2023年中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)最值問題胡不歸專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

2023年中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)最值問題胡不歸專項(xiàng)訓(xùn)練

1.如圖，△ABC中，AB=AC=IO,tanA=2,BE_LAC于點(diǎn)E,O是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

則CD+^-BD的最小值是（）

解：如圖，作。H_LA8于H,CM_LAB于

AZAEB=90°,

RF

VtaiL4=5|=2,設(shè)AE=a,BE=2a,

則有：100=a2+4q2,

Aa2-20,

，a=2傷或-26（舍棄），

：.BE=2a=4V5,

"：AB=AC,BE1AC,CMLAB,

：.CM=BE=4V5（等腰三角形兩腰上的高相等）,

NDBH=NABE,NBHD=NBEA,

../pnjDHAEV5

?.sin皿1"l=前=而=可’

：.DH=骨D,

；.CD卷BD=CD+DH,

：.CD+DH^CM,

.?.CO+韻G

：.CD+^-BD的最小值為4V5.

方法二：作CMLAB于例，交BE于點(diǎn)D,則點(diǎn)。滿足題意.通過三角形相似或三角函

數(shù)證得立從而得到C￡>+4BO=CM=4V^.

53

故選：B.

2.如圖所示，菱形ABCO的邊長為5,對(duì)角線0B的長為4V5,P為0B上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+第0P

解：如圖，過點(diǎn)A作AHVOC于點(diǎn)H,過點(diǎn)P作PFLOC于點(diǎn)F,連接AC交0B于點(diǎn)J.

>1

OHCFx

?.?四邊形0ABe是菱形，

：.ACL0B,

：.0J=JB=2遙,CJ=ylOC2-O]2=J52-(2①尸=V5,

：.AC=2CJ=2V5,

,：AHL0C,

：.OC'AH=^"OB-AC,

.“口1475x275.

..AH=2x----g----=4,

..PFCJ底

-sinZPOF=0P=0C=-5'

：.PF=M)P,

：.AP+^0P=AP+PF,

"：AP+PF^AH,

：.AP+^-0P^4,

；.AP+當(dāng)OP的最小值為4,

故選：A.

1

3.如圖，E1ABC。中，ZDAB=30°,A5=6,BC=2,P為邊CO上的一動(dòng)點(diǎn)，貝l]PB+*PQ

的最小值等于（）

D

B

A.2B.4C.3D.5

解：作PQ_LAD的延長線于Q,作8"_LA。的延長線于H,

??⑦ABCD,

\AB//CD,

??NQDC=NA,

：ZDAB=30°,

\ZQDC=30°,

.”二

*PD—2

\QP=^DP,

1

,.PB+今PD=PB+QP,

,?當(dāng)3、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，PB+QP最小,即PB+QP最小為3”,

「A8=6,

\BH=^AB=3,

“8+棄。的最小值等于3.

故選：c.

4.如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于OO,AB為。。的直徑，4B=16,NABC=60°,。為弧

4c的中點(diǎn)，〃是弦AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)A、C重合），連接的則2+ZW的

解：過點(diǎn)加作用￡_]_0。于E,過點(diǎn)。作OF_LOC于尸，連接0Q,

/.ZACB=90°,

VZABC=60°,

AZBAC=30°,

?：OA=OC,

：.ZACO=ZCAO=30°,

1

；?ME=加C,

1

:?一CM+DM=ME+DM,

2

：.ME+DM的最小值為DF的長，

???￡）為弧AC的中點(diǎn),

AZAOD=ZCOD=60°,

在RtZkOQF中，sinZDOF=sin600=器=亭，

To

:?DF=￡OD=4V3,

1

.,?aCM+DM的最小值為：4百，

故選：A.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=，-2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)8(0,-3),若尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0(0,1)在y軸上，連接尸￡),則魚尸O+PC

的最小值是()

LL32/~

A.4B.2+2V2C.2V2D.-+-V2

23

解：過點(diǎn)P作/V1_BC于J,過點(diǎn)。作。H_L8c于H.

?.,二次函數(shù)y=/-2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B(0,-3),

??c=-3,

?,.二次函數(shù)的解析式為y=/-2r-3,令y=0,x1-2x-3=0,

解得x=-1或3,

???A(-1,0),C(3,0),

：.OB=OC=3,

???NBOC=90°,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

,:D(0,1),

AOD=\,BD=4,

■:DH上BC,

：.ZDHB=90°,

???O”=BD?sin450=272,

■:PUCB,

：.ZPJC=90°，

：.PJ=^PC,

：.\[2PD+PC=\[2(PD+辱PC)=42(DP+PJ),

■:DP+PJNDH,

：.DP+PJ^2y/2,

.?.OP+PJ的最小值為2&,

：.y[2PD+PC的最小值為4.

故選：A.

6.如圖，在△4BC中，NA=90°,ZB=60°,AB=2,若。是8C邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AO+DC

的最小值為6.

解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A,連接A4',A'D,過。作￡>E_LAC于E,

「△A8C中，ZBAC=90Q,ZB=60°,AB=2,

：.BH=\,AH=V3,AA'=2y[3,ZC=30°,

1

.?.國△CQE中，DE=/CD,即2QE=C￡),

：A與4關(guān)于BC對(duì)稱，

：.AD=A'D,

：.AD+DE=A'D+DE,

...當(dāng)A',D,E在同一直線上時(shí)，AO+OE的最小值等于AE的長，

/o

此:時(shí)，RtZ\A4'E中，A'E=sin60°XA4'=今x2百=3,

.?.AQ+OE的最小值為3,

即2AD+CD的最小值為6,

故答案為：6.

A,

7.如圖，在△ABC中，A8=5,AC=4,sinA=皆BQ_LAC交AC于點(diǎn)。.點(diǎn)P為線段2。

上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+|PB的最小值為一

解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作于點(diǎn)”,

「BDLAC,

AZADB=90°,

Vsin>4==耳，AB=5,

：.BD=4,

由勾股定理得40=7AB2-BD2=V52-42=3,

-7Anr.ADPE3

-sinZABD=AB=BP=5f

3

:?EP=^BP,

3

?,.PC+WPB=PC+PE,

即點(diǎn)C、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，PC+|pB最小，

：.PC+^PB的最小值為CH的長，

11

,?*SMBC=2xACXBD=2xABxCH,

???4><4=5XC”，

:.CH=?

PC+IPB的最小值為軍.

55

故答案為：—

8.如圖，AC垂直平分線段B。，相交于點(diǎn)0,且OB=OC,ZBA￡>=120°.

(1)/ABC=75°.

(2)E為8。邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BC=6,當(dāng)AE+^BE最小時(shí)BE=2企.

L--------

：.AB=AC,

：.NABD=NADB,

9：ZBAD=120°,

，NABD=(180°-120°)+2=30°,

?：OB=OC,OBIOC,

???NOBC=45°,

AZABC=300+45°=75°,

故答案為：75°；

(2)作A關(guān)于。8的對(duì)稱點(diǎn)A,過A作AG_LA8于G,過點(diǎn)E作EF_L48于尸,

VZABO=30°,

???乙43。=30°,

1

：.FE=專BE,

1

：.AE+^BE=AE+FE^AG9

設(shè)AG與08交于￡,BE即為當(dāng)+最小時(shí)的8E,

■:BC=6,NO3c=45°,

AOB=OC=BCcos45°=3也

??/小八八OB3/2/3

?COS/AB°F=前=7

：.BA'=2V6,

VZA'BA=60°,AB=A'B,

為等邊三角形，

：.BG=聶4=V6,

?cosZABO=詆7=詬；=-2,

=2/.

9.如圖，已知菱形ABCD的周長為9VL面積為1、/5,點(diǎn)E為對(duì)角線AC上動(dòng)點(diǎn)，則/4E+BE

解：連接BO交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作。于點(diǎn)H,

:菱形ABCD的周長為9VL

m=AB=竽，

???菱形AB8的面積為千，即竽如=誓

：.DH=2,

...在RtZ\4OH中，AH=>JAD2-DH2=竽,

.?.在RtZiBOH中，B￡>=竽，

?.?四邊形ABC。是菱形，

：.OB=OD=*,BDVAC,

：.在RtAAOD中，sin/ZMO=1,

.?.在RtZ\E4F中，，1=3|JEF=aAE,

1

：.-AE+BE=EF+BE,

3

1

，當(dāng)8E+E尸最小時(shí),,4E+BE最小，

過點(diǎn)3作于點(diǎn)尸，3尸為3E+EF的最小值,

QJ?9V29企

?：AD?BF'=當(dāng),B|J—.BF'=—,

242

：.BF=2,

1

?,.,4七+89的最小值為2.

10.如圖，菱形A3CQ中，NA8C=60°,邊長為3,尸是對(duì)角線3Q上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則與P+PC

2

最小值是+3>/3.

-2-

解：如圖，作于M,于”,

???四邊形A8CO是菱形，

1

：.ZPBM=^ABC=30°,

1

；?PM=^PB,

1

；.一PB+PC=PC+PM,

2

根據(jù)垂線段最短可知，CP+PM的最小值為CH的長,

在中，C”=8C?sin60°二竽，

1日―口3曲

：.-BP^rPC最小值是一，

22

373

故答案為:

2

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+4的圖象分別與)，軸和x軸交于點(diǎn)4和點(diǎn)B.若

定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,6b)，點(diǎn)。是y軸上任意一點(diǎn)，貝gpQ+Q8的最小值為__5y[3_.

解：過點(diǎn)尸作直線尸。與y軸的夾角NOPO=30°,作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)片，過9

點(diǎn)作B'EIPD交于點(diǎn)E、交＞■軸于點(diǎn)Q,

?：B'E±PD,NOPE=30°,

：.QE=\PQ,

?：BQ=B'Q,

11

止匕時(shí)取最小值，

-PQ+QB=QE^-B'Q=B'Ef5PQ+QB

VZOPD=30°,/尸。。=90°,

:.PD=2OD,NO。尸=60°,

???尸的坐標(biāo)為(0,6V3),

:.PO=63

???。。2+(6V3)2=(20。)2,

???00=6,

???直線y=-x+4的圖象分別與y軸和x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)8,

???A(0,4),B(4,0),

???O8=4,

J08=4,

???80=10,

VB'EIPD,NOOP=60°,

：.ZEB'D=30°,

1

：.DE=^B'D=5,

:?B'E=ylB'D2-DE2=V102-52=573,

1

'--PQ+QB取最小值為5V3,

故答案為：5B.

12.如圖，二次函數(shù)y=-7+2x+3的圖象與x軸交于4、8兩點(diǎn)，與），軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸

與x軸交于點(diǎn)D,若點(diǎn)尸為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD,則詈PC+PD的最小值為

3V10

5—1

解：*.j，=-/+2x+3

=-（x-3）（x+1）

=-（x-1）2+4,

.,.當(dāng)x=0時(shí)，y=3,當(dāng)y=0時(shí)，x=3或x=l,該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=l,

?.?二次函數(shù)y=-f+2x+3的圖象與x軸交于4、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸與x

軸交于點(diǎn)D,

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）,點(diǎn)力的坐

標(biāo)為（1,0）,

連接CD,作AELCQ于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)P,

VOD=I,OC=3,ZCOD=90°,

:.CD=VTo

sinOCD—,—=M,，

/ioio

即sin/PCE=停

:.PE=嚕PC,

?.?點(diǎn)4和點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，

：.PE+PD的最小值就是AE的長，

VZEAD+ZEDA^ZDCO+^EDA=90Q,

：.ZEAD=ZDCO,

??sinz_EAD一]0,

./—3同

??cosz_EA.D——■^0~,

\'AD=2,

.32義嚅手

即答PC+PD的最小值為

x軸交于A(3,0)、B(-1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C

(0,3),其頂點(diǎn)為點(diǎn)￡>,連結(jié)AC.

(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)E,點(diǎn)尸為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),使得以點(diǎn)4、C、E、F為

頂點(diǎn)、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，將點(diǎn)。向下平移5個(gè)單位得到點(diǎn)M,點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上

一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.

解：(1)?.?拋物線>=0?+版+。經(jīng)過4(3,0)、8(-1,0),C(0,3),

9Q+3匕+c=0

?*.a—Z?+c=0,

c=3

(a=-1

解得b=2，

c=3

，拋物線的解析式為y=-/+2x+3,

Vy=-(x-1)2+4,

頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,4)；

(2)設(shè)直線4c的解析式為)=履+乩

把A(3,0),C(0,3)代入，得[t+3。=°，

.(k=-1

F=3，

???直線AC的解析式為y=-戶3,

過點(diǎn)尸作/GJLOE于點(diǎn)G,

;以A,C,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的平行四邊形，

：.AC=EF,AC//EF,

?：OA//FG,

：.ZOAC=ZGFE,

：./\OAC^/\GFE(AAS),

：.OA=FG=3,

設(shè)尸。小-irr+2m+3),則G(l,-nr+2fn+3),

：.FG=\m-1|=3,

，m=-2或"?=4,

當(dāng)m=-2時(shí)，-nr^2m+3=-5,

：.F\(-2,-5),

當(dāng)m=4時(shí),-/n2+2m+3=-5,

：.F2(4,-5)

綜上所述，滿足條件點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-2,-5)或(4,-5)；

(3)由題意，M(l,-1),F2(4,-5),Fi(-2,-5)關(guān)于對(duì)稱軸直線x=l對(duì)稱，

連接尸1尸2交對(duì)稱軸于點(diǎn)H,連接QM,F2M,過點(diǎn)F1作正2M于點(diǎn)M交對(duì)稱軸于

點(diǎn)R連接產(chǎn)放.則M4=4,HF2=3,MF2=5,

FHFHaPNR

在RtAM/7F2中，sinZHMF2=備=*=則在RtAMPN中，sinZPMN=詆=[

Mr2Mr*1JrMJ

3

:.PN=WPM，

■:PFI=PF2,

PF+^PM=PFi+PN=F\N為最小值,

11

：SAMAF2=1x6X4=iX5XF1N,

14.已知二次函數(shù)y=a7-2x+c圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C(3,0),與)，軸交于點(diǎn)

B(0,-3).

(1)ci~~1fc~~~3；

(2)如圖①，P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。(0,2)在y軸上，連接尸￡>,求&PO+PC的最

小值；

(3)如圖②，點(diǎn)M在拋物線上，若SAMBC=3,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

圖①圖②

解：(1)把C(3,0),B(0,-3)代入y=〃/-2x+c,

得到,{:=一'n，解得『=

19。-6+c=01。=-3

故答案為：1,-3.

：.ZPCH=45°,

在Rt/XPC”中，PH=^PC.

'：V2DP+PC=V2(PD+斗PC)=V2(PD+PH),

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)。、P、”共線時(shí)&DP+PC最小，最小值為近，

在RtZ\Q"'2中，：8。=5,ZDBH1=45°,

J.DH'=￥即=竽，

J.V2DP+PC的最小值為&x竽=5.

(3)如圖2中，取點(diǎn)E(l,0),作EGJ_8c于G,易知EG=

二過點(diǎn)E作8c的平行線交拋物線于Mi,M2,則“BCM】=3,ShBCM2=3,

?.?直線8c的解析式為y=x-3,

直線M1M2的解析式為y=x-1,

3-717

~2~

1-417,

-2-

3-V171-7173+V17

：.M](------------------)M2(------

222

根據(jù)對(duì)稱性可知，直線MM2關(guān)于直線8C的對(duì)稱的直線與拋物線的交點(diǎn)M3、M4也滿足

條件,

易知直線M3M4的解析式為y=x-5,

由｛y=%-5解得二或｛；=2

y=x2—2x—3=—3'

AM3(1.-4),M4(2,-3),

3-5^171-V173+7171+V17

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為M\(---------,---------),Mi(----------,----------),

2222

M3(I.-4),“4(2,-3).

15.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)丫="(a>0)的圖象向右平移I個(gè)單位，再向下平

移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、8(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，

OA—\,經(jīng)過點(diǎn)A的--次函數(shù)y=fcr+Z>(%W0)的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物

線的另一個(gè)交點(diǎn)為。，△48。的面積為5.

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式;

(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求aACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)

E的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)尸為x軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求PE+|用的最小值.

解：(1)將二次函數(shù)(a>0)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位,

得到的拋物線解析式為y=a(x-1)2-2,

'：OA=1,

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),代入拋物線的解析式得，4a-2-0,

.1

??a=2'

拋物線的解析式為產(chǎn)!(x-1)2—2,即產(chǎn)步一x—|.

令y=0,解得川=-1,X2