3.4實(shí)數(shù)的運(yùn)算（原卷版）

3.4實(shí)數(shù)的運(yùn)算了解有理數(shù)的運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序.(運(yùn)算能力)會(huì)用計(jì)算器進(jìn)行簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)運(yùn)算,并解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.(應(yīng)用意識(shí))在解決實(shí)際問題時(shí),能用計(jì)算器進(jìn)行近似計(jì)算,并會(huì)按問題的要求對(duì)結(jié)果取近似值.知識(shí)點(diǎn)一實(shí)數(shù)的運(yùn)算1.實(shí)數(shù)運(yùn)算的類型在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可以進(jìn)行加、減、乘除、乘方及開方運(yùn)算.注意：同學(xué)們，以前我們常說運(yùn)算為加減乘除，學(xué)完平方根和立方根以后，今后我們?cè)俅握f運(yùn)算的時(shí)候，就要加上“乘方和開方運(yùn)算”了噢！2.實(shí)數(shù)運(yùn)算的順序先算乘方和開方,再算乘除,最后算加減.如果遇到括號(hào),那么先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算.注意：(1)有理數(shù)的運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)同樣適用;(2)同級(jí)運(yùn)算按從左到右的順序進(jìn)行數(shù)（3）同學(xué)們，請(qǐng)千萬記住“不要刻意為了簡(jiǎn)便而簡(jiǎn)便”，同級(jí)運(yùn)算要按從左往右運(yùn)算，比如不要為了簡(jiǎn)便而簡(jiǎn)便寫成，而正確計(jì)算則是從左往右依次計(jì)算，為了防止錯(cuò)誤，可以提前將除以3變成乘，即.即學(xué)即練求下列各式的值：(1)(2)實(shí)數(shù)運(yùn)算過程中要做到“一看、二用、三查”.一看:觀察算式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，判斷是否運(yùn)用運(yùn)算律;二用:運(yùn)用運(yùn)算律或公式計(jì)算;三查:檢查過程和結(jié)果是否正確.知識(shí)點(diǎn)二利用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根或平方根利用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根或平方根需用到計(jì)算器上的“”鍵.“”的用法是先輸入“”,再輸入需要開平方的數(shù),再按“”即可.如求的操作過程是2.即學(xué)即練1計(jì)算的結(jié)果精確到是．（用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算）即學(xué)即練2計(jì)算：（1）2＋π≈；（結(jié)果精確到0.1）（2）π≈．（結(jié)果精確到0.01）知識(shí)點(diǎn)三利用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的立方根利用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根或平方根需用到計(jì)算器上的“SHIFT”鍵，再按計(jì)算器上的“”鍵，再輸入需要開立方的數(shù)，最后按“”即可.如求的操作過程是SHIFT6.題型1實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算例1（2023上·浙江溫州·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：(2)(3)(4)（，結(jié)果精確到0.01）舉一反三1（2023上·浙江寧波·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：(1)(2)(3)舉一反三2（2023上·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）計(jì)算：．題型2程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算例2（2023上·山東威海·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)按運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行的數(shù)值轉(zhuǎn)換器：(1)若輸入的x為16，則輸出的y值是；(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，則x的值是；(3)若輸出y的值是，請(qǐng)寫出兩個(gè)滿足要求的x值．舉一反三1（2023下·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，其工作原理如圖所示．(1)當(dāng)輸入的x值為時(shí)，求輸出的y值；(2)若輸入有意義的x值后，始終輸不出y值，請(qǐng)寫出所有滿足要求的x的值，并說明你的理由；(3)若輸出的y值是，直接寫出x的負(fù)整數(shù)值．舉一反三2（2023下·北京海淀·七年級(jí)清華附中校考期中）一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器如圖所示：(1)當(dāng)輸入的值為16時(shí)，輸出的值是______；(2)若輸入有效的值后，始終輸不出值，則所有滿足要求的的值為______；(3)若輸出的值是，請(qǐng)直接寫出兩個(gè)滿足要求的的值．題型3新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算例3（2023下·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期中）著名數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立了虛數(shù)的概念：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為，這個(gè)數(shù)叫做虛數(shù)單位，數(shù)學(xué)上把形如（，為實(shí)數(shù)，且）的數(shù)叫作虛數(shù)，其中叫作這個(gè)數(shù)的實(shí)部，叫作這個(gè)數(shù)的虛部，它的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算類似．例如：．根據(jù)上述信息，完成下列問題：(1)填空：_________；_______；(2)計(jì)算：；(3)計(jì)算：．舉一反三1（2023下·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期中）對(duì)于實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：用符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)，稱為的根整數(shù)．例如：如果我們對(duì)連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為為止．例如：對(duì)連續(xù)求根整數(shù)次，這時(shí)候結(jié)果為(1)仿照以上方法計(jì)算：___________；___________；(2)若，寫出滿足題意的的整數(shù)值___________；(3)對(duì)100連續(xù)求根整數(shù)，___________次之后結(jié)果為1；(4)計(jì)算：．舉一反三2（2022上·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，為有理數(shù)，如果規(guī)定一種運(yùn)算“*”，即，試根據(jù)這種運(yùn)算完成下列各題．(1)求；(2)求；(3)任意選擇兩個(gè)有理數(shù)，，分別計(jì)算和，比較運(yùn)算結(jié)果，你有何發(fā)現(xiàn)？題型4實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用例4（2022下·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將長(zhǎng)方形分成四個(gè)區(qū)域，其中A，B兩正方形區(qū)域的面積分別是3和9.(1)A，B兩正方形的邊長(zhǎng)各是多少？(2)求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留兩位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：）.舉一反三1（2023下·福建莆田·七年級(jí)期中）虹勝?gòu)V場(chǎng)要建一個(gè)占地面積4000平方米的花園，現(xiàn)有兩種方案：一種是建正方形花園，一種是建圓形花園，如果你是設(shè)計(jì)者，你能估算出兩種花園的圍墻有多長(zhǎng)嗎（誤差小于1米）？如果你是投資者，你會(huì)選擇哪種方案，為什么？舉一反三2（2022下·北京·七年級(jí)北京八十中?？计谥校罢f不完的”探究活動(dòng)，根據(jù)各探究小組的匯報(bào)，完成下列問題．(1)到底有多大？下面是小欣探索的近似值的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：我們知道面積是2的正方形邊長(zhǎng)是，且．設(shè)，畫出如下示意圖．由面積公式，可得______．因?yàn)橹岛苄。愿?，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．(2)怎樣畫出？請(qǐng)一起參與小敏探索畫過程．現(xiàn)有2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖（1），請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．小敏同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為．依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有，解得．把圖（1）如圖所示進(jìn)行分割，請(qǐng)?jiān)趫D（2）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．請(qǐng)參考小敏做法，現(xiàn)有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖（3），請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．說明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程．題型5與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題例5（2020上·重慶江北·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：求的值．解：設(shè)①，則②．用②①得∴．即．∴．以上方法我們稱為“錯(cuò)位相減法”，請(qǐng)利用上述材料，解決下列問題：阿基米德與國(guó)王下棋，國(guó)王輸了，國(guó)王問阿基米德要什么獎(jiǎng)賞，阿基米德對(duì)國(guó)王說：“我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八?！催@個(gè)方法放滿整個(gè)棋盤就行．”國(guó)王以為要不了多少糧食，就隨口答應(yīng)了，結(jié)果國(guó)王輸了．(1)國(guó)際象棋共有64個(gè)格子，則在第64格中應(yīng)放_(tái)_____粒米；（用冪表示）(2)設(shè)國(guó)王輸給阿基米德的米粒數(shù)為S．求S．(3)拓展應(yīng)用：計(jì)算：；（仿照材料寫出求解過程）舉一反三1（2023下·安徽合肥·七年級(jí)中國(guó)科技大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）【觀察】請(qǐng)你觀察下列式子．第1個(gè)等式：．第2個(gè)等式：．第3個(gè)等式：．第4個(gè)等式：．第5個(gè)等式：．【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)你的閱讀回答下列問題：(1)寫出第7個(gè)等式________．(2)請(qǐng)根據(jù)上面式子的規(guī)律填空：________．(3)計(jì)算：．舉一反三2（2020下·江蘇宿遷·八年級(jí)沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)校考階段練習(xí)）觀察下列等式：回答下列問題：（1）化簡(jiǎn)：（無需化為最簡(jiǎn)二次根式）（2）化簡(jiǎn)：（為正整數(shù)）（3）利用上面所揭示的規(guī)律計(jì)算（無需化為最簡(jiǎn)二次根式）：一、單選題1．（2023下·遼寧營(yíng)口·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022下·廣東江門·七年級(jí)江門市第一中學(xué)?？计谥校┤簦瑒t（

）A． B．3 C．2 D．63．（2023上·浙江溫州·七年級(jí)?？计谥校?duì)于整數(shù)n，定義為不大于n的最大整數(shù)，例如：，，則和的距離為（

）A．4 B．5 C．6 D．75．（2023下·貴州畢節(jié)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）正整數(shù)n小于50，并且滿足等式，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，則滿足等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空題6．（2023上·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．7．（2023上·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是1，點(diǎn)B，C分別位于點(diǎn)A的兩側(cè)，且到點(diǎn)A的距離相等．若點(diǎn)B表示的數(shù)是，則點(diǎn)C表示的數(shù)是．8．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．9．（2023上·浙江寧波·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）1930年，德國(guó)漢堡大學(xué)的學(xué)生考拉茲，曾經(jīng)提出過這樣一個(gè)數(shù)學(xué)猜想：對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對(duì)它乘3再加1；如果它是偶數(shù)，則對(duì)它除以2．如此循環(huán)，最終都能夠得到1．這一猜想后來成為著名的“考拉茲猜想”，又稱“奇偶?xì)w一猜想”．雖然這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒有得到證明，但舉例驗(yàn)證都是正確的，例如：正整數(shù)5經(jīng)過下面5步運(yùn)算可得到1，即：．則正整數(shù)6經(jīng)過步運(yùn)算可得到1．【小蜜蜂改編·原題沒有】那么正整數(shù)經(jīng)過7步運(yùn)算可得到1．10．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）按如圖所示的程序計(jì)算，若輸入的，，則輸出的結(jié)果為．11．（2023·湖北·一模）觀察下列二次根式的化簡(jiǎn)：；；；則．三、解答題12．（2023上·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；