黑龍江省哈爾濱市第三中學2023-2024學年高二上學期期中考試數(shù)學

哈三中2023—2024學年上學期高二學年期中考試數(shù)學試卷考試說明：（1）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分．考試時間為120分鐘；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷試題答案均答在答題卡上，交卷時只交答題卡．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.2.雙曲線的焦點坐標為（）A. B.C D.3.若點到點的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程是（）A. B. C. D.4.若直線與直線平行，則的值為（）A.3 B. C.3或 D.25.如圖，一拋物線型拱橋的拱頂比水面高2米，水面寬度米．水面下降1米后水面寬（）米A. B. C. D.6.已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線兩個交點分別在雙曲線的兩支上，則的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.7.已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合．斜率為的直線經(jīng)過點，且與的交點為．若，則直線的斜率為（）A.1 B. C. D.8.已知圓，若曲線上存在四個點，過點作圓的兩條切線，為切點，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知圓，圓，則（）A.圓與圓內(nèi)切B.直線是兩圓一條公切線C.直線被圓截得的最短弦長為D.過點作圓的切線有兩條10.已知同時為橢圓與雙曲線左右焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若，則C.若，則 D.若則11.已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩個不同點，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值是6 B.若點，則的最小值是4C. D.若，則直線的斜率為12.已知為坐標原點，分別是雙曲線的左，右焦點，直線與雙曲線交于兩點，．為雙曲線上異于的點，且與坐標軸不垂直，過作平分線的垂線，垂足為，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的漸近線方程是C.直線與的斜率之積為4 D.若，則的面積為4第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡相應的位置上．13.設點為圓上一點，則點到直線距離的最小值為______．14.已知橢圓的離心率為，點為其長軸兩端點，點為橢圓上異于的一點，則直線和的斜率之積等于______．15.已知直線與橢圓相交于兩點，且線段的中點在直線上，則此橢圓的離心率為______．16.拋物線的焦點為，準線為，,是拋物線上的兩個動點，且滿足.設線段的中點在上的投影為，則的最大值是___________.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線．（1）若經(jīng)過兩點的直線與直線垂直，求此時直線的斜率；（2）時，若點關(guān)于直線的對稱點為點，求線段的長度．18.已知半徑為4的圓與雙曲線的漸近線相切，且圓心在軸正半軸上．（1）求圓的方程；（2）經(jīng)過點，且斜率為的直線交圓于兩點，若，求直線的方程．19.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且的面積為（為坐標原點）．（1）求拋物線的標準方程；（2）拋物線的準線與軸交于點，過點的直線交拋物線于兩點，若以為直徑的圓過點，求直線的方程．20.已知橢圓的中心在坐標原點，兩焦點在軸上，離心率為，點在上，且的周長為6．（1）求橢圓標準方程；（2）過點的直線交橢圓于兩點，求面積的取值范圍．21.已知雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，且雙曲線經(jīng)過點．（1）求雙曲線的標準方程；（2）設為雙曲線上異于點的兩點，記直線的斜率為，若．求直線恒過的定點．22.有一個半徑為的圓形紙片，設紙片上一定點到紙片圓心的距離為，將紙片折疊，使圓周上一點與點重合，以點所在的直線為軸，線段的中點為原點建立平面直角坐標系．記折痕與的交點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）為曲線上第一象限內(nèi)的一點，過點作圓的兩條切線，分別交軸于兩點，且，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，直線與曲線交于兩點，且直線的傾斜角互補，判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

哈三中2023—2024學年上學期高二學年期中考試數(shù)學試卷考試說明：（1）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分．考試時間為120分鐘；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷試題答案均答在答題卡上，交卷時只交答題卡．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的準線方程即可求解.【詳解】拋物線中，，所以，故拋物線的準線方程為，即，故選：C2.雙曲線的焦點坐標為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將雙曲線的方程化為標準方程判斷焦點位置，寫出焦點坐標即可.【詳解】因為雙曲線方程為，化為標準方程為：，所以，由于焦點在軸上，所以焦點坐標為：.故選：C.3.若點到點的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義即可求解.【詳解】由于點到點的距離比它到直線的距離小1，故點到點的距離比它到直線的距離相等，故點是在以為焦點，以為準線的拋物線上，故軌跡為，故選：A4.若直線與直線平行，則的值為（）A.3 B. C.3或 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩條直線平行的充要條件，列出方程組，解出即可.【詳解】因為兩條直線平行，所以，解得，故選：5.如圖，一拋物線型拱橋的拱頂比水面高2米，水面寬度米．水面下降1米后水面寬（）米A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件求出拋物線方程即可.【詳解】如圖建系，設拋物線方程為由可得所以拋物線方程為，和相交于故水面寬米故選：C.6.已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的兩個交點分別在雙曲線的兩支上，則的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，再結(jié)合一元二次方程判別式及韋達定理列式求解即得.【詳解】由消去y并整理得：，由直線與雙曲線的兩個交點分別在雙曲線的兩支上，得，解得，所以的取值范圍是.故選：B7.已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合．斜率為的直線經(jīng)過點，且與的交點為．若，則直線的斜率為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由橢圓與拋物線的定義與性質(zhì)計算即可.【詳解】由橢圓方程可知，則，由題意可設直線的方程為：，，與拋物線方程聯(lián)立可知，即，又，所以.故選：D8.已知圓，若曲線上存在四個點，過點作圓的兩條切線，為切點，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，根據(jù)題意利用推出，確定在圓上，繼而將問題轉(zhuǎn)化為和有兩個交點的問題，利用圓心到直線的距離小于半徑，即可求得答案.【詳解】設，由題意知，則，則，即，整理得，解得或，由于在圓外，故，則，即的軌跡方程為圓，曲線過定點，由射線和射線組成，且和關(guān)于直線對稱，結(jié)合圖象可知要使曲線上存在四個點滿足題意，需使得和有兩個交點，故需有且，解得，即，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于要滿足曲線上存在四個點，使得，因而要由此推出的軌跡方程，進而將問題轉(zhuǎn)化為和有兩個交點的問題，即可求解.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知圓，圓，則（）A.圓與圓內(nèi)切B.直線是兩圓的一條公切線C.直線被圓截得的最短弦長為D.過點作圓的切線有兩條【答案】BCD【解析】【分析】由兩圓的標準方程得出圓心和半徑，利用圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系和點與圓的位置關(guān)系分別判斷即可．【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑；對于A，，，即，兩圓外切，故A錯誤；對于B，圓心到直線的距離，則與圓相切，圓心到直線的距離，則與圓相切，所以是兩圓的一條公切線，故B正確；對于C，直線恒過點，連接，過作，交于圓于點，如圖所示，則即為直線被圓截得的最短弦，則，由勾股定理得，，則，所以直線被圓截得最短弦長為，故C正確；對于D，因為，所以在圓外部，所以過點作圓的切線有兩條，故D正確；故選：BCD．10.已知同時為橢圓與雙曲線的左右焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若，則C.若，則 D.若則【答案】AB【解析】【分析】利用橢圓與雙曲線的定義及性質(zhì)，結(jié)合余弦定理，三角形三邊關(guān)系計算即可.【詳解】對于A項，由題意可設，則，故A正確；對于B項，在中，設，則有，由余弦定理可知，顯然，故B正確；對于C項，若，結(jié)合B項及勾股定理可知，，故C錯誤；對于D項，若，則，故D錯誤.故選：AB11.已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩個不同點，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值是6 B.若點，則的最小值是4C. D.若，則直線的斜率為【答案】ABD【解析】【分析】A，根據(jù)結(jié)合基本不等式即可判斷；B，由拋物線定義知當三點共線時；C，D，設直線方程，聯(lián)立拋物線，應用韋達定理即可求解.【詳解】對A，設，因為這些傾斜角不為0，則設直線的方程為，聯(lián)立拋物線得，則，所以，則（當且僅當時等號成立），A正確；對B，如圖拋物線準線，要使其最小，即三點共線時取得最小值，即，B正確；對C，由，C錯誤；對D，，解得,D正確故選：ABD.12.已知為坐標原點，分別是雙曲線的左，右焦點，直線與雙曲線交于兩點，．為雙曲線上異于的點，且與坐標軸不垂直，過作平分線的垂線，垂足為，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的漸近線方程是C.直線與的斜率之積為4 D.若，則的面積為4【答案】BCD【解析】【分析】由直線斜率為可知，不妨設在第一象限，即可得到，代入雙曲線方程，即可得到關(guān)于的方程，從而求出離心率，則漸近線方程可求，即可判斷A、B，則雙曲線方程可化為，設，根據(jù)對稱性得，利用點差法判斷C，求出動點的軌跡方程，即可得到，從而求出的面積，即可判斷D.【詳解】依題意得直線與雙曲線兩交點關(guān)于原點對稱，不妨設在第一象限，由，所以，設，由直線斜率為可知，則，，則，代入雙曲線方程有，即，化簡得，化簡得，，解得，則，故A錯誤；由，所以，所以雙曲線的漸近線方程是，故B正確；由，則雙曲線方程可化為，設，根據(jù)對稱性得，根據(jù)點在雙曲線上則有，①②得，即，，故C正確；點關(guān)于的角平分線的對稱點在直線的延長線上，故，又是中位線，故，點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，則點的軌跡方程為，因為，所以，所以雙曲線方程為，所以，則，又，所以，故D正確；故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：由直線的斜率表示出點坐標，從而求出離心率是解決ABC的關(guān)鍵，D選項的關(guān)鍵是求出動點的軌跡方程.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡相應的位置上．13.設點為圓上一點，則點到直線距離的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】先判斷圓與直線相離，故而圓上的點到直線的距離的最小值等于圓心到直線距離.【詳解】由圓的圓心為，半徑為所以圓心到直線的距離為：，所以圓與直線相離，所以圓上的點到直線的距離的最小值為：，故答案為：.14.已知橢圓離心率為，點為其長軸兩端點，點為橢圓上異于的一點，則直線和的斜率之積等于______．【答案】或【解析】【分析】討論若的大小，若，設，根據(jù)點在橢圓上可得，結(jié)合化簡可得，再根據(jù)橢圓離心率求出，同理可求時情況，即可得答案.【詳解】由題意知若，則不妨取，設，則，則，則，由于橢圓的離心率為，即，即，故；若，則不妨取，設，則，則，則，由于橢圓離心率為，即，即，故，故答案為：或15.已知直線與橢圓相交于兩點，且線段的中點在直線上，則此橢圓的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】聯(lián)立，得到線段的中點為，設與的交點分別為，，利用點差法能求出橢圓的離心率.【詳解】聯(lián)立得：，所以直線與直線的交點坐標為，所以線段的中點為，設與的交點分別為，，所以，，則，，分別把，代入到橢圓得：，兩式相減得：，因為直線為：，所以，且，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以.故答案為：16.拋物線的焦點為，準線為，,是拋物線上的兩個動點，且滿足.設線段的中點在上的投影為，則的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義和幾何性質(zhì)，可得，，可得，進而可得的最大值為.【詳解】如圖，過點作，過作，設，，則由拋物線的定義知，，由題意知，因得，，因，當且僅當，即時等號成立，所以，，所以，故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線．（1）若經(jīng)過兩點的直線與直線垂直，求此時直線的斜率；（2）時，若點關(guān)于直線的對稱點為點，求線段的長度．【答案】（1）（2）5【解析】分析】（1）根據(jù)兩點坐標求解斜率，即可根據(jù)垂直關(guān)系求解，（2）根據(jù)點關(guān)于直線對稱，求解，即可由兩點間距離公式求解.【小問1詳解】由得，由于，所以，【小問2詳解】當時，設點關(guān)于直線的對稱點為點，則，解得,故，所以18.已知半徑為4的圓與雙曲線的漸近線相切，且圓心在軸正半軸上．（1）求圓的方程；（2）經(jīng)過點，且斜率為的直線交圓于兩點，若，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）相切轉(zhuǎn)化為距離關(guān)系即可.（2）弦長轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離即可.【詳解】（1）因為圓心點在軸正半軸上，設圓心．圓的標準方程為：．雙曲線的漸近線方程為：．因為雙曲線的漸近線與圓相切，所以圓心到雙曲線一條漸近線的距離與圓的半徑相等．，解得，所以圓心坐標為，圓的標準方程為（2）如圖，設直線的斜率為，則直線的方程為：，即．因為直線截圓所得線段長度，設圓心到直線的距離為，則，解得．由解得或．故直線的方程為：或19.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且的面積為（為坐標原點）．（1）求拋物線的標準方程；（2）拋物線的準線與軸交于點，過點的直線交拋物線于兩點，若以為直徑的圓過點，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用三角形面積公式及點在拋物線上可列方程組，解得，確定拋物線方程；（2）設直線方程，直曲聯(lián)立，結(jié)合可求出直線方程.【小問1詳解】由已知可知，所以，所以．又點在拋物線上，所以，又，所以，所以拋物線的標準方程為．【小問2詳解】由題意，，當直線斜率為0時，顯然不成立，所以直線斜率不為0，設直線方程為，設由消元得，所以，，因直線交拋物線于兩點，所以，解得，即或,因為以為直徑的圓過點,所以又所以所以，所以符合題意，所以直線的方程為，即或.20.已知橢圓的中心在坐標原點，兩焦點在軸上，離心率為，點在上，且的周長為6．（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的直線交橢圓于兩點，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率為，的周長為6求出可得答案；（2）當?shù)男甭什淮嬖跁r，令求出可得的面積；當?shù)男甭蚀嬖跁r，設與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求出、點到直線的距離公式求出點到直線的距離，可得的面積為，令得，再由的范圍可得答案．【小問1詳解】設橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為，因為，則，因為，則，即，于是，解得，從而，因為橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的標準方程是；【小問2詳解】由（1）知，，故，當?shù)男甭什淮嬖跁r，令得，，故，故，故的面積為，當?shù)男甭蚀嬖跁r，設，聯(lián)立得，因為直線過橢圓內(nèi)的點，所以，設，則，則，設點到直線的距離為，則，故的面積為，令，則，則，因為，所以，故，，故，綜上：面積的取值范圍是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問的關(guān)鍵點是利用弦長公式求出、點到直線的距離公式求出點到直線的距離，可得的面積．21.已知雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，且雙曲線經(jīng)過點．（1）求雙曲線的標準方程；（2）設為雙曲線上異于點的兩點，記直線的斜率為，若．求直線恒過的定點．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點坐標以及經(jīng)過的點，代入即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達定理，根據(jù)兩點斜率公式求解兩直線的斜率，代入韋達定理化簡即可求解.【小問1詳解】橢圓的焦點坐標為故為雙曲線的焦點，故雙曲線，設雙曲線的方程為：，代入點，，可得或，又因為雙曲線中，故，雙曲線方程為．【小問2詳解】當直線斜率為0時，易得直線方程為：，此時，符合，此時直線經(jīng)過，直線斜率不為0時，設直線，聯(lián)立直線與雙曲線方程可得：．設，則直線斜率，直線斜率．由易知：．代入可得：．又因為．原式可轉(zhuǎn)化為，由韋達定理可得：，代入式子中化