高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修二）：綜合測試卷：必修二全冊（基礎(chǔ)篇）（教師版）

必修二全冊綜合測試卷（基礎(chǔ)篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z=3?2i，則z2?2zA．5 B．5i C．?8 【解題思路】先根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求得z2【解答過程】由題意，可得z2故z2?2z的虛部為故選：C.2．（5分）（2022秋·上海寶山·高二開學(xué)考試）關(guān)于直線l、m及平面α、β，下列命題正確的是（

）A．若l//α，α∩β=mB．若l⊥α，l//βC．若l//m，m?αD．若l//α，m⊥l【解題思路】根據(jù)條件判斷各選項即可.【解答過程】對于A，若l//α，α∩β=m，則l//對于B，若l⊥α，l//β，則存在直線b，使得b?β，且b∥l，則故α⊥β，故B正確；對于C，若l//m，m?α，則l∥α，或?qū)τ贒，若l∥α,m⊥l，則不一定得到m⊥α，故D錯誤.故選：B.3．（5分）（2023·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=a，AD=b，若AE=A．13a?23b B．2【解題思路】根據(jù)向量的運算法則計算得到答案.【解答過程】DE=故選：B.4．（5分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）一個射手進行射擊，記事件A1=“脫靶”，A2=“中靶”，A．A1與A2 B．A1與A3 C．A【解題思路】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對立事件的意義逐項分析判斷作答.【解答過程】射手進行射擊時，事件A1=“脫靶”，A2=“中靶”，事件A1與A2不可能同時發(fā)生，并且必有一個發(fā)生，即事件A1事件A1與A3不可能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，即事件A1事件A2與A3可以同時發(fā)生，即事件A2故選：B.5．（5分）（2023春·安徽·高一開學(xué)考試）已知甲，乙兩名運動員進行射擊比賽，每名運動員射擊10次，得分情況如下圖所示．則根據(jù)本次比賽結(jié)果，以下說法正確的是（

）乙射擊環(huán)數(shù)678910頻數(shù)12223A．甲比乙的射擊水平更高B．甲的射擊水平更穩(wěn)定C．甲射擊成績的中位數(shù)大于乙射擊成績的中位數(shù)D．甲射擊成績的眾數(shù)大于乙射擊成績的眾數(shù)【解題思路】計算甲，乙的平均數(shù)并比較即可判斷A；計算甲，乙的方差并比較即可判斷B；求出甲，乙的中位數(shù)即可判斷C；求出甲，乙的眾數(shù)即可判斷D．【解答過程】甲的平均數(shù)x乙的平均數(shù)x∵x1<x甲的方差S乙的方差S∵S12<甲的射擊成績由小到大排列為：5,7,8,8,8,9,9,9,9,10，位于第5、第6位的數(shù)分別是8,9，所以甲的中位數(shù)是8+92乙的射擊成績由小到大排列為：6,7,7,8,8,9,9,10,10,10，位于第5、第6位的數(shù)分別是8,9，所以乙的中位數(shù)是8+92故甲射擊成績的中位數(shù)與乙射擊成績的中位數(shù)相等，故C錯誤；甲的眾數(shù)為9，乙的眾數(shù)為10，故D錯誤.故選：B.6．（5分）（2023·福建廈門·統(tǒng)考二模）廈門山海健康步道云海線全長約23公里，起于東渡郵輪廣場，終于觀音山沙灘，沿線申聯(lián)貿(mào)鳥湖、狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山、湖邊水庫、五緣灣、虎仔山、觀音山等“八山三水”．市民甲計劃從“八山三水”這11個景點中隨機選取相鄰的3個游覽，則選取的景點中有“水”的概率為（

）A．13 B．49 C．59【解題思路】利用對立事件，結(jié)合古典概型公式，即可求解.【解答過程】11個景點隨機選取相鄰的3個游覽，共有9種情況，選取景點中有“水”的對立事件是在狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山中選取3個相鄰的，共有4種情況，則其概率P=49，則11個景點中隨機選取相鄰的3個游覽，則選取的景點中有“水”的概率故選：C.7．（5分）（2023春·河南安陽·高三階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且asinA?csinC=(b?3c)sinB．若D是A．16 B．32?16C．643 D．【解題思路】首先根據(jù)題意利用余弦定理得到A=π6，根據(jù)D是邊BC的中點得到AD=【解答過程】因為asinA?csin所以b2+c因為0<A<π，所以A=因為D是邊BC的中點，所以AD=12因為AD=4,∠A=π6，所以所以bc≤64(2?3)，當且僅當所以S△ABC=1故選：B.8．（5分）（2023春·江西吉安·高三階段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，A．直線AC與直線C1E是異面直線 B．AC．三棱錐E?AA1O的體積為定值 D．【解題思路】根據(jù)異面直線的判定判斷A；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷B；確定外接球球心位置，利用三棱錐的體積公式可判斷C；將矩形AA1B1B和矩形B【解答過程】對于A，因為點A?平面BB1C1C，C∈C1E?平面BB1C對于B，因為側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BC1B1?底面ABC，故BB即C1B1⊥A故C1B1⊥平面ABB1A1,故當A1E⊥AB1時，則直線A1E⊥平面AB1C1，對于C，由題意結(jié)合以上分析可將三棱柱ABC?A則面AA三棱錐E?AA1O的外接球球心O是直線AC1BB1∥AA1,A故直線BB1∥平面AA1則三棱錐E?AA對于D，將矩形AA1B當點E為AC1與BB1的交點時，故選：B．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023春·河北邢臺·高三階段練習(xí)）微信運動是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號．用戶可以通過關(guān)注微信運動公眾號查看自己每天行走的步數(shù)，同時也可以和其他用戶進行運動量的PK或點贊，某學(xué)校為了解學(xué)生每周行走的步數(shù)，從高一、高二兩個年級分別隨機調(diào)查了200名學(xué)生，得到高一和高二學(xué)生每周行走步數(shù)的頻率分布直方圖，如圖所示．若高一和高二學(xué)生每周行走步數(shù)的中位數(shù)分別為x1，x2，平均數(shù)分別為y1，yA．x1>xC．y1>y【解題思路】分別求出滿意度評分中位數(shù)分別為x1,x【解答過程】由頻率分布直方圖，∵0.015+0.02×10=0.35，0.005+0.02×10=0.25，則x1∈60,70，xx1?60×0.025+0.15+0.2=0.5x2?70所以滿意度評分中位數(shù)x1y1y2所以滿意度評分平均數(shù)y1故選：BD.10．（5分）（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)向量a=3,?1，bA．a(chǎn)=b B．a(chǎn)與b的夾角為5π6 C．【解題思路】利用向量的坐標即可計算向量的模長，向量夾角，利用向量坐標與空間位置的關(guān)系即可判斷出兩向量位置關(guān)系.【解答過程】a=3+1=2，bcosa,b=a?ba?2a+b=22a故選：AD.11．（5分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．PA=1C．事件A與B互斥 D．事件A與B相互獨立【解題思路】采用列舉法，結(jié)合古典概型概率公式可知AB正確；根據(jù)互斥事件和獨立事件的定義可知CD正誤.【解答過程】對于AB，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，其中滿足事件A的有{正，正}，{正，反}兩種情況，事件A和事件B同時發(fā)生的情況有且僅有{正，正}一種情況，∴PA=2∵事件A與事件B可以同時發(fā)生，∴事件A與事件B不互斥，C錯誤；∵事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生，∴事件A與事件B相互獨立，D正確.故選：AD.12．（5分）（2023·高一單元測試）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，四邊形AA1B1B是矩形，CB=1，CA．BB1⊥平面AC．三棱錐C?AB1B的外接球的體積為3π2【解題思路】根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可得C1B1⊥A1B1，C1【解答過程】根據(jù)題意，因為C1B1⊥平面AA1B1B，A又四邊形AA1BC1B1?平面A1B1C1，A即A正確；可得平面AB1B，CB1B，又B1C1∥BC，所以直線A1C與所以BCA1C=3設(shè)三棱錐C?AB1B的外接球的半徑為R所以R=3所以三棱錐C?AB1B的外接球的體積為4所以C正確，D錯誤.故選：AC.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023春·天津南開·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=1+3i1?i【解題思路】利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)z，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得z的值.【解答過程】因為z=1+3i1?故答案為：2.14．（5分）（2022秋·廣東佛山·高二階段練習(xí)）某校進行定點投籃訓(xùn)練，甲、乙、丙三個同學(xué)在固定的位置投籃，投中的概率分別12，23，p，已知每個人投籃互不影響，若這三個同學(xué)各投籃一次，至少有一人投中的概率為78，則p＝【解題思路】由已知結(jié)合對立事件的概率關(guān)系及相互獨立事件的概率公式即可求解.【解答過程】由題意可知1?1?12故答案為：1415．（5分）（2022春·四川成都·高一期中）如圖，小李開車在一條水平的公路上向正西方向前進，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛1200m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為45°，則此山的高度為6002【解題思路】利用正弦定理即可求解.【解答過程】由題，作出空間圖形如下，則有AB=1200m,因為到達B處仰角為45°，所以CB=CD，在△ABC中，∠ACB=180由正弦定理可得CBsin∠CAB=所以CB=CD=6002故答案為:600216．（5分）（2023·高一課時練習(xí)）下面四個正方體中，點A、B為正方體的兩個頂點，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB//平面MNP的圖形序號是①②．（寫出所有符合條件的序號）【解題思路】根據(jù)線面平行的判定定理以及面面平行的性質(zhì)定理即可得到答案.【解答過程】對于①，如圖1.因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以MN//AC，NP//AD.又BC//AD，所以NP//BC.因為MN?平面MNP，AC?平面MNP，所以AC//平面MNP.同理可得BC//平面MNP.因為AC?平面ABC，BC?平面ABC，AC∩BC=C，所以平面ABC//平面MNP.又AB?平面ABC，所以AB//平面MNP，故①正確；對于②，如圖2，連結(jié)CD.因為點M、P分別為其所在棱的中點，所以MP//CD.又AC//BD，且AC=BD，所以，四邊形ABDC是平行四邊形，所以AB//CD，所以AB//MP.因為MP?平面MNP，AB?平面MNP，所以AB//平面MNP，故②正確；對于③，如圖3，連結(jié)AC、AD、CD.因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以MP//AC，MN//CD.因為AC?平面MNP，MP?平面MNP，所以AC//平面MNP.同理可得CD//平面MNP.因為AC?平面ACD，CD?平面ACD，AC∩CD=C，所以平面ACD//平面MNP.顯然A∈平面ACD，B?平面ACD，所以AB?平面ACD，且AB與平面ACD不平行，所以AB與平面MNP不平行，故③錯誤；對于④：如圖4，連接GE,EN，因為M,N為所在棱的中點，則MN//故平面MNP即為平面MNEF，由正方體可得AB//而平面ABGE∩平面MNEF=EM，若AB//平面MNP由AB?平面ABGE可得AB//故EG//EM，顯然不正確，故故答案為：①②.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z=m2?2m?8+m【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義與性質(zhì)根據(jù)已知列式得出答案；（1）當復(fù)數(shù)在虛軸上時，其實部為0，列式即可解出答案；（2）當復(fù)數(shù)在第二象限時，其實部小于0，虛部大于0，列式即可解出答案；（3）當復(fù)數(shù)在y=x的圖象上時，其實部等于虛部，列式即可解出答案.【解答過程】復(fù)數(shù)z=m2?2m?8+m（1）由題意得m2?2m?8=0，解得m=?2或（2）由題意，得m2?2m?8<0m（3）由已知得m2?2m?8=m18．（12分）（2023秋·遼寧沈陽·高一期末）已知向量a=3,2，b=(1)求a+2(2)若a+kc//【解題思路】（1）利用平面向量的坐標運算可求得a+2（2）求出向量a+kc、2b【解答過程】（1）解：因為a=3,2，b=所以，a+2（2）解：由已知可得a+k2b因為a+kc//2b19．（12分）（2023·全國·高二專題練習(xí)）在某校2022年春季的高一學(xué)生期末體育成績中隨機抽取50個，并將這些成績共分成五組：50,60,60,70,70,80,(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖求a的值，并估計樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到個位）；(2)已知50名學(xué)生中有22名女生，其中女生體育測試成績不達標的有8人，那么男生體育測試成績達標的有多少人？男生體育測試成績不達標的有多少人？【解題思路】（1）根據(jù)各組頻率和為1可求出a的值，然后根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可；（2）先根據(jù)頻率分布直方圖求出體育測試成績不達標和達標的人數(shù)，再由50名學(xué)生中有22名女生，其中女生體育測試成績不達標的有8人，可求得結(jié)果.【解答過程】（1）由頻率分布直方圖可得10×(0.004+0.036+0.032+a+0.008)=1，解得a=0.020，由頻率分布直方圖可知成績在[60,70)的最多，所以眾數(shù)為65，因為前兩組的頻率和為10×(0.004+0.036)=0.4<0.5，前三組的頻率和為10×(0.004+0.036+0.032)=0.72>0.5，所以中位數(shù)在第三組，設(shè)中位數(shù)為x，則10×(0.004+0.036)+0.032(x?70)=0.5，解得x=73.125≈73，所以中位數(shù)約為73；（2）由頻率分布直方圖可知體育測試成績不達標的人數(shù)為10×(0.004+0.036)×50=20，則體育測試成績達標的人數(shù)為30人，因為50名學(xué)生中有22名女生，其中女生體育測試成績不達標的有8人，所以男生體育測試成績不達標的有12人，男生體育測試成績達標的有16人.20．（12分）（2023秋·山東濟寧·高二期末）某班級從3名男生和2名女生中隨機抽取2名同學(xué)參加學(xué)校組織的校史知識競賽.(1)求恰好抽到1名男生和1名女生的概率；(2)若抽到的2名同學(xué)恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答對每道題的概率均為12，女生乙答對每道題的概率均為23，甲和乙各自回答兩道題，且甲?【解題思路】（1）列舉法求出古典概率；（2）分別求出甲答對2道題，乙只答對1道題的概率，再根據(jù)獨立事件概率乘法公式求出答案.【解答過程】（1）記3名男生分別為A1,A則隨機抽取2名同學(xué)的樣本空間為Ω=記事件A=“則事件A=∴PA（2）設(shè)事件C1=“甲答對2道題”，事件PC1=∴PC所以甲答對2道且乙只答對1道題的概率是1921．（12分）（2023·湖南·模擬預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bsin(1)求角B的大?。?2)若b=13．且a+c=5，求△ABC【解題思路】（1）由正弦定理和兩角差的余弦公式，化簡已知等式，求得tanB，可求角B（2）由已知條件利用余弦定理求得ac，根據(jù)三角形面積公式求△ABC的面積.【解答過程】（1）在△ABC中，由正弦定理asinA=又由bsinA=acosB?π由sinB=cos可得tanB=3,又因為B∈(0,（2）b=13．且a+c=5