第04講 一元二次方程的判別式、根與系數(shù)（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）

第04講一元二次方程的判別式、根與系數(shù)1.理解一元二次方程根的判別式并會運用根的判別式判別一元二次方程根的情況；2.理解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知識點1：一元二次方程的判別式根的判別式：①時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③時，方程無實數(shù)根，反之亦成立知識點2：一元二次方程的根與系數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系：即的兩根為，則，。利用韋達定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如解題技巧：當(dāng)一元二次方程的題目中給出一個根讓你求另外一個根或未知系數(shù)時，可以用韋達定理【題型1判斷一元二次方程的根的情況】【典例1】（2022秋?沈河區(qū)期末）一元二次方程3x2﹣6x+4＝0根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．無實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定【答案】B【解答】解：∵a＝3，b＝﹣6，c＝4，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×4＝﹣12＜0，∴該方程沒有實數(shù)根．故選：B．【變式1-1】（2023?中原區(qū)校級一模）關(guān)于一元二次方程x2+3x＝4根的情況，下列說法中正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【解答】解：原方程可化為：x2+3x﹣4＝0，∵Δ＝32﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【變式1-2】（2023?伊川縣一模）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【解答】解：方程化為一般式為x2﹣2x﹣4＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4）＝20＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【變式1-3】（2023?嘉定區(qū)二模）下列關(guān)于x的方程一定有實數(shù)解的是（）A．x2+1＝0 B．x2﹣x+1＝0 C．x2﹣bx+1＝0（b為常數(shù)） D．x2﹣bx﹣1＝0（b為常數(shù)）【答案】D【解答】解：A．Δ＝02﹣4×1＝﹣4＜0，則方程沒有實數(shù)解，所以A選項不符合題意；B．Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，則方程沒有實數(shù)解，所以B選項不符合題意；C．Δ＝b2﹣4×1＝b2﹣4，當(dāng)b＝0時，Δ＝﹣4＜0，則方程沒有實數(shù)解，所以C選項不符合題意；D．Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0時，則方程有兩個不相等的實數(shù)解，所以CD項符合題意．故選：D．【題型2根據(jù)一元二次方程的實數(shù)根求含參數(shù)的取范圍】【典例2】（2022秋?甘井子區(qū)校級期末）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＝﹣1 D．k＞﹣1且k≠0【答案】C【解答】解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝22﹣4k?（﹣1）＝0，解得k＝﹣1．故選：C．【變式2-1】（2022秋?滕州市校級期末）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2m＝4有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＜2 B．m≤2 C．m≥0 D．m＜0【答案】A【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2m＝4即x2+2m﹣4＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（2m﹣4）＝16﹣8m＞0，解得：m＜2．故選：A．【變式2-2】（2023春?蜀山區(qū)校級期中）若一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，則m的取值范圍是（）A．m＜4 B．m≤4 C．m≤4且m≠2 D．m＜4且m≠2【答案】C【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，∴m﹣2≠0且（﹣4）2﹣4×（m﹣2）×2≥0，解得m≤4且m≠2，故m的取值范圍m≤4且m≠2．故選：C．【典例3】（2022秋?武漢期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果方程的一個根為x＝3，求k的值及方程的另一根．【解答】（1）證明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，無論k取何實數(shù)，總有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，所以方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，整理，得2﹣k＝0．解得k＝2，此時方程可化為x2﹣4x+3＝0．解此方程，得x1＝1，x2＝3．所以方程的另一根為x＝1．【變式3-1】已知關(guān)于x的方程ax2+2x-3=0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求a的取值范圍；．（2）若此方程的一個實數(shù)根為1，求a的值及方程的另一個實數(shù)根．【答案】（1）a>-13且a≠0（2）【解答】（1）解：由題意得：a≠0，△=4+12a>0，解得a>-13且（2）解：由題意得：a+2-3=0，解得：a=1，∴x2+2x-3=0，(x-1)(x+3)=0，解得x=1或-3，∴另一個實數(shù)根為：-3.【變式3-2】已知關(guān)于x的方程ax2+2x-3=0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求a的取值范圍；．（2）若此方程的一個實數(shù)根為1，求a的值及方程的另一個實數(shù)根．【答案】（1）a>-13且a≠0（2）【解答】（1）解：由題意得：a≠0，△=4+12a>0，

解得a>-13且（2）解：由題意得：a+2-3=0，

解得：a=1，

∴x2+2x-3=0，

(x-1)(x+3)=0，

解得x=1或-3，

∴另一個實數(shù)根為：-3.【變式3-3】（2022秋?和平區(qū)校級期末）關(guān)于x的一元二次方程：．（1）當(dāng)k＝1時，求方程的根；（2）若此方程有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍．【解答】解：（1）把k＝1代入得：x2+3x+＝0，（x+）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣；（2）∵此方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴k≠0，且Δ＝（2k+1）2﹣4k?（k+）＝1﹣k＞0，解得：k＜1且k≠0，即k的取值范圍為k＜1且k≠0．【題型2一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系】【典例4】（2021?貴港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的兩個實數(shù)根，則α+β﹣αβ的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【答案】B【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的兩個實數(shù)根，∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，∴α+β﹣αβ＝﹣1+2＝1，故選：B．【變式4-1】設(shè)α,β是一元二次方程x2+2x-1=0的兩個根，則αβA．2 B．1 C．-2 D．-1【答案】D【解答】解：∵α,β是一元二次方程，∴αβ=-1.故答案為：D.【變式4-2】（2023春?渦陽縣期中）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的兩個根，則α+β的值為（）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3【答案】D【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的兩個根，∴α+β＝﹣＝﹣＝3．故選：D．【變式4-3】若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的兩個實數(shù)根為m，n，則m+nmm的值為．【答案】-2【解答】解：根據(jù)題意得m+n=4，mn=-2，所以原式=4-2=-2故答案為：-2【典例5】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）若x1【答案】（1）m≤3【解答】（1）解：因為一元二次方程有兩個實數(shù)根，所以Δ=∴∴-∴即實數(shù)m的取值范圍為m≤（2）解：∵x1∴∴∴∴m=3（舍去）或【變式5-1】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若此方程的兩實數(shù)根x1，x2滿足x12+x22=10，求k的值．【答案】（1）k≤【解答】（1）解：△=由于方程有實數(shù)根，所以根的判別式△≥0-解得k（2）解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得x而x解得k=4由于k=4≤【變式5-2】已知關(guān)于x的一元二次方程x（1）求證：不論k為何實數(shù),方程總有實數(shù)根;（2）若方程的兩實數(shù)根分別為x1,x2,且滿足【答案】（1）略（2）k=-1.【解答】（1）證明：∵Δ=∵∴無論k取何值,該方程總有實數(shù)根（2）解：∵一元二次方程x2+(k-1)x-k=0的兩個根為x1，x2，∴x1+x2=-（k-1）=1-k，x1x2=-k，∵1x∴1x∴整理，解得：k=-1.【變式5-3】（2021秋?蓬溪縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)時，求m的值．【答案】（1）m＞﹣1且m≠0；（2）4【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＞0且m≠0，即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0，解得：m＞﹣1且m≠0；（2）∵關(guān)于的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，∵x12+x22＝x1x2+1，（x1+x2）2﹣2x1x2＝x1x2+1，即（x1+x2）2＝3x1x2+1，∴（）2＝﹣+1，即m2﹣3m﹣4＝0，解得：m1＝4，m2＝﹣1，經(jīng)檢驗，m1，m2都是分式方程的解，∵m＞﹣1且m≠0，∴m的值為4．1．（2022?梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情況（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【答案】B【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：B．2.（2022?河南一模）方程x2+x+1＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有一個實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】D【解答】解：∵Δ＝（）2﹣4×1×1＝﹣1＜0，∴方程沒有實數(shù)根．故選：D．3.（2022?羅平縣一模）已知關(guān)于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜且a≠1 D．a(chǎn)＞且a≠1【答案】C【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴22﹣4（1﹣a）×（﹣2）＞0且1﹣a≠0，整理得：4+8﹣8a＞0且a≠1解得：a＜且a≠1．故選：C4.（2022?太湖縣校級一模）若關(guān)于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且k≠2【答案】C【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴k+2≠0且Δ＝42﹣4（k+2）×1＞0，解得：k＜2且k≠﹣2．故選：C．5．（2023?天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，則（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7【答案】A【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故選：A．6．（2023?樂山）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0兩根為x1、x2，且x1＝3x2，則m的值為（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的兩根為x1，x2，∴x1+x2＝8，∵x1＝3x2，解得x1＝6，x2＝2，∴m＝x1x2＝6×2＝12．故選：C．7.（2022?東港區(qū)校級一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，則m2﹣6m﹣n+2022的值是（）A．2016 B．2018 C．2020 D．2022【答案】B【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的根，∴m2﹣5m﹣1＝0，∴m2﹣5m＝1，∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩個根，∴m+n＝5，∴m2﹣6m﹣n+2022＝m2﹣5m﹣m﹣n+2022＝1﹣5+2022＝2018．故選：B．8．（2022?東營）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是．【答案】k＜2且k≠1【解答】解：根據(jù)題意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，解得k＜2且k≠1，所以k的取值范圍是k＜2且k≠1．故答案為：k＜2且k≠1．9．（2022?資陽）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個根，則2a2+4a的值是．【答案】6【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個根，∴a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，故答案為：6．10．（2022?湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個根是x1，x2，則x1?x2的值是．【答案】3【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個根，∴x1?x2＝3，故答案為：3．11.（2022?西城區(qū)校級模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果此方程有一個實數(shù)根為0，求m的值．【答案】（1）略(2)m的值為或﹣【解答】（1）證明：∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）＝36，∵不論m取何值時，36恒大于0，∴原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：將x＝0代入x2﹣4mx+4m2﹣9＝0中，得4m2﹣9＝0，解得：m＝或﹣．∴m的值為或﹣．12.（2022?南海區(qū)一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m＝﹣1時，求出此時方程的兩個根．【答案】（1）m＜．（2）x1＝0，x2＝3【解答】解：（1）由題意可知：△＝9﹣4（m+1）＞0，∴m＜．（2）當(dāng)m＝﹣1時，∴△＝9，由求根公式可知：x＝，∴x1＝0，x2＝313.（2022?珠海二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若此方程的兩實數(shù)根x1，x2滿足x12+x22＝10，求k的值．【答案】（1）k≤5（2）4【解答】解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤5；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝4，x1?x2＝k﹣1，∵x12+x22＝10，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝42﹣2（k﹣1）＝10，解得k＝4，∵k≤5，∴k＝4．故k的值是4．1．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷【答案】A【解答】解：∵根的判別式Δ=(∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故答案為：A．2．下列關(guān)于x的一元二次方程，一定有兩個不相等的實數(shù)根的是（）A．x2+kx﹣1＝0B．x2+kx+1＝0C．x2+x﹣k＝0D．x2+x+k＝0【答案】A【解答】解：A、△＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，一定有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意；B、△＝k2﹣4×1×1＝k2﹣4，可能小于等于0，不一定有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；C、△＝12﹣4×1×（﹣k）＝1+4k，可能小于等于0，不一定有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；D、△＝12﹣4×1×k＝1﹣4k，可能小于等于0，不一定有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意.故答案為：A.3．（2022秋?大冶市期末）若關(guān)于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有兩不相等實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≤5 B．k＜5 C．k≤5且k≠1 D．k＜5且k≠1【答案】D【解答】解：∵關(guān)于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：k＜5且k≠1．故選：D．4．（2022秋?漳州期中）若a*b＝ab2﹣2ab﹣3．則方程3*x＝0的根的情況為（）A．無實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．不能確定【答案】C【解答】解：方程利用題中的新定義化簡得：3x2﹣6x﹣3＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝36+36＝72＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：C．5．（2022秋?豐臺區(qū)期末）若關(guān)于x的一元二次方程x2+x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為．【答案】【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×k＝1﹣4k＝0，解得：k＝，故答案為：A．2 B．1 C．-2 D．-1【答案】D【解答】解：∵α,β是一元二次方程，∴αβ=-故答案為：D6．已知x1,x2是方程A．1 B．-1 C．±1 D．0【答案】B【解答】解：∵x1與x2是方程x2∴x1∴1x故答案為：B.7．設(shè)α、β是方程x2+x+2012=0的兩個實數(shù)根，則α2+2α+β的值為（）A．-2014 B．2014 C．2013 D．-2013【答案】D【解答】解：∵a是方程的根∴a2+a+2012=0∴a2=-a-2012∴a2+2a+β=-a-2012+2a+β=a+β-2012∵a和β是方程的兩個實數(shù)根∴a+β=-1∴a+β-2012=-1-2012=-2013故答案為：D.8．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的兩個實數(shù)根為m，n，則m+nmm的值為【答案