2023屆山東省臨沂市蘭陵縣第四中學(xué)高三年級(jí)下冊(cè)第一次診斷考試數(shù)學(xué)試題

2023屆山東省臨沂市蘭陵縣第四中學(xué)高三下第一次診斷考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”，實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國(guó)夢(mèng)”，某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加A、B、C三個(gè)貧

困縣的調(diào)研工作，每個(gè)縣至少去1人，且甲、乙兩人約定去同一個(gè)貧困縣，則不同的派遣方案共有()

A.24B.36C.48D.64

2.已知向量&=(1,一2),石=(3,-1),則()

A.a//hB.a-i-hC.a//(a—h)D.d-L(a—b)

3.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()

°1234456789101112

A.月收入的極差為60B.7月份的利潤(rùn)最大

C.這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為3()D.這一年的總利潤(rùn)超過(guò)400萬(wàn)元

22

xy

4.雙曲線G：/一5=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為/(c,。)(c>0),且雙曲線G的兩條漸近線與圓

*

(x-c)2+y2=二均相切，則雙曲線G的漸近線方程為()

A.x±\/3y=0B.y/3x±y=0C.y/5x±y=0D.x±\/5y=0

5.某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，利用2x2列聯(lián)表，由計(jì)算得長(zhǎng)。7.218,參照下表:

2

P(K>kn)0.010.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

得到正確結(jié)論是（）

A.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”

B.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”

6.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=—在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（)

1-Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.若復(fù)數(shù)二滿足（l+i）z=i（i是虛數(shù)單位），則z的虛部為（)

111.1.

A.-B.--C.-1D.——1

2222

8.如圖是正方體截去一個(gè)四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（

歸口

s1

1

1125

A.—B.-C.-D.-

2336

9.集合｛2,0,1,9｝的真子集的個(gè)數(shù)是()

A.13B.14C.15D.16

10.已知復(fù)數(shù)二，滿足z(3-旬=51,則忖=()

A.1B.y/5C.y/3D.5

.若平面向量a、b、c>滿足|4=M=a2=L(a+2/?—c)=2,

11.記M的最大值和最小值分別為A/max和Mmin

則()

I-1A/3—■\/7

A.卜c|=B.

"+c=o

11max211max2

c.L-C=&幣D.IIy/3-y/l

a+c.=°

1Imin21Imin2

x\nx-2x,x>0

12.已知函數(shù)/(x)=l23c的圖像上有且僅有四個(gè)不同的關(guān)于直線y=-l對(duì)稱的點(diǎn)在g(x)=q：-l的圖

x+-x,x<0

I2

像上，則上的取值范圍是()

A.(；,3)B.(；,:)C.(1,1)D.(；,1)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在AABC中，角所對(duì)的邊分別為"c,S為AABC的面積，若c=2acos6,S=L/一_1,2,則AABC

24

的形狀為,C的大小為.

14.若函數(shù)/(x)=a'(a>()且存1)在定義域［如"］上的值域是［/，n2］(l<m<n),則a的取值范圍是.

15.已知/(x)=log,，+4)(a>0且aHl)有最小值，且最小值不小于1,則”的取值范圍為.

22

16.如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABC。，其中AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,則----+-----=.

sinAsinB

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=x|x+a|,aeR.

(1)若/(l)+/(—1)>1,求。的取值范圍；

3

⑵若”0,對(duì)Vx,yG(-oo,-a］,不等式/(x)<y+j+y+三0恒成立，求。的取值范圍.

18.(12分)設(shè)數(shù)列u的前項(xiàng)和為，且一-一一,數(shù)列滿足---,點(diǎn)在

laJU」二一一?一二?：-…二*"T―5火aowJ

二一口+：=盧JeC

(1)求數(shù)列二二，「二一)的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，求數(shù)列-?的前-項(xiàng)和-.

—2s10

19.（12分）A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知（a+2c）cos8+6cosA=0.

(1)求&

(2)若人=4,求A3c的面積的最大值.

20.(12分)如圖，。是在AA5C邊AC上的一點(diǎn)，ABC。面積是△A5O面積的2倍，NCBD=2NABD=2e.

⑴若仁，求黑的值;

(II)若BC=4,AB=2y/2,求邊AC的長(zhǎng).

21.(12分)如圖，在三棱柱ABC—A'8'C'中，M.N、產(chǎn)分別是AC、BC、AC的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CFB'

(2)若底面A'B'C是正三角形，AC'=1,C在底面的投影為尸，求3,到平面AA'C'C的距離.

22.(10分)已知函數(shù)/(xhlx+ll-k-N.

(1)解不等式/(x)Wl；

222222

(2)記函數(shù)“X)的最大值為S,若a+b+c=s(",4c>0),證明：ab+bC+ca>3abc.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據(jù)題意，有兩種分配方案，一是3：1:1,二是2:2:1,然后各自全排列，再求和.

【詳解】

當(dāng)按照3:1:1進(jìn)行分配時(shí)，則有=18種不同的方案；

當(dāng)按照2:2:1進(jìn)行分配，則有C；國(guó)=18種不同的方案.

故共有36種不同的派遣方案，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化，還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

2^D

【解析】

由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì)，得出結(jié)論.

【詳解】

?.?向量。=（L-2）,b=（3,-1）,二。和〃的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例，故人不平行，故排除A;

顯然，。?。=3+2=0,故人不垂直，故排除5；

d—h=（-2,-1）,顯然,a和a―。的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例,故。和。―。不平行,故排除C；

a*（a—b）=-2+2=0,故a-L（a—b），故。正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3、D

【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】

由圖可知月收入的極差為90-30=60,故選項(xiàng)A正確；

1至12月份的利潤(rùn)分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤(rùn)最高，故選項(xiàng)B正確;

易求得總利潤(rùn)為380萬(wàn)元，眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折線圖，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.

4、A

【解析】

he

根據(jù)題意得到“化簡(jiǎn)得到/=3〃，得到答案.

^772

【詳解】

根據(jù)題意知：焦點(diǎn)廠9,0）到漸近線y=2x的距離為〃=be_c

ada2+/2

故/=3〃，故漸近線為x±6>=0.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，雙曲線的漸近線，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

5、B

【解析】

通過(guò)片。7.218與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較，可以得出正確的選項(xiàng).

【詳解】

解:K、7.218>6.635,可得有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)Z,求得，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，由此判斷對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.

【詳解】

"=口=心（二）=1+,二對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（L1），位于第一象限?

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

由(1+i)Z=i得Z=」一，然后分子分母同時(shí)乘以分母的共朝復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù)二，從而可得二的虛部.

1+Z

【詳解】

因?yàn)?l+i)z=i,

所以z=±小i)

(1+0(1-/)

所以復(fù)數(shù)z的虛部為1.

2

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的方法是分子分母同時(shí)乘以分母的共朝復(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)化

為乘法運(yùn)算.

8、C

【解析】

根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.

【詳解】

根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：

由圖可知，該幾何體是在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-ABCA中截去四棱錐用-ABC。所形成的幾何體,

12

該幾何體的體積為V=F--X12xl=-.

33

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用三視圖計(jì)算幾何體的體積，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

根據(jù)含有〃個(gè)元素的集合，有2"個(gè)子集，有2"-1個(gè)真子集，計(jì)算可得;

【詳解】

解:集合｛2,0,1,9｝含有4個(gè)元素，則集合⑵0,1,9｝的真子集有2-1=15(個(gè)),

故選：C

【點(diǎn)睛】

考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對(duì)于含有“個(gè)元素的集合，有2"個(gè)子集，有2"-1個(gè)真子

集，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出Z,求出2的模即可.

【詳解】

__5i_5i(3+4i)_-4+3i

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)求模問(wèn)題，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11,A

【解析】

設(shè)。為“、人的夾角，根據(jù)題意求得然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)"=OA=(2,0),b=OB=(l,43),

c=OC=(x,y),根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)C的軌跡方程，將卜-c|和卜+c|轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距

離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.

【詳解】

由已知可得4力=忖少卜056=2,貝ijcos6=',TT

Qo<e<〃,：,o=—,

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a=04=(2,O),b=OB=0,?c=OC=(x,y),

由c（a+2〃-c）=2,可得（工,?。?（4一2入,26-2＞）=2,

即以-2/+25-2/=2,

（萬(wàn)Yq__________

化簡(jiǎn)得點(diǎn)C的軌跡方程為（X—1）2+y--則kLC卜J（x_21+y2,

、214

則卜一4轉(zhuǎn)化為圓（x—iy+＞-乎］='上的點(diǎn)與點(diǎn)（2,o）的距離，.小一4=卜+代）+母=6',

H「網(wǎng)號(hào)手學(xué)

b+4=，（尢+2）2+丁,

口+4轉(zhuǎn)化為圓（X—1）2+＞一與=（上的點(diǎn)與點(diǎn)（一2,0）的距離，

，卜+c|J+田+」=回運(yùn)斗+,|J+田旦叵◎

11mx丫（2J22IIm加丫（2J22

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標(biāo)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵,

考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.

12、D

【解析】

根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/（x）與y=-辰-1有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究/（x）的單調(diào)性從而得到

/（%）的圖象；由直線y=-區(qū)—1恒過(guò)定點(diǎn)A（O,T）,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可確定Me（以°,原J；利用過(guò)某一點(diǎn)曲

線切線斜率的求解方法可求得心。和心3，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】

g(x)=依―1關(guān)于直線y=-l對(duì)稱的直線方程為：y=-kx-l

???原題等價(jià)于/(力與y=-履-1有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)

由曠=一米一1可知，直線恒過(guò)點(diǎn)A(O,-1)

當(dāng)x>0時(shí)，/f(x)=lnx+l-2=lnx-1

.?./(x)在(O,e)上單調(diào)遞減；在(e,M)上單調(diào)遞增

由此可得圖象如下圖所示：

其中AB、AC為過(guò)A點(diǎn)的曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為&C

由圖象可知，當(dāng)一ke(怎C，&AB)時(shí)，/(可與y=-依-1有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)

設(shè)C(/n,/nlnm-2帆)，m>0,貝!］陽(yáng)。=歷機(jī)-1=----------解得：m=\

23.

__.rnH--71+1

設(shè)B〃40,貝L0,32解得：n--\

kAI{=2n+—=--------

2n-Q

-ke-1,--j>則Ze'1/

2

本題正確選項(xiàng)：。

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的問(wèn)題；涉及到過(guò)某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問(wèn)題；解題關(guān)鍵是能

夠通過(guò)對(duì)稱性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)確定直線恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)進(jìn)行求解?

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

7T

13、等腰三角形C=:

4

【解析】

Vc-20cosB

：.根據(jù)正弦定理可得sinC=2sinAcosB,即sin(A+B)=2sinAcosB

：.sin(A-B)=0

A-B

，AABC的形狀為等腰三角形

22

-:S^-a--c

24

1(,2_121〃12

:.一cihsinC=-ci~-\—ci~

2444444

2ah

a2^b1-c1

由余弦定理可得cosC

lab

:.sinC=cosC,即tanC=1

，:。￡(0,乃)

：.c=-

4

故答案為等腰三角形，v

4

2

14、(1,靛)

【解析】

/(x)=a'在定義域［小，用上的值域是［"/,n2］,等價(jià)轉(zhuǎn)化為/(x)=</與y=x?的圖像在(1,+8)上恰有兩個(gè)交點(diǎn),

考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.

【詳解】

由題意知：/0)=優(yōu)與,=/的圖像在(1,+8)上恰有兩個(gè)交點(diǎn)

考查臨界情形：y==/切于/,

22

n4=nae(Id).

a；"Ina=2x0

2

故答案為：（],〃）?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

15、(1,4]

【解析】

真數(shù)4有最小值，根據(jù)已知可得。的范圍，求出函數(shù)/（x）的最小值，建立關(guān)于。的不等量關(guān)系，求解即可.

【詳解】

X2+4>4,且/（x）=log〃（x2+4）（。>0且。。1）有最小值，

...a>l,/(x)min=log?4>l,a<4,/.l<a<4,

??a的取值范圍為（1,4].

故答案為：（1,4].

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

而

1fi4

■1b、------

3

【解析】

由題意可知A+C=?，B+D=7i,在和ABCD中，利用余弦定理建立

方程求cosA,同理求cosB,求sinAsin3,代入求值.

【詳解】

由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NC=180°-NA,N￡>=180°—ZB.連接BO,在AABD中，

有）在。中，222

312=432+92-2Ag-AOcosA.ABCBD=BC+CD-2BC-CDcosC.

所以AB?+A。？一2AB?ADcosA=BC2+CD2+2BC-CDcosA,

AB2+AD2-BC2-CD262+52-32-423

則cosA-

2(AB-AD+BC-CD)2(6x5+3x4)-7

AB?+8c2—AD?—CD?62+32—52—421

連接AC,同理可得cos8=

2(A88C+A?C。)2(6x3+5x4)19

7-6^0所以立+工一上+把一生叵

所以sinB=Jl-cos?B

19"sin4sinB27106屈3

故答案為：平

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理解三角形，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，意在考查方程思想，計(jì)算能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是

熟悉圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，對(duì)角互補(bǔ).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)>+℃^；(2)[—3,0).

【解析】

(1)分類討論aW—l,-\<a<\,a>\,即可得出結(jié)果；

(2)先由題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了(X),四<(y+3a+，+￡)“”“即可，再求出了(幻“四，y+-3+a的最小值，解

不等式即可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)由/(1)+/(_1)>1得|。+1卜卜—1|>1,

若a4-1,則一1-。+。一1>1,顯然不成立；

若一則1+。+。一1>1,a>—9即,VQVI；

22

若。21,則1+。一。+1>1,即2>1,顯然成立，

綜上所述，a的取值范圍是(g，+8).

(2)由題意知，要使得不等式恒成立，只需/(x),g<(y+a3+y+￡)ci"""，

當(dāng)XG(-oo,-a］時(shí),f(x)=-x(x+a),所以

E、I3a3a

因?yàn)閥+-+y+->

42

2q

所以解得一3WaWl,結(jié)合a<0,

442

所以。的取值范圍是［-3,0).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問(wèn)題，熟記分類討論的思想、以及絕對(duì)值不等式

的性質(zhì)即可，屬于常考題型.

18、(1)口口二二=/+(二?/)?：=:二

【解析】

(D利用二二與二二的遞推關(guān)系可以二二的通項(xiàng)公式；二點(diǎn)代入直線方程得二二二二二：,可知數(shù)列二二是等差數(shù)列,

用公式求解即可.(2)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.

【詳解】

由一二一可得一

』+，(二＞2)'

兩式相減得n-2nu,n—§一o

一二-i一二一一一二一二-；7一：(」NG

又二一=：,.?；=?所以二=3二.?故是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列?所以二__，二T

由點(diǎn)一一在直線.?一。上，所以---__??

則數(shù)列一、是首項(xiàng)為L(zhǎng)公差為2的等差數(shù)列.則-

［一二一二一?'.一?.----/

⑵因?yàn)?一，所以.

)—?一??—一)一1-iJ...，＜1■J

_-————--.,+.-_

-Z：;?;?r

兩式相減得：.

所以

-.1;I-J

【點(diǎn)睛】

用遞推關(guān)系-求通項(xiàng)公式時(shí)注意-的取值范圍，所求結(jié)果要注意檢驗(yàn)--的情況；由一個(gè)等差數(shù)

一二一一二一［一；-1—j

列和一個(gè)等比數(shù)列的積組成的數(shù)列求和，常用錯(cuò)位相減法求解.

19、(1)B=-7V(2)如?

33

【解析】

(1)由正弦定理邊化角化簡(jiǎn)已知條件可求得cos8=-',即可求得8；

2

(2)由余弦定理借助基本不等式可求得acW當(dāng)，即可求出A3C的面積的最大值.

【詳解】

(1)(a+2c)cosB+bcosA=0,(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,

所以(sinAcos3+sin8cosA)+2sinCcosB=0,

所以sin(A+B)+2cosBsinC=0,

?.sin(A+B)=sinC,cosB=

2

\0<B<7T9=—

22

(2)由余弦定理得。?=a+/-2tzc,x^-—^.6Z+/+ac=i623ac,

ac<—,當(dāng)且僅當(dāng)q=c=土叵時(shí)取等，

33

,0_1.116百_4百

..S=-acsinBW-x—x—=------?

ARBC22323

所以A6C的面積的最大值為迪.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了三角形面積的最值問(wèn)題，難度較易.

20、(I)任A=(II)AC=2VTO

sinC3

【解析】

(I)利用三角形面積公式以及5M8=25小叨并結(jié)合正弦定理”=2二，可得結(jié)果.

sinCsinA

(II)根據(jù)SABCO=25刖也，可得e,然后使用余弦定理AC?=482+502-2AB.sinZA8C，可得結(jié)果.

【詳解】

n

(I)/CBD=2ZABD=一,所以

3

17t17t

-BCBDsin-^2x-ABBDsin-

2326

BC2sinA22拒

所以——=7=>----=7=----

ABV3sinCG3

(II)-BC-BDsin2^=2x1AB.BDsin0,

22

所以4x2sin6cos6=2x2V2sin0=>cos0=，

2

TT37r

所以6=2,ZABC=36=—,