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文檔簡介
2023年中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)最值問題胡不歸專項訓(xùn)練
1.如圖,△ABC中,AB=AC=IO,tanA=2,BE_LAC于點E,O是線段BE上的一個動點,
則CD+^-BD的最小值是()
解:如圖,作。H_LA8于H,CM_LAB于
AZAEB=90°,
RF
VtaiL4=5|=2,設(shè)AE=a,BE=2a,
則有:100=a2+4q2,
Aa2-20,
,a=2傷或-26(舍棄),
:.BE=2a=4V5,
":AB=AC,BE1AC,CMLAB,
:.CM=BE=4V5(等腰三角形兩腰上的高相等),
NDBH=NABE,NBHD=NBEA,
../pnjDHAEV5
?.sin皿1"l=前=而=可’
:.DH=骨D,
;.CD卷BD=CD+DH,
:.CD+DH^CM,
.?.CO+韻G
:.CD+^-BD的最小值為4V5.
方法二:作CMLAB于例,交BE于點D,則點。滿足題意.通過三角形相似或三角函
數(shù)證得立從而得到C£>+4BO=CM=4V^.
53
故選:B.
2.如圖所示,菱形ABCO的邊長為5,對角線0B的長為4V5,P為0B上一動點,則AP+第0P
解:如圖,過點A作AHVOC于點H,過點P作PFLOC于點F,連接AC交0B于點J.
>1
OHCFx
?.?四邊形0ABe是菱形,
:.ACL0B,
:.0J=JB=2遙,CJ=ylOC2-O]2=J52-(2①尸=V5,
:.AC=2CJ=2V5,
,:AHL0C,
:.OC'AH=^"OB-AC,
.“口1475x275.
..AH=2x----g----=4,
..PFCJ底
-sinZPOF=0P=0C=-5'
:.PF=M)P,
:.AP+^0P=AP+PF,
":AP+PF^AH,
:.AP+^-0P^4,
;.AP+當(dāng)OP的最小值為4,
故選:A.
1
3.如圖,E1ABC。中,ZDAB=30°,A5=6,BC=2,P為邊CO上的一動點,貝l]PB+*PQ
的最小值等于()
D
B
A.2B.4C.3D.5
解:作PQ_LAD的延長線于Q,作8"_LA。的延長線于H,
??⑦ABCD,
\AB//CD,
??NQDC=NA,
:ZDAB=30°,
\ZQDC=30°,
.”二
*PD—2
\QP=^DP,
1
,.PB+今PD=PB+QP,
,?當(dāng)3、P、Q三點共線時,PB+QP最小,即PB+QP最小為3”,
「A8=6,
\BH=^AB=3,
“8+棄。的最小值等于3.
故選:c.
4.如圖,四邊形A8CD內(nèi)接于OO,AB為。。的直徑,4B=16,NABC=60°,。為弧
4c的中點,〃是弦AC上任意一點(不與端點A、C重合),連接的則2+ZW的
解:過點加作用£_]_0。于E,過點。作OF_LOC于尸,連接0Q,
/.ZACB=90°,
VZABC=60°,
AZBAC=30°,
?:OA=OC,
:.ZACO=ZCAO=30°,
1
;?ME=加C,
1
:?一CM+DM=ME+DM,
2
:.ME+DM的最小值為DF的長,
???£)為弧AC的中點,
AZAOD=ZCOD=60°,
在RtZkOQF中,sinZDOF=sin600=器=亭,
To
:?DF=£OD=4V3,
1
.,?aCM+DM的最小值為:4百,
故選:A.
5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=,-2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點,與y
軸交于點8(0,-3),若尸是x軸上一動點,點0(0,1)在y軸上,連接尸£),則魚尸O+PC
的最小值是()
LL32/~
A.4B.2+2V2C.2V2D.-+-V2
23
解:過點P作/V1_BC于J,過點。作。H_L8c于H.
?.,二次函數(shù)y=/-2x+c的圖象與y軸交于點B(0,-3),
??c=-3,
?,.二次函數(shù)的解析式為y=/-2r-3,令y=0,x1-2x-3=0,
解得x=-1或3,
???A(-1,0),C(3,0),
:.OB=OC=3,
???NBOC=90°,
:.ZOBC=ZOCB=45°,
,:D(0,1),
AOD=\,BD=4,
■:DH上BC,
:.ZDHB=90°,
???O”=BD?sin450=272,
■:PUCB,
:.ZPJC=90°,
:.PJ=^PC,
:.\[2PD+PC=\[2(PD+辱PC)=42(DP+PJ),
■:DP+PJNDH,
:.DP+PJ^2y/2,
.?.OP+PJ的最小值為2&,
:.y[2PD+PC的最小值為4.
故選:A.
6.如圖,在△4BC中,NA=90°,ZB=60°,AB=2,若。是8C邊上的動點,則2AO+DC
的最小值為6.
解:如圖所示,作點A關(guān)于BC的對稱點A,連接A4',A'D,過。作£>E_LAC于E,
「△A8C中,ZBAC=90Q,ZB=60°,AB=2,
:.BH=\,AH=V3,AA'=2y[3,ZC=30°,
1
.?.國△CQE中,DE=/CD,即2QE=C£),
:A與4關(guān)于BC對稱,
:.AD=A'D,
:.AD+DE=A'D+DE,
...當(dāng)A',D,E在同一直線上時,AO+OE的最小值等于AE的長,
/o
此:時,RtZ\A4'E中,A'E=sin60°XA4'=今x2百=3,
.?.AQ+OE的最小值為3,
即2AD+CD的最小值為6,
故答案為:6.
A,
7.如圖,在△ABC中,A8=5,AC=4,sinA=皆BQ_LAC交AC于點。.點P為線段2。
上的動點,則PC+|PB的最小值為一
解:過點P作于點E,過點C作于點”,
「BDLAC,
AZADB=90°,
Vsin>4==耳,AB=5,
:.BD=4,
由勾股定理得40=7AB2-BD2=V52-42=3,
-7Anr.ADPE3
-sinZABD=AB=BP=5f
3
:?EP=^BP,
3
?,.PC+WPB=PC+PE,
即點C、P、E三點共線時,PC+|pB最小,
:.PC+^PB的最小值為CH的長,
11
,?*SMBC=2xACXBD=2xABxCH,
???4><4=5XC”,
:.CH=?
PC+IPB的最小值為軍.
55
故答案為:—
8.如圖,AC垂直平分線段B。,相交于點0,且OB=OC,ZBA£>=120°.
(1)/ABC=75°.
(2)E為8。邊上的一個動點,BC=6,當(dāng)AE+^BE最小時BE=2企.
L--------
:.AB=AC,
:.NABD=NADB,
9:ZBAD=120°,
,NABD=(180°-120°)+2=30°,
?:OB=OC,OBIOC,
???NOBC=45°,
AZABC=300+45°=75°,
故答案為:75°;
(2)作A關(guān)于。8的對稱點A,過A作AG_LA8于G,過點E作EF_L48于尸,
VZABO=30°,
???乙43。=30°,
1
:.FE=專BE,
1
:.AE+^BE=AE+FE^AG9
設(shè)AG與08交于£,BE即為當(dāng)+最小時的8E,
■:BC=6,NO3c=45°,
AOB=OC=BCcos45°=3也
??/小八八OB3/2/3
?COS/AB°F=前=7
:.BA'=2V6,
VZA'BA=60°,AB=A'B,
為等邊三角形,
:.BG=聶4=V6,
?cosZABO=詆7=詬;=-2,
=2/.
9.如圖,已知菱形ABCD的周長為9VL面積為1、/5,點E為對角線AC上動點,則/4E+BE
解:連接BO交AC于點。,過點E作于點F,過點。作。于點H,
:菱形ABCD的周長為9VL
m=AB=竽,
???菱形AB8的面積為千,即竽如=誓
:.DH=2,
...在RtZ\4OH中,AH=>JAD2-DH2=竽,
.?.在RtZiBOH中,B£>=竽,
?.?四邊形ABC。是菱形,
:.OB=OD=*,BDVAC,
:.在RtAAOD中,sin/ZMO=1,
.?.在RtZ\E4F中,,1=3|JEF=aAE,
1
:.-AE+BE=EF+BE,
3
1
,當(dāng)8E+E尸最小時,,4E+BE最小,
過點3作于點尸,3尸為3E+EF的最小值,
QJ?9V29企
?:AD?BF'=當(dāng),B|J—.BF'=—,
242
:.BF=2,
1
?,.,4七+89的最小值為2.
10.如圖,菱形A3CQ中,NA8C=60°,邊長為3,尸是對角線3Q上的一個動點,則與P+PC
2
最小值是+3>/3.
-2-
解:如圖,作于M,于”,
???四邊形A8CO是菱形,
1
:.ZPBM=^ABC=30°,
1
;?PM=^PB,
1
;.一PB+PC=PC+PM,
2
根據(jù)垂線段最短可知,CP+PM的最小值為CH的長,
在中,C”=8C?sin60°二竽,
1日―口3曲
:.-BP^rPC最小值是一,
22
373
故答案為:
2
11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+4的圖象分別與),軸和x軸交于點4和點B.若
定點P的坐標(biāo)為(0,6b),點。是y軸上任意一點,貝gpQ+Q8的最小值為__5y[3_.
解:過點尸作直線尸。與y軸的夾角NOPO=30°,作B點關(guān)于y軸的對稱點片,過9
點作B'EIPD交于點E、交>■軸于點Q,
?:B'E±PD,NOPE=30°,
:.QE=\PQ,
?:BQ=B'Q,
11
止匕時取最小值,
-PQ+QB=QE^-B'Q=B'Ef5PQ+QB
VZOPD=30°,/尸。。=90°,
:.PD=2OD,NO。尸=60°,
???尸的坐標(biāo)為(0,6V3),
:.PO=63
???。。2+(6V3)2=(20。)2,
???00=6,
???直線y=-x+4的圖象分別與y軸和x軸交于點A和點8,
???A(0,4),B(4,0),
???O8=4,
J08=4,
???80=10,
VB'EIPD,NOOP=60°,
:.ZEB'D=30°,
1
:.DE=^B'D=5,
:?B'E=ylB'D2-DE2=V102-52=573,
1
'--PQ+QB取最小值為5V3,
故答案為:5B.
12.如圖,二次函數(shù)y=-7+2x+3的圖象與x軸交于4、8兩點,與),軸交于點C,對稱軸
與x軸交于點D,若點尸為y軸上的一個動點,連接PD,則詈PC+PD的最小值為
3V10
5—1
解:*.j,=-/+2x+3
=-(x-3)(x+1)
=-(x-1)2+4,
.,.當(dāng)x=0時,y=3,當(dāng)y=0時,x=3或x=l,該函數(shù)的對稱軸是直線x=l,
?.?二次函數(shù)y=-f+2x+3的圖象與x軸交于4、B兩點,與y軸交于點C,對稱軸與x
軸交于點D,
.,.點A的坐標(biāo)為(-1,0),點B的坐標(biāo)為(3,0),點C的坐標(biāo)為(0,3),點力的坐
標(biāo)為(1,0),
連接CD,作AELCQ于點E,交y軸于點P,
VOD=I,OC=3,ZCOD=90°,
:.CD=VTo
sinOCD—,—=M,,
/ioio
即sin/PCE=停
:.PE=嚕PC,
?.?點4和點O關(guān)于點O對稱,
:.PE+PD的最小值就是AE的長,
VZEAD+ZEDA^ZDCO+^EDA=90Q,
:.ZEAD=ZDCO,
??sinz_EAD一]0,
./—3同
??cosz_EA.D——■^0~,
\'AD=2,
.32義嚅手
即答PC+PD的最小值為
x軸交于A(3,0)、B(-1,0)兩點,與y軸交于點C
(0,3),其頂點為點£>,連結(jié)AC.
(1)求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點D的坐標(biāo);
(2)在拋物線的對稱軸上取一點E,點尸為拋物線上一動點,使得以點4、C、E、F為
頂點、AC為邊的四邊形為平行四邊形,求點尸的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,將點。向下平移5個單位得到點M,點P為拋物線的對稱軸上
一動點,求的最小值.
解:(1)?.?拋物線>=0?+版+。經(jīng)過4(3,0)、8(-1,0),C(0,3),
9Q+3匕+c=0
?*.a—Z?+c=0,
c=3
(a=-1
解得b=2,
c=3
,拋物線的解析式為y=-/+2x+3,
Vy=-(x-1)2+4,
頂點。的坐標(biāo)為(1,4);
(2)設(shè)直線4c的解析式為)=履+乩
把A(3,0),C(0,3)代入,得[t+3。=°,
.(k=-1
F=3,
???直線AC的解析式為y=-戶3,
過點尸作/GJLOE于點G,
;以A,C,E,尸為頂點的四邊形是以AC為邊的平行四邊形,
:.AC=EF,AC//EF,
?:OA//FG,
:.ZOAC=ZGFE,
:./\OAC^/\GFE(AAS),
:.OA=FG=3,
設(shè)尸。小-irr+2m+3),則G(l,-nr+2fn+3),
:.FG=\m-1|=3,
,m=-2或"?=4,
當(dāng)m=-2時,-nr^2m+3=-5,
:.F\(-2,-5),
當(dāng)m=4時,-/n2+2m+3=-5,
:.F2(4,-5)
綜上所述,滿足條件點尸的坐標(biāo)為(-2,-5)或(4,-5);
(3)由題意,M(l,-1),F2(4,-5),Fi(-2,-5)關(guān)于對稱軸直線x=l對稱,
連接尸1尸2交對稱軸于點H,連接QM,F2M,過點F1作正2M于點M交對稱軸于
點R連接產(chǎn)放.則M4=4,HF2=3,MF2=5,
FHFHaPNR
在RtAM/7F2中,sinZHMF2=備=*=則在RtAMPN中,sinZPMN=詆=[
Mr2Mr*1JrMJ
3
:.PN=WPM,
■:PFI=PF2,
PF+^PM=PFi+PN=F\N為最小值,
11
:SAMAF2=1x6X4=iX5XF1N,
14.已知二次函數(shù)y=a7-2x+c圖象與x軸交于A、C兩點,點C(3,0),與),軸交于點
B(0,-3).
(1)ci~~1fc~~~3;
(2)如圖①,P是x軸上一動點,點。(0,2)在y軸上,連接尸£>,求&PO+PC的最
小值;
(3)如圖②,點M在拋物線上,若SAMBC=3,求點M的坐標(biāo).
圖①圖②
解:(1)把C(3,0),B(0,-3)代入y=〃/-2x+c,
得到,{:=一'n,解得『=
19。-6+c=01。=-3
故答案為:1,-3.
:.ZPCH=45°,
在Rt/XPC”中,PH=^PC.
':V2DP+PC=V2(PD+斗PC)=V2(PD+PH),
根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)。、P、”共線時&DP+PC最小,最小值為近,
在RtZ\Q"'2中,:8。=5,ZDBH1=45°,
J.DH'=¥即=竽,
J.V2DP+PC的最小值為&x竽=5.
(3)如圖2中,取點E(l,0),作EGJ_8c于G,易知EG=
二過點E作8c的平行線交拋物線于Mi,M2,則“BCM】=3,ShBCM2=3,
?.?直線8c的解析式為y=x-3,
直線M1M2的解析式為y=x-1,
3-717
~2~
1-417,
-2-
3-V171-7173+V17
:.M](------------------)M2(------
222
根據(jù)對稱性可知,直線MM2關(guān)于直線8C的對稱的直線與拋物線的交點M3、M4也滿足
條件,
易知直線M3M4的解析式為y=x-5,
由{y=%-5解得二或{;=2
y=x2—2x—3=—3'
AM3(1.-4),M4(2,-3),
3-5^171-V173+7171+V17
綜上所述,滿足條件的點M的坐標(biāo)為M\(---------,---------),Mi(----------,----------),
2222
M3(I.-4),“4(2,-3).
15.在平面直角坐標(biāo)系中,將二次函數(shù)丫="(a>0)的圖象向右平移I個單位,再向下平
移2個單位,得到如圖所示的拋物線,該拋物線與x軸交于點A、8(點A在點8的左側(cè)),
OA—\,經(jīng)過點A的--次函數(shù)y=fcr+Z>(%W0)的圖象與y軸正半軸交于點C,且與拋物
線的另一個交點為。,△48。的面積為5.
(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式;
(2)拋物線上的動點E在一次函數(shù)的圖象下方,求aACE面積的最大值,并求出此時點
E的坐標(biāo);
(3)若點尸為x軸上任意一點,在(2)的結(jié)論下,求PE+|用的最小值.
解:(1)將二次函數(shù)(a>0)的圖象向右平移1個單位,再向下平移2個單位,
得到的拋物線解析式為y=a(x-1)2-2,
':OA=1,
.?.點A的坐標(biāo)為(-1,0),代入拋物線的解析式得,4a-2-0,
.1
??a=2'
拋物線的解析式為產(chǎn)!(x-1)2—2,即產(chǎn)步一x—|.
令y=0,解得川=-1,X2
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