2022年高考數(shù)學(xué)（理）復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫52 坐標(biāo)系與參數(shù)方程

考點(diǎn)52坐標(biāo)系與參數(shù)方程

【命題趨勢(shì)】

此部分知識(shí)屬于選考內(nèi)容，放在最后一題的位置，10分，只要熟練掌握幾種方程的轉(zhuǎn)化方法及其方程代表

的幾何意義，拿滿分比較容易.

1.坐標(biāo)系

（1）理解坐標(biāo)系的作用.

（2）了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.

（3）能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，

能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.

（4）能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解

用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.

（5）了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的方法

相比較，了解它們的區(qū)別.

2.參數(shù)方程

（1）了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.

（2）能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.

（3）了解平擺線、漸開線的生成過程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程.

（4）了解其他擺線的生成過程，了解擺線在實(shí)際中的應(yīng)用，了解擺線在表示行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用.

【重要考向】

考向一極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

考向二極坐標(biāo)方程

考向三參數(shù)方程

考向四極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用

點(diǎn)考向:

考向一極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

1.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式:x=pcosay=psin仇p2=N+y2,tan0=；（/0）.

2.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)，要注意p,0的取值范圍及其影響；要善于對(duì)方程進(jìn)行合理變

形，并重視公式的逆向與變形使用：要靈活運(yùn)用代入法和平方法等技巧.

知識(shí)點(diǎn)1.極坐標(biāo)系的概念

在平面上取一個(gè)定點(diǎn)0叫做極點(diǎn)；自點(diǎn)0引一條射線。x叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、角度單位（通常

取弧度）及其正方向（通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎较颍@樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系（如圖）.設(shè)M是平面上的任

一點(diǎn)，極點(diǎn)。與點(diǎn)M的距離|0M叫做點(diǎn)M的極徑，記為p；以極軸Ox為始邊，射線0M為終邊的/xOM

叫做點(diǎn)M的極角，記為“有序數(shù)對(duì)S，稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作用S，

知識(shí)點(diǎn)2.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化

把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸,且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.如圖，設(shè)M是

，2=N+y,

[x=pcos6,

平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為（x,y）和S，。），貝I或＜V

[y=psin0tan。=上(/0).

x

典例引領(lǐng)

【典例】

x=2+y/Scosa

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為｛y=bsina（?為參數(shù)），直線I的方程為y=kx,

以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）曲線C與直線，交于A,B兩點(diǎn)，若\0A\+|。8|=3,求k的值.

x=2+v3cosa

【答案】（I）由｛y=^sina（戊為參數(shù)），得（x-2）2+y2=3,

*/x=pcos6,y=psin。，，曲線C的極坐標(biāo)方程為F—4pcos0+1=0；

（2）設(shè)直線1的極坐標(biāo)方程為8=a,（peR,ae[0,7r））,其中a為直線1的傾斜角,

2

代入曲線C得p-4pcosa+1=0,設(shè)A,B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為P1,p2.

A=16cos2a-4>0,cos2a>i,Pi+p?=4cosa,prp2=1>0,

\0A\+\0B\=Ip/+\p2\=3,cosa=,滿足A>0,；.sina=?

則k=tana—+y

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，參數(shù)方程化成普通方程

【解析】（1）先將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式將曲線C的直角

坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程即可；

（2）根據(jù)極坐標(biāo)的幾何意義，聯(lián)立直線I與曲線C的極坐標(biāo)方程組求解即可.

【典例】

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為

（8,0）,動(dòng)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（p,0）.

（1）若p=2,0=T,求點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及△OPQ的面積；

（2）在ACIPQ中，若Z0PQ=|ZP0Q,求頂點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程.

【答案】（1）解：當(dāng)p=2,時(shí)，x-pcosd=2x；=l,y=psin。=2x—=V3>

322

所以，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1,6）,SAOPQ=I|0<2||yP|=Ix8xV3=4V3.

（2）解：設(shè)頂點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（p,0）,

由題意，^OPQ=^POQ=1\9\,Z0QP=n-\\B\,

8p

在△OPQ中，由正弦定理得碰I=麗二河，

即psin4=8sin（|0|+y）,化簡(jiǎn)得p=8+16cos8,

由三角形的內(nèi)角的性質(zhì)得|0|e（0,y）,即:0e（-y,o）u（o,y）,

故頂點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為P=8+16COS0,0e（-y,0）U（0,y）.

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

【解析】（1）利用已知條件結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，從而求出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)，再利用三角形

面積公式，從而求出三角形aOPQ的面積。

(2)設(shè)頂點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(p,9)，由題意，ZOPQ=\ZPOQ=\\e\,/DQP=7r-||0|,在△OPQ

中，由正弦定理，化簡(jiǎn)得p=8+16cos。，由三角形的內(nèi)角的性質(zhì)得網(wǎng)6(0號(hào))，即：06(-y.O)U

(O,y),從而求出頂點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程。

考向二極坐標(biāo)方程

知識(shí)點(diǎn)1.圓的極坐標(biāo)方程

若圓心為M(po，仇)，半徑為〃的圓方程為p2—2/Q/9COS(。一6())+p8—3=0.

幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程

(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：p=r；

(2)當(dāng)圓心位于欣〃,0),半徑為〃：p=2〃cos。；

7T

(3)當(dāng)圓心位于Mm,,),半徑為〃：p=2〃sin。.

知識(shí)點(diǎn)2.直線的極坐標(biāo)方程

若直線過點(diǎn)M("o，&))，且極軸到此直線的角為a,則它的方程為：psin(3—a)=posin(<9()—?).

幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程

(1)直線過極點(diǎn)：。=。0和。=兀一%;

(2)直線過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸：pcosf)=a；

(3)直線過M(b,5)且平行于極軸：psin0=b.

典例引領(lǐng)

【典例】

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I.的參數(shù)方程為，(t為參數(shù))，直線1的參數(shù)方程為

V—Lolllu/2

x=tcosf---(p)

{I(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，%軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐

y=tsin(|-<p)

標(biāo)方程為psin20=cos。.

(1)求/］，12的極坐標(biāo)方程和C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)人，12分別交C于A,B兩點(diǎn)(與原點(diǎn)0不重合)，求\0A\■\0B\的最小值.

【答案】(1)直線k的極坐標(biāo)方程為0=<p(pG/?).

直線12的極坐標(biāo)方程為。；一<p(peR).

由曲線C的極坐標(biāo)方程得p2sin2。=pcos。，所以C的直角坐標(biāo)方程為y2=x.

（2）匕與C的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得｛.所以PA=器.

1'psine=cos。，sm*

0—巴一

%與C的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得｛：?一"'所以為=照.

psin20=cos。，cosv

所以|。川.|OB|=|p4P8|=鼎.鬻=面餐=品

所以當(dāng)?=?+M（kez）時(shí)，|0川?|。8|取最小值2.

【考點(diǎn)】極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，參數(shù)方程化成普通方程，直線的參數(shù)方程，正弦函數(shù)

的零點(diǎn)與最值

【解析】（1）根據(jù)參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化求解即可；

（2）利用極徑的幾何意義，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【典例】

X=+1

己知曲線C的極坐標(biāo)方程是域2=l+siM0,直線I的參數(shù)方程是｛2（t為參數(shù)）

7V=-2t

（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線I與x軸的交點(diǎn)是P,直線1與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，求冊(cè)+高的值.

【答案】⑴曲線C的極坐標(biāo)方程是域=l+siM。，

即為p2+p2sin20=2,

由x=pcosd,y=psinO，%2-Fy2=p2,

可得/+y2+y2=2,

即日+*=1；

2J

x=——t4-1

(2)直線l的參數(shù)方程是｛2立(t為參數(shù))

y=Tt

令y=0,可得t=0,x=1,BPP(l,0),

將直線l的參數(shù)方程代入曲線C:/+2y2=2,可得：

l-V2t+-t2+2--t2=2,

22

即為3t2-2V2t-2=0,

解得tj=V2,t2=->

由參數(shù)t的幾何意義可得,

-!-+-L=-!-+-!-=±+4=2V2

\PM\|PN|mi|t2|V2V2?

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，參數(shù)的意義，參數(shù)方程化成普通方程

【解析】⑴將曲線C變形為p2+p2sin20=2,由x=pcosd,y=psin?,x2+y2=p2,

代入即可得到所求曲線C的直角坐標(biāo)方程：

(2)令y=0,可得P(1,O)，將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，求得t的兩解，由參數(shù)的幾何意義，

計(jì)算即可得到所求和.

考向三參數(shù)方程

知識(shí)點(diǎn)1.直線的參數(shù)方程

若直線過(xo,yo),a為直線的傾斜角，則直線的參數(shù)方程為匕二：::竄'。為參數(shù)).這是直線的參數(shù)方程，其中

參數(shù)，有明顯的幾何意義.

知識(shí)點(diǎn)2.圓的參數(shù)方程

若圓心在點(diǎn)Mo(xo,y°),半徑為R,則圓的參數(shù)方程為二；:2:需0$先2兀

知識(shí)點(diǎn)3.橢圓的參數(shù)方程

若橢圓的中心不在原點(diǎn),而在點(diǎn)Mo(xo,加)，相應(yīng)的橢圓參數(shù)方程為J二:黑;0W

【解題必備】

一、參數(shù)方程與普通方程的互化技巧

1.參數(shù)方程化為普通方程

基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有:①代入消元法;②加減消元法;③恒等式(三角的或代數(shù)的)消元法等,

其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程的技巧.

2.普通方程化為參數(shù)方程

曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單;當(dāng)參數(shù)取某一值時(shí),可以唯一確定的值.一

般地，與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題，常采用旋轉(zhuǎn)角作為參數(shù);與直線有關(guān)的常選用直線的傾斜角、斜率、截距作為參數(shù);

與實(shí)踐有關(guān)的問題，常取時(shí)間作為參數(shù).此外，也常常用線段的長(zhǎng)度、某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo))作為參數(shù).

二、直線與圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用規(guī)律

解決直線與圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用問題，其一般思路為：

第一步，先把直線和圓錐曲線的參數(shù)方程都化為普通方程；

第二步，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決問題.

另外,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)尸（xo,yo）,且直線的傾斜角為a,求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)弦長(zhǎng)問題時(shí),可以把直線的參數(shù)方

程設(shè)成匕二：::鬻'Q為參數(shù)），交點(diǎn)A8對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為幻2,計(jì)算時(shí)，把直線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的

—In?LDIIIIZ

直角坐標(biāo)方程，求出得到歸同=舊2|=!（G+t2）2-4t/t2.

典例引領(lǐng)

【典例】

_V2X=-l---2-t

s

曲線G的參數(shù)方程是：C~~（s為參數(shù)），曲線c2的參數(shù)方程是：■1孝（t為參數(shù)）.

y=s2y=*

（1）求曲線G，C2的普通方程；

（2）求曲線G與曲線c2所圍成的封閉圖形的面積.

【答案】（1）曲線G的普通方程是：y=2x2.

曲線C2中兩式相加得：x+y=1.

因?yàn)閤==-2+六,所以x彳—2.

故曲線C2的普通方程是：x+y=l（x^-2）.

由，解得兩曲線的交點(diǎn)分別是：4（一L2），.

223

（2）所以圍成的面積是:,5]（1—%—2X）（JX=（x-^x--x）1^=

【考點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用，參數(shù)方程化成普通方程

【解析】（1）曲線Ci的參數(shù)方程消去參數(shù)s,能求出曲線Ci的普通方程;曲線C2的參數(shù)方程消去參數(shù)t,能

求出曲線C2的普通方程；

（2）根據(jù)定積分在求面積中的應(yīng)用進(jìn)行計(jì)算，可得答案。

【典例】

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為「=3+坐弋。（其中參數(shù)。eR）.

y=V5sme

（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）直線I的參數(shù)方程為七::（其中參數(shù)teR,a是常數(shù)），直線I與曲線C交于A.B兩

點(diǎn)，且\AB\=2V3,求直線I的斜率.

【答案】（1〉解：...{X=3+yc;s。

y=V5sin0

???C的普通方程（x-3產(chǎn)+V=5

C的極坐標(biāo)方程p2-6pcos0+4=0

'1y=tsina

二直線l的普通方程y=-1)

由⑴知：圓心C(3,0),r=V5,\AB\=2代?-.d=V2

k=±1

【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，參數(shù)方程化成普通方程，直線的參數(shù)方程，

圓的參數(shù)方程

【解析】（I）先根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化公式將曲線c化為普通方程，再根據(jù)直角坐標(biāo)方程與極坐

標(biāo)方程的互化公式將曲線c化為極坐標(biāo)方程即可；

（2）先將直線1化為普通方程，再根據(jù)弦心距公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

考向四極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用

參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程在高考中往往綜合考查，各自的特征都較為突出，都是極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)

方程、參數(shù)方程方程轉(zhuǎn)化為普通方程，最后轉(zhuǎn)化為平面幾何知識(shí)進(jìn)行解決.

典例引領(lǐng)

【典例】

x=2+-t

己知曲線I的參數(shù)方程為{（t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲

y=1

線C的極坐標(biāo)方程為p=4V^cos（。一》■

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)P（2,1）.直線I與曲線C交于點(diǎn)A,B.求|PA||PB|的值.

【答案】⑴解：由p=4位cos（。*）得P=4cos。+4sin。，

p2—4pcos0+4-psinO,

又x=pcos9fy=psinG,

%2+y2=4%4-4y即曲線C的直角坐標(biāo)方程為（％-2產(chǎn)+（y-2）?=8.

⑵解：將｛:代入C的直角坐標(biāo)方程，得白2+（一9—1）2=8,

y=l255

；?產(chǎn)+gt-7—0,

設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t2，

:.《也二-7.

則\PA\'\PB\=\trt2\=7.

【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，參數(shù)方程化成普通方程

【解析】（1）先將p=4&cos（。一》化為p2=4pcos。+4ps譏6,進(jìn)而可得出其直角坐標(biāo)方程：（2）將

直線參數(shù)方程代入（1）的結(jié)果，整理得到1+*一7=0,再設(shè)4,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tl,t2，

進(jìn)而可得\PA\'\PB\=歸也1，即可求出結(jié)果.

【典例】

在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為psiM。-4cos0=0，以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，以極軸為x軸的非負(fù)半軸，

X---凡-1

建立直角坐標(biāo)系，已知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）,直線1的參數(shù)方程為｛2（t為參數(shù)），且與曲線C

y=2+yt

交于A,B兩點(diǎn).

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線1的普通方程；

（2）求\MA\-\MB\的值.

【答案】（1）解：由題意，曲線C的極坐標(biāo)方程為psiM。-4cos6=0，則p2sin20-4pcos0=0,

將x=pcosO.y=psind代入，可得y?—4x=0,

即曲線C的直角坐標(biāo)方程y2=4x,

由直線I的參數(shù)方程為｛2（t為參數(shù)），消去參數(shù)，

y=2+yt

可得直線I的普通方程為y=-X+2

x=_&

（2）解：將直線I的參數(shù)方程為｛2（I為參數(shù)）代入y2=?,

y=2+2

可得t2+8V2t+8=0，其中A=（8V2）2-4x8>0,

設(shè)點(diǎn)A.B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為如"2，貝Ut〃2=8,

又由直線I過點(diǎn)M,根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義,

8

可得\MA\■\MB\=|t1||t2|=|ti-t2l=

【考點(diǎn)】點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，參數(shù)的意義，參數(shù)方程化成普通方程

【解析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，求得曲線C的直角坐標(biāo)方程，消去參數(shù)，即可求解直線

1的普通方程；（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合宜線的參數(shù)中參數(shù)的幾何意義，即

可求解.

司杰坪蹤訓(xùn)練,

2cose

1.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）過橢圓C：-Vising（。為參數(shù)）的右焦點(diǎn)F作直線八交C于M,N兩

點(diǎn)，畫f,網(wǎng)=〃,貝哈+：的值為

A-1B-?Q

c.-D.不能確定

1

尢=一，

2.（2020.全國(guó)（理））參數(shù)方程〈\a為參數(shù)）所表示的曲線是

y=-yjt2-l

A

。小

0x

CD

3.（2022?全國(guó)高三專題練習(xí)（理））在極坐標(biāo)系中，圓p=-2sin。的圓心的極坐標(biāo)是

A.（1,9B.（1,-y）C.（1,0）D.（1,萬(wàn)）

2）

4.（2021?上海黃浦?盧灣高級(jí)中學(xué)高三月考）記橢圓工+」匚=1圍成的區(qū)域（含邊界）為C.（〃=l,2,…），

44/1+1

當(dāng)點(diǎn)（％y）分別在2，%,…上時(shí)x+y的最大值分別是M，%,…，貝叫叫心=（）

A.2B.4

C.3D.2a

5.（2022.全國(guó)高三專題練習(xí)（文））AABC的外接圓的半徑等于3,鉆=4,則翳^^的取值范圍是（）

A.[—4,24]B.[-8,20]C.[-8,12]D.[-4,20]

6.（2022?全國(guó)高三專題練習(xí)（文））已知拋物線C：V=2x,過定點(diǎn)〃（“,0）的直線與拋物線C交于A,B兩

點(diǎn)'若展平+￡7常數(shù)’則常數(shù)"的值是（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2020?河北）在平面直角坐標(biāo)系中，圓好+尸=4上三點(diǎn)A（xi,yi）,B（及，及），C（孫丫3）構(gòu)成

正三角形ABC,那么x；+考+考=（）

A.0B.2C.3D.6

8.（2022?全國(guó)高三專題練習(xí)（文））在極坐標(biāo)系中與圓夕=4sin，相切的一條直線的方程為（）

A.0cos"gB.夕sin?=2C.QCOS6=2D.psin0=；

fx'=3x

9.（2022?全國(guó)高三專題練習(xí)（文））曲線C的方程為3x2+4y2=i,曲線C經(jīng)過伸縮變換,；，得到新

IV=4y

曲線的方程為（）

A.27V+64）2=1B.64X2+27/=1

2222

C.—+^-=1D.—+^=1

34916

10.（2022?全國(guó)高三專題練習(xí)（理））在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

已知曲線。：外而。=24??。（〃>0）,過點(diǎn)尸（-2,T）的直線/:%Q為參數(shù)）與曲線C相交于M,

[2

N兩點(diǎn).若1PMi成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)。的值是（）

A.IB.I或TC.4D.-1

t星真題再現(xiàn)

fx=］+3/

11.（2019?北京高考真題（理））己知直線/的參數(shù)方程為。；（/為參數(shù)），則點(diǎn)（1,0）到直線/的距

（y=2+4/

離是

A.-B.-C.-D.-

5555

X=-1—t

12.（2018?湖南高考真題）極坐標(biāo)方程夕=cos，和參數(shù)方程｛（，為參數(shù)）所表示的圖形分別是

y=2+3/

A.圓、直線B.直線、圓

C.圓、圓D.直線、直線

222

13.（2018?上海高考真題）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知橢圓c￡+\=l和C2：X2+X=1.尸為G上

的動(dòng)

點(diǎn)，。為G上的動(dòng)點(diǎn)，w是麗?麗的最大值.記。=｛（?，Q）IP在G上，。在上，且麗?麗=M，則C

中元素個(gè)數(shù)為

A.2個(gè)B.4個(gè)C.8個(gè)D.無(wú)窮個(gè)

14.（2019?四川高考模擬（文））A,B是OO：/+丁=1上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且4408=120。，A,8到直線/：

3x+4y—10=（）的距離分別為4，d2,則4+“2的最大值是

A.3B.4C.5D.6

15.（2019?安徽淮南?（理））在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P（x,y）,定義［OP］=W+|y|,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

對(duì)于下列結(jié)論：

⑴符合［OP］=2的點(diǎn)尸的軌跡圍成的圖形面積為8：

⑵設(shè)點(diǎn)尸是直線：后+2>-2=0上任意一點(diǎn)，則［。乩“”=1；

（3）設(shè)點(diǎn)P是直線：y=kx+l（keR）上任意一點(diǎn),則使得“［。尸］最小的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)”的充要條件是k=l；

（4）設(shè)點(diǎn)尸是橢圓:+丁=1上任意一點(diǎn)，則。尸］小=回.

其中正確的結(jié)論序號(hào)為（）

A.⑴⑵⑶B.⑴⑶（4）C.⑵⑶（4）D.⑴⑵⑷

16.（2018?河北石家莊?高三（理））設(shè)xOy,為兩個(gè)平面直角坐標(biāo)系，它們具有相同的原點(diǎn)，Or正方

向到Ox'正方向的角度為。，那么對(duì)于任意的點(diǎn)在xOy下的坐標(biāo)為（x,y）,那么它在X'。/坐標(biāo)系下的坐

標(biāo)（X',），'）可以表示為：x'=xcos，+ysin。，y'=ycos6?-xsin區(qū)根據(jù)以上知識(shí)求得橢圓

3”-2氐>'+5yQ_i=0的離心率為

A.&B.顯C.也D.立

3434

17.（2022.全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知A（x“y）、3（電,%）是圓f+丁=4上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足

中2+*必=2,則N+y—8|+卜+丫2—8］的最大值為（）

A.2X/3+8A/2B.8+娓C.4行+16&D.16+26

18.（2022?全國(guó)高三專題練習(xí)（文））“曼哈頓距離'’是由赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何

度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ).例如在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/百/）、Q（&,%）的曼哈頓距離為：

"?=卜|一百+|%-刃?若點(diǎn)尸（1,2）,點(diǎn)。為圓C:x2+>2=4上■—?jiǎng)狱c(diǎn)，則品°的最大值為（）

A.1+72B.1+2垃C.3+V2D.3+2&

22

19.（2022?全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知點(diǎn)。在橢圓1■+?=1上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)。作圓"-1）2+丁=［的兩

條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則|A8|的最小值為（）

27576瓜276

A.r\_z.'

43~T~

20.（2019?上海靜安?高三（理））（理）在極坐標(biāo)系中,圓夕=285。的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（）

TT

A.0=0（pGR）和/?cos，=2B.。=3（2￡R）和/cosd=2

TT

C.。=5（2￡R）和pcos6）=lD.夕=0（夕￡尺）和夕cos6=l

百顯模擬檢測(cè).

x=P-tcost

21.（2021?上海高三專題練習(xí)）已知曲線「的參數(shù)方程為y=ln,+J產(chǎn)+1）其中參數(shù)，￡凡,則曲線「（）

A.關(guān)于x軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱

c.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.沒有對(duì)稱軸

［x=2cosct

22.（2019?河南鶴壁高中高考模擬（文））已知曲線7二2smJ。為參數(shù)），點(diǎn)「為在x軸、y軸上截

距分別為8,-4的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向曲線引兩條切線RA,PB,其中48為切點(diǎn)，則直線A3恒

過點(diǎn)

A.（2,0）B.C.（1,-1）D.%

23.（2019?四川高考模擬（文））已知正數(shù)。力滿足。2+〃=他+1,則（石-1,+2〃的最大值為

A.2加B.2C.72D.1

x=3cos0

24.（2019?北京順義區(qū)?高三（理））過原點(diǎn)作圓i+3sin。（。為參數(shù)）的兩條切線,則這兩條切線所成

的銳角為

717

A.~6

25.（2020?北京四中）已知點(diǎn)A（l,-2）,3（2,0）,P為曲線y=則福?通的取值范圍

為

A.[1,7]B.[-1,7]C.[1,3+2右]

x=3tx=3cos。，，，，，，

26.（2018.北京市十一學(xué)校高三）若直線J'為參數(shù)）與圓八’,為參數(shù)）相切，則》=

y=0+3sin〃

A.?4或6B.B或4C.?1或9D.?9或1

i2

27.（2018?廣西欽州?高三（文））設(shè)橢圓土+」匚=1圍成的區(qū)域（含邊界）為Q“（〃=1，2,??.）,當(dāng)點(diǎn)（x,y）

44〃+1

分別在Q1,C?,…上時(shí)，x+y的最大值分別是M2f則M”=

A.B-r；C.D.

28.（2021?浙江高三）若x與y滿足f+y2=4,則該軌跡上的任意一點(diǎn)可表示為（）

A.（sin夕，cos/?）B.（夜sin/?,及cosy?）

C.（2sin尸,2cos尸）D.（4sin小4cos尸）

JQ]+31x=l+5cos仇

29.（2021?沙坪壩?重慶八中高三）已知點(diǎn)P（4,tn）是直線/:二5二CeR一是參數(shù)）和圓C：

y=5sin。

（6eR,。是參數(shù)）的公共點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線4,則切線乙的方程是（）

A.3x-4y-28=0B.3x+4y—28=0

C.3/_y_13=0D.x-3^-16=0

30.(2022?全國(guó)高三專題練習(xí)(理))在平面直角坐標(biāo)系R。)，中，已知直線/：y=k(x+1)與曲線

［x=l+sin20

c：,”。(6為參數(shù))在第一象限恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為(

A.(0,1)B.(0,C.［曰,1)D.［冬］

31.(2019?北京通州?高三(理))在極坐標(biāo)系中，圓。=2sin6的圓心的極坐標(biāo)是()

A.仁，1)B.OC.(0,1)D.(1,0)

32.(2019?北京房山區(qū)?高三(理))在極坐標(biāo)系中，圓p=2cos0的圓心坐標(biāo)為()

A.B.(-l,f)C.(0,1)D.(1,0)

【答案展示】

跟蹤訓(xùn)練

1.B

【分析】

消去參數(shù)得到橢圓的普通方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線/的參數(shù)方程，代入橢圓的普通方程，寫出韋達(dá)定

理，由此求得工+工的值.

mn

【詳解】

消去參數(shù)得到橢圓的普通方程為三+二=1,故焦點(diǎn)F(LO),設(shè)直線/的參數(shù)方程為.一."為參

43=

數(shù))，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得(3+sin2g)尸+6cosa-9=0.故4+力=-手^-，4￡=-h^^<0?山

\'3+sina3+sma

異號(hào)),故_L+L業(yè)=歸回=抱+方一如j故選B

mnmnk.-^l，聞3

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查利用直線參數(shù)的幾何意

義解題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

2.D

【分析】

消參化簡(jiǎn)整理得f+丁=1,即得方程對(duì)應(yīng)的曲線.

【詳解】

將f=1代入y=：/二T,化簡(jiǎn)整理得V+y2=i,同時(shí)x不為零，且％,y的符號(hào)一致，

Xt

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查圓的方程，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分

析推理能力.

3.B

【詳解】

由題圓夕=-2sin。，則可化為直角坐標(biāo)系下的方程，

16

p2=-2/?sin0,x2+y2=-2y,

d+y2+2y=0,

圓心坐標(biāo)為（0,-1）,

則極坐標(biāo)為（1，-^），故選B.

考點(diǎn)：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化.

4.D

【分析】

先根據(jù)橢圓參數(shù)方程化簡(jiǎn)x+y,再根據(jù)輔助角公式得其最大值，最后求極限即可得解.

【詳解】

橢圓工+」亡=1的參數(shù)方程為：

44/1+1

x=2cos6

「r.八（。為參數(shù)），

（J=V4+nS1

所以：x+）'=2cos0+^4+—sin0=^22+4+—sin（0+^）=卜+Lsin（0+@）,

所以：（》+“”=向工，

Vn

所以:limAf=limJ8+-=25/2.

n—>ooM—><x>丫〃

故選：D.

5.D

【分析】

建系后，根據(jù)圓上一動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

【詳解】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8〃x軸，建立坐標(biāo)系，如圖，

17

則4卜2,-石)，B(2,-⑹,

設(shè)C(3cos6,3sin。),

6=(4,0)，/=(3cos6+2,3sin(9+?)

則入方/3=128$夕+8€[-1,20],

故選：D

6.A

【分析】

[x=a+tcosa

設(shè)直線AB的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程（f為參數(shù),a是直線的傾斜角），代入拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理,

[y=fsina

利用|幽=同,|幽=\t2\計(jì)算可求解.

【詳解】

\x=a-st-tcosa

設(shè)直線AB的方程為■為參數(shù)，a是直線的傾斜角），

代入拋物線方程得產(chǎn)sin2a-2,cosa-2a=0,

A=4cos2a+8tzsin2a>0,

_2COS(7

4+‘2

sin2a…3

4cos2a4〃

1I1：1J/；+片化+f)2—2優(yōu)

2sin4asin2a

224-

|MA|\MBf彳(2中;(t,t2)

sin4a

cos2a+asin^al+(6z-l)sin2a“/士?”人4的/士-「斗i.八口”,

-------------=--~~7------，此值與。的取值無(wú)關(guān)，則mi々-1=0,即々=1.

a~a~

18

故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線相交問題的定值問題.解題關(guān)鍵是利用直線的參數(shù)方程，利用參數(shù)的

x=a+tcosa

（r為參數(shù)，a是直線的傾斜角），代入拋物線方程后

{y=fsina

應(yīng)用韋達(dá)定理得乙+小伍，而|M4|=|M，|M3|=|U，由此易計(jì)算溢了+焉廠

7.D

【分析】

分別設(shè)A(2cos6,2sin8),《2cos(6+4j,2sin(8+

l十算X)+Xg+Xjf

利用三角函數(shù)化簡(jiǎn)即可.

【詳解】

因?yàn)槿切蜛8C為正三角形,

所以設(shè)A(2cos0,2sin。),用2cos0+

C(2cos(6+午),2sin(6?+q)),

故%12+君+后=4cos2。+4cos2

=4cos2^+4

=4cos2。+cos2^+3sin2^+cos?，+3sin2^

=6（cos?。+sin七）=6,

故選：D

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)A,B,C在圓上且構(gòu)成正三角形ABC,設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)為

A(2cos仇2sin《2cos18+普,2sin(6+1,C(2cos(e+?：2sin[〃+q)j,

是解題的關(guān)鍵.

8.C

【分析】

19

把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再判斷是否相切.

【詳解】

由題意圓的直角坐標(biāo)方程為X?+卡=4y,即x?+(y-2)2=4,圓心上C(0,2),半徑為r=2,

A中直線方程是x=g,B中直線方程是y=2,C中直線方程是尤=2,D中直線方程是y=g,只有直線x=2

與圓相切.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系.在極坐標(biāo)系中兩者位

置關(guān)系的差別是不方便的，解題方法是把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，在直角坐標(biāo)系中判斷直線與圓的

位置關(guān)系.

9.C

【分析】

直接利用伸縮變換求出新的曲線方程.

【詳解】

X，

[F-3r尤=—

曲線C經(jīng)過伸縮變換X::轉(zhuǎn)換為3,,

y'=4y工

代入獷+4/=1,

得到：—+-^-=1,

34

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了伸縮變換，圓錐曲線方程，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題

型.

10.A

【分析】

由公式｛,?；瘶O坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用韋達(dá)