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文檔簡(jiǎn)介
2023年中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)最值問(wèn)題胡不歸專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
1.如圖,△ABC中,AB=AC=IO,tanA=2,BE_LAC于點(diǎn)E,O是線(xiàn)段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
則CD+^-BD的最小值是()
解:如圖,作。H_LA8于H,CM_LAB于
AZAEB=90°,
RF
VtaiL4=5|=2,設(shè)AE=a,BE=2a,
則有:100=a2+4q2,
Aa2-20,
,a=2傷或-26(舍棄),
:.BE=2a=4V5,
":AB=AC,BE1AC,CMLAB,
:.CM=BE=4V5(等腰三角形兩腰上的高相等),
NDBH=NABE,NBHD=NBEA,
../pnjDHAEV5
?.sin皿1"l=前=而=可’
:.DH=骨D,
;.CD卷BD=CD+DH,
:.CD+DH^CM,
.?.CO+韻G
:.CD+^-BD的最小值為4V5.
方法二:作CMLAB于例,交BE于點(diǎn)D,則點(diǎn)。滿(mǎn)足題意.通過(guò)三角形相似或三角函
數(shù)證得立從而得到C£>+4BO=CM=4V^.
53
故選:B.
2.如圖所示,菱形ABCO的邊長(zhǎng)為5,對(duì)角線(xiàn)0B的長(zhǎng)為4V5,P為0B上一動(dòng)點(diǎn),則AP+第0P
解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AHVOC于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)P作PFLOC于點(diǎn)F,連接AC交0B于點(diǎn)J.
>1
OHCFx
?.?四邊形0ABe是菱形,
:.ACL0B,
:.0J=JB=2遙,CJ=ylOC2-O]2=J52-(2①尸=V5,
:.AC=2CJ=2V5,
,:AHL0C,
:.OC'AH=^"OB-AC,
.“口1475x275.
..AH=2x----g----=4,
..PFCJ底
-sinZPOF=0P=0C=-5'
:.PF=M)P,
:.AP+^0P=AP+PF,
":AP+PF^AH,
:.AP+^-0P^4,
;.AP+當(dāng)OP的最小值為4,
故選:A.
1
3.如圖,E1ABC。中,ZDAB=30°,A5=6,BC=2,P為邊CO上的一動(dòng)點(diǎn),貝l]PB+*PQ
的最小值等于()
D
B
A.2B.4C.3D.5
解:作PQ_LAD的延長(zhǎng)線(xiàn)于Q,作8"_LA。的延長(zhǎng)線(xiàn)于H,
??⑦ABCD,
\AB//CD,
??NQDC=NA,
:ZDAB=30°,
\ZQDC=30°,
.”二
*PD—2
\QP=^DP,
1
,.PB+今PD=PB+QP,
,?當(dāng)3、P、Q三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),PB+QP最小,即PB+QP最小為3”,
「A8=6,
\BH=^AB=3,
“8+棄。的最小值等于3.
故選:c.
4.如圖,四邊形A8CD內(nèi)接于OO,AB為。。的直徑,4B=16,NABC=60°,。為弧
4c的中點(diǎn),〃是弦AC上任意一點(diǎn)(不與端點(diǎn)A、C重合),連接的則2+ZW的
解:過(guò)點(diǎn)加作用£_]_0。于E,過(guò)點(diǎn)。作OF_LOC于尸,連接0Q,
/.ZACB=90°,
VZABC=60°,
AZBAC=30°,
?:OA=OC,
:.ZACO=ZCAO=30°,
1
;?ME=加C,
1
:?一CM+DM=ME+DM,
2
:.ME+DM的最小值為DF的長(zhǎng),
???£)為弧AC的中點(diǎn),
AZAOD=ZCOD=60°,
在RtZkOQF中,sinZDOF=sin600=器=亭,
To
:?DF=£OD=4V3,
1
.,?aCM+DM的最小值為:4百,
故選:A.
5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=,-2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn),與y
軸交于點(diǎn)8(0,-3),若尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)0(0,1)在y軸上,連接尸£),則魚(yú)尸O+PC
的最小值是()
LL32/~
A.4B.2+2V2C.2V2D.-+-V2
23
解:過(guò)點(diǎn)P作/V1_BC于J,過(guò)點(diǎn)。作。H_L8c于H.
?.,二次函數(shù)y=/-2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B(0,-3),
??c=-3,
?,.二次函數(shù)的解析式為y=/-2r-3,令y=0,x1-2x-3=0,
解得x=-1或3,
???A(-1,0),C(3,0),
:.OB=OC=3,
???NBOC=90°,
:.ZOBC=ZOCB=45°,
,:D(0,1),
AOD=\,BD=4,
■:DH上BC,
:.ZDHB=90°,
???O”=BD?sin450=272,
■:PUCB,
:.ZPJC=90°,
:.PJ=^PC,
:.\[2PD+PC=\[2(PD+辱PC)=42(DP+PJ),
■:DP+PJNDH,
:.DP+PJ^2y/2,
.?.OP+PJ的最小值為2&,
:.y[2PD+PC的最小值為4.
故選:A.
6.如圖,在△4BC中,NA=90°,ZB=60°,AB=2,若。是8C邊上的動(dòng)點(diǎn),則2AO+DC
的最小值為6.
解:如圖所示,作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,連接A4',A'D,過(guò)。作£>E_LAC于E,
「△A8C中,ZBAC=90Q,ZB=60°,AB=2,
:.BH=\,AH=V3,AA'=2y[3,ZC=30°,
1
.?.國(guó)△CQE中,DE=/CD,即2QE=C£),
:A與4關(guān)于BC對(duì)稱(chēng),
:.AD=A'D,
:.AD+DE=A'D+DE,
...當(dāng)A',D,E在同一直線(xiàn)上時(shí),AO+OE的最小值等于AE的長(zhǎng),
/o
此:時(shí),RtZ\A4'E中,A'E=sin60°XA4'=今x2百=3,
.?.AQ+OE的最小值為3,
即2AD+CD的最小值為6,
故答案為:6.
A,
7.如圖,在△ABC中,A8=5,AC=4,sinA=皆BQ_LAC交AC于點(diǎn)。.點(diǎn)P為線(xiàn)段2。
上的動(dòng)點(diǎn),則PC+|PB的最小值為一
解:過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)”,
「BDLAC,
AZADB=90°,
Vsin>4==耳,AB=5,
:.BD=4,
由勾股定理得40=7AB2-BD2=V52-42=3,
-7Anr.ADPE3
-sinZABD=AB=BP=5f
3
:?EP=^BP,
3
?,.PC+WPB=PC+PE,
即點(diǎn)C、P、E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),PC+|pB最小,
:.PC+^PB的最小值為CH的長(zhǎng),
11
,?*SMBC=2xACXBD=2xABxCH,
???4><4=5XC”,
:.CH=?
PC+IPB的最小值為軍.
55
故答案為:—
8.如圖,AC垂直平分線(xiàn)段B。,相交于點(diǎn)0,且OB=OC,ZBA£>=120°.
(1)/ABC=75°.
(2)E為8。邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),BC=6,當(dāng)AE+^BE最小時(shí)BE=2企.
L--------
:.AB=AC,
:.NABD=NADB,
9:ZBAD=120°,
,NABD=(180°-120°)+2=30°,
?:OB=OC,OBIOC,
???NOBC=45°,
AZABC=300+45°=75°,
故答案為:75°;
(2)作A關(guān)于。8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,過(guò)A作AG_LA8于G,過(guò)點(diǎn)E作EF_L48于尸,
VZABO=30°,
???乙43。=30°,
1
:.FE=專(zhuān)BE,
1
:.AE+^BE=AE+FE^AG9
設(shè)AG與08交于£,BE即為當(dāng)+最小時(shí)的8E,
■:BC=6,NO3c=45°,
AOB=OC=BCcos45°=3也
??/小八八OB3/2/3
?COS/AB°F=前=7
:.BA'=2V6,
VZA'BA=60°,AB=A'B,
為等邊三角形,
:.BG=聶4=V6,
?cosZABO=詆7=詬;=-2,
=2/.
9.如圖,已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為9VL面積為1、/5,點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)AC上動(dòng)點(diǎn),則/4E+BE
解:連接BO交AC于點(diǎn)。,過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)H,
:菱形ABCD的周長(zhǎng)為9VL
m=AB=竽,
???菱形AB8的面積為千,即竽如=誓
:.DH=2,
...在RtZ\4OH中,AH=>JAD2-DH2=竽,
.?.在RtZiBOH中,B£>=竽,
?.?四邊形ABC。是菱形,
:.OB=OD=*,BDVAC,
:.在RtAAOD中,sin/ZMO=1,
.?.在RtZ\E4F中,,1=3|JEF=aAE,
1
:.-AE+BE=EF+BE,
3
1
,當(dāng)8E+E尸最小時(shí),,4E+BE最小,
過(guò)點(diǎn)3作于點(diǎn)尸,3尸為3E+EF的最小值,
QJ?9V29企
?:AD?BF'=當(dāng),B|J—.BF'=—,
242
:.BF=2,
1
?,.,4七+89的最小值為2.
10.如圖,菱形A3CQ中,NA8C=60°,邊長(zhǎng)為3,尸是對(duì)角線(xiàn)3Q上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則與P+PC
2
最小值是+3>/3.
-2-
解:如圖,作于M,于”,
???四邊形A8CO是菱形,
1
:.ZPBM=^ABC=30°,
1
;?PM=^PB,
1
;.一PB+PC=PC+PM,
2
根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知,CP+PM的最小值為CH的長(zhǎng),
在中,C”=8C?sin60°二竽,
1日―口3曲
:.-BP^rPC最小值是一,
22
373
故答案為:
2
11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)y=-x+4的圖象分別與),軸和x軸交于點(diǎn)4和點(diǎn)B.若
定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,6b),點(diǎn)。是y軸上任意一點(diǎn),貝gpQ+Q8的最小值為_(kāi)_5y[3_.
解:過(guò)點(diǎn)尸作直線(xiàn)尸。與y軸的夾角NOPO=30°,作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)片,過(guò)9
點(diǎn)作B'EIPD交于點(diǎn)E、交>■軸于點(diǎn)Q,
?:B'E±PD,NOPE=30°,
:.QE=\PQ,
?:BQ=B'Q,
11
止匕時(shí)取最小值,
-PQ+QB=QE^-B'Q=B'Ef5PQ+QB
VZOPD=30°,/尸。。=90°,
:.PD=2OD,NO。尸=60°,
???尸的坐標(biāo)為(0,6V3),
:.PO=63
???。。2+(6V3)2=(20。)2,
???00=6,
???直線(xiàn)y=-x+4的圖象分別與y軸和x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)8,
???A(0,4),B(4,0),
???O8=4,
J08=4,
???80=10,
VB'EIPD,NOOP=60°,
:.ZEB'D=30°,
1
:.DE=^B'D=5,
:?B'E=ylB'D2-DE2=V102-52=573,
1
'--PQ+QB取最小值為5V3,
故答案為:5B.
12.如圖,二次函數(shù)y=-7+2x+3的圖象與x軸交于4、8兩點(diǎn),與),軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱(chēng)軸
與x軸交于點(diǎn)D,若點(diǎn)尸為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PD,則詈PC+PD的最小值為
3V10
5—1
解:*.j,=-/+2x+3
=-(x-3)(x+1)
=-(x-1)2+4,
.,.當(dāng)x=0時(shí),y=3,當(dāng)y=0時(shí),x=3或x=l,該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=l,
?.?二次函數(shù)y=-f+2x+3的圖象與x軸交于4、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱(chēng)軸與x
軸交于點(diǎn)D,
.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)力的坐
標(biāo)為(1,0),
連接CD,作AELCQ于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)P,
VOD=I,OC=3,ZCOD=90°,
:.CD=VTo
sinOCD—,—=M,,
/ioio
即sin/PCE=停
:.PE=嚕PC,
?.?點(diǎn)4和點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),
:.PE+PD的最小值就是AE的長(zhǎng),
VZEAD+ZEDA^ZDCO+^EDA=90Q,
:.ZEAD=ZDCO,
??sinz_EAD一]0,
./—3同
??cosz_EA.D——■^0~,
\'AD=2,
.32義嚅手
即答PC+PD的最小值為
x軸交于A(3,0)、B(-1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C
(0,3),其頂點(diǎn)為點(diǎn)£>,連結(jié)AC.
(1)求這條拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上取一點(diǎn)E,點(diǎn)尸為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),使得以點(diǎn)4、C、E、F為
頂點(diǎn)、AC為邊的四邊形為平行四邊形,求點(diǎn)尸的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,將點(diǎn)。向下平移5個(gè)單位得到點(diǎn)M,點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上
一動(dòng)點(diǎn),求的最小值.
解:(1)?.?拋物線(xiàn)>=0?+版+。經(jīng)過(guò)4(3,0)、8(-1,0),C(0,3),
9Q+3匕+c=0
?*.a—Z?+c=0,
c=3
(a=-1
解得b=2,
c=3
,拋物線(xiàn)的解析式為y=-/+2x+3,
Vy=-(x-1)2+4,
頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,4);
(2)設(shè)直線(xiàn)4c的解析式為)=履+乩
把A(3,0),C(0,3)代入,得[t+3。=°,
.(k=-1
F=3,
???直線(xiàn)AC的解析式為y=-戶(hù)3,
過(guò)點(diǎn)尸作/GJLOE于點(diǎn)G,
;以A,C,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的平行四邊形,
:.AC=EF,AC//EF,
?:OA//FG,
:.ZOAC=ZGFE,
:./\OAC^/\GFE(AAS),
:.OA=FG=3,
設(shè)尸。小-irr+2m+3),則G(l,-nr+2fn+3),
:.FG=\m-1|=3,
,m=-2或"?=4,
當(dāng)m=-2時(shí),-nr^2m+3=-5,
:.F\(-2,-5),
當(dāng)m=4時(shí),-/n2+2m+3=-5,
:.F2(4,-5)
綜上所述,滿(mǎn)足條件點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-2,-5)或(4,-5);
(3)由題意,M(l,-1),F2(4,-5),Fi(-2,-5)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng),
連接尸1尸2交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)H,連接QM,F2M,過(guò)點(diǎn)F1作正2M于點(diǎn)M交對(duì)稱(chēng)軸于
點(diǎn)R連接產(chǎn)放.則M4=4,HF2=3,MF2=5,
FHFHaPNR
在RtAM/7F2中,sinZHMF2=備=*=則在RtAMPN中,sinZPMN=詆=[
Mr2Mr*1JrMJ
3
:.PN=WPM,
■:PFI=PF2,
PF+^PM=PFi+PN=F\N為最小值,
11
:SAMAF2=1x6X4=iX5XF1N,
14.已知二次函數(shù)y=a7-2x+c圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn),點(diǎn)C(3,0),與),軸交于點(diǎn)
B(0,-3).
(1)ci~~1fc~~~3;
(2)如圖①,P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)。(0,2)在y軸上,連接尸£>,求&PO+PC的最
小值;
(3)如圖②,點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上,若SAMBC=3,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
圖①圖②
解:(1)把C(3,0),B(0,-3)代入y=〃/-2x+c,
得到,{:=一'n,解得『=
19。-6+c=01。=-3
故答案為:1,-3.
:.ZPCH=45°,
在Rt/XPC”中,PH=^PC.
':V2DP+PC=V2(PD+斗PC)=V2(PD+PH),
根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知,當(dāng)。、P、”共線(xiàn)時(shí)&DP+PC最小,最小值為近,
在RtZ\Q"'2中,:8。=5,ZDBH1=45°,
J.DH'=¥即=竽,
J.V2DP+PC的最小值為&x竽=5.
(3)如圖2中,取點(diǎn)E(l,0),作EGJ_8c于G,易知EG=
二過(guò)點(diǎn)E作8c的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于Mi,M2,則“BCM】=3,ShBCM2=3,
?.?直線(xiàn)8c的解析式為y=x-3,
直線(xiàn)M1M2的解析式為y=x-1,
3-717
~2~
1-417,
-2-
3-V171-7173+V17
:.M](------------------)M2(------
222
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知,直線(xiàn)MM2關(guān)于直線(xiàn)8C的對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)M3、M4也滿(mǎn)足
條件,
易知直線(xiàn)M3M4的解析式為y=x-5,
由{y=%-5解得二或{;=2
y=x2—2x—3=—3'
AM3(1.-4),M4(2,-3),
3-5^171-V173+7171+V17
綜上所述,滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為M\(---------,---------),Mi(----------,----------),
2222
M3(I.-4),“4(2,-3).
15.在平面直角坐標(biāo)系中,將二次函數(shù)丫="(a>0)的圖象向右平移I個(gè)單位,再向下平
移2個(gè)單位,得到如圖所示的拋物線(xiàn),該拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A、8(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)),
OA—\,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的--次函數(shù)y=fcr+Z>(%W0)的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物
線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為。,△48。的面積為5.
(1)求拋物線(xiàn)和一次函數(shù)的解析式;
(2)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方,求aACE面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)
E的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)尸為x軸上任意一點(diǎn),在(2)的結(jié)論下,求PE+|用的最小值.
解:(1)將二次函數(shù)(a>0)的圖象向右平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,
得到的拋物線(xiàn)解析式為y=a(x-1)2-2,
':OA=1,
.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),代入拋物線(xiàn)的解析式得,4a-2-0,
.1
??a=2'
拋物線(xiàn)的解析式為產(chǎn)!(x-1)2—2,即產(chǎn)步一x—|.
令y=0,解得川=-1,X2
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