汽車振動分析與測試課件：多自由度振動（實模和復(fù)模分析）

汽車振動分析與測試多自由度有阻尼振動系統(tǒng)的實模態(tài)分析

一、實模態(tài)分析的條件

（1）對于有阻尼系統(tǒng)，其模態(tài)坐標下的振動微分方程為

因此，坐標變換后方程組并沒有實現(xiàn)解耦，仍然不方便求解?？梢?，阻尼多自由度系統(tǒng)按照實模態(tài)分析方法求解的條件是：阻尼矩陣在以模態(tài)矩陣坐標變換后對角化，即（2）必須滿足一定的條件，阻尼矩陣C是質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合，即比例阻尼（3）比例阻尼的充分必要條件為（4）通過模態(tài)矩陣的坐標變換同時實現(xiàn)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣的對角化，方程組解耦，得到相互獨立，互不耦合的方程組為阻尼比可表示為振動方程可表示為二、有阻尼系統(tǒng)的自由衰減振動響應(yīng)

（1）模態(tài)坐標Q下的自由振動微分方程為（2）上述各個解耦的方程，按照欠阻尼系統(tǒng)得到自由振動的解為即（3）給定初始條件{x0}和{}下的響應(yīng)為（4）系統(tǒng)在某一特殊初始條件下，第i階純模態(tài)自由振動的位移向量(主振型)為其中，第j坐標的自由振動為結(jié)論：

1）當系統(tǒng)作某i階純模態(tài)自由振動時，系統(tǒng)中的各個坐標以相同的頻率、相同的初相位和相同的衰減率作衰減；各坐標的振幅大小不同，但任意瞬時的幅值保持固定的比例，即系統(tǒng)具有第i階固定的主振型；

2）系統(tǒng)的自由振動X為各階純模態(tài)運動的線性組合，系統(tǒng)的自由振動取決于初始條件。三、比例阻尼多自由度系統(tǒng)在簡諧激振下的振動響應(yīng)

（1）當比例粘性阻尼多自由度系統(tǒng)受到簡諧激振力{f(t)}={F}作用時，系統(tǒng)振動微分方程為（2）在模態(tài)坐標Q下的微分方程（3）如果忽略自由衰減振動，可以得到各個模態(tài)坐標的通解為（4）將求得的模態(tài)坐標Q下的響應(yīng)再變換到物理坐標X下的系統(tǒng)響應(yīng)為其中，響應(yīng)幅值的模態(tài)表達式為可知：系統(tǒng)的響應(yīng)為各階主模態(tài)按照一定比例的線性疊加，各階模態(tài)對運動貢獻的大小取決于各階模態(tài)的因子(模態(tài)坐標)的大小，即取決于各階模態(tài)前面系數(shù)的大小。對于非簡諧的周期激勵，可以先將激振力展開為傅里葉級數(shù)分別按照簡諧激振的情況進行計算，最后將結(jié)果疊加起來。四、任意激振下比例阻尼多自由度系統(tǒng)振動響應(yīng)（1）當比例阻尼多自由度系統(tǒng)受到任意激振力{f(t)}作用時，振動微分方程為（2）在模態(tài)坐標Q下的微分方程（3）由給定系統(tǒng)在物理坐標下的初始條件，求得在模態(tài)坐標下的初始條件，再根據(jù)杜哈梅積分，可以得到系統(tǒng)在模態(tài)坐標下的響應(yīng)為如果假設(shè)初始條件為零，則響應(yīng)可簡化為（4）將所求得的在模態(tài)坐標下的響應(yīng)，通過坐標變換，求得在物理坐標下的響應(yīng)為其中，第1個坐標點的位移響應(yīng)為第6節(jié)多自由度有阻尼振動系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)分析

阻尼系統(tǒng)進行實模態(tài)分析要么對阻尼矩陣有非?？量痰囊?，要么需要做出簡化處理，這又會造成一定的誤差。對于一般的阻尼，例如，粘性阻尼或結(jié)構(gòu)阻尼的多自由度系統(tǒng)，可以利用復(fù)模態(tài)的分析方法進行分析求解。復(fù)模態(tài)分析方法有兩種途徑（1）將n個自由度二階系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為2n個一階系統(tǒng)來處理，稱為狀態(tài)空間方法；（2）利用拉氏變換，首先建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的展開式，再求系統(tǒng)的響應(yīng)，稱為拉氏變換方法。一、狀態(tài)空間方法

在狀態(tài)空間內(nèi)，將阻尼系統(tǒng)微分方程一般式，寫作即簡單記為

二、復(fù)特征值、復(fù)特征向量和復(fù)模態(tài)矩陣

令{f(t)}=0，得到系統(tǒng)的自由振動狀態(tài)空間方程為根據(jù)諧函數(shù)方法，假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的解為可得兩邊左乘A-1，得令可得特征方程為由特征方程可以求解得到n對(2n個)具有負實部的共軛復(fù)根，稱為復(fù)特征值，即復(fù)特征向量復(fù)特征值矩陣復(fù)模態(tài)矩陣即三、復(fù)特征同量對矩陣A和B的正交性

任意選取兩個不同的特征值，及其相應(yīng)的特征向量，可得對上兩式兩端分別取轉(zhuǎn)置，得分別減，可得可得復(fù)特征向量和的正交性關(guān)系的表達式，即因此四、坐標變換

狀態(tài)向量Y可表示為對上述方程進行坐標變換，并在方程的兩邊左乘可得即分解寫為因此，方程為