統(tǒng)計(jì)學(xué)-在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用 課件 第五章 抽樣估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

第五章抽樣估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)第一節(jié)抽樣調(diào)查與抽樣估計(jì)第二節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)第三節(jié)方差分析眾所周知，隨機(jī)性是創(chuàng)造性不可缺少的因數(shù)……隨機(jī)性是人類思維中內(nèi)在的特性，不是通過(guò)賭博、衰減原子核、隨機(jī)數(shù)表和其他你所知的而人為培植的，如果認(rèn)為隨機(jī)性是隨心所欲的話，則是對(duì)人類創(chuàng)造性的侮辱。

—1961年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主R·霍夫斯塔特學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解抽樣調(diào)查的概念與方法2、理解并掌握抽樣分布3、掌握點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的基本方法4、樣本容量的確定5、理解假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理6、掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本方法7、理解并掌握方差分析的基本原理8、掌握單因素方差分析

統(tǒng)計(jì)在生活的應(yīng)用（分布）二戰(zhàn)期間，德國(guó)有一個(gè)時(shí)期物資特別緊缺，對(duì)面包實(shí)行配給制：政府把面粉發(fā)給指定面包房，面包師傅烤好了面包再發(fā)給居民。有一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)家懷疑其所在區(qū)域的面包師傅私扣面粉。于是，他天天稱自己面包，過(guò)了一段時(shí)間，統(tǒng)計(jì)學(xué)家去找面包師傅說(shuō)：“政府規(guī)定配給面包為400克，因模具和其他因素的影響，你烤出的面包可能是398、399克，也可能是401、402克。按照統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布原理，這么多天的面包重量平均應(yīng)該等于400克，但你給我的面包平均重量只有398克，因此我有理由懷疑你使用了較小模具，私吞了面粉?！泵姘鼛煾党姓J(rèn)確實(shí)私吞了面粉，并再三道歉，保證馬上更換正常模具。又過(guò)了幾個(gè)月，這個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)家又去找面包師傅說(shuō)：“雖然最近幾個(gè)月你賣給我的面包都在400克以上，可能你沒(méi)有私吞面粉，但也可能是你從面包里特意挑大的給我。同樣，根據(jù)正態(tài)分布原理，這么多天的面包不可能沒(méi)有低于400克的面包。所以，我認(rèn)為你只是特意給了我比較大的面包，而不是更換了正常模具。我會(huì)立刻要求政府檢查模具?！泵姘鼛煾抵缓卯?dāng)眾認(rèn)錯(cuò)道歉，接受處罰。第一節(jié)抽樣調(diào)查與抽樣估計(jì)一、概率抽樣與非概率抽樣（一）概率抽樣概率抽樣又稱為隨機(jī)抽樣，就是按隨機(jī)原則從總體中抽取樣本。隨機(jī)原則即為總體中的每個(gè)單位都有一定的概率被選為樣本單位，每個(gè)總體單位能否被選為樣本單位是隨機(jī)的。從理論上講，概率抽樣是最理想、最科學(xué)的抽樣方法，能保證樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體參數(shù)的代表性，而且能夠?qū)⒄{(diào)查誤差中的抽樣誤差限制在一定的范圍之內(nèi)。相對(duì)于非概率抽樣來(lái)說(shuō)，概率抽樣也是花費(fèi)較大的抽樣方法。1、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（Simplerandomsampling）也稱為純隨機(jī)抽樣，是最基本的抽樣形式，它是完全隨機(jī)地選擇樣本。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣在社會(huì)經(jīng)濟(jì)工作和科學(xué)研究中被廣泛應(yīng)用。在不可能、不必要進(jìn)行全面調(diào)查時(shí)，一般用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣來(lái)推斷總體。要求有一個(gè)完美的抽樣框，或者總體中有一個(gè)個(gè)體的詳盡名單。2、分層抽樣（Stratifiedsampling）也叫分類抽樣、類型抽樣。根據(jù)調(diào)查目的，確定某個(gè)主要標(biāo)志，并根據(jù)這個(gè)標(biāo)志將總體單位劃分為若干層或類型，然后從各層中按隨機(jī)原則分別抽取一定數(shù)目的單位構(gòu)成樣本。各層的抽樣數(shù)目可采用等比例抽樣或不等比例抽樣來(lái)確定。分層抽樣是統(tǒng)計(jì)分組法和抽樣原理的結(jié)合，可提高樣本的代表性，進(jìn)而提高抽樣推斷的準(zhǔn)確性；可獲得總體指標(biāo)的估計(jì)值，也可由各子樣本指標(biāo)推算相應(yīng)的子總體指標(biāo)。分層抽樣可加深對(duì)內(nèi)部有差異性的現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，可以滿足分層次管理的需要。如：城市職工收入調(diào)查、農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量抽樣調(diào)查A.二階抽樣（Twostagesampling）為抽樣方便，有時(shí)需把總體分成兩個(gè)級(jí)別的抽樣單元：初級(jí)抽樣單元和次級(jí)抽樣單元。每個(gè)初級(jí)抽樣單元由若干次級(jí)抽樣單元組成，先按某種方法在由初級(jí)單元構(gòu)成的一級(jí)抽樣框中抽樣，然后在中選的初級(jí)單元中由次級(jí)單元構(gòu)成的二級(jí)抽樣框中抽樣，抽樣過(guò)程分為兩個(gè)階段進(jìn)行。例如在企業(yè)職工收入調(diào)查中，把企業(yè)作為初級(jí)抽樣單元，職工作為次級(jí)抽樣單元，先對(duì)企業(yè)進(jìn)行抽樣，再在被抽中企業(yè)內(nèi)對(duì)職工進(jìn)行抽樣，然后對(duì)被抽中的職工進(jìn)行調(diào)查。在二階抽樣中，如果對(duì)初級(jí)單元不再進(jìn)行隨機(jī)抽樣，讓所有的初級(jí)單元都入樣，而在初級(jí)單元中對(duì)次級(jí)單元進(jìn)行隨機(jī)抽樣，這樣的二階抽樣就是分層隨機(jī)抽樣。3、二階抽樣與多階抽樣B.多階抽樣（Multi-stagesampling）如果總體可以劃分成多個(gè)級(jí)別的抽樣單元，每一級(jí)別的抽樣單元由若干下一級(jí)別的抽樣單元組成，相應(yīng)地存在多個(gè)級(jí)別的抽樣框，抽樣時(shí)先在一級(jí)抽樣框中對(duì)一級(jí)單元抽樣，再在中選的一級(jí)單元中對(duì)二級(jí)單元抽樣，依次類推。例如在省抽縣、縣抽鄉(xiāng)、鄉(xiāng)抽村、村抽戶的農(nóng)產(chǎn)量四階抽樣中，凡未被抽中的縣、鄉(xiāng)、村、戶就不必編制關(guān)于鄉(xiāng)、村、戶的抽樣框。多階抽樣的主要缺點(diǎn)是估計(jì)量的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，估計(jì)量方差的估計(jì)也很復(fù)雜。4、整群抽樣（Clustersampling）在二階抽樣中如果把初級(jí)抽樣單元稱作由次級(jí)抽樣單元組成的群，在抽中的群內(nèi)不再對(duì)次級(jí)單元進(jìn)行抽樣而是進(jìn)行普查，那么這種抽樣方法就稱為整群抽樣。整群抽樣的優(yōu)點(diǎn)是只需具備群即初級(jí)抽樣單元的抽樣框即可，無(wú)需具備關(guān)于次級(jí)單元的抽樣框。例如，在市場(chǎng)調(diào)查的入戶調(diào)查中，可以對(duì)被選作抽樣單位的某個(gè)居民區(qū)的每家每戶進(jìn)行調(diào)查。5、系統(tǒng)抽樣（Systematicsampling）又稱等距抽樣。若總體中的抽樣單元都按一定順序排列，在規(guī)定的范圍內(nèi)隨機(jī)抽取一個(gè)單元作為初始單元，然后按照一套事先定好的規(guī)則確定其他樣本單元，這種抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣。等距抽樣的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)施簡(jiǎn)單，整個(gè)樣本中只是初始單元需隨機(jī)抽取，其余單元皆由此決定。其主要缺點(diǎn)是估計(jì)量精度的估計(jì)比較困難。(二）非概率抽樣非概率抽樣也稱非隨機(jī)抽樣，是指從研究目的出發(fā)，根據(jù)調(diào)查者的經(jīng)驗(yàn)或判斷，從總體中有意識(shí)地、不是完全按隨機(jī)原則抽取若干單位構(gòu)成樣本。非概率抽樣有三種形式。A.由調(diào)查人員自由選擇被調(diào)查者的非隨機(jī)選樣。例如在購(gòu)物中心采訪100位婦女，這100位被調(diào)查者可以非隨機(jī)選擇。B.通過(guò)某些條件過(guò)濾選擇某些被調(diào)查者參與調(diào)查的判斷抽樣法。在許多情況下，由于研究對(duì)象可能僅限于一部分居民，因而有時(shí)采用這種方法能節(jié)省大量時(shí)間和經(jīng)費(fèi)。C.大多數(shù)種類的研究，如產(chǎn)品測(cè)試、座談會(huì)等，只要不是屬于要進(jìn)行總體推論的調(diào)查都可使用非概率抽樣法。（三）抽樣框抽樣框是指抽樣調(diào)查所涉及的全部抽樣單位的名單框架。編制抽樣框是實(shí)施抽樣的基礎(chǔ)。一般地，抽樣框的類型主要有三種：名單抽樣框：列出全部總體單位的名錄一欄表，如職工名單、企業(yè)名單等。區(qū)域抽樣框：按地理位置把總體范圍劃分為若干小區(qū)域，并以小區(qū)域?yàn)槌闃訂挝?。如農(nóng)作物產(chǎn)量抽樣調(diào)查：大地塊——小地塊——標(biāo)號(hào)。時(shí)間表抽樣框：把總體的時(shí)間過(guò)程分為若干個(gè)小的時(shí)間單位，并按時(shí)間順序?qū)傮w單位進(jìn)行抽樣。如流水線產(chǎn)品質(zhì)量檢查。二、抽樣誤差及其度量一般地說(shuō)，抽樣誤差是指樣本指標(biāo)與被它估計(jì)未知的總體參數(shù)(總體特征值)之差。具體地是指樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)μ的差，樣本成數(shù)p與總體成數(shù)π的差(p-π)。例:2008年我國(guó)谷物平均產(chǎn)量為5548千克/公頃，假如通過(guò)抽樣調(diào)查得到的平均產(chǎn)量為5580千克/公頃或5534千克/公頃，則樣本平均每公頃產(chǎn)量與實(shí)際平均每公頃產(chǎn)量之間的誤差分別為32千克或?14千克。1、抽樣誤差的種類統(tǒng)計(jì)調(diào)查誤差按產(chǎn)生的原因:1）登記性誤差:在統(tǒng)計(jì)調(diào)查和整理、匯總過(guò)程中，由于觀察、測(cè)量、登記、計(jì)算等等方面的差錯(cuò)。登記性誤差不是抽樣調(diào)查特有的。登記性誤差是一種可以避免的誤差。2）代表性誤差:用樣本指標(biāo)推斷總體指標(biāo)時(shí)，由于樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)不一致、樣本不能完全代表總體而產(chǎn)生的誤差。這類誤差又可以分為系統(tǒng)性誤差和隨機(jī)性誤差兩類。系統(tǒng)性誤差（也叫偏差必然性誤差）是由非隨機(jī)因素引起的樣本代表性不足而產(chǎn)生的誤差，或者說(shuō)是由于在抽樣調(diào)查時(shí)，違反抽樣調(diào)查的隨機(jī)原則而產(chǎn)生的誤差。如：抽樣框與目標(biāo)總體不一致、有意多選較好或較差的單位等。隨機(jī)性誤差（也叫偶然性誤差）：抽樣調(diào)查雖然遵循了隨機(jī)原則，但由于各種隨機(jī)因素（偶然性因素）引起的代表性誤差。這種誤差不可避免，但可控制。登記性誤差和系統(tǒng)性誤差都是可以避免的。在計(jì)算抽樣誤差時(shí)，通常假定不存在登記性誤差和系統(tǒng)性誤差。影響抽樣誤差的因素：A.總體各單位標(biāo)志值的差異程度；B.樣本單位數(shù)；C.抽樣方法。一般情況下重復(fù)抽樣誤差比不重復(fù)抽樣誤差要大一些。D.抽樣調(diào)查的組織形式。不同的抽樣組織形式就有不同的抽樣誤差。2、抽樣誤差的度量實(shí)際抽樣誤差:某一具體樣本的樣本估計(jì)值與總體參數(shù)的真實(shí)值之差（-）。抽樣平均誤差:樣本估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差。反映抽樣指標(biāo)和總體指標(biāo)間的平均誤差程度。計(jì)算公式為：

式中：n為可能的樣本數(shù)在抽樣平均誤差計(jì)算時(shí)，由于抽樣有重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣兩種情況，因此平均數(shù)抽樣和成數(shù)抽樣的平均誤差的計(jì)算也不一樣。抽樣極限誤差（允許誤差）：是指在一定的概率下抽樣誤差的可能范圍。即樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間誤差可允許的最大范圍。即：|-|≤Δ|-|≤Δ

標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本量的平方根。衡量對(duì)應(yīng)樣本統(tǒng)計(jì)量抽樣誤差大小的尺度。標(biāo)準(zhǔn)誤用來(lái)衡量抽樣誤差。標(biāo)準(zhǔn)誤越小，表明樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的值越接近，樣本對(duì)總體越有代表性，用樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體參數(shù)的可靠度越大。因此，標(biāo)準(zhǔn)誤是統(tǒng)計(jì)推斷可靠性的指標(biāo)。【例】某企業(yè)有5個(gè)工人的日產(chǎn)量分別為（單位：件）：6，8，10，12，14，用重復(fù)抽樣的方法，從中隨機(jī)抽取2個(gè)工人的日產(chǎn)量，用以代表這5個(gè)工人的總體水平。則抽樣平均誤差為多少？解：根據(jù)題意可得：總體標(biāo)準(zhǔn)差答：抽取2個(gè)工人的日產(chǎn)量進(jìn)行調(diào)查的抽樣平均誤差為2件?！纠扛鶕?jù)歷史經(jīng)驗(yàn)，在正常情況下，某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的合格率為90%，現(xiàn)從5000件產(chǎn)品中抽取50件進(jìn)行檢驗(yàn)，求該產(chǎn)品合格率的抽樣平均誤差。解：根據(jù)題意，在重復(fù)抽樣條件下，合格率的抽樣平均誤差為：在不重復(fù)抽樣條件下，合格率的抽樣平均誤差為：答：抽取50件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，該產(chǎn)品合格率的抽樣平均誤差為4.22%。三、樣本統(tǒng)計(jì)量樣本提供的信息是分散的，不便于有效地對(duì)總體進(jìn)行推斷。為了能有效地推斷總體，必須對(duì)樣本進(jìn)行“加工”，把樣本中所包含的有關(guān)總體某一特征的信息“提取”出來(lái)并“聚集”在一起，這就需要根據(jù)推斷問(wèn)題的需要構(gòu)造樣本的適當(dāng)函數(shù)，不同的樣本函數(shù)反映總體的不同特征，一旦有了樣本觀察值就可以由此給出總體特征的推斷值。因此自然要求這種樣本函數(shù)應(yīng)不包含任何未知參數(shù)。稱這種樣本函數(shù)為統(tǒng)計(jì)量。如樣本均值:四、抽樣分布

（一）抽樣分布的概念從理論上說(shuō)，某個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，就是在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由每一個(gè)樣本算出的該統(tǒng)計(jì)量數(shù)值的相對(duì)數(shù)頻數(shù)分布或概率分布。因此，抽樣分布是指樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布。抽樣分布反映樣本指標(biāo)的分布特征，是抽樣推斷的重要依據(jù)。根據(jù)抽樣分布的規(guī)律，可以揭示樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間的關(guān)系，估計(jì)抽樣誤差，并說(shuō)明抽樣推斷的可靠度。抽樣分布實(shí)際上是一種理論分布。在抽樣推斷中，統(tǒng)計(jì)量一般都服從正態(tài)分布或以正態(tài)分布為漸進(jìn)分布，所以正態(tài)分布是最常用的。當(dāng)然，還有

2分布、t分布和F分布等精確分布。抽樣分布的形成過(guò)程

(samplingdistribution)總體計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量，如：樣本均值、比例、方差等樣本（二）樣本平均數(shù)的抽樣分布從單位數(shù)為N的總體中抽取樣本容量為n的隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣的條件下共有Nn個(gè)可能的樣本，在不重復(fù)抽樣條件下，共有個(gè)可能樣本。對(duì)于每一個(gè)樣本，都可以計(jì)算出樣本的均值，所有的樣本均值形成的分布就是樣本均值的抽樣分布。樣本均值是一個(gè)隨機(jī)變量。同樣，可以得到樣本比例的抽樣分布和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的抽樣分布。樣本均值的抽樣分布

(例題分析)【例】設(shè)一個(gè)總體，含有4個(gè)元素(個(gè)體)

，即總體單位數(shù)N=4。4

個(gè)個(gè)體分別為x1=1，x2=2，x3=3，x4=4

?？傮w的均值、方差及分布如下總體分布142300.10.20.3均值和方差樣本均值的抽樣分布

(例題分析)現(xiàn)從總體中抽取n＝2的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個(gè)樣本。所有樣本的結(jié)果為3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值所有可能的n=2的樣本（共16個(gè)）3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值所有可能的n=2的樣本（共16個(gè)）樣本均值的抽樣分布

(例題分析)

計(jì)算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值16個(gè)樣本的均值（）x樣本均值的抽樣分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5樣本均值的分布與總體分布的比較

(例題分析)

=2.5σ2=1.25總體分布142300.10.20.3抽樣分布P(

x)1.000.10.20.31.53.04.03.52.02.5x中心極限定理

(centrallimittheorem)當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布設(shè)從均值為

，方差為

2的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個(gè)任意分布的總體x樣本均值的抽樣分布

與中心極限定理

=50

=10X總體分布n=4抽樣分布xn=16當(dāng)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)時(shí)，來(lái)自該總體的所有容量為n的樣本的均值

x也服從正態(tài)分布，

x的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即

x～N(μ,σ2/n)中心極限定理

(centrallimittheorem)

x的分布趨于正態(tài)分布的過(guò)程1.樣本均值的數(shù)學(xué)期望2.樣本均值的方差重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣樣本均值的抽樣分布

(數(shù)學(xué)期望與方差)（三）樣本比例的抽樣分布比率也稱比例，又稱成數(shù)?？傮w比例:某一現(xiàn)象總體中具有某種特征的單位占全部單位的比例（比重），用π表示。樣本比例:樣本中具有相同特征的單位占全部樣本單位的比例（比重），用p表示。如產(chǎn)品合格率、某種商品的市場(chǎng)占有率等。總體比例

式中：N0為總體中具有某種特征的單位數(shù)；N為總體單位數(shù)。設(shè)總體中具有另一種特征的單位數(shù)為N1，則有：N1/N=1-π樣本比例式中：n0為樣本中具有某種特征的單位數(shù)；n為樣本單位數(shù)。設(shè)樣本中具有另一種特征的單位數(shù)為n1，則有：n1/n=1-p當(dāng)n很大時(shí)，樣本比例p的抽樣分布可用正態(tài)分布近似。對(duì)于樣本比例p，若np≥5或n(1-p)≥5，就可以認(rèn)為樣本容量足夠大。1.樣本比例的數(shù)學(xué)期望2.樣本比例的方差重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣樣本比例的抽樣分布

(數(shù)學(xué)期望與方差)五、參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題（一）參數(shù)估計(jì)概念在許多實(shí)際問(wèn)題中，我們需要了解總體的情況，如總體分布、總體參數(shù)等，但總體參數(shù)及其概率分布往往是未知的。例如在農(nóng)民收入調(diào)查中，根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和理論分析如概率論中的中心極限定理，我們可以斷定農(nóng)民收入服從正態(tài)分布，但分布中的參數(shù)取何值卻是未知的，這就導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)估計(jì)問(wèn)題。統(tǒng)計(jì)估計(jì)問(wèn)題專門(mén)研究由樣本估計(jì)總體的未知分布或分布中的未知參數(shù)。直接對(duì)總體的未知分布進(jìn)行估計(jì)的問(wèn)題稱為非參數(shù)估計(jì)；當(dāng)總體分布類型已知，僅需對(duì)分布的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的問(wèn)題稱為參數(shù)估計(jì)。在參數(shù)估計(jì)中，假定抽樣方法為重復(fù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，樣本的每個(gè)分量都與總體同分布，它們之間相互獨(dú)立。估計(jì)量與估計(jì)值總體的特征數(shù)在參數(shù)估計(jì)中被稱作總體參數(shù)，用

表示。用來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量被稱為估計(jì)量，如樣本均值、樣本比例、樣本方差等都可以是一個(gè)估計(jì)量。估計(jì)量用表示。估計(jì)量是一個(gè)隨著抽樣波動(dòng)而波動(dòng)的隨機(jī)變量。當(dāng)有了樣本數(shù)據(jù)后，可用估計(jì)量計(jì)算出具體數(shù)值，該數(shù)值就稱為估計(jì)值。（二）點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)參數(shù)估計(jì)方法有點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)兩種。1.參數(shù)估計(jì)的點(diǎn)估計(jì)法一般地說(shuō)，用樣本估計(jì)量的值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值稱為點(diǎn)估計(jì)。如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)。例如，對(duì)某地區(qū)的水稻畝產(chǎn)量進(jìn)行估計(jì)，我們抽取一個(gè)樣本后得到的平均畝產(chǎn)量為600千克，我們就把該產(chǎn)量作為該地區(qū)的水稻畝產(chǎn)量，并以此估計(jì)出該地區(qū)的水稻總產(chǎn)量。沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息2.參數(shù)估計(jì)的區(qū)間估計(jì)法通過(guò)點(diǎn)估計(jì)，雖然可以給出未知參數(shù)的一個(gè)估計(jì)量（或估計(jì)值），但不知道與

到底相差多少？這就需要在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)的一個(gè)范圍。人們希望利用樣本給出一個(gè)范圍，要求它以足夠大的把握程度包含待估計(jì)參數(shù)的真值。這就是區(qū)間估計(jì)。

P{

}=1-

其中[,]是置信區(qū)間；,是置信區(qū)間上、下限；1-

是置信度、置信系數(shù)；

在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差而得到的根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在75～85之間，置信水平是95%

樣本統(tǒng)計(jì)量

(點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限（三）評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)總體參數(shù)，可用若干種方法去估計(jì)。例如，如果我們要估計(jì)總體的均值μ，可采用很多種方法：一是只從總體中抽取一個(gè)樣本值，即用x１估計(jì)μ

二是用樣本的中位數(shù)進(jìn)行估計(jì)；三是用樣本的眾數(shù)估計(jì)；四是在樣本（x１,x２,…,xｎ）中取其最大值與最小值之差的1/2去估計(jì)μ

；五是用樣本平均數(shù)估計(jì)μ

。對(duì)于這些估計(jì)方法來(lái)說(shuō)，哪種方法的估計(jì)值好些？哪個(gè)差些？也就是說(shuō)，對(duì)于所估計(jì)的均值，哪個(gè)更接近總體均值的真實(shí)值？這就提出了對(duì)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題。無(wú)偏性

(unbiasedness)無(wú)偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)P(

)BA無(wú)偏有偏有效性

(efficiency)有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效

AB

的抽樣分布

的抽樣分布P(

)一致性

（consistency)隨著樣本容量的增大，點(diǎn)估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)總體的參數(shù)。樣本容量越大，點(diǎn)估計(jì)量的抽樣分布的方差或標(biāo)準(zhǔn)差就越小。與有效性一致。也稱相合性六、一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（一）總體均值的區(qū)間估計(jì)1、正態(tài)總體且方差已知；或非正態(tài)總體、方差未知、大樣本情況下設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體是總體均值，是總體方差。當(dāng)已知時(shí)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)已證明服從正態(tài)分布，從而Z=服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，對(duì)給定的置信系數(shù)，查正態(tài)分布表，可得上分位點(diǎn)，使得從而有取則即是則的置信水平為

的置信區(qū)間

在總體服從正態(tài)分布或總體分布情況不知道，但樣本為大樣本情況下，如果總體方差未知，可用樣本方差S2代替。在不重復(fù)抽樣條件下，置信區(qū)間為：［例］某保險(xiǎn)公司從投保人中隨機(jī)抽取36人,計(jì)算得36人的平均年齡歲，已知投保人平均年齡近似服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為7.2歲，試求全體投保人平均年齡的置信水平為99%的置信區(qū)間。解：已知：查正態(tài)分布表，得故全體投保人平均年齡的置信水平為99%的置信區(qū)間為[36.41,42.59]［例］某學(xué)院從某專業(yè)的1000名學(xué)生中采用不重復(fù)抽樣方式隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，并調(diào)查這200名學(xué)生英語(yǔ)課程的成績(jī)，以此來(lái)估計(jì)1000人的平均成績(jī)。這200人的平均成績(jī)?yōu)?8分，由以往經(jīng)驗(yàn)知總體方差為90分，不知總體服從何種分布。在置信水平為90%的條件下建立1000名學(xué)生平均成績(jī)的置信區(qū)間。解：由題意知：則：答：1000名學(xué)生英語(yǔ)平均成績(jī)?cè)?7.01～78.99之間。2、正態(tài)總體、方差未知、小樣本情況下如果總體服從正態(tài)分布,無(wú)論樣本容量大小,樣本均值的抽樣分布都服從正態(tài)分布。只要總體方差已知，即使在小樣本情況下，也可以按前面的公式計(jì)算總體均值的置信區(qū)間。如果總體方差未知，需用樣本方差S2代替，在小樣本情況下，應(yīng)用t分布來(lái)建立總體均值的置信區(qū)間。T檢驗(yàn)T檢驗(yàn)，亦稱studentt檢驗(yàn)（Student′sttest），主要用于樣本容量較?。ɡ鏽<30），總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知的正態(tài)分布資料。t檢驗(yàn)是用t分布理論來(lái)推論差異發(fā)生的概率，從而比較兩個(gè)平均數(shù)的差異是否顯著。它與F檢驗(yàn)、卡方檢驗(yàn)并列。t檢驗(yàn)是戈斯特為了觀測(cè)釀酒質(zhì)量而發(fā)明的。戈斯特在位于都柏林的健力士釀酒廠擔(dān)任統(tǒng)計(jì)學(xué)家，基于ClaudeGuinness聘用從牛津大學(xué)和劍橋大學(xué)出來(lái)的最好的畢業(yè)生以將生物化學(xué)及統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用到健力士工業(yè)程序的創(chuàng)新政策。戈斯特于1908年在Biometrika上公布t檢驗(yàn)，但因其老板認(rèn)為其為商業(yè)機(jī)密而被迫使用筆名（學(xué)生）。t分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，通常要比正態(tài)分布平坦和分散。隨著自由度的增大，t分布逐漸趨于正態(tài)分布。在已知總體服從正態(tài)分布，但方差未知、小樣本情況下，總體均值在置信水平下的置信區(qū)間為：（重復(fù)抽樣條件下）

（不重復(fù)抽樣條件下）其中為t分布臨界值，可以查t分布臨界值表得到?！纠轂榱斯烙?jì)電視臺(tái)播放一分鐘廣告的平均費(fèi)用，現(xiàn)在抽出15家電視臺(tái)進(jìn)行調(diào)查，得到這15家電視臺(tái)播放一分鐘廣告的平均費(fèi)用為10000元，標(biāo)準(zhǔn)差為2000元。假設(shè)總體近似服從正態(tài)分布，試在置信水平為95%的條件下建立廣告平均費(fèi)用的置信區(qū)間。解：根據(jù)題意，已知：，查t分布表，有

即電視臺(tái)播放一分鐘廣告的平均費(fèi)用在8894～11106元之間。（二）總體比例的區(qū)間估計(jì)（二）總體比例的區(qū)間估計(jì)在大樣本（一般經(jīng)驗(yàn)規(guī)則：）條件下，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似。在這種情況下，數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)證明如下結(jié)論：置信水平為1-a的置信區(qū)間為：（重復(fù)抽樣）

（不重復(fù)抽樣）［例］某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，采取重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取了100名下崗職工，其中65人為女性。試以95％的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性所占比例的置信區(qū)間。解：由題意，已知，，得：即65％±9.35%=(55.65%，74.35%)答：95％的置信水平下該城市下崗職工中女性所占比例在55.65%～74.35%之間。，，

［例］某燈泡生產(chǎn)企業(yè)為檢驗(yàn)燈泡的質(zhì)量，對(duì)一批燈泡抽取1%進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果測(cè)得這批燈泡的平均壽命為1010小時(shí)，抽樣平均誤差為5.6小時(shí);合格率為92%，抽樣平均誤差為2.4%。要求在95%的可靠程度下，對(duì)該批燈泡的平均壽命和合格率進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。解：據(jù)題意知：由于1-

=95%，

=0.05，查表得則：燈泡的平均壽命區(qū)間為：

燈泡的合格率區(qū)間為：

答：在95%的可靠程度下，該批燈泡的平均壽命在999.02到1020.98小時(shí)之間，合格率在87.3%和96.7%之間。七、樣本容量的確定（一）影響樣本容量的因素在參數(shù)區(qū)間估計(jì)的討論中，估計(jì)值和總體的參數(shù)之間存在著一定的差異，這種差異是由樣本的隨機(jī)性產(chǎn)生的。在樣本容量不變的情況下，若要增加估計(jì)的可靠度，置信區(qū)間就會(huì)擴(kuò)大，估計(jì)的精度就降低了。若要在不降低可靠性的前提下，增加估計(jì)的精確度，就只有擴(kuò)大樣本容量。增大樣本容量要受到人力、物力和時(shí)間等條件的限制，所以需要在滿足一定精確度的條件下，盡可能恰當(dāng)?shù)卮_定樣本容量。一個(gè)常用的準(zhǔn)則是在使精度得到保證的前提下尋求使成本最省的樣本量。由于成本通常是樣本量的正向線性函數(shù)，故使費(fèi)用最省的樣本量也就是使精度得到保證的最小樣本量。1.總體的變異程度(總體方差)。2.允許誤差的大小。3.置信水平1－α的大小。4.抽樣方法不同。(二)樣本容量的確定

1.估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定在簡(jiǎn)單隨機(jī)重復(fù)抽樣下，設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體，總體均值的點(diǎn)估計(jì)為樣本均值。再可靠度為情況下，要求以估計(jì)時(shí)的絕對(duì)誤差不超過(guò)，即要求的最小樣本容量為（重復(fù)抽樣條件下）

（不重復(fù)抽樣條件下)[例]在某企業(yè)中采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣調(diào)查職工月度平均獎(jiǎng)金額，設(shè)職工月度獎(jiǎng)金額服從標(biāo)準(zhǔn)差為10元的正態(tài)分布，要求估計(jì)的絕對(duì)誤差為3元，可靠度為95%，試問(wèn)應(yīng)抽取多少職工進(jìn)行調(diào)查？解：根據(jù)題意知：則（人）答：該企業(yè)需抽取43名職工作為樣本進(jìn)行調(diào)查。2.估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定在簡(jiǎn)單隨機(jī)重復(fù)抽樣條件下，估計(jì)總體比例時(shí)，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理，可以定義絕對(duì)誤差為：從而得到樣本容量：

（重復(fù)抽樣條件下）同理，在簡(jiǎn)單隨機(jī)不重復(fù)抽樣條件下，我們可以得出估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的計(jì)算公式為：

（不重復(fù)抽樣條件下[例]根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)，某企業(yè)某種產(chǎn)品的合格率為90%，現(xiàn)要求絕對(duì)誤差不超過(guò)5%，在置信水平為95%時(shí)，應(yīng)抽取多少件產(chǎn)品作為樣本？解：已知，則

=答：該企業(yè)應(yīng)抽取139件產(chǎn)品作為樣本進(jìn)行調(diào)查。件在估計(jì)成數(shù)時(shí)，計(jì)算樣本容量時(shí)需要總體的成數(shù)，但是總體的成數(shù)通常是未知的，在實(shí)際的抽樣調(diào)查時(shí)，可先進(jìn)行小規(guī)模的試調(diào)查求得樣本的成數(shù)來(lái)代替。也可用歷史的資料，如果有若干個(gè)成數(shù)可供選擇，則應(yīng)選擇最靠近50%的成數(shù)，使樣本成數(shù)的方差最大，以保證估計(jì)的精確度。估計(jì)德軍坦克數(shù)量(參數(shù)估計(jì)）在二戰(zhàn)前期，德國(guó)在坦克戰(zhàn)中占了很多便宜，直到后來(lái)，蘇聯(lián)的坦克才能和德國(guó)坦克一拼高下。德軍有多少坦克是盟軍非常希望獲得的重要情報(bào)，有很多盟軍特務(wù)的任務(wù)就是竊取德軍坦克總量情報(bào)，然而根據(jù)戰(zhàn)后所獲得的數(shù)據(jù)，真正可靠的情報(bào)不是來(lái)源于盟軍特務(wù)，而是統(tǒng)計(jì)學(xué)家。統(tǒng)計(jì)學(xué)家做了什么事情呢？這和德軍制造坦克的慣例有關(guān)，德軍坦克在出廠之后按生產(chǎn)的先后順序編號(hào)，1，2...n，這是一個(gè)十分傻的傳統(tǒng)，正是因?yàn)檫@個(gè)傳統(tǒng)德軍送給了盟軍統(tǒng)計(jì)學(xué)家需要的數(shù)據(jù)。盟軍在戰(zhàn)爭(zhēng)中繳獲了德軍的一些坦克并且獲取了這些坦克的編號(hào)，現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)學(xué)家需要在這些編號(hào)的基礎(chǔ)上估計(jì)n，也就是德軍的坦克總量。這其實(shí)是均勻分布邊界的估計(jì)，公式是：

（1+1/繳獲德軍坦克的總量）×所有繳獲坦克中的最大編號(hào)第二節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本方法三、假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤四、一個(gè)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的兩個(gè)組成部分，都是利用樣本對(duì)總體進(jìn)行某種推斷。推斷的角度不同：參數(shù)估計(jì)是在總體參數(shù)未知的情況下用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)。假設(shè)檢驗(yàn)是先對(duì)總體參數(shù)提出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息去檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否成立，如果成立，就接受這個(gè)假設(shè)，否則就放棄。什么是假設(shè)檢驗(yàn)?

(hypothesistest)先對(duì)總體的參數(shù)(或分布形式)提出某種假設(shè)，然后利用樣本信息判斷假設(shè)是否成立的過(guò)程有參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)邏輯上運(yùn)用反證法，統(tǒng)計(jì)上依據(jù)小概率原理二、假設(shè)檢驗(yàn)的步驟【例】

某企業(yè)生產(chǎn)一種零件，過(guò)去的大量資料表明，零件的平均長(zhǎng)度為5厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1厘米。為了提高零件的精度，該企業(yè)對(duì)這種零件的生產(chǎn)工藝進(jìn)行了改革。改革工藝后，抽查了100個(gè)零件，測(cè)得樣本平均長(zhǎng)度為4.94厘米?，F(xiàn)問(wèn)：（1）工藝改革前后零件的長(zhǎng)度是否發(fā)生了顯著的變化？（2）工藝改革后的零件長(zhǎng)度是否比原來(lái)有所縮短？（3）工藝改革后的零件長(zhǎng)度是否比原來(lái)的長(zhǎng)？1、提出原假設(shè)和備擇假設(shè)對(duì)每個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，要同時(shí)提出兩個(gè)相反的假設(shè)：原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)又稱零假設(shè)，是待檢驗(yàn)的假設(shè)，是研究者想收集證據(jù)予以反對(duì)的假設(shè)，記為H0；總是有符號(hào)

,

或。備擇假設(shè)是拒絕原假設(shè)后可供選擇的假設(shè)，是研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)，記為H1?？偸怯蟹?hào)

,

或。原假設(shè)和備擇假設(shè)是相互對(duì)立的，并構(gòu)成一組完備假設(shè)。檢驗(yàn)結(jié)果二者必取其一。接受H0則必須拒絕H1；反之，拒絕H0則必須接受H1。原假設(shè)和備擇假設(shè)不是隨意提出的，應(yīng)根據(jù)所檢驗(yàn)問(wèn)題的具體背景而定。常常是采取“不輕易拒絕原假設(shè)”的原則，即把沒(méi)有充分理由不能輕易否定的命題作為原假設(shè)，而相應(yīng)地把沒(méi)有足夠把握就不能輕易肯定的命題作為備擇假設(shè)。一般地，假設(shè)有三種形式：1）H0:μ＝μ0；H1:μ≠μ0。這種形式的假設(shè)檢驗(yàn)稱為雙側(cè)檢驗(yàn)。如前例中的第一個(gè)問(wèn)題可提出假設(shè)：H0:μ＝5厘米；H1:μ≠5厘米。2）H0:μ≥μ0；H1:μ<μ0。這種形式的假設(shè)檢驗(yàn)稱為左側(cè)檢驗(yàn)。如前例中的第二個(gè)問(wèn)題可提出假設(shè)：H0:μ≥5厘米；H1:μ<5厘米。3）H0:μ≤μ0；H1:μ>μ0。這種形式的假設(shè)檢驗(yàn)稱為右側(cè)檢驗(yàn)。如前例中的第三個(gè)問(wèn)題可提出假設(shè)：H0:μ≤5厘米；H1:μ>5厘米。左側(cè)檢驗(yàn)和右側(cè)檢驗(yàn)統(tǒng)稱為單側(cè)檢驗(yàn)。采用哪種假設(shè)，要根據(jù)所研究的實(shí)際問(wèn)題而定。如果對(duì)所研究問(wèn)題只需判斷有無(wú)顯著差異或要求同時(shí)注意總體參數(shù)偏大或偏小的情況，則采用雙側(cè)檢驗(yàn)。如果所關(guān)心的是總體參數(shù)是否比某個(gè)值偏大（或偏小），則宜采用單側(cè)檢驗(yàn)。雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)

(假設(shè)的形式)假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)原假設(shè)H0:m=m0H0:m

m0H0:m

m0備擇假設(shè)H1:m≠m0H1:m<m0H1:m>m0【例】一家研究機(jī)構(gòu)估計(jì)，成都市居民家庭擁有汽車的比率超過(guò)40%。為驗(yàn)證這一估計(jì)是否正確，該研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了一個(gè)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。試陳述用于檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)。提出假設(shè)(例題分析)解：研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)是“成都市居民家庭擁有汽車的比率超過(guò)40%”。建立的原假設(shè)和備擇假設(shè)為

H0：

40%H1：

40%【例】一家研究機(jī)構(gòu)估計(jì)，成都市居民家庭擁有汽車的比率超過(guò)40%。為驗(yàn)證這一估計(jì)是否正確，另一家機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了一個(gè)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。試陳述用于檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)。2、選擇適當(dāng)統(tǒng)計(jì)量并確定其分布形式不同的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題需選擇不同的統(tǒng)計(jì)量。用于假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)量稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。選擇什么統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題和不同的條件而定。例如，用于進(jìn)行檢驗(yàn)的樣本是大樣本還是小樣本，總體方差已知還是未知，等等。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(teststatistic)與拒絕域檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量得到的，并能衡量樣本統(tǒng)計(jì)量與零假設(shè)差異的統(tǒng)計(jì)量通常檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取為：

根據(jù)樣本計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，如該值與0相差很大，說(shuō)明零假設(shè)不正確；否則，不能認(rèn)為零假設(shè)不正確。拒絕域：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（或樣本統(tǒng)計(jì)量或樣本）取值的集合，當(dāng)根據(jù)樣本觀測(cè)結(jié)果算得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值屬于該集合時(shí)，零假設(shè)應(yīng)被拒絕。

3、選擇顯著性水平а，確定臨界值顯著性水平表示原假設(shè)H0為真時(shí)拒絕原假設(shè)的概率，即拒絕原假設(shè)所犯錯(cuò)誤的概率，一般用а表示，統(tǒng)計(jì)上把α稱為假設(shè)檢驗(yàn)中的顯著性水平（Significantlevel），也就是決策中所面臨的風(fēng)險(xiǎn)。所以，顯著性水平是指當(dāng)原假設(shè)為正確時(shí)人們卻把它拒絕了的概率或風(fēng)險(xiǎn)。這個(gè)概率是由人們事前確定的，通常取α=0.05或α＝0.01，這表明，當(dāng)做出接受原假設(shè)的決定時(shí)，其正確的可能性（概率）為95%或99%。給定了顯著性水平а，也就確定了原假設(shè)H0的接受區(qū)域和拒絕區(qū)域。通過(guò)查分布表，得到臨界值，這個(gè)臨界值就是接受區(qū)域和拒絕區(qū)域的臨界點(diǎn)。對(duì)于不同形式的假設(shè)，H0的接受區(qū)域和拒絕區(qū)域也有所不同。雙側(cè)檢驗(yàn)的拒絕區(qū)域位于統(tǒng)計(jì)量分布曲線的兩側(cè)；左側(cè)檢驗(yàn)的拒絕區(qū)域位于統(tǒng)計(jì)量分布曲線的左側(cè)；右側(cè)檢驗(yàn)的拒絕區(qū)域位于統(tǒng)計(jì)量分布曲線的右側(cè)。顯著性水平和拒絕域

(雙側(cè)檢驗(yàn))抽樣分布0臨界值臨界值a/2a/2

樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0拒絕H01-

置信水平顯著性水平和拒絕域

(雙側(cè)檢驗(yàn)

)0臨界值臨界值a/2

a/2

樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0拒絕H0抽樣分布1-

置信水平顯著性水平和拒絕域

(單側(cè)檢驗(yàn)

)0臨界值a樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0抽樣分布1-

置信水平顯著性水平和拒絕域

(左側(cè)檢驗(yàn)

)0臨界值a樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0抽樣分布1-

置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計(jì)量顯著性水平和拒絕域

(右側(cè)檢驗(yàn)

)0臨界值a樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0抽樣分布1-

置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計(jì)量4、作出結(jié)論1）給定顯著性水平，查表得出相應(yīng)的臨界值z(mì)

或z/2，t

或t/22）將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與水平的臨界值進(jìn)行比較3）作出決策雙側(cè)檢驗(yàn)：I統(tǒng)計(jì)量I>臨界值，拒絕H0左側(cè)檢驗(yàn)：統(tǒng)計(jì)量<-臨界值，拒絕H0右側(cè)檢驗(yàn)：統(tǒng)計(jì)量>臨界值，拒絕H0假設(shè)檢驗(yàn)步驟的總結(jié)1.陳述原假設(shè)和備擇假設(shè)2.從所研究的總體中抽出一個(gè)隨機(jī)樣本3.確定一個(gè)適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并利用樣本數(shù)據(jù)算出其具體數(shù)值4.確定一個(gè)適當(dāng)?shù)娘@著性水平，并計(jì)算出其臨界值，指定拒絕域5.將統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值進(jìn)行比較，作出決策統(tǒng)計(jì)量的值落在拒絕域，拒絕H0，否則不拒絕H0三、假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤1. 第Ⅰ類錯(cuò)誤(棄真錯(cuò)誤)原假設(shè)為真時(shí)拒絕原假設(shè)第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率記為

被稱為顯著性水平2. 第Ⅱ類錯(cuò)誤(取偽錯(cuò)誤)原假設(shè)為假時(shí)未拒絕原假設(shè)第Ⅱ類錯(cuò)誤的概率記為

(Beta)

H0:無(wú)罪假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤(決策結(jié)果)陪審團(tuán)審判裁決實(shí)際情況無(wú)罪有罪無(wú)罪正確錯(cuò)誤有罪錯(cuò)誤正確H0檢驗(yàn)決策實(shí)際情況H0為真H0為假未拒絕H0正確決策(1–a)第Ⅱ類錯(cuò)誤(b)拒絕H0第Ⅰ類錯(cuò)誤(a)正確決策(1-b)假設(shè)檢驗(yàn)就好像一場(chǎng)審判過(guò)程統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)過(guò)程

錯(cuò)誤和

錯(cuò)誤的關(guān)系

你不能同時(shí)減少兩類錯(cuò)誤!

和的關(guān)系就像翹翹板，小就大，大就小影響錯(cuò)誤的因素1）總體參數(shù)的真值隨著假設(shè)的總體參數(shù)的減少而增大2）顯著性水平

當(dāng)減少時(shí)增大3）總體標(biāo)準(zhǔn)差

當(dāng)

增大時(shí)增大4）樣本容量n當(dāng)n

減少時(shí)增大四、一個(gè)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)z檢驗(yàn)(單側(cè)和雙側(cè))

t檢驗(yàn)(單側(cè)和雙側(cè))z

檢驗(yàn)(單側(cè)和雙側(cè))

2檢驗(yàn)(單側(cè)和雙側(cè))均值一個(gè)總體比率方差總體均值的檢驗(yàn)

(作出判斷)

是否已知小樣本容量n大

是否已知否t檢驗(yàn)否z檢驗(yàn)是z檢驗(yàn)

是z檢驗(yàn)（一）總體均值的檢驗(yàn)1、總體方差已知時(shí)對(duì)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體X～N（μ,σ2），總體方差σ2

為已知，（x1,x2,…,xn）為總體的一個(gè)樣本，樣本平均數(shù)為?，F(xiàn)在的問(wèn)題是對(duì)總體均值μ進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。H0:μ＝μ0

（或μ≤μ0、μ≥μ0

）。根據(jù)抽樣分布定理，樣本平均數(shù)服從N（μ，σ2/n），所以，如果H0成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z及其分布為：利用服從正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)量Z進(jìn)行的假設(shè)檢驗(yàn)稱為Z檢驗(yàn)法。根據(jù)已知的總體方差、樣本容量n和樣本平均數(shù)，計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z的值。對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平，查正態(tài)分布表可得臨界值，將所計(jì)算的Z值與臨界值比較，便可做出檢驗(yàn)結(jié)論。[例]根據(jù)過(guò)去大量資料，某公司所生產(chǎn)產(chǎn)品的使用壽命服從正態(tài)分布N（1020，1002）。該公司在進(jìn)行了技術(shù)革新后，需要檢驗(yàn)技術(shù)革新后的產(chǎn)品使用壽命是否有顯著改善，現(xiàn)從最近生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取16件，測(cè)得樣本平均壽命為1080小時(shí)。試在0.05的顯著性水平下判斷這批產(chǎn)品的使用壽命是否有顯著提高？解：根據(jù)題意，提出假設(shè)：H0:μ≤1020；H1:μ>1020，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由α＝0.05，查表得臨界值z(mì)0.05＝1.645由于Z＝2.4>Z0.05＝1.645，所以應(yīng)拒絕H0而接受H1，即這批產(chǎn)品的使用壽命確有顯著提高?？傮w均值的檢驗(yàn)條件檢驗(yàn)條件量拒絕域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

z(2)H0：μ≤μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ≥μ0H1：μ＜μz0z00非正態(tài)總體n≥30σ2已知或未知ZaZa2、總體方差未知時(shí)對(duì)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體X～N（μ，σ2），但總體方差σ2

未知，此時(shí)對(duì)總體均值的檢驗(yàn)不能用上述Z檢驗(yàn)法，因?yàn)榇藭r(shí)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z中包含了未知參數(shù)。為了得到一個(gè)不含未知參數(shù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，很自然會(huì)用總體方差的無(wú)偏估計(jì)量即樣本方差S2

來(lái)代替σ2

，在小樣本時(shí)采用t統(tǒng)計(jì)量。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t及其分布為：t利用服從t分布的統(tǒng)計(jì)量去檢驗(yàn)總體均值的方法稱為t檢驗(yàn)法。雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若，則拒絕H0，接受H1。左側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若t<–tα，則拒絕H0，接受H1。右側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若t>tα，則拒絕H0，接受H1?！纠繌拈L(zhǎng)期的資料可知，某公司生產(chǎn)的某種電子元件的使用壽命服從均值為200小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差未知的正態(tài)分布。通過(guò)改變部分生產(chǎn)工藝后，抽得10件樣本作分析（小時(shí)）：202，209，213，198，206，210，195，208，200，207試根據(jù)抽查的樣本，判斷該公司所生產(chǎn)的電子元件的使用壽命是否有了提高。（α=0.05）解：根據(jù)題意，檢驗(yàn)?zāi)康氖强疾祀娮釉褂脡勖钠骄禂?shù)據(jù)是否有所提高。因此，可建立如下假設(shè)：根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得=204.8，S=5.789檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由α=0.05，查表得臨界值由于，所以拒絕H0接受H1，即可以接受“在新工藝下，這種電子元件使用壽命的平均值有所提高的假設(shè)”。t檢驗(yàn)法討論t檢驗(yàn)法適用于小樣本情況下總體方差未知時(shí)對(duì)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)。隨著樣本容量n的增大，t分布趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。所以大樣本情況下（n>30），總體方差未知時(shí)對(duì)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)通常近似采用Z檢驗(yàn)法。同理，大樣本情況下非正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)也可用Z檢驗(yàn)法。因?yàn)椋鶕?jù)大樣本的抽樣分布定理，總體分布形式不明或?yàn)榉钦龖B(tài)總體時(shí)，樣本平均數(shù)趨近于正態(tài)分布。這時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z中的總體標(biāo)準(zhǔn)差用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S來(lái)代替。（二）總體比例的假設(shè)檢驗(yàn)由比例的抽樣分布定理可知，樣本比例服從二項(xiàng)分布，因此可由二項(xiàng)分布來(lái)確定對(duì)總體比例進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的臨界值，但其計(jì)算往往十分繁瑣。大樣本情況下，二項(xiàng)分布近似服從正態(tài)分布。因此，對(duì)總體比例的檢驗(yàn)通常是在大樣本條件下進(jìn)行的，根據(jù)正態(tài)分布來(lái)近似確定臨界值，即采用Z檢驗(yàn)法。其檢驗(yàn)步驟與均值檢驗(yàn)時(shí)的步驟相同，只是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不同。首先提出待檢驗(yàn)的假設(shè)：檢驗(yàn)統(tǒng)量為

[例]調(diào)查人員在調(diào)查某企業(yè)的主要產(chǎn)品生產(chǎn)線時(shí)，被告知生產(chǎn)線性能良好，產(chǎn)品生產(chǎn)穩(wěn)定，產(chǎn)品合格率達(dá)99%。為了驗(yàn)證這一說(shuō)法，調(diào)查人員隨機(jī)抽查了200件產(chǎn)品，其中195件產(chǎn)品合格，判斷廠方的宣稱是否可信？（α＝10%）。解：依題意，可建立如下假設(shè)：樣本比例由于樣本容量相當(dāng)大，所以可近似采用Z檢驗(yàn)法。給定α=0.1，查正態(tài)分布表得由于，應(yīng)接受原假設(shè)，即認(rèn)為廠方的宣稱是可信的。（三）總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)在實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)或生活中，僅僅知道樣本均值或比率維持在一個(gè)特定的范圍內(nèi)是不夠的，因?yàn)檫@還不足以保證整個(gè)過(guò)程（如生產(chǎn)線）的穩(wěn)定性。在生產(chǎn)產(chǎn)品過(guò)程中，產(chǎn)品的方差大就意味著所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量或生產(chǎn)產(chǎn)品的生產(chǎn)線的性能不穩(wěn)定，但由于抽樣中受偶然因素的影響，所觀察到得樣本信息（如樣本均值或比率）可能提供了產(chǎn)品質(zhì)量符合要求，從而使管理人員作出錯(cuò)誤的判斷。因此，總體方差的檢驗(yàn)也是一項(xiàng)主要的內(nèi)容。與總體均值、總體比率的檢驗(yàn)不同，在總體方差檢驗(yàn)中，不論樣本容量n大小，都要求總體服從正態(tài)分布，這是因?yàn)榭傮w方差的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布為(卡方)分布。用表示假定的總體方差的某一數(shù)值，則總體方差的假設(shè)形式、檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量和拒絕域如下表所示。

總體方差檢驗(yàn)的拒絕域

20

拒絕域總體方差的檢驗(yàn)方法假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)假設(shè)形式H0

：

2=

02H1：

2

02H0

：

2

02H1：

2<

02H0：

2

02H1

：

2>

02統(tǒng)計(jì)量拒絕域【例】某電工器材廠生產(chǎn)保險(xiǎn)絲，為保證質(zhì)量穩(wěn)定，要控制保險(xiǎn)絲融化時(shí)間的方差，希望其不超過(guò)也不低于60分鐘，方差太大說(shuō)明生產(chǎn)質(zhì)量不穩(wěn)定，而太小說(shuō)明生產(chǎn)精度太高，廠家所花費(fèi)的成本太高。從中抽出10根保險(xiǎn)絲進(jìn)行檢驗(yàn)，測(cè)得樣本方差為104分鐘。以0.1為顯著性水平檢驗(yàn)該廠生產(chǎn)的保險(xiǎn)絲融化時(shí)間的方差是否符合要求。解：根據(jù)題意，可作如下假設(shè)：

已知:n=10,s2=104分鐘，=60分鐘。則檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為：由а=0.1,查表,得：由于3.325<15.6<16.919，所以沒(méi)有顯著證據(jù)表明方差不符合要求。第三節(jié)方差分析一、方差分析的原理二、單因素方差分析三、方差分析中的多重比較利用假設(shè)經(jīng)驗(yàn)，可以對(duì)兩個(gè)總體分布的均值是否相等進(jìn)行檢驗(yàn)，但在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，如果我們需要檢驗(yàn)多個(gè)總體分布的均值是否相等時(shí)，又應(yīng)該任何處理呢？思路一:對(duì)多個(gè)總體分布的均值進(jìn)行兩兩比較思路二：是采用方差分析(ANOVA)方法對(duì)多個(gè)總體分布的均值同時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)。方差分析（ANOVA）概念由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年在農(nóng)業(yè)實(shí)驗(yàn)中首次提出。通過(guò)方差分析找出提高農(nóng)作物產(chǎn)量的主要因素。現(xiàn)在方差分析方法已廣泛應(yīng)用于科學(xué)實(shí)驗(yàn)，醫(yī)學(xué)，化工，管理學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，范圍廣闊。一、方差分析的原理某飲料生產(chǎn)企業(yè)開(kāi)發(fā)出了一種新型飲料，飲料的顏色共有四種:橘黃色、粉色、綠色和無(wú)色透明。這四種飲料的營(yíng)養(yǎng)含量、味道、價(jià)格、包裝等可能影響銷售量的因素全部相同。為了試驗(yàn)顏色對(duì)該新型飲料銷售量是否有影響，該公司在一些超市試銷了一個(gè)月。現(xiàn)從這些試銷的超市中隨機(jī)抽取了5家超市以收集該種飲料的銷售情況(如下表所示)。該公司現(xiàn)在需要確定顏色是否對(duì)飲料的銷售量產(chǎn)生影響？某種新型飲料不同顏色試銷1個(gè)月的銷售量xij（單位：件）超市編號(hào)（i）無(wú)色粉色橘黃色綠色126.531.227.930.8228.728.325.129.6325.130.828.532.4429.127.924.231.7527.229.6—32.8為了分析不同的顏色對(duì)飲料銷售是否有影響，我們可以把每種顏色的飲料所可能達(dá)到的銷售量看作一個(gè)總體現(xiàn)象，每一家超市的試銷量就分別構(gòu)成了4個(gè)樣本。4種顏色對(duì)商品的促銷影響力是否相等的問(wèn)題，可以通過(guò)判定4個(gè)總體的平均數(shù)是否相等來(lái)解決。如果4種顏色所實(shí)現(xiàn)的平均銷售量相等，那么我們可以認(rèn)為這4種顏色對(duì)商品的促銷作用力相等，如果4種顏色所實(shí)現(xiàn)的平均銷售量不相等，那么我們可以認(rèn)為這4種顏色對(duì)商品的促銷作用力具有明顯的差異。在方差分析中，涉及兩類變量。因變量是在方差分析中實(shí)際測(cè)量的、作為結(jié)果的變量。是一個(gè)數(shù)值型變量。自變量是作為原因、把觀測(cè)結(jié)果分成幾個(gè)組以進(jìn)行比較的變量。是一個(gè)分類型變量。在方差分析中，自變量也被稱為因素（factor），因素是方差分析研究的對(duì)象，是一個(gè)可控制的條件。如上例中的顏色。因素的不同表現(xiàn)，即因素中所包含的內(nèi)容，稱為因素的“水平”或“處理”（treatment）。方差分析就是通過(guò)分析多個(gè)總體的均值是否相等來(lái)判斷分類型的自變量（如上例中的顏色）對(duì)數(shù)量型的因變量（如上例中的銷售量）的影響是否顯著。方差分析有多種類型。根據(jù)分析的對(duì)象可以分為單因素方差分析（只對(duì)一個(gè)可控因素進(jìn)行分析）、雙因素方差分析（對(duì)兩個(gè)可控因素進(jìn)行分析）、多因素方差分析（同時(shí)對(duì)多個(gè)可控因素進(jìn)行分析）。方差分析的基本假設(shè)⑴每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布。也就是說(shuō)，對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來(lái)自服從正態(tài)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。⑵各個(gè)總體的方差必須相同。也就是說(shuō)，各組觀察數(shù)據(jù)是從具有相同方差的總體中抽取的。⑶觀察值之間是相互獨(dú)立的。二、單因素方差分析（一）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（二）分析步驟

（一）單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

(one-wayanalysisofvariance)

觀察值(j)因素(A)i

水平A1水平A2

…

水平Ak12::n

x11

x21

…

xk1x12

x22

…

xk2::

:

:::

:

:x1n

x2n

…

xkn表中：A表示因素，因素的k個(gè)水平（總體）用A1、A2、A3、…Ak來(lái)表示，觀測(cè)值用xij（i=1、2、3……k，j=1、2、3……n）表示,xij即為第i個(gè)水平的第j個(gè)觀測(cè)值。表

顏色對(duì)飲料銷售量有無(wú)影響的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)超市編號(hào)（j）顏色(A)i無(wú)色A1粉色A2橘黃色A3

綠色A412345

26.531.227.930.828.728.325.129.625.130.828.532.429.127.924.231.727.229.6—32.8分析思路誤差來(lái)源：系統(tǒng)性誤差、隨機(jī)性誤差組間方差：系統(tǒng)性誤差、隨機(jī)性誤差組內(nèi)方差：隨機(jī)性誤差思路：組間方差與組內(nèi)方差的大小1、提出假設(shè)

若可控因素的不同水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著性影響，那么觀測(cè)值Xij應(yīng)該來(lái)自同一正態(tài)總體，即：Xij

N(

,

2)。所以檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)的零假設(shè)是（1）一般提法H0

：

1=

2=…=

k自變量對(duì)因變量沒(méi)有顯著影響H1：

1

，

2

，…

，

k不全相等自變量對(duì)因變量有顯著影響式中：

i為第i個(gè)總體的均值（i=1,2,…k）。（2）注意：拒絕原假設(shè)，只表明至少有兩個(gè)總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等（二）分析步驟

3、上例的檢驗(yàn)假設(shè)

H0：

1=

2=

3=

4

即：顏色對(duì)飲料銷售量無(wú)顯著影響

H1：

i（i=1,2,3，4）不全相等即：顏色對(duì)飲料銷售量有顯著影響如果不拒絕H0，則不能認(rèn)為顏色與飲料銷售量之間有顯著關(guān)系；如果拒絕H0，則意味著顏色與飲料銷售量之間有顯著關(guān)系。在拒絕H0時(shí)，表明至少有兩種顏色的飲料銷售量的均值不相等，而非所有顏色的飲料銷售量的均值都不相等。2、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)H0是否成立，需要確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，并以此來(lái)判別不同水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響。下面我們通過(guò)上述顏色對(duì)飲料銷售量是否有影響的例子來(lái)說(shuō)明如何構(gòu)造和計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算各樣本的均值)假定從第i個(gè)總體中抽取一個(gè)容量為ni的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，第i個(gè)總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個(gè)數(shù)計(jì)算公式為式中：ni為第i個(gè)總體的樣本觀察值個(gè)數(shù)

xij為第i個(gè)總體的第j個(gè)觀察值

根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算出無(wú)色飲料銷售量的樣本均值為：

同理，可以計(jì)算出粉色、橘黃色和紅色的均值，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表。構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算全部觀察值的總均值)全部觀察值的總和除以觀察值的總個(gè)數(shù)計(jì)算公式為根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算出總均值為：構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(例題分析)超市編號(hào)（j）顏色(A)i無(wú)色A1粉色A2橘黃色A3

綠色A412345

26.531.227.930.828.728.325.129.625.130.828.532.429.127.924.231.727.229.6—32.8樣本平均數(shù)27.3229.5626.4331.46總平均數(shù)28.81構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算總誤差平方和SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況其計(jì)算公式為

前例