2024年廣東省高中學業(yè)水平合格性考試數(shù)學模擬試卷三（答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年廣東省普通高中學業(yè)水平合格性考試數(shù)學模擬卷（三）學生版考試時間：120分鐘滿分：150分注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回一、單選題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件．下列各種情況是互斥事件的有（

）①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件為次品”；②A：“所取3件中有一件為次品”，B：“所取3件中有二件為次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件為次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④3．要得到函數(shù)y＝sin（2x+）的圖象，只需將函數(shù)y＝cos（2x﹣）的圖象上所有點（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度4．下列兩個變量之間的關系不是函數(shù)關系的是A．出租車車費與出租車行駛的里程B．商品房銷售總價與商品房建筑面積C．鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量D．人的身高與體重5．已知向量滿足，，則（）A． B．6 C． D．56．已知角的終邊經(jīng)過點，則A． B．C． D．7．若，則的最小值（）A．4 B．5 C．6 D．78．命題“，的否定是（

）A．， B．，C．， D．，9．復數(shù)所對應的點在第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四10．已知，則（

）A． B． C． D．11．在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分數(shù)如下：90，89，90，95，93，94，93，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.812．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列幾種說法正確的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1與DC成45°角 D．A1C1與B1C成60°角二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，.14．計算.15．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為米16．設P為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點，則①；②；③中成立的序號為．17．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：23，28，30，x，34，39，且其中位數(shù)是31，則數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是．18．設函數(shù)則．三、解答題：本大題共4個大題，第19－21題各10分，第22題12分，共42分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.19．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知的面積為．(1)求和的值；(2)求的值．20．某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過5噸時，每噸為元，當用水超過5噸時，超過部分每噸4元．某月甲、乙兩戶共交水費元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為噸．(1)求關于的函數(shù)．(2)若甲、乙兩戶該月共交水費元，分別求甲、乙兩戶該月的用水量和水費．21．設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為27,9,18,先采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員參加比賽.（I）求應從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數(shù)；（II）將抽取的6名運動員進行編號,編號分別為,從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽.（i）用所給編號列出所有可能的結(jié)果;（ii）設A為事件“編號為的兩名運動員至少有一人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率.22．如圖，四棱柱中，側(cè)面為矩形，平面，平面，E、F分別為、的中點，且，．(1)求證：∥平面；(2)求到平面的距離．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】對于，求出的解集，化為區(qū)間的形式，進而與進行比較，即可得答案．【詳解】對有，，對于，有，解可得，或；則；所以，，.故選：C．2．B【分析】根據(jù)互斥事件的定義即可得到結(jié)果.【詳解】在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件，∵所取3件中至多2件次品與所取3件中至少2件為次品，兩個事件中都包含2件次品，∴①中的兩個事件不是互斥事件．∵所取3件中有一件為次品與所取3件中有二件為次品是互斥事件，∴②中的兩個事件是互斥事件．∵所取3件中全是正品與所取3件中至少有一件為次品是不能同時發(fā)生的，∴③中的兩個事件是互斥事件，∵所取3件中至多有2件次品與所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品兩件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件，故選：B．3．D【分析】先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合兩函數(shù)解析式進行對比，得出結(jié)論．【詳解】函數(shù)要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點向右平移個單位長度，故選D．【點睛】本題考查函數(shù)的圖象變化規(guī)律，關鍵在于能利用誘導公式將異名函數(shù)化為同名函數(shù)，再根據(jù)左右平移規(guī)律得出結(jié)論．4．D【分析】根據(jù)函數(shù)的概念來進行判斷．【詳解】對于A選項，出租車車費實行分段收費，與出租車行駛里程成分段函數(shù)關系；對于B選項，商品房的銷售總價等于商品房單位面積售價乘以商品房建筑面積，商品房銷售總價與商品房建筑面積之間是一次函數(shù)關系；對于C選項，鐵塊的質(zhì)量等于鐵塊的密度乘以鐵塊的體積，鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量是一次函數(shù)關系；對于D選項，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高與體重之間沒有必然聯(lián)系，因人而異，D選項中兩個變量之間的關系不是函數(shù)關系．故選D．【點睛】本題考查函數(shù)概念的理解，充分理解兩個變量之間是“一對一”或“多對一”的形式，考查學生對這些概念的理解，屬于基礎題．5．C【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律計算即得.【詳解】向量滿足，，所以.故選：C6．A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.【詳解】角的終邊經(jīng)過點,所以到原點的距離為根據(jù)三角函數(shù)定義得到：，；故選A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義.7．C【分析】由基本不等式，當且僅當時等號成立【詳解】，當且僅當時取等號.故選：C8．D【解析】根據(jù)全稱命題的否定的為特稱命題，進行求解即可.【詳解】命題“，”為全稱命題.所以命題“，”的否定是：，故選：D9．D【分析】計算，得到復數(shù)對應的象限.【詳解】，所對應的點為，在第四象限.故選：D.10．C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及換底公式一一判斷即可；【詳解】解：因為，由于在定義域上為減函數(shù)，故，故A錯誤；由于在定義域上為增函數(shù)，故，故B錯誤；由于定義域上為減函數(shù)，故，故D錯誤；由于定義域上為增函數(shù)，故，所以，即，故C正確；故選：C.11．B【分析】由平均數(shù)與方差的計算公式，計算90，90，93，94，93五個數(shù)的平均數(shù)和方差即可.【詳解】90，89，90，95，93，94，93，去掉一個最高分和一個最低分后是90，90，93，94，93，所以其平均數(shù)為，因此方差為.故選B【點睛】本題主要考查平均數(shù)與方差的計算，熟記公式即可，屬于基礎題型.12．D【分析】由正方體的性質(zhì)及異面直線的概念依次驗證選項即可.【詳解】A項，如下圖在正方體中，，在等腰直角中，與成角，故A項錯誤；B項，，故B項錯誤；C項，因為，在中，為與CD所成的角，令正方體的棱長為1，則，，，即與CD所成的角不是，故C項錯誤；D項，如下圖，連接，則，為與所成的角，在中，，即為等邊三角形，所以，，即與成角，故D項正確.故選D.【點睛】本題主要考查正方體中各直線間的位置關系，屬于中檔題.13．【分析】根據(jù)奇函數(shù)滿足,結(jié)合所給時的解析式,即可求得時的解析式.【詳解】令則因為當時,所以因為奇函數(shù)滿足所以即故答案為:【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式,注意自變量的取值范圍,屬于基礎題.14．【分析】利用對數(shù)、指數(shù)的運算性質(zhì)計算即可得解.【詳解】原式.故答案為：.15．【分析】首先求得OD,OC的長度，然后利用余弦定理求解該扇形的半徑即可.【詳解】依題意得，連接，易知，因此由余弦定理有，即.即該扇形的半徑為.【點睛】本題主要考查余弦定理的應用，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16．②【分析】利用向量的三角形法則及其幾何意義求解.【詳解】如圖，因為四邊形為平行四邊形，所以連接對角線交于點，則為的中點，根據(jù)向量的加法運算法則可得，在中，,在中，,所以,故答案為:②.17．31【分析】利用中位數(shù)的性質(zhì)求x，再由百分位數(shù)的定義可知數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是數(shù)據(jù)第三位和第四位的平均數(shù)．【詳解】一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：23，28，30，x，34，39，且其中位數(shù)是31，故=31，解得．，數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是.故答案為：.18．【詳解】由題意可得，所以．點睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)的形式時，應從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍.19．（1），（2）【分析】（1）由面積公式可得結(jié)合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展開求值.【詳解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.（2）,【點睛】本題主要考查三角變換及正弦定理、余弦定理等基礎知識,考查基本運算求解能力.20．（1）（2）甲戶該月的用水量為噸、水費為元，乙戶該月的用水量為噸、水費為元【詳解】試題分析：（1）由題意知：x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x=，將x取值范圍分三段，求對應函數(shù)解析式可得答案．（2）在分段函數(shù)各定義域上根據(jù)單調(diào)性討論函數(shù)的值域，可以發(fā)現(xiàn)只有當時，令，解得，則甲、乙兩戶該月的用水量和水費即得解.試題解析：（1）當甲的用水量不超過噸時，即，時，乙的用水量也不超過噸，；當甲的用水量超過噸，乙的用水量不超過噸，即時，；當乙的用水量超過噸，即，時，.所以（2）由于在各段區(qū)間上均單調(diào)增，當時，；當時，；當時，令，解得.所以甲戶用水量為（噸），付費(元)；乙戶用水量為（噸），付費(元)．答：甲戶該月的用水量為噸、水費為元，乙戶該月的用水量為噸、水費為元點睛：本題是分段函數(shù)的簡單應用題，關鍵是審清題意，列出函數(shù)解析式，找對自變量的分段區(qū)間，第二問中主要涉及分段函數(shù)的值域問題，還是分段處理的原則.21．（Ⅰ）3,1,2;（Ⅱ）（?。┮娫囶}解析;（ⅱ）【詳解】試題分析：（I）由題意可得抽取比例，即可求出相應的人數(shù)；（II）（i）列舉可得從名運動員中隨機抽取名的所有結(jié)果，共種；（ii）事件所包含的上述基本事件的個數(shù)為個，由概率的公式即可求解概率．試題解析：（I）應從甲、乙、丙這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數(shù)分別為3,1,2;（II）（i）從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽,所有可能的結(jié)果為,,,,,,,,,,,,,,,共15種（ii）編號為的兩名運動員至少有一人被抽到的結(jié)果為,,,,,,,,,共9種,所以事件A發(fā)生的概率考點：古典概型及其概率的計