，此時的DFT變換繪得的頻譜圖如下：圖2.1.2x(n)10點補零到100點后DFT變換由圖2.1.2，我們可以看到，當(dāng)補零到100點后，頻譜圖中每個點所代表的頻率更小了，密度變高了，但是我們?nèi)匀环直娌怀鲈夹盘柕娜齻€正弦波的頻率，找不到明顯的頻率分布特性。2.2高分辨率譜和高密度譜的區(qū)別頻率分辨率的概念：頻率分辯率是指頻域取樣中兩相鄰點間的頻率間隔。更確切的說是如果某一信號含有兩個頻率成分f1和f2，Of=|f2-f1|，頻率分辨率的概念是如果頻率分辨率大于Of，對信號進(jìn)行譜分析后將不能視別出其含有兩個頻率成分，這兩個頻率將混疊在一起。當(dāng)我們將信號補零到更長后，DFT變換點數(shù)自然增加了，但是，就分辨率而言卻并沒有任何的提高。每兩個點之間所代表的頻率更小了，我們雖然看到了更多的點，也就是頻譜密度變大了，卻沒有提高分辨率，我們稱這樣的譜為高密度譜圖2.2.1高分辨率譜和高密度譜比擬由圖可見，當(dāng)我們把變換點數(shù)增加到了100點后，我們明顯看到了三個幅值最高點，此時它們正是對應(yīng)了原始信號中的三個正弦波信號的頻譜，它們在時域中的混疊被我們在頻域中別離并觀測了出來。其實，加零后，并沒有改變原有記錄的數(shù)據(jù)，原有數(shù)據(jù)的頻譜一開始就存在，我們只是有的看不見，加零后只是讓我們看見原本就采集到的頻率，卻不能提高分辨率。同時，我們也將零補在了序列前面進(jìn)行了再次實驗，得到的頻譜并沒有任何變化，這也進(jìn)一步說明了，補零只能夠提高頻譜的密度卻不能提高分辨率。提高分辨率的方法只有一個，那就是增加DFT變換的點數(shù)。3.設(shè)計FIR濾波器3.1FIR濾波器的根本特性有限脈沖響應(yīng)濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)要求的同時，很容易做到嚴(yán)格的線性相位特性，F(xiàn)IR濾波器的設(shè)計方法和IIR濾波器的設(shè)計方法有很大區(qū)別，F(xiàn)IR濾波器設(shè)計任務(wù)是選擇有限長度的h(n),是頻率響應(yīng)函數(shù)滿足技術(shù)指標(biāo)要求。FIR濾波器的頻率響應(yīng)表達(dá)式為：濾波器在通帶內(nèi)具有恒定的幅頻特性和線性相位特性。理論上可以證明：當(dāng)FIR濾波器的系數(shù)滿足以下中心對稱條件：時，濾波器設(shè)計在逼近平直幅頻特性的同時，還能獲得嚴(yán)格的線性相位特性。線性相位FIR濾波器的相位滯后和群延遲在整個頻帶上是相等且不變的。對于一個N階的線性相位FIR濾波器，群延遲為常數(shù)，即濾波后的信號簡單地延遲常數(shù)個時間步長。這一特性使通帶頻率內(nèi)信號通過濾波器后仍保持原有波形形狀而無相位失真。幅度特性將時域約束條件h〔n)=+-h(N-n-1)可推導(dǎo)出線性相位條件對FIR數(shù)字濾波器的幅度特性的約束條件：下面分四種情況來討論幅度特性的特點。情況1：h(n)=h(N-n-1),N為奇數(shù)。關(guān)于w=0三點偶對稱，因此這種情況可以實現(xiàn)低通、高通、帶通、帶阻濾波器情況2：h(n)=h(N-n-1),N為偶數(shù)。關(guān)于w=奇對稱，關(guān)于w=0、2偶對稱，因此這種情況可以實現(xiàn)低通、帶通濾波器。情況3：h(n)=-h(N-n-1),N為奇數(shù)。關(guān)于w=奇對稱，關(guān)于w=0、、2三點奇對稱，因此這種情況可以實現(xiàn)帶通濾波器情況4：h(n)=-h(N-n-1),N為偶數(shù)。關(guān)于w=0、2兩點奇對稱，關(guān)于w=偶對稱，因此這種情況可以實現(xiàn)低高通、帶通濾波器。零點特性由得假設(shè)z=zi是H(z)的零點，其倒數(shù)也必然是其零點，因為h(n〕是實序列，H(z)的零點必然共軛成對，因此和也是其零點。確定其中一個，另外三個零點也就確定了。圖3.1零點特性3.2窗函數(shù)法設(shè)計濾波器我們線性相位理想低通濾波器其單位脈沖響應(yīng)hd(n)為：由上式可以看到，理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)是無限長的，且是非因果序列。為了構(gòu)造一個長度為N的第一類線性相位FIR濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段關(guān)于序列關(guān)于偶對稱，利用窗函數(shù)法設(shè)計濾波器就是選擇適宜的窗函數(shù)去截取hd〔n),并進(jìn)行加權(quán)處理，使其具有線性相位。在設(shè)計濾波器的過程中我們使用了這樣四種窗函數(shù)：矩形窗、漢寧窗、哈明窗和布萊克曼窗。其時域波形如圖3.2.1所示。(a)矩形窗(b)漢寧窗(c)哈明窗(d)布萊克曼窗圖3.2.1窗函數(shù)的時域波形從圖中我們可以看出，矩形窗僅僅是按照1:1的關(guān)系截取了hd(n)的一局部，而其他三種窗函數(shù)都對其旁瓣進(jìn)行了不同程度的衰減，從而使能量更多地集中在主瓣，這樣就能夠使得阻帶局部的衰減更大，獲得更好的技術(shù)指標(biāo)用這四種窗函數(shù)設(shè)計濾波器之后，我們得到了每種窗函數(shù)所對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)h(n)，通過對其進(jìn)行快速傅里葉變換我們得到了它的頻域波形，通過它來反映濾波器的頻域特性，從而比擬其濾波特性：矩形窗濾波〔b〕漢寧窗濾波〔c〕哈明窗濾波〔d〕布萊克曼窗濾波1.矩形窗衰減最快，衰減程度最弱2.漢寧窗衰減最慢，衰減程度較強3.哈明窗：衰減較快，衰減程度較弱4.布萊克曼窗：衰減較慢，衰減程度最強從圖中可以看出，中選擇不同的窗函數(shù)時，濾波的效果也是不同的。綜合來看，布萊克曼窗的衰減度最大，到達(dá)75dB左右以上，對阻帶頻譜的抑制效果最強，但過渡帶較長，哈明窗具有較好的過渡帶特性，衰減維持在60dB根本不變。漢寧窗的兩種特性在以上兩種窗之間。在實際應(yīng)用中我們應(yīng)該根據(jù)實際情況來選擇不同的窗函數(shù)設(shè)計濾波器。窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器步驟總結(jié)如下：給出希望設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)；根據(jù)允許的過渡帶寬度和阻帶衰減，初步選定窗函數(shù)和N值。計算以下積分，求出hd〔n):將hd(n)與窗函數(shù)相乘得FIR數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n):5.計算FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，并驗證是否滿足要求；4.FIR濾波器仿真及濾波4.1設(shè)計流程及程序我們得到系統(tǒng)函數(shù)之后，濾波過程就是信號通過濾波器的過程，時域信號通過濾波器作用即信號函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)之間的卷積，具體計算那么是頻域中的相乘。于是我們通過循環(huán)卷積程序，即可對輸入信號進(jìn)行濾波程序框圖如下所示：圖4.1濾波器設(shè)計流程圖在選定窗函數(shù)類型和長度N并根據(jù)單位脈沖響應(yīng)h(n)求出后，是否滿足要求要進(jìn)行運算。一般在h(n)尾部補零使長度滿足于2的整數(shù)次冪，以便使用FFT計算，如果要觀察細(xì)節(jié)，補零點數(shù)增多即可。如果不滿足要求，那么要重新選擇窗函數(shù)類型和長度N，再次驗算直到滿足要求。程序主函數(shù)如下：voidmain(){ inti,m,k,n,L; floatAR[MAX],AI[MAX]; voidfft();/*傅里葉變換*/ voidplot();/*畫圖函數(shù)*/ voidifft();/*傅里葉反變換*/ voidcirconv();/*卷積函數(shù)*/ voidGRAPH();/*繪圖函數(shù)*/ voidHDN(),JXC(),HNC(),HMC(),BLKMC(); printf("inputm="); scanf("%d",&m);/*輸入變換級數(shù)M*/ n=(int)pow(2,m);/*確定變換點數(shù)N=2^M*/ printf("n=%d\n",n); for(i=0;i<n;i++)/*輸入信號方波*/ { AR[i]=1; AI[i]=0; } HDN(n); printf("Pleaseinputxh:(1-Rectangle;2-Hanning;3-Hanming;4-Blackman):"); scanf("%d",&k); switch(k)/*選擇窗函數(shù)*/ { case1:JXC(n);break; case2:HNC(n);break; case3:HMC(n);break; case4:BLKMC(n);break; }for(i=0;i<n;i++)/*構(gòu)造濾波器*/ { Hr[i]=Hd[i]*wn[i]; Hi[i]=0.0; }4.2仿真及分析為了觀察波形方便，我們在仿真過程中設(shè)定參數(shù)如下：采樣頻率fs=1000Hz三個單頻信號頻率：10Hz、200Hz、300Hz分別用具有代表性的矩形窗和布萊克曼窗設(shè)計的濾波器對輸入信號進(jìn)行濾波。程序中設(shè)定數(shù)字頻率為pi/4，當(dāng)我們設(shè)定采樣頻率為1000Hz時，其對應(yīng)的截止頻率為125Hz，當(dāng)我們用濾波器對設(shè)定的三個單頻信號疊加起來的信號進(jìn)行濾波時，10Hz信號會被留下，而200Hz和300Hz頻率分量會備衰減，我們得到信號的時域圖形理論上應(yīng)該是完美的10Hz正弦波。而在實際濾波過程中得到結(jié)果如以下圖：〔a〕矩形窗濾波結(jié)果〔b〕布萊克曼窗濾波結(jié)果圖4.2濾波后的時域信號波形從圖中可以看出，整體而言，我們完整得將10Hz的正弦波濾出來了，但是通過比擬我們發(fā)現(xiàn)，利用矩形窗濾波得到的波形邊緣有明顯的毛刺，而布萊克曼窗設(shè)計的濾波器得到的結(jié)果那么理想許多，通過分析我們知道，矩形窗在阻帶的衰減明顯不如布萊克曼窗，所以其濾波效果也是不太理想。這之間的差異我們可以在濾波后信號的頻譜圖中看出，如以下圖。〔a〕矩形窗濾波后的頻譜〔b〕布萊克曼窗濾波后的頻譜圖4.3濾波后的頻譜矩形窗設(shè)計的濾波器對我們設(shè)定信號進(jìn)行濾波后在原200Hz和300Hz的地方仍然存在我們可以看到的頻譜成分，但是布萊克曼窗設(shè)計的濾波器那么把他們幾乎完全抑制掉了。這也印證了我們選擇適宜的窗函數(shù)可以增加阻帶衰減特性的結(jié)論。雖然布萊克曼窗具有較大的阻帶衰減，但是我們是犧牲了過渡帶的寬度來換取衰減性能的，所以理論上它的過渡帶要比矩形窗設(shè)計的濾波器要長，為了模擬這個過程，我們修改了所輸入的單頻信號的頻率，他們分別為：10Hz、135Hz、300Hz。仿真的結(jié)果如下：〔a〕矩形窗濾波結(jié)果〔b〕布萊克曼窗濾波結(jié)果圖4.4驗證過渡帶的時域波形從圖中可以看到，這時的濾波效果明顯矩形窗優(yōu)于布萊克曼窗，因為我們選擇的第二個單頻信號的頻率為135Hz，它接近于截止頻率，由于布萊克曼窗設(shè)計的濾波器的過渡帶較寬，對此頻率的信號衰減度反而不如矩形窗，這時便產(chǎn)生了上圖中的結(jié)果。這個過程表現(xiàn)在頻域里就是在130Hz位置的頻譜成分幅值的大小，矩形窗對其頻譜的衰減程度要大于布萊克曼窗此時衰減，我們也作出了這兩個時域信號對應(yīng)的頻譜，便于我們觀察理解。見圖4.5。矩形窗濾波后的頻譜〔b〕布萊克曼窗濾波后的頻譜圖4.5驗證過渡帶頻譜圖我們的這次仿