高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修一）：專題1.5 集合的基本運算-重難點題型精講（教師版）

專題1.5集合的基本運算-重難點題型精講1．并集的概念及表示2.交集的概念及表示溫馨提示：(1)兩個集合的并集、交集還是一個集合．(2)對于A∪B，不能認為是由A的所有元素和B的所有元素所組成的集合．因為A與B可能有公共元素，每一個公共元素只能算一個元素．(3)A∩B是由A與B的所有公共元素組成，而非部分元素組成．3．并集、交集的運算性質(zhì)4．全集(1)定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．(2)符號表示：全集通常記作U.5．補集溫馨提示：?UA的三層含義：(1)?UA表示一個集合；(2)A是U的子集，即A?U；(3)?UA是U中不屬于A的所有元素組成的集合．【題型1并集的運算】【方法點撥】①定義法：若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運算的結(jié)果．②數(shù)形結(jié)合法：若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時要注意當(dāng)端點不在集合中時，應(yīng)用“空心點”表示．【例1】（2022?河南模擬）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|1﹣x＞﹣1}，則集合A∪B＝（）A．（2，3） B．（﹣2，2） C．（﹣2，+∞） D．（﹣∞，3）【解題思路】求出集合B，由此能求出A∪B．【解答過程】解：集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|1﹣x＞﹣1}＝{x|x＜2}，則A∪B＝{x|x＜3}．故選：D．【變式1-1】（2022?東城區(qū)校級三模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，則A∪B＝（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x＜1}【解題思路】利用集合并集定義、不等式性質(zhì)直接求解．【解答過程】解：∵集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}．故選：B．【變式1-2】（2022春?樂清市校級期中）設(shè)集合A＝{2，3}，B＝{x|2＜x＜4}，則A∪B＝（）A．{3} B．{2，3} C．（2，3） D．[2，4）【解題思路】利用并集定義直接求解．【解答過程】解：∵集合A＝{2，3}，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∪B＝{x|2≤x＜4}．故選：D．【變式1-3】（2022春?平羅縣校級期中）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，則M∪N等于（）A．(0，1) B．(?1，2) C【解題思路】利用并集運算可求得答案．【解答過程】解：由集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，則M∪N＝{x|﹣1＜x＜1}∪{x|0＜x＜2}＝（﹣1，2），故選：B．【題型2交集的運算】【方法點撥】①求兩集合的交集時，首先要化簡集合，使集合的元素特征盡量明朗化，然后根據(jù)交集的含義寫出結(jié)果．②在求與不等式有關(guān)的集合的交集運算中，應(yīng)重點考慮數(shù)軸分析法，直觀清晰．【例2】（2022?金東區(qū)校級模擬）設(shè)集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，則A∩B＝（）A．{x|x≥2} B．{x|x＜2} C．{x|2≤x＜3} D．{x|﹣1≤x＜2}【解題思路】直接利用交集運算得答案．【解答過程】解：∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|x≥2}∩{x|﹣1＜x＜3}＝{x|2≤x＜3}．故選：C．【變式2-1】（2022?金鳳區(qū)校級三模）已知集合A＝{x|1＜x﹣1≤3}，B＝{2，3，4}，則A∩B＝（）A．{2，3，4} B．{3，4} C．{2，4} D．{2，3}【解題思路】求出集合A，利用交集定義能求出A∩B．【解答過程】解：∵集合A＝{x|1＜x﹣1≤3}＝{x|2＜x≤4}，B＝{2，3，4}，∴A∩B＝{3，4}．故選：B．【變式2-2】（2022?浙江學(xué)業(yè)考試）已知集合P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，則P∩Q＝（）A．{0} B．{0，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3}【解題思路】由已知結(jié)合集合交集的運算即可求解．【解答過程】解：集合P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，則P∩Q＝{1，2}．故選：C．【變式2-3】（2022?巴宜區(qū)校級二模）集合A＝{x∈Z|x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{1}【解題思路】進行交集的運算即可．【解答過程】解：∵A＝{x∈Z|x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故選：B．【題型3由集合的并集、交集求參數(shù)】【方法點撥】①策略：當(dāng)題目中含有條件A∩B＝A或A∪B＝B，解答時常借助于交集、并集的定義及集合間的關(guān)系去分析，將A∩B＝A轉(zhuǎn)化為A?B，A∪B＝B轉(zhuǎn)化為A?B.②方法：借助數(shù)軸解決，首先根據(jù)集合間的關(guān)系畫出數(shù)軸，然后根據(jù)數(shù)軸列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，求解即可，特別要注意端點值的取舍．③注意點：當(dāng)題目條件中出現(xiàn)B?A時，若集合B不確定，解答時要注意討論B＝?的情況．【例3】（2021秋?宜賓期末）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a+1，a∈R}．（1）若a＝1，求A∪B；（2）若A∩B＝A，求實數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）求出集合B，并集定義能求出A∪B；（2）由A∩B＝A，得A?B，列出不等式組，能求出實數(shù)a的取值范圍．【解答過程】解：（1）∵集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a+1，a∈R}．當(dāng)a＝1時，B＝{x|0≤x≤3}，∴A∪B＝{x|0≤x＜4}；（2）∵A∩B＝A，∴A?B，∴a?1＜∴實數(shù)a的取值范圍為[3【變式3-1】（2021秋?資陽期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|2a+1＜x＜2a+6}，B＝{x|﹣4≤x≤2}．（1）若a＝﹣1，求A∪B；（2）若A∩B≠?，求實數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）把a＝﹣1代入求得A，再由并集運算得答案；（2）由A∩B≠?，可得關(guān)于a的不等式組，求解得答案．【解答過程】解：（1）a＝﹣1時，A＝{x|﹣1＜x＜4}，又B＝{x|﹣4≤x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣4≤x＜4}；（2）若A∩B≠?，則2a+1＜解得﹣5＜a＜12，故a的取值范圍是（﹣5，【變式3-2】（2021秋?伊州區(qū)校級期末）若集合A＝{x|2x﹣1?3}，B＝{x|3x﹣2＜m}，C＝{x|x＜5，x∈N}．（1）求A∩C；（2）若A∪B＝R，求實數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）先求出A與C，再根據(jù)集合的基本運算求解．（2）先求出集合B，再根據(jù)A∪B＝R，得到不等式求解．【解答過程】解：（1）∵A＝{x|2x﹣1?3}＝{x|x?2}，C＝{x|x＜5，x∈N}＝{0，1，2，3，4}，∴A∩C＝{2，3，4}．（2）∵B＝{x|3x﹣2＜m}＝{x|x＜m+23∴A∪B＝{x|x＜m+23或x≥∵A∪B＝R，∴m+23≥2，∴m≥∴實數(shù)m的取值范圍為[4，+∞）．【變式3-3】（2021秋?黑龍江期末）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）當(dāng)用m＝5時，求A∩B，A∪B；（2）若A∪B＝A，求實數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）求出集合B，由此能求出A∩B，A∪B．（2）由A∪B＝A，得B?A，當(dāng)B＝?時，m+1＞2m﹣1，當(dāng)B≠?時，m+1≤2m?【解答過程】解：（1）∵集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．m＝5時，B＝{x|6≤x≤9}，∴A∩B＝{x|6≤x≤7}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤9}．（2）∵集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，A∪B＝A，∴B?A，∴當(dāng)B＝?時，m+1＞2m﹣1，解得m＜2，當(dāng)B≠?時，m+1≤2m?1m+1≥?22m?1≤7，解得綜上，實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，4]．【題型4補集的運算】【方法點撥】①當(dāng)集合用列舉法表示時，可借助Venn圖求解；②當(dāng)集合是用描述法表示的連續(xù)數(shù)集時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析求解．【例4】（2022?沈陽模擬）已知全集U＝{x∈N|﹣1＜x≤3}，A＝{1，2}，?UA＝（）A．{3} B．{0，3} C．{﹣1，3} D．{﹣1，0，3}【解題思路】利用列舉法表示U，再由補集運算得答案．【解答過程】解：∵U＝{x∈N|﹣1＜x≤3}＝{0，1，2，3}，A＝{1，2}，∴?UA＝{0，3}．故選：B．【變式4-1】（2022?林州市校級開學(xué)）已知全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，則?AB＝（）A．{x|x≥5} B．{x|5＜x≤6或x＝1} C．{x|x≤1或x≥5} D．{x|5≤x≤6}∪{1}【解題思路】利用補集的定義，求解即可．【解答過程】解：∵全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，∴?AB＝{x|5≤x≤6}∪{1}，故選：D．【變式4-2】（2022?乙卷）設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則（）A．2∈M B．3∈M C．4?M D．5?M【解題思路】根據(jù)補集的定義寫出集合M，再判斷選項中的命題是否正確．【解答過程】解：因為全集U＝{1，2，3，4，5}，?UM＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3?M，4∈M，5∈M．故選：A．【變式4-3】（2022?北京）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，則?UA＝（）A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2）∪[1，3） C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）【解題思路】由補集的定義直接求解即可．【解答過程】解：因為全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，所以?UA＝{x|﹣3＜x≤﹣2或1＜x＜3}＝（﹣3，﹣2]∪（1，3）．故選：D．【題型5交集、并集、補集的綜合運算】【方法點撥】①如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結(jié)合交集、并集、補集的定義來求解．在解答過程中常常借助于Venn圖來求解．②如果所給集合是無限集，則常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后進行交、并、補集的運算．解答過程中要注意邊界問題．【例5】（2022?臨沂三模）已知集合A＝N，B＝{x|x≥3}，A∩（?RB）＝（）A．{﹣1，0} B．{1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【解題思路】根據(jù)題意，求出?RB，由交集的定義計算可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，B＝{x|x≥3}，則?RB＝{x|x＜3}，則A∩（?RB）＝{0，1，2}；故選：D．【變式5-1】（2022?柯橋區(qū)模擬）已知集合A＝{x∈R|x≤0}，B＝{x∈R|﹣1≤x≤1}，則?R（A∪B）＝（）A．（﹣∞，0） B．[﹣1，0] C．[0，1] D．（1，+∞）【解題思路】先求A和B的并集，再求并集的補集．【解答過程】解：∵集合A＝{x∈R|x≤0}，B＝{x∈R|﹣1≤x≤1}．∴A∪B＝{x∈R|x≤1}．則?R（A∪B）＝{x∈R|x＞1}．故選：D．【變式5-2】（2022?大通縣三模）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{x|x≤2，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2}，則A∪（?UB）＝（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2，3，4}【解題思路】先根據(jù)條件求得A和B的補集，再結(jié)合并集的定義求解即可．【解答過程】解：由題得A＝{x|x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，又B＝{﹣1，0，1，2}，所以?UB＝{3，4}，所以A∪（?UB）＝{0，1，2，3，4}．故選：D．【變式5-3】（2022?義烏市模擬）已知全集U＝R，集合P＝{x|﹣2＜x＜1}，Q＝{x|x?0}，則P∩（?UQ）＝（）A．（﹣2，0） B．（0，1） C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，1）【解題思路】根據(jù)集合的基本運算即可求解．【解答過程】解：∵U＝R，Q＝{x|x?0}，∴?UQ＝{x|x＜0}，∵P＝{x|﹣2＜x＜1}，∴P∩（?UQ）＝{x|﹣2＜x＜0}＝（﹣2，0），故選：A．【題型6利用集合間的關(guān)系求參數(shù)】【方法點撥】①與集合的交、并、補運算有關(guān)的求參數(shù)問題一般利用數(shù)軸求解，涉及集合間關(guān)系時不要忘掉空集的情況．②不等式中的等號在補集中能否取到，要引起重視，還要注意補集是全集的子集．【例6】（2021秋?沈陽期末）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，U＝R．（1）若A∪?UB＝U，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若A∩B≠?，求實數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）由題意得B?A，然后對B是否為空集進行分類討論可求；（2）當(dāng)A∩B＝?時，結(jié)合B是否為空集進行分類討論可求m的范圍，然后結(jié)合補集思想可求滿足條件的m的范圍．【解答過程】解：（1）A∪?UB＝U，所以B?A，當(dāng)B＝?時，m+1＞2m﹣1，即m＜2，當(dāng)B≠?時，2m?解得2≤m≤3，綜上，m的取值范圍為{m|m≤3}；（2）當(dāng)A∩B＝?時，當(dāng)B＝?時，m+1＞2m﹣1，即m＜2，當(dāng)B≠?時，2m?1≥解得，m＞4，綜上，A∩B＝?時，m＞4或m＜2，故當(dāng)A∩B≠?時，實數(shù)m的取值范圍為[2，4]．【變式6-1】（2021秋?湖州期末）已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+3}．（1）當(dāng)m＝0時，求?R（A∩B）；（2）若A∪B＝A，求實數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）當(dāng)m＝0時，求出集合B＝{x|﹣1≤x≤3}，進而求出A∩B，由此能求出?R（A∩B）；（2）由A∪B＝A，得B?A，當(dāng)B＝?時，2m﹣1＞m+3，當(dāng)B≠?時，2m?1≤【解答過程】解：（1）當(dāng)m＝0時，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}，∴?R（A∩B）＝{x|x＜﹣1或x＞2}；（2）∵A∪B＝A，∴B?A，當(dāng)B＝?時，2m﹣1＞m+3，解得m＞4，當(dāng)B≠?時，2m?解得m＝1，綜上，實數(shù)m的取值范圍是{m|m＞4或m＝﹣1}．【變式6-2】（2021秋?海東市期末）已知集合A＝{x|a＜x＜2a}，B＝{x|x≤﹣4或x≥