基于壓縮感知的信號(hào)采樣研究

畢業(yè)論文基于壓縮感知的信號(hào)采樣研究系別計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院專業(yè)名稱通信工程班級(jí)學(xué)號(hào)學(xué)生姓名指導(dǎo)教師2023年6月9日基于壓縮感知算法的信號(hào)采樣研究摘要信號(hào)采樣是模擬的物理世界通向數(shù)字的信息世界之必備手段。多年來，指導(dǎo)信號(hào)采樣的理論根底一直是著名的Nyquist采樣定理，它要求采樣頻率不低于信號(hào)帶寬的2倍，其產(chǎn)生的大量數(shù)據(jù)造成了存儲(chǔ)空間的浪費(fèi)。隨著信息科學(xué)的開展，系統(tǒng)要求的采樣率越來越高。采樣率的逐步提高，不僅對(duì)于模數(shù)轉(zhuǎn)換器件的要求越來越高，對(duì)于后續(xù)的數(shù)字信號(hào)處理及存儲(chǔ)器等周邊設(shè)備也是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)。近年來，壓縮感知理論的出現(xiàn)，可以有效地緩解人們所面臨的困難。壓縮感知〔CompressedSensing〕提出一種新的采樣理論，它能夠以遠(yuǎn)低于Nyquist采樣速率采樣信號(hào)。本文詳述了壓縮感知的根本理論的三個(gè)主要的方面。一是信號(hào)的稀疏變換，信號(hào)的可壓縮性或稀疏性是運(yùn)用壓縮感知原理的前提，在我們現(xiàn)實(shí)生活中，只有一局部的信號(hào)是稀疏的，所以我們需要對(duì)絕大多數(shù)的信號(hào)進(jìn)行稀疏變換；二是觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)，在選擇觀測(cè)矩陣的時(shí)候，我們遵循一個(gè)條件，就是觀測(cè)矩陣和稀疏矩陣的要不相關(guān)，且觀測(cè)矩陣的性能越好，對(duì)信號(hào)的重構(gòu)就越有利；三是重構(gòu)算法的設(shè)計(jì)，這是壓縮感知中一個(gè)重要環(huán)節(jié)，其對(duì)重構(gòu)信號(hào)的質(zhì)量有至關(guān)重要的作用。本文著重分析觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)，并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)研究了不同的采樣率和不同的觀測(cè)矩陣對(duì)重構(gòu)性能產(chǎn)生的影響，知道了實(shí)際中我們需要根據(jù)信號(hào)特征選擇相應(yīng)的采樣率和測(cè)量矩陣。關(guān)鍵詞：壓縮感知，稀疏性，采樣StudyofthesignalsampingbasedonCompressedSensingAuthor：DengYunguiTutor：MaXuelianAbstractThesignalsamplingisawaywhichleadstheanalogphysicalworldtothedigitalinformationworld.ThetheoreticprincipleinstructingthesignalsamplingisalwaysthefamousNyquistPrincipleforthepastfewyears.Itsaysthatthesamplingratenotbelessthanthesignalwidth.Butthelargenumberofdataitproducedcausethewasteofstoragespace.Withthedevelopmentofinformationscience,thesamplingrateofthesystemisbecominghigherandhigher.Thegradualincreaseofthesamplingrate,notonlyfortheADCdevice,butalsoforthefollowingdigitalsignalprocessingdeviceandotherperipheralequipments,isabigchallenge.Inrecentyears,thetheoryofcompressedsensingattractsmanypeople'sattentionanditcaneffectivelysolvetheaboveproblems.Compressedsensing(CS)usesanewsamplingtheory,anditcansamplesignalbyusingsamplingratefarbelowtheNyquistrate.Thisthesisdescribesthethreemainaspectsofthebasictheoryofcompressedsensing.Oneisthesparsitytransformofthesignalascompressibilityorsparsenesssignalistheprinciplepremiseofcompressedsensing.Inourreallife,onlyapartofsignalsaresparse,soweneedtotransformthevastmajorityofthesignalintosparsesignal.Thesecondpointisthedesignoftheobservationmatrix.Whenwechooseanobservationmatrix,wemustfollowastandardthattheobservationmatrixandsparsematricesarenotrelated.Furthermorethebettertheperformanceoftheobservationmatrixwechoose,thebetterthesignalcanbereconstructed.Thethirdpointisthedesignofreconstructionalgorithm,whichisoneofthemostimportantaspectsofcompressedsensing,whichhasacrucialeffectonthequalityofthereconstructedsignal.Inthethesis,theobservationmatrixisanalyzedandthesimulationisperformedonit.Andwedosomeexperimentaboutinfluenceofrecoveringaccuracywhichcausedbydifferentobservationmatrixandsamplingrate.SoIknowthatweshouldchooserightobservationandsamplingrateaccordingtosignal’sfeatures.Keywords:Compressedsensing,sparsity,sampling目錄1緒論11.1課題背景及研究意義11.2壓縮感知的開展及應(yīng)用領(lǐng)域21.3本文研究方法及工作安排32壓縮感知的根本理論42.1壓縮感知理論框架42.2壓縮感知理論核心52.2.1信號(hào)的稀疏性62.2.2信號(hào)的觀測(cè)矩陣的選擇72.3恢復(fù)算法82.4小結(jié)103壓縮感知中的測(cè)量矩陣123.1測(cè)量矩陣的分類123.1.1隨機(jī)測(cè)量矩陣123.1.2確定性測(cè)量矩陣133.1.3局部隨機(jī)測(cè)量矩陣153.2本章小結(jié)164實(shí)驗(yàn)及仿真分析174.1基于壓縮感知的采樣機(jī)信號(hào)重構(gòu)仿真174.2基于不同的測(cè)量矩陣的壓縮感知仿真194.3本章總結(jié)22結(jié)論23參考文獻(xiàn)24致謝25附錄26附錄A26附錄B361緒論1.1課題背景及研究意義過去的幾十年里，通信技術(shù)取得了巨大的開展。而伴同著的成長(zhǎng)，稀缺的頻譜資源和供應(yīng)之間的不平衡，使得頻譜資源變得很珍貴，這引起了科學(xué)家們的關(guān)注。研究發(fā)現(xiàn)，在有許可證的頻段內(nèi)，高頻局部，尤其3GHZ以上的頻段內(nèi)，頻譜的利用率相當(dāng)?shù)?。的頻譜使用率為，而的頻譜使用率僅為[1]。所以假設(shè)我們能夠?qū)⒏哳l段內(nèi)的頻譜資源充分利用，就能夠有效的解決頻譜稀缺性的問題。通訊體系和偵測(cè)體系中，高頻信號(hào)的應(yīng)用在當(dāng)中已經(jīng)占據(jù)了主導(dǎo)地位，它們所帶來的問題也困擾著人們。首先，高采樣頻率的信號(hào)給ADC〔模數(shù)轉(zhuǎn)換〕器件帶來了巨大壓力，甚至就做不到。我們都知道在我們生活中的信號(hào)都是模擬信號(hào)，而我們處理的信號(hào)都是數(shù)字信號(hào)。因此模數(shù)轉(zhuǎn)換過程，是大局部的通訊系統(tǒng)中必不可少的。在轉(zhuǎn)變模擬信息到數(shù)字信息時(shí)我們遵循經(jīng)典的Nyquist采樣定理[2]。由于各種因素，市面上的多種ADC器件的采樣速率不會(huì)跟著需求變化，所以高頻信號(hào)的使用就被轉(zhuǎn)變模塊限制住了。盡管能夠應(yīng)用先將高頻信號(hào)降到中頻，接著再進(jìn)行采樣的方式，然而此種解決方案也會(huì)給模數(shù)轉(zhuǎn)換模塊前帶來相當(dāng)程度上的的信號(hào)失真。甚至在一些特殊的情況下，這種方案都不能解決問題。另外，后續(xù)的數(shù)字處理系統(tǒng)不能承受高速采樣所帶來的壓力。信號(hào)的一般處理過程是先采樣，再存儲(chǔ)，接著處理，傳輸，接收，復(fù)原。在信號(hào)處理的過程中，硬件的局限性，如存儲(chǔ)器的存儲(chǔ)速度等，已然變成了系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的難點(diǎn)[3]。從上述分析可得到，降低模數(shù)轉(zhuǎn)換器件的采樣速率，己經(jīng)迫在眉睫。Nyquist采樣定理是我們進(jìn)行采樣所需遵循的。但是，實(shí)際中的信號(hào)大多是幾個(gè)窄帶信號(hào)在寬頻譜的分布。從頻率的方面上理解，我們認(rèn)為現(xiàn)實(shí)中的大多數(shù)信號(hào)是稀疏的。在某種特定的情況下，近似的信號(hào)我們可以對(duì)其帶通采樣。而帶通采樣的是在我們已經(jīng)知道載波頻率的情況下才能進(jìn)行。如果信號(hào)的載波頻率未知，我們就不能對(duì)其進(jìn)行帶通采樣。因此就自然而然的引出一個(gè)設(shè)想：我們是否可以用另外的變換空間表示信號(hào)，研究出新的信號(hào)描述理論，使在不喪失信息的前提下，使用遠(yuǎn)小于奈奎斯特采樣速率采樣信號(hào)，同時(shí)又能夠不損失的恢復(fù)信號(hào)。稀疏性和信號(hào)帶寬作比擬，可以知道它可以直接地完全地描述信號(hào)的信息。實(shí)際上，稀疏性在如今的信號(hào)處理中占有重要的地位。最近幾年，提出了一種新的采樣定理—壓縮感知理論〔compressedsensing，簡(jiǎn)稱為CS〕，它是基于信號(hào)的稀疏性提出的，并且能夠同一時(shí)間完成信號(hào)的壓縮和采樣[4]。既解決了存儲(chǔ)空間的浪費(fèi)情況，又降低了采樣速率的要求。單一的看，壓縮感知原理提出：只須信號(hào)是稀疏或者是能夠壓縮的，我們就能夠用一個(gè)與稀疏基不相關(guān)的矩陣與信號(hào)相乘，將其投影到低維空間，緊接著經(jīng)過解范數(shù)下的優(yōu)化問題就能夠從少許的投影值中以高概率復(fù)原出原信號(hào)，已經(jīng)證實(shí)，這些少量的投影值包含了足夠的原信號(hào)信息，使得原信號(hào)能無損地恢復(fù)[5]。此原理指出，信號(hào)的采樣速率不再由Nyquist定理所決定，而是由信號(hào)的稀疏性和非相干性決定。1.2壓縮感知的開展及應(yīng)用領(lǐng)域過去，信號(hào)處理系統(tǒng)通常為采樣，壓縮，處理，傳輸，解壓縮這幾步[4]。如果我們假設(shè)信號(hào)具有稀疏性，能不能把信號(hào)的采集和壓縮合在一塊完成？2006年Donoho、Candes和Tao等人的研究構(gòu)成了現(xiàn)如今壓縮傳感理論的基石[6,7]，Candes已經(jīng)證明，具有稀疏性的信號(hào)能夠從局部投影值中精確的復(fù)原，所以信號(hào)的采樣和壓縮式可以合并成同一個(gè)過程。隨后Candes和Donoho等人就提出了大家所知道的壓縮傳感原理。壓縮感知在初次提出，就吸引了人們的關(guān)注。從文字上我們就可以猜想只是一種壓縮手段。我們以前都是根據(jù)信號(hào)本身的特性，當(dāng)信號(hào)被采集后，丟掉信號(hào)的多余局部，從而進(jìn)行壓縮的。但是，CS理論是采集壓縮之后的數(shù)據(jù)。相比于傳統(tǒng)的理論，壓縮傳感所帶來的優(yōu)勢(shì)更加的明顯。CS原理指出，假設(shè)信號(hào)是稀疏的，我們就可以先對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏化，再測(cè)量，最后重構(gòu)出原信號(hào)，并且能夠?qū)⑿盘?hào)重構(gòu)的很好[8]。毋庸置疑，CS技術(shù)具有的廣闊的應(yīng)用前景。到如今，CS理論已經(jīng)席卷了科學(xué)界，在許多方面都得到了運(yùn)用。(1)壓縮成像。Rice大學(xué)已經(jīng)在CS理論的根底上做出了一個(gè)“單像素〞的照相機(jī)[5]。相機(jī)直接采集的是屢次隨機(jī)線性測(cè)量值，這使得我們能夠拍攝高清晰度圖片。此外，壓縮成像也應(yīng)用在了雷達(dá)成像領(lǐng)域。(2)信道編碼。由于不易被誤差影響，而能夠CS理論用設(shè)計(jì)快速誤差校正編碼。(3)模擬到數(shù)字信息轉(zhuǎn)換。傳統(tǒng)的信息采集是基于Nyquist定理，即我們是根據(jù)Nyquist定理來實(shí)現(xiàn)ADC器件的功能。但是由于傳統(tǒng)方法的諸多限制，傳統(tǒng)方法已經(jīng)不能滿足人們的需要。對(duì)此，kt'ioios制作出了基于CS理論的ADC器件。另外CS理論在光學(xué)，通信等科學(xué)理論中也得到了廣泛的應(yīng)用。1.3本文研究方法及工作安排本論文主要研究了壓縮感知理論的根本原理及其信號(hào)采樣過程，首先介紹了壓縮感知的根本過程，然后詳細(xì)地分析了CS的三個(gè)主要內(nèi)容：信號(hào)的稀疏性、測(cè)量矩陣的選擇和重構(gòu)算法的設(shè)計(jì)。再針對(duì)信號(hào)采樣局部，研究了多種不同的測(cè)量矩陣，并針對(duì)不同的參數(shù)進(jìn)行仿真分析。在仿真分析中，進(jìn)行不同的采樣率下的重構(gòu)的仿真實(shí)驗(yàn)，并對(duì)不同測(cè)量矩陣下的信號(hào)重構(gòu)進(jìn)行仿真，通過比照的方法分析出了其中的優(yōu)劣，給出建議。本論文主要分為五局部：第一章是緒論，介紹了壓縮感知提出的背景，及研究現(xiàn)狀；第二章是介紹壓縮感知的原理；第三章是系統(tǒng)的分析了各種測(cè)量矩陣；第四章是進(jìn)行仿真分析；第五章是總結(jié)。2壓縮感知的根本理論2.1壓縮感知理論框架傳統(tǒng)的信號(hào)處理過程如圖2.1所示。信號(hào)先進(jìn)過采樣，再壓縮；而解碼端那么進(jìn)行相反的過程，解碼端將收集到的信號(hào)進(jìn)行解壓縮和反變換，最終恢復(fù)成原來的信號(hào)。采樣傳統(tǒng)的信號(hào)采樣和壓縮方式，雖然能夠完整的表示和恢復(fù)原信號(hào)，但是傳統(tǒng)方式采樣所得到的數(shù)據(jù)存在著較大的冗余，造成的存儲(chǔ)空間的浪費(fèi)。另外由于Nyquist定理要求采樣速率不低于信號(hào)帶寬的2倍，所以硬件系統(tǒng)的采樣速度會(huì)有較大壓力。YY編碼端信號(hào)X采樣變換、壓縮解碼解碼端接收數(shù)據(jù)Y解壓縮、反變換恢復(fù)信號(hào)X圖2.1基于Nyquist頻率的傳統(tǒng)編解碼框圖壓縮感知理論指出可以對(duì)稀疏性的信號(hào)在一個(gè)有特點(diǎn)的矩陣下進(jìn)行投影，我們只需要感知這些投影值，而這些投影值相對(duì)于原信號(hào)來說要小的多，但也包含了原來信號(hào)的所有信息，即壓縮感知理論得到的是采樣壓縮以后的信號(hào)[8]，即直接感知壓縮了的信號(hào)，此時(shí)可以認(rèn)為采樣和壓縮是在同一個(gè)步驟進(jìn)行的。這樣我們就能以一個(gè)較低的頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，能夠?yàn)槲覀儾蓸痈叻直媛市畔p輕了壓力?；趬嚎s感知理論的信號(hào)處理過程如圖2.2所示。壓縮感知以低于Nyquist頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行非自適應(yīng)性的測(cè)量和編碼[9]。解碼過程不是類似于傳統(tǒng)理論的一個(gè)簡(jiǎn)單逆過程，它是利用信號(hào)稀疏性在范數(shù)下求最優(yōu)解，它實(shí)現(xiàn)的是帶有一定誤差的重構(gòu)?；贑S理論的解碼過程所需要的采樣值于奈奎斯特所需的采樣值。YY編碼端稀疏信號(hào)X測(cè)量編碼解碼端接收數(shù)據(jù)Y解碼重構(gòu)恢復(fù)信號(hào)X圖2.2基于壓縮感知理論的信號(hào)處理過程2.2壓縮感知理論核心假設(shè)有一信號(hào)，長(zhǎng)度為N，基向量為，對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換有：(2.1)其中，是信號(hào)在時(shí)域上的表示，是信號(hào)在上的表示。只有當(dāng)信號(hào)時(shí)稀疏的情況下，我們才能用CS理論，如果(2.1)式中的只有個(gè)非零值，，我們就可以認(rèn)為信號(hào)是稀疏的，或者中的分量經(jīng)過降序排序后呈指數(shù)型衰減，我們也可以認(rèn)為它是稀疏的。如果信號(hào)是稀疏的，CS處理過程為：一是用一個(gè)與稀疏基矩陣不相關(guān)維的測(cè)量矩陣測(cè)量信號(hào)，得到維測(cè)量值；二是由維觀測(cè)值重構(gòu)信號(hào)。按照上面的思想，考慮一個(gè)維測(cè)量矩陣,定義為：(2.2)此矩陣共有個(gè)列向量，任意一個(gè)列向量，=1N，且M<N。定義向量y為：(2.3)將帶入得：(2.4)其中；信號(hào)的重構(gòu)就是解決下述最優(yōu)化問題；(2.5)即0范數(shù)最優(yōu)化問題，實(shí)際中采用的是可實(shí)現(xiàn)的1范數(shù)最優(yōu)化問題。2.2.1信號(hào)的稀疏性CS是基于稀疏信號(hào)理論提出的，即可以壓縮感知的信號(hào)都是稀疏的，換句話說，只有稀疏信號(hào)才能進(jìn)行壓縮感知，且我們生活中的大多數(shù)信號(hào)都具有這種能夠被壓縮的特性，只不過是它們并沒有直接表現(xiàn)出這種稀疏形式[8]。在研究中，我們就需要找到信號(hào)的稀疏形式。一長(zhǎng)度為的離散實(shí)信號(hào)，可以看作是空間的一個(gè)維列向量，其中，假設(shè)信號(hào)有K個(gè)非零分量，且，那么我們認(rèn)為信號(hào)是稀疏的?，F(xiàn)實(shí)生活中，大局部的信號(hào)本身不是稀疏的，但是我們可以讓信號(hào)通過某種變換后變成稀疏的，即信號(hào)通過該變換僅有K個(gè)非零分量〔K<<N〕，或者是把信號(hào)的分量按降序排列，假設(shè)成指數(shù)型衰減并趨于零，這兩種信號(hào)我們也認(rèn)為其是稀疏的。信號(hào)的稀疏變換就是要找到一個(gè)適宜的變換，使得經(jīng)過變換后的原信號(hào)具有稀疏性。在過去的研究中，我們發(fā)現(xiàn)大局部的信號(hào)在正交基下的線性變換就具有稀疏性[10]。對(duì)于不具有稀疏性的任意信號(hào)，我們來找尋它的稀疏基。首先我們給定一組空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基：，其中為維向量，所以空間的任意向量都可以用線性表示，故信號(hào)可表示為(2.1)式所示。其中，向量是維變換系數(shù)。而矩陣是由作為列向量的的變換矩陣，因此向量為信號(hào)在變換基下的等價(jià)表示，假設(shè)向量?jī)H有K個(gè)非零信號(hào)，我們就稱信號(hào)在域下是稀疏的。圖2.3給出了信號(hào)稀疏表示的實(shí)現(xiàn)圖。圖2.3信號(hào)的稀疏表示信號(hào)的稀疏表示就是要尋求一個(gè)適宜的稀疏基矩陣，使得自然信號(hào)在該矩陣下的變換稀疏進(jìn)可能的稀疏。好的稀疏基能降低采集難度，提高了采樣速率，也對(duì)后續(xù)的存儲(chǔ)，傳輸具有重要作用，也能提高最后的重構(gòu)精度。就目前研究的現(xiàn)狀而言，叫常見的稀疏基有：離散小波變化基，離散余弦變換基，傅里葉變換基以及冗余字典。信號(hào)在冗余字典下的稀疏分解是現(xiàn)階段的一個(gè)研究熱門，他是用冗余函數(shù)庫代替稀疏基。構(gòu)成冗余字典的元素并沒有任何要求，一般情況下我們盡量選取符合被測(cè)量的信號(hào)的原子，所以我們就可以從中選取到一組最優(yōu)的線性組合逼近原信號(hào)[10]。2.2.2信號(hào)的觀測(cè)矩陣的選擇壓縮感知中的測(cè)量是實(shí)現(xiàn)信號(hào)壓縮采樣的手段,它是用的測(cè)量矩陣和信號(hào)相乘，得到壓縮感知后的測(cè)量值。其數(shù)學(xué)描述為(2.2)所示。根據(jù)2.2節(jié)中所介紹的壓縮感知理論，其過程如圖2.4所示。圖2.4壓縮感知的線性測(cè)量過程在此過程中，矩陣為非自適應(yīng)測(cè)量矩陣，即矩陣不會(huì)根據(jù)需求而變化，一經(jīng)確定就無法改變。這樣我們就得到了測(cè)量值y。在此變換過程中，信號(hào)x已經(jīng)變成了y，那我們?cè)鯓硬拍鼙ＷC我們可以從y中恢復(fù)出原始信號(hào)x，這要求我們信號(hào)在測(cè)量過程中不會(huì)有信息的喪失，那么一個(gè)什么樣的觀測(cè)矩陣能保證這點(diǎn)呢？Tao和Candes等人提出了有限等距約束特性(RestrictedIsometryPrinciple，簡(jiǎn)稱為RIP)[14],指出，假設(shè)當(dāng)感知矩陣A滿足RIP性質(zhì)是，就可以認(rèn)為信號(hào)在基于此矩陣的測(cè)量中不就會(huì)有信息的喪失。RIP的定義為：對(duì)于任意N維的K-稀疏信號(hào)x，其稀疏表示形式為，假設(shè)果存在常數(shù)，使得感知矩陣滿足下式[11]： (2.10)那么我們就認(rèn)為矩陣A滿足性質(zhì)，其中稱為常數(shù)。由于這是一個(gè)問題，所以我們不可以直接判斷出矩陣是否具有性質(zhì)，因此提出了一種替代方法，即當(dāng)變換矩陣和觀測(cè)矩陣不相關(guān)時(shí)，其感知矩陣A在很大程度上就滿足RIP性質(zhì)[11]。2.3恢復(fù)算法關(guān)于，矩陣的每一個(gè)行向量都提取了信號(hào)的少許信息[11]。由M個(gè)測(cè)量值和矩陣，我們就能夠精確恢復(fù)出原信號(hào)。經(jīng)過上述的研究可知，原N×l維向量變換為了M×l維向量y。公式中，方程數(shù)個(gè)數(shù)M小于未知數(shù)個(gè)數(shù)。這是一個(gè)欠定方程組，我們無法求出一個(gè)確切的數(shù)值解。但是，假設(shè)信號(hào)為K稀疏，這樣求解出K個(gè)未知的解即可。因K<M，這樣方程便可以求解。恢復(fù)算法本質(zhì)上是一個(gè)求解方程的問題。此處，我們采用“正交匹配追蹤法。正交匹配追蹤〔OMP〕，其實(shí)質(zhì)基于“稀疏〞的思想求解的[12]。本來，算法的目的就是為了找K個(gè)非零元素。為了便于分析，方便理解，首先假設(shè)K=1，即只有一個(gè)非零元素。對(duì)于矩陣方程，首先假設(shè)唯一的一個(gè)非零元素在中的q行，并假設(shè)此元素值為。顯而易見，在這種簡(jiǎn)化處理情況下，矩陣與的乘法運(yùn)算就是矩陣的第q列與s中的唯一非零元素的乘積，定義向量為二者乘積的結(jié)果，即。這個(gè)問題也可以這樣理解，矩陣的第q列與y的相似度最高。在數(shù)學(xué)上，可以表示為：(2.11)其中，,為矩陣中不同于的任意一個(gè)列向量。所以，只需要計(jì)算出矩陣與y內(nèi)積絕對(duì)值最大對(duì)應(yīng)的列即可。實(shí)際上，這個(gè)有點(diǎn)像施密特正交化方法，這也是為什么叫做“正交〞匹配追蹤。而匹配，顯然是找到了最大的?，F(xiàn)在考慮K>1時(shí)的情況。上述的內(nèi)積處理之后，定義余量為：(2.12)由于K>1，所以至少有兩個(gè)元素是非零的。此時(shí)繼續(xù)做內(nèi)積處理，找出余量與中所有列向量?jī)?nèi)積絕對(duì)值最大的那列即可。此處比擬時(shí)，不與第一次的內(nèi)積值比擬，因?yàn)樗航?jīng)被保存了下來。經(jīng)過這兩次的操作之后，找到了兩個(gè)列向量，分別記為和。其中，其中為第一次找到的列值，為第二次找到的列值。此時(shí)，記。此時(shí)按照式(2.12)繼續(xù)更新余量，然后需要繼續(xù)重復(fù)上面的操作，直至找出變換域中所有的K個(gè)非零分量。由此可以看出，正交匹配追蹤算法循環(huán)的次數(shù)mK。算法總結(jié)如下：(1)定義一個(gè)向量P，對(duì)其初始化，有:P=y。(2)令中的每一列均與P做內(nèi)積運(yùn)算，找出內(nèi)積絕對(duì)值最大時(shí)中對(duì)應(yīng)的列，記為，將此列值保存在矩陣V中，此時(shí)。(3)定義矩陣。(4)更新向量p，。(5)用更新過的向量P重復(fù)過程(2)，即令中的每一列均與P做內(nèi)積運(yùn)算。但是需要注意，此時(shí)不再對(duì)記錄在矩陣V中的列向量做內(nèi)積運(yùn)算。記錄此時(shí)最大內(nèi)積絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的中的列，記為，并記V=[V]。(6)重復(fù)(3),(4)中的更新，并重復(fù)(5),(6)的運(yùn)算，直至到達(dá)自己需要的迭代次數(shù)。在此僅詳細(xì)介紹了貪婪算法下的OMP算法，此外貪婪算法還有匹配追蹤法(簡(jiǎn)稱MP算法)。重構(gòu)算法還有另外一大類——凸優(yōu)化算法，它將0范數(shù)放寬到1范數(shù)進(jìn)行線性標(biāo)準(zhǔn)求解。相對(duì)于貪婪算法，此類算法更為精確，但是較為復(fù)雜。但是一般情況下貪婪算法的精確性已能滿足需求。至此，本文已經(jīng)簡(jiǎn)單介紹了壓縮感知理論的根本原理及根本算法。從中可以看出，壓縮感知能夠采用較少的測(cè)量值恢復(fù)出原信號(hào)。雖然它的理論是這樣地具有突破性，然而在實(shí)際工程中，除了美國(guó)工程師設(shè)計(jì)出了簡(jiǎn)單的實(shí)際產(chǎn)品外，壓縮感知依然停留在理論的層面，在實(shí)際中并未取得廣泛地應(yīng)用。這是因?yàn)?，壓縮感知也有它自己需要改良的一些缺點(diǎn)。首先，y的長(zhǎng)度應(yīng)該是重要分量長(zhǎng)度的4倍，才能夠完美地恢復(fù)原始信號(hào)。在數(shù)學(xué)上，有更嚴(yán)格的定義:或者。其次，恢復(fù)算法很復(fù)雜，需要大量的計(jì)算。2.4小結(jié)本章主要介紹了壓縮感知的根本理論。在本章中，首先介紹了壓縮感知的理論框架其主要內(nèi)容包括信號(hào)的稀疏表示，測(cè)量矩陣的選取及其恢復(fù)算法。接著對(duì)三個(gè)主要內(nèi)容進(jìn)行了詳細(xì)的介紹。在此算法中，有兩個(gè)參數(shù)影響其性能，一個(gè)是觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，還有一個(gè)是恢復(fù)算法的迭代次數(shù)。3壓縮感知中的測(cè)量矩陣壓縮傳感測(cè)量矩陣是實(shí)現(xiàn)信號(hào)的采樣和壓縮工具，設(shè)計(jì)合理的測(cè)量矩陣不僅可以降低頻率測(cè)量，而且還可以提高重建精度。3.1測(cè)量矩陣的分類我們應(yīng)該找到一個(gè)有什么特性的感知矩陣，使得它具有RIP特性，這是一個(gè)至關(guān)重要的問題。Donoho提出了這樣三個(gè)特性：〔1〕測(cè)量矩陣的列向量組滿足一定的線性獨(dú)立性；〔2〕測(cè)量矩陣的列向量具有獨(dú)立隨機(jī)性；〔3〕滿足稀疏度的解是滿足范數(shù)的最小向量[6]。當(dāng)矩陣具有這三個(gè)特性時(shí)，我們就可以認(rèn)為該矩陣具有特性。Donoho證明了具有以上三個(gè)特征的矩陣都可以作為壓縮傳感中的測(cè)量矩陣，目前線性測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)主要有三類：隨機(jī)矩陣，確定性矩陣和局部隨機(jī)矩陣。3.1.1隨機(jī)測(cè)量矩陣Donoho和Candes在提出CS理論的最初，就指出隨機(jī)矩陣有著天然的優(yōu)勢(shì)的測(cè)量矩陣，后面也有研究證明了高斯隨機(jī)矩陣和貝努利隨機(jī)矩陣都滿足RIP性質(zhì)。隨機(jī)矩陣作為測(cè)量矩陣，它能夠保證原信號(hào)的信息不喪失，也保證了恢復(fù)精度，我們可以用較少的采樣值來重構(gòu)信號(hào)?！?〕Gauss隨機(jī)矩陣：這是我們最常用的觀測(cè)矩陣，高斯矩陣中的每個(gè)原子都獨(dú)立的服從正態(tài)分布。即： (3.1)其中，，為階測(cè)量矩陣，，N為原始信號(hào)長(zhǎng)度，M為測(cè)量值長(zhǎng)度。Gauss隨機(jī)矩陣和大局部的變換矩陣不相關(guān)，由其構(gòu)成的感知矩陣A滿足RIP性質(zhì)，對(duì)于K-稀疏度的信號(hào)，僅需測(cè)次[11]，就能復(fù)原信號(hào)，其中c是一個(gè)很小的正數(shù)。〔2〕貝努利隨機(jī)矩陣：該矩陣中的每個(gè)原子服從對(duì)稱的貝努利分布，觀測(cè)矩陣等概率的取： (3.2)其中，。貝努利隨機(jī)測(cè)量矩陣以及高斯隨機(jī)矩陣都是隨機(jī)性強(qiáng)的矩陣，類似于高斯隨機(jī)矩陣的性質(zhì)，在實(shí)際應(yīng)用中這兩種矩陣都是常用的觀測(cè)矩陣，盡管其性能好，但是由于它的隨機(jī)性，硬件實(shí)現(xiàn)是較為困難的，用于存儲(chǔ)整個(gè)矩陣和實(shí)驗(yàn)有不確定性，需要大量實(shí)驗(yàn)求平均消除不確定性。3.1.2確定性測(cè)量矩陣此類矩陣主要有多項(xiàng)式測(cè)量矩陣，分塊多項(xiàng)式測(cè)量矩陣等。多項(xiàng)式測(cè)量矩陣的中心思想是在一個(gè)元素個(gè)數(shù)為p的有限域F中，其中元素由整數(shù)對(duì)p的模值組成，即為：，利用最高次冪不高于的多項(xiàng)式來求出觀測(cè)矩陣中的非零元素的位置及個(gè)數(shù)。和隨機(jī)測(cè)量矩陣不同，確定性的測(cè)量矩陣可以節(jié)約存儲(chǔ)空間，方便于硬件實(shí)現(xiàn)，更容易設(shè)計(jì)快速算法，但是其重構(gòu)精確度較差，且測(cè)量次數(shù)比擬多[5]。〔1〕多項(xiàng)式測(cè)量矩陣的構(gòu)造：在一個(gè)元素個(gè)數(shù)為p的有限域F中對(duì)于自然數(shù)，用來表示最高次冪不高于r的多項(xiàng)式集合，即： (3.3)其中，當(dāng)系數(shù)取完所有可能的取值后，一共有個(gè)這樣的系數(shù)組合，對(duì)應(yīng)可得到個(gè)多項(xiàng)式。矩陣記為一下形式： (3.4)接下來將矩陣E的每一列的某一位置的0置為1，具體的位置有多項(xiàng)式來確定。插入的方法是將看做的一個(gè)投影，即和的取值都是在有限域中。為討論方便，我們首先可以將都，將位置上的0置換為1，當(dāng)所有列對(duì)應(yīng)的元素都置換完后，將矩陣的每一列首尾相接轉(zhuǎn)換為一個(gè)維的列向量，顯然此處。如此轉(zhuǎn)化后的列向量中前面?zhèn)€元素中有個(gè)1，之后的每個(gè)元素中也都有一個(gè)1，一共有個(gè)1[5]。將列向量作為一個(gè)多項(xiàng)式測(cè)量矩陣的第一個(gè)列向量。接著更改系數(shù)的值，重復(fù)上面的過程，當(dāng)系數(shù)按順序取完所有個(gè)組合后，就可以得到一個(gè)維的矩陣記為，其中，。對(duì)進(jìn)行歸一化后就可以得到一個(gè)符合壓縮傳感測(cè)量矩陣，該矩陣經(jīng)過研究證明可得其滿足RIP特性但其局限性為要求測(cè)量次數(shù)，信號(hào)長(zhǎng)度。〔2〕分塊多項(xiàng)式測(cè)量矩陣的構(gòu)造是對(duì)多項(xiàng)式測(cè)量矩陣的改良，這里引入矩陣分塊的思想，將維數(shù)較高的測(cè)量矩陣分塊為多個(gè)小的矩陣塊，其構(gòu)造過程是：第一步構(gòu)造較小的多項(xiàng)式測(cè)量矩陣，就是取較小的值，按多項(xiàng)式測(cè)量矩陣的構(gòu)造方法構(gòu)造出一個(gè)小的測(cè)量矩陣，然后構(gòu)成如下的矩陣形式：〔3.5〕上式中一共有個(gè)，所以能夠得出測(cè)量數(shù)，可以測(cè)量的信號(hào)維度。按照這種方法構(gòu)造的分塊多項(xiàng)式矩陣滿足以為RIP特性。分塊多項(xiàng)式測(cè)量矩陣相比于原來的多項(xiàng)式測(cè)量矩陣，構(gòu)造測(cè)量矩陣的時(shí)間大大降低了，而且將對(duì)測(cè)量信號(hào)的維度要求擴(kuò)展為的整數(shù)倍，被測(cè)量信號(hào)的維度擴(kuò)展為倍，即，。3.1.3局部隨機(jī)測(cè)量矩陣此類矩陣有局部哈達(dá)瑪矩陣，局部正交矩陣，托普利茲和輪換矩陣等。這里的局部正交矩陣和哈達(dá)瑪矩陣是從維的正交矩陣中隨機(jī)選擇行，再對(duì)列向量進(jìn)行歸一化得到。而托普利茲和輪換矩陣首先生成一個(gè)的行向量，并以此作為測(cè)量矩陣的第一行；緊接著對(duì)的行向量進(jìn)行輪換，生成一個(gè)維的測(cè)量矩陣；最后隨機(jī)地從輪換后維的測(cè)量矩陣中選取行組成維測(cè)量矩陣[13]。從局部隨機(jī)矩陣的構(gòu)造過程中，我們可以看出，局部隨機(jī)矩陣的隨機(jī)性比隨機(jī)性矩陣弱，又比確定性矩陣強(qiáng)，所以用其作為測(cè)量矩陣有較好的性能，且又較好實(shí)現(xiàn)?！?〕局部哈達(dá)瑪矩陣：哈達(dá)瑪矩陣是矩陣元素為的正交矩陣。局部哈達(dá)瑪矩陣的構(gòu)造方法是先構(gòu)造一個(gè)維哈達(dá)瑪矩陣，然后從維哈達(dá)瑪矩陣中隨機(jī)選取行，構(gòu)成一個(gè)維的矩陣，再對(duì)矩陣進(jìn)行歸一化后就得到最終的測(cè)量矩陣[12]。相比擬而言，局部哈達(dá)瑪矩陣因?yàn)槠湔恍裕灾貥?gòu)性能較好。但是局部哈達(dá)瑪矩陣也有其缺陷，就是該矩陣的階數(shù)只能取或，所以這很大的程度上就限制了局部哈達(dá)瑪矩陣的應(yīng)用范圍?！?〕托普利茲測(cè)量矩陣(toeplitz)：對(duì)于測(cè)量信號(hào)維數(shù)為，原始信號(hào)維數(shù)為的壓縮感知過程，該測(cè)量矩陣的構(gòu)造過程是先生成一個(gè)維的行向量，向量的元素取值都為，每個(gè)元素都獨(dú)立的服從對(duì)稱的貝努利分布。利用生成的行向量u，采用向后循環(huán)的方式構(gòu)造托普利茲測(cè)量矩陣[12]，形式如下所示： (3.6)相比于隨機(jī)矩陣需要個(gè)獨(dú)立隨機(jī)元而言，托普利茲矩陣需要的獨(dú)立隨機(jī)元要少的多，僅需個(gè)，所以當(dāng)我們處理復(fù)雜的信號(hào)時(shí)，采用該測(cè)量矩陣能夠幫助我們節(jié)省大量的存儲(chǔ)空間。且相比于隨機(jī)矩陣相乘需要次運(yùn)算，托普利茲矩陣的相乘運(yùn)算可以運(yùn)用快速傅里葉變換進(jìn)行快速運(yùn)算[13]，僅需要次運(yùn)算就能實(shí)現(xiàn)?！?〕輪換矩陣：比托普利茲矩陣的形式更加的簡(jiǎn)單，是該矩陣的一種特殊形式。該矩陣的構(gòu)造方法同樣是先生成一個(gè)行向量，但是其長(zhǎng)度不需要，而是一個(gè)長(zhǎng)度為的行向量。生成的方式是采用作為構(gòu)造向量的原子，等概的取生成長(zhǎng)度為的行向量，將行向量u作為測(cè)量矩陣的第一行，接著按照依次循環(huán)的方式得到剩余行[13]，其表現(xiàn)形式如下： (3.7)然后從維的輪換矩陣中隨機(jī)選擇行構(gòu)成維的，經(jīng)過歸一化滿足特性。由于輪換矩陣是托普利茲矩陣的特殊形式，其性質(zhì)也和托普利茲矩陣類似，硬件系統(tǒng)容易實(shí)現(xiàn)循環(huán)移位的方式，輪換矩陣生成的向量也較短，但是也有一些缺乏之處[13]：〔1〕它所有的元素都是，使得構(gòu)造出的列向量線性相關(guān)性較高；〔2〕矩陣構(gòu)造過程中采樣單一的循環(huán)、移位方式，不能夠表達(dá)出列向量之間的獨(dú)立隨機(jī)性，相比于貝努利等隨機(jī)矩陣，輪換矩陣和托普利茲矩陣的性能不夠凸顯。3.2本章小結(jié)本章從數(shù)學(xué)上詳細(xì)地介紹了各種測(cè)量矩陣，如高斯隨機(jī)矩陣，貝努利矩陣，哈達(dá)瑪矩陣，輪換矩陣等，指出了其中的優(yōu)缺點(diǎn)。在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)不同的需求選擇不同的測(cè)量矩陣。4實(shí)驗(yàn)及仿真分析4.1基于壓縮感知的采樣機(jī)信號(hào)重構(gòu)仿真采用壓縮感知對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣并重構(gòu)信號(hào)的根本過程:(1)選取適宜的基向量矩陣，測(cè)量矩陣；(2)對(duì)信號(hào)s進(jìn)行稀疏變換，即：；(2)將稀疏后的信號(hào)x與測(cè)量矩陣相乘，即:；(3)獲得矩陣，將測(cè)量值y與感知矩陣A帶入重構(gòu)算法，這里采樣正交匹配追蹤算法；(4)重構(gòu)原始信號(hào)。在壓縮感知算法中，有兩個(gè)參數(shù)影響恢復(fù)算法的性能。第一個(gè)是y的長(zhǎng)度M。只有M4K或者M(jìn)Klog2(N/K)，才能完美恢復(fù)出原始信息。第二個(gè)是正交匹配追蹤算法中迭代次數(shù)m。只有mK，才能夠找出所有的非零元素。經(jīng)過以上的分析之后，生成由假設(shè)干個(gè)正弦信號(hào)疊加的信號(hào)作為原始信號(hào)x，測(cè)量矩陣選用高斯分布白噪聲矩陣，基向量矩陣選用傅立葉正變換矩陣，并運(yùn)用這些參數(shù)做仿真分析[14]。(1)M，m均符合算法要求時(shí)的仿真分析原始信號(hào)的稀疏度K=7，原始信號(hào)長(zhǎng)度N=256,y的長(zhǎng)度M=40，正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)m=K。仿真結(jié)果如圖4.1所示。圖4.1M，m符合時(shí)的仿真圖從圖4.1中可以看出，y的長(zhǎng)度M，迭代次數(shù)m均選取適宜參數(shù)時(shí)，信號(hào)可以完美地恢復(fù)。(2)M符合，m不符合算法時(shí)的仿真分析原始信號(hào)的稀疏度K=7，原始信號(hào)長(zhǎng)度N=256，y的長(zhǎng)度M=40,正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)，m<K。仿真結(jié)果如圖4.2所示。圖4.2M符合，m不符合時(shí)的仿真圖從圖4.2中可以看出，M符合，m不符合算法時(shí),信號(hào)不可以完美地恢復(fù)。(3)M不符合，m符合算法時(shí)的仿真分析原始信號(hào)的稀疏度K=7，原始信號(hào)長(zhǎng)度N=256，y的長(zhǎng)度M=20,正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)，m=K。仿真結(jié)果如圖4.3所示。圖4.3M不符合，m符合時(shí)的仿真圖從圖4.3中可以看出，M不符合，m符合算法時(shí),信號(hào)不可以完美地恢復(fù)。從上面3仿真?zhèn)€實(shí)驗(yàn)中我們可以得出，只有當(dāng)測(cè)量數(shù)MKlog2(N/K)且迭代次數(shù)時(shí)，才可以完美的恢復(fù)信號(hào)，且從實(shí)驗(yàn)中可看出測(cè)量次數(shù)對(duì)信號(hào)的恢復(fù)精度影響比迭代次數(shù)要大。4.2基于不同的測(cè)量矩陣的壓縮感知仿真〔1〕基于隨機(jī)高斯矩陣的壓縮感知仿真原始信號(hào)的稀疏度K=7，原始信號(hào)長(zhǎng)度N=256,y的長(zhǎng)度M=40，正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)m=4K。測(cè)量矩陣采用隨機(jī)高斯矩陣，重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤算法，仿真結(jié)果如圖4.4所示。圖4.4基于隨機(jī)高斯矩陣的壓縮感知仿真從圖4.4中，可看出當(dāng)用隨機(jī)高斯矩陣做測(cè)量矩陣時(shí)，信號(hào)可以完美的恢復(fù)。〔2〕基于貝努利矩陣的壓縮感知仿真原始信號(hào)的稀疏度K=7，原始信號(hào)長(zhǎng)度N=256,y的長(zhǎng)度M=40，正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)m=4K。測(cè)量矩陣采用貝努利矩陣，重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤算法，仿真結(jié)果如圖4.5所示。圖4.5基于貝努利矩陣的壓縮感知仿真圖從圖4.5可看出用貝努利矩陣作為測(cè)量矩陣時(shí)，對(duì)于簡(jiǎn)單信號(hào)，其恢復(fù)精度和隨機(jī)高斯矩陣一樣好，都能夠完美的重構(gòu)信號(hào)?！?〕基于分塊多項(xiàng)式矩陣的壓縮感知仿真原始信號(hào)的稀疏度K=7，原始信號(hào)長(zhǎng)度N=256,y的長(zhǎng)度M=40，正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)m=4K。測(cè)量矩陣采用分塊多項(xiàng)式矩陣，重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤算法，仿真結(jié)果如圖4.6所示。圖4.6基于分塊多項(xiàng)式的測(cè)量矩陣的仿真圖從圖4.6中，可看出用分塊多項(xiàng)式做測(cè)量矩陣時(shí)，也可以比擬好的重構(gòu)信號(hào)，只是精度沒有隨機(jī)信號(hào)那么好，當(dāng)對(duì)恢復(fù)精度的要求不是很高時(shí)，可以采用此種方法?！?〕基于托普利茲矩陣的壓縮感知仿真原始信號(hào)的稀疏度K=7，原始信號(hào)長(zhǎng)度N=256,y的長(zhǎng)度M=40，正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)m=4K。測(cè)量矩陣采用托普利茲矩陣，重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤算法，仿真結(jié)果如圖4.7所示。圖4.7基于托普利茲矩陣的仿真圖圖4.7為用托普利茲矩陣作為測(cè)量矩陣的仿真圖，從圖中可以看出用這種方法也能夠較為精確的重構(gòu)信號(hào)，精確度比確定性矩陣好，又比隨機(jī)性矩陣差。但是也能滿足一般需求。從上面4個(gè)實(shí)驗(yàn)中可知用隨機(jī)信號(hào)作測(cè)量矩陣時(shí)，其恢復(fù)精度最好，其次是局部隨機(jī)信號(hào)，最后是確定性信號(hào)。而硬件實(shí)現(xiàn)難易程度那么剛好相反，最容易的是確定性信號(hào)，其次是局部隨機(jī)信號(hào)，最后才是隨機(jī)信號(hào)。所以我們需要根據(jù)實(shí)際需要來選擇適宜的測(cè)量矩陣，當(dāng)我們需要測(cè)量的信號(hào)較簡(jiǎn)單時(shí)，如一維信號(hào)，我們就可以選擇確定性矩陣或者局部隨機(jī)矩陣，以降低本錢；當(dāng)需要測(cè)量的信號(hào)較復(fù)雜，對(duì)重構(gòu)的精度要求高時(shí)，就可以選擇隨機(jī)性矩陣，所以我們需要根據(jù)實(shí)際需要來選擇適宜的測(cè)量矩陣，確保其性能確保其性能和實(shí)用性。4.3本章總結(jié)本章首先對(duì)壓縮感知的一個(gè)整體過程進(jìn)行了仿真，并分析了不同的測(cè)量次數(shù)M和迭代次數(shù)m對(duì)信號(hào)重構(gòu)精度的影響。緊接著對(duì)不同測(cè)量矩陣下的壓縮感知進(jìn)行了仿真，這里從三類測(cè)量矩陣中各選了一種進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，通過仿真比擬了其優(yōu)劣，并給出了選擇測(cè)量矩陣的建議。結(jié)論本文首先分析了壓縮感知的原理，重點(diǎn)介紹了三個(gè)方面，信號(hào)的稀疏性、觀測(cè)矩陣的選擇即重構(gòu)算法的設(shè)計(jì)。生活中的大局部的信號(hào)我們都可以通過矩陣變換使其變成稀疏的。由于信號(hào)的稀疏性，我們就可以只需要采集一小局部信息就能夠完全的表示信號(hào)，而測(cè)量矩陣就是采集信號(hào)所需要的矩陣。并不是每一個(gè)矩陣都可以充當(dāng)測(cè)量矩陣這一角色。所以文中對(duì)于測(cè)量矩陣所需要滿足的條件都有指出。再接著，文章中分析了重構(gòu)算法的設(shè)計(jì)，重點(diǎn)描述了正交匹配追蹤算法，并用數(shù)學(xué)的方法推理了一遍，后面的各種仿真也是基于該算法重構(gòu)信號(hào)。在第三章中，詳細(xì)地分析了各種不同的測(cè)量矩陣，包括矩陣的構(gòu)成，數(shù)學(xué)特征，實(shí)現(xiàn)難度，還有其作為測(cè)量矩陣的優(yōu)劣，并根據(jù)不同的測(cè)量矩陣作出了仿真分析，且從仿真的結(jié)果上比擬了隨機(jī)矩陣，確定性矩陣和局部隨機(jī)性矩陣的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，得出了隨機(jī)性強(qiáng)的矩陣其重構(gòu)精度高，但是硬件較難實(shí)現(xiàn)，相反，隨機(jī)性低的矩陣，易于實(shí)現(xiàn)，但重構(gòu)精度沒有隨機(jī)性強(qiáng)的矩陣好。在現(xiàn)實(shí)情況中，我們需根據(jù)需要來選擇測(cè)量矩陣。從全文來看壓縮感知理論能夠很好的重構(gòu)信號(hào)，這給我們提出了另外一種信號(hào)處理的思路，這種思路讓我們能夠取得和基于Nyquist處理系統(tǒng)中一樣的效果，并且其工作量更少，更節(jié)約資源，這在以后的開展中將逐漸成為主流。參考文獻(xiàn)[1]夏金祥，范志平.無線電頻譜利用面臨的問題、機(jī)遇與對(duì)策[J].中國(guó)無線電報(bào).2006，30(5):4-10.[2]王建英，尹忠科.信號(hào)與圖像的稀疏分解及初步應(yīng)用[M].成都:西南交通大學(xué)出版社.2006：26-30.[3]SamiKirolos,JasonLaska.Analog-to-InformationConversionviaRandomDemodulation[J].DesignApplications,IntegrationandSoftware.2006，15(10):71-74.[4]MosheMishali,YoninaC.Eldar.Xampling:AnalogDataCompression[J].DataCompressionConference.2023，11(24):366-375.[5]李樹濤，魏丹.壓縮傳感綜述[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào).2023，21(35):1369-1375.[6]DavidDonoho.Compressedsensing[J].IEEETrans.onInformationTheory.2006，3(4):1289-1306.[7]ECandesandJRomberg.Quantitativerobustuncentaintyprinciplesandoptimallysparsedecompositions[J].Fo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able〞.Astablefilterproducesanoutputthatconvergestoaconstantvaluewithtime,orremainsboundedwithinafiniteinterval.Anconvergestoaconstantvaluewithtime,orremainsboundedwithinafiniteinterval.Anunstablefiltercanproduceanoutputthatgrowswithoutbounds,withboundedorevenzeroinput.A“FiniteImpulseResponse〞(FIR)filterusesonlytheinputsignal,whilean“InfiniteImpulseResponse〞filter(IIR)usesboththeinputsignalandprevioussamplesoftheoutputsignal.FIRfiltersarealwaysstable,whileIIRfiltersmaybeunstable.MostfilterscanbedescribedinZ-domain(asupersetofthefrequencydomain)bytheirtransferfunctions.Afiltermayalsobedescribedasadifferenceequation,acollectionofzeroesandpolesor,ifitisanFIRfilter,animpulseresponseorstepresponse.TheoutputofanFIRfiltertoanygiveninputmaybecalculatedbyconvolvingtheinputsignalwiththeimpulseresponse.Filterscanalsoberepresentedbyblockdiagramswhichcanthenbeusedtoderiveasampleprocessingalgorithmtoimplementthefilterusinghardwareinstructions.4、FrequencyDomainSignalsareconvertedfromtimeorspacedomaintothefrequencydomainusuallythroughtheFouriertransform.TheFouriertransformconvertsthesignalinformationtoamagnitudeandphasecomponentofeachfrequency.OftentheFouriertransformisconvertedtothepowerspectrum,whichisthemagnitudeofeachfrequencycomponentsquared.Themostcommonpurposeforanalysisofsignalsinthefrequencydomainisanalysisofsignalproperties.Theengineercanstudythespectrumtodeterminewhichfrequenciesarepresentintheinputsignalandwhicharemissing.Filtering,particularlyinnonreal-timeworkcanalsobeachievedbyconvertingtothefrequencydomain,applyingthefilterandthenconvertingbacktothetimedomain.Thisisafast,O(nlogn)operation,andcangiveessentiallyanyfiltershapeincludingexcellentapproximationstobrickwallfilters.Therearesomecommonlyusedfrequencydomaintransformations.Forexample,thecepstrumconvertsasignaltothefrequencydomainFouriertransform,takesthelogarithm,thenappliesanotherFouriertransform.Thisemphasizesthefrequencycomponentswithsmallermagnitudewhileretainingtheorderofmagnitudesoffrequencycomponents.Frequencydomainanalysisisalsocalledspectrumorspectralanalysis.5、SignalProcessingSignalscommonlyneedtobeprocessedinavarietyofways.Forexample,theoutputsignalfromatransducermaywellbecontaminatedwithunwantedelectrical“noise〞.Theelectrodesattachedtoapatient’schestwhenanECGistakenmeasuretinyelectricalvoltagechangesduetotheactivityoftheheartandothermuscles.Thesignalisoftenstronglyaffectedby“mainspickup〞duetoelectricalinterferencefromthemainssupply.Processingthesignalusingafiltercircuitcanremoveoratleastreducetheunwantedpartofthesignal.Increasinglynowadays,thefilteringofsignalstoimprovesignalqualityortoextractimportantinformationisdonebyDSPtechniquesratherthanbyanalogelectronics.6、DevelopmentofDSPThedevelopmentofdigitalsignalprocessingdatesfromthe1960’swiththeuseofmainframedigitalcomputersnumber-crunchingapplicationssuchantheFastFourierTransform(FFT),whichallowsthefrequencyspectrumofasignaltobecomputedrapidly.T7、DigitalSignalProcessors(DSPs)Theintroductionofthemicroprocessorinthelate1970’sandearly1980’smadeitpossibleforDSPtechniquestobeusedinamuchwiderrangeofapplications.However,general-purposemicroprocessorssuchastheInterx86familyarenotideallysuitedtothenumerically-intensiverequirementsofDSP,andduringthe1980’stheincreasingimportanceofDSPledseveralmajorelectronicsmanufacturers(suchasTexasInstruments,AnalogDevicesandMotorola)todevelopDigitalSignalProcessorchips-specialisedmicroprocessorswitharchitecturesdesignedspecificallyforthetypesofoperationsrequiredindigitalsignalprocessing.(NotethattheacronymDSPcanvariouslymeanDigitalSignalProcessing,thetermusedforawiderangeoftechniquesforprocessingsignalsdigitally,orDigitalSignalProcessor,aspecializedtypeofmicroprocessorchip).Likeageneral-purposemicroprocessor,aDSPisaprogrammabledevice,withitsownnativeinstructioncode.DSPchiparecapableofcarryingoutmillionsoffloatingpointoperationspersecond,andliketheirbetter-knowngeneral-purposecousins,fasterandmorepowerfulversionsarecontinuallybeingintroduced.DSPscanalsobeembeddedwithincomplex“8、ApplicationsofDSPDSPtechnologyisnowadayscommonplaceinsuchdevicesasmobilephones,multimediacomputers,videorecorders,CDplayers,harddiscdrivecontrollersandmodems,andwillsoonreplaceanalogcircuitryinTVsetsandtelephones.AnimportantapplicationofDSPisinsignalcompressionanddecompression.Signalcompressionisusedindigitalcellularphonestoallowagreaternumberofcallstobehandledsimultaneouslywithineachlocal“cell〞.DSPsignalcompressiontechnologyallowspeoplenotonlytotalktooneanotherbutalsotoseeoneantherontheircomputerscreens,usingsmallvideocamerasmountedonthecomputermonitors,withonlyaconventionaltelephonelinelinkingthemtogether.InaudioCDsystems,DSPtechnologyisusedtoperformcomplexerrordetectionandcorrectionontherawdataasitisreadfromtheCD.AlthoughsomeofthemathematicaltheoryunderlyingDSPtechniques,suchasFourierandHilberttransforms,digitalfilterdesignandsignalcompression,canbefairlycomplex,thenumericaloperationsrequiredactuallytoimplementthesetechniquesareverysimple,consistingmainlyofoperationsthatcouldbedoneonacheapfour-functioncalculator.ThearchitectureofaDSPchipisdesignedtocarryoutsuchoperationsincrediblyfast,processinghundredsofmillionsofsampleseverysecond,toprovidedreal-timeperformance:thatis,theabilitytoprocessasignal“l(fā)ive〞asitissampled