13.3.1等腰三角形（原卷版）

13.3.1等腰三角形了解等腰三角形和等邊三角形的概念掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理掌握有一個角是30°的直角三角形的性質(zhì)知識點一等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形(isoscelestriangle).如圖,在△ABC中,AB=AC△ABC是等腰三角形即學(xué)即練1如圖，點D在AC上，AB=AC，即學(xué)即練2已知線段a，b（如圖）．用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使AB=AC=即學(xué)即練3求證：等腰三角形兩腰上的中線相等．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，CD，BE知識點二等腰三角形的性質(zhì)1.性質(zhì)1等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”).數(shù)學(xué)語言:如圖所示,在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C.拓展：由“等腰三角形的兩個底角相等”,可以得到以下推論:等邊三角形的各個內(nèi)角都等于60°2.性質(zhì)2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”)數(shù)學(xué)語言:如圖所示,在△ABC中，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，ADBC;∵AB=AC,ADBC,∴∠BAD=∠CAD,BD=CD.知識點三等腰三角形的其他性質(zhì)(1)等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等(2)等腰三角形兩底角的平分線相等(3)等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高(4)當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時，此等腰三角形為等腰直角三角形,它的兩條直角邊相等,兩個銳角都是45°注意：(1)應(yīng)用“三線合一”性質(zhì)的前提是在等腰三角形中,且必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角平分線.等腰三角形一腰上的高與中線不一定重合.(2)等腰三角形是軸對稱圖形頂角平分線(或底邊上的高,或底邊上的中線)所在的直線是它的對稱軸即學(xué)即練1（2021春·福建漳州·八年級福建省詔安縣第二實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等腰三角形的一個角為40°，求它另外兩個角的度數(shù)．即學(xué)即練2（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個角100°，它的另外兩個角的度數(shù)分別為．知識點四等腰三角形的對稱性當(dāng)我們沿著等腰三角形ABC的頂角平分線AD所在的直線把△ABC對折時，因為∠BAD=∠CAD,所以射線AB與AC重合，又因為AB=AC,所以點B與點C重合,即直線AD兩側(cè)的形能夠完全重合.因此我們有下面的結(jié)論:等腰三角形是軸對稱圖形,頂角平分線所在的直線是它的對稱軸.知識點五等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對邊”).數(shù)學(xué)語言:在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC(等角對等邊)注意:等角對等邊的前提是“在同一個三角形中”.2.“等邊對等角”與“等角對等邊”的區(qū)別由三角形的兩邊相等得出它們所對的角相等,是等腰三角形的;由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形,是等腰三角形的等腰三角形的性質(zhì):兩邊相等這兩邊所對的角相等.等腰三角形的判定:兩角相等這兩角所對的邊相等.即學(xué)即練1如圖，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分線，過點D作DE∥(1)求證：△BED(2)若∠A角平分線＋平行線=等腰三角形當(dāng)題目中出現(xiàn)角平分線、平行線這兩個條件時，一般會有等腰三角形出現(xiàn),記住這個基本圖形,有助于解題，即學(xué)即練2如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=36°，點D、E在AB上，如果BC=A．3個 B．4個 C．5個 D．6個題型1等腰三角形的定義例1（2023上·廣東廣州·八年級廣州市駿景中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是等腰三角形，點O是底邊上任意一點，、分別與兩邊垂直，等腰三角形的腰長為8，面積為20，則的值為（

）A．5 B． C．9 D．10舉一反三1（2023上·北京西城·八年級北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點，點，點．若是等腰直角三角形且，當(dāng)時，點的橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．舉一反三2（2023上·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，則為_____題型2作等腰三角形（尺規(guī)作圖）例2（2022下·北京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：如圖1，已知線段和線段．求作：等腰，使得，，于，．(1)如圖2，首先作射線，在截取：接下來，請使用直尺和圓規(guī)，在圖2中作出的垂直平分線，使交于點，再作出滿足條件的一個等腰，使得點在線段上方（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．∵與交于點，∴，________________．∵點在上，∴（填寫理由：________________）舉一反三1（2023上·湖北十堰·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．舉一反三2（2023上·江蘇泰州·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測）作圖：（1）如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中：①畫出關(guān)于直線l軸對稱的（其中D、E、F是A、B、C的對應(yīng)點）；②直接寫出的面積=________________．（2）如圖，畫一個等腰，使得底邊，它的高（保留作圖痕跡，不寫作法）題型3三角形邊角的不等關(guān)系例3（2021上·山東濰坊·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，∠C＝90°，點D為BC上一點，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F(xiàn)為AC上一點，則下列結(jié)論中正確的是（）A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC舉一反三1（2021上·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，垂直平分，點P為直線上的任一點，則周長的最小值是（

）A．10 B．14 C．15 D．19舉一反三2（2020上·海南省直轄縣級單位·八年級校考階段練習(xí)）若等腰三角形的一邊長等于2，另一邊長等于3，則它的周長等于（

）．A．7 B．8 C．9 D．7或8舉一反三3（2019上·北京東城·八年級北京市第二十二中學(xué)校聯(lián)考期中）等腰三角形一邊等于5，另一邊等于8，則其周長是（

）．A．18 B．21 C．18或21 D．13或18舉一反三4（2011上·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）等腰三角形周長為20，一邊長為4，則另兩邊長為．題型4根據(jù)等邊對等角求角度例4（2023上·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，是邊上的高，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．舉一反三1（2023上·云南昭通·八年級校考階段練習(xí)）如圖，，點E在邊上，，則的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．45° D．50°舉一反三2（2023上·四川自貢·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，且，垂直平分，交于點F．(1)若，求的度數(shù)；(2)若周長，，求長．題型5根據(jù)等邊對等角證明例5（2023上·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，則與的關(guān)系是（）A． B． C． D．舉一反三1（2023上·北京海淀·八年級北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，，，下列結(jié)論正確的有（

）①平分；

②；③；

④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個舉一反三2（2023上·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，于點D，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．舉一反三3（2023上·廣東廣州·八年級廣州市駿景中學(xué)校考期中）中，的平分線交于點D，垂直平分，垂足為點E．(1)求證：；(2)，求的度數(shù)．題型6根據(jù)三線合求解例6（2023上·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）如圖，，分別是的中線和角平分線．若，，則的度數(shù)是(

)A． B． C． D．舉一反三1（2023上·浙江臺州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，過點B作的角平分線的垂線，垂足為F，交于點G，若，則線段的長為（

）A．1 B．2 C． D．3舉一反三2（2023上·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，于點，若，則．舉一反三3（2023上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，等腰底邊的長為，面積是，腰的垂直平分線交于點，若為邊上的中點，為線段上一個動點，則周長的最小值為_________．題型7根據(jù)三線合證明例7（2023上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）已知：在中，，點D為邊上一動點，以為邊作且．(1)如圖1，連結(jié)，若，求的度數(shù)；(2)若，猜想點D在邊上什么位置時，能使請在圖2中補全圖形，并說明理由．舉一反三1（2023上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，D為邊上一點，E為邊上一點，連接與交于點F，G為外一點，滿足，，連接．(1)求證：；(2)若平分，求證：．舉一反三2（2023上·云南昆明·八年級昆明八中?？计谥校┤鐖D，在中，，，點是上的一點，且，，垂足分別為點、，求證：垂直平分．題型8等腰三角形的性質(zhì)和判定例8（2023上·湖北武漢·八年級武漢市武珞路中學(xué)?？计谥校┮阎妊校?，兩腰的垂直平分線交于點P，已知，則等腰三角形的頂角為（

）A． B． C．或 D．或舉一反三1（2023上·福建莆田·八年級莆田二中?？计谥校┤鐖D，在中，分別為邊上的高，相交于點，，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則周長等于的長．其中正確的有．舉一反三2（2023上·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，平分交于點D．過點A作，交的延長線于點E．(1)求的度數(shù)；(2)求證：是等腰三角形；(3)若，求的長（用含m，n的式子表示）．舉一反三3（2023上·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，平分且于，，又知，的周長為，則的長是（

）A． B． C． D．舉一反三4（2023上·福建莆田·八年級莆田二中?？计谥校┤鐖D1，銳角，分別以的兩邊為腰構(gòu)造等腰、，且．(1)如圖2，連接，試猜想與有什么關(guān)系？并說明理由．(2)如圖3，點G為的中點，連接，過點C作于點F，求證：點F、C、G三點共線．，再利用全等三角形的性質(zhì)，可得且，即，即可解答；題型9格點圖中畫等腰三角形例9（2023上·湖南懷化·八年級校聯(lián)考期中）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A，B是兩格點，若C也是圖中的格點，使是以為一邊的等腰三角形，滿足條件的點C的個數(shù)有個．舉一反三1（2023上·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個格點、，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5舉一反三2（2023上·浙江溫州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)絡(luò)中的每個小正方形邊長都為1，每個小正方形的頂點叫格點，在圖中畫出符合下列條件的一個圖形．(1)在圖1中畫一個與全等且有一條公共邊的格點三角形；(2)在圖2中畫一個以為腰長的等腰，使它的頂點都在格點上．題型10找出圖中的等腰三角形例10（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知線段的端點在直線上（與不垂直）請在直線上另找一點，使是等腰三角形，這樣的點能找（

）A．個 B．個 C．個 D．個舉一反三1（2023上·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，點在的垂直平分線上，平分，則圖中等腰三角形的個數(shù)是()A．3 B．4 C．5 D．6舉一反三2（2022上·七年級單元測試）線段和互相垂直平分于O點，且，順次連結(jié)A、D、B、C，那么圖中的等腰直角三角形共有（

）A．4個 B．6個 C．8個 D．10個舉一反三3（2023下·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，是的角平分線，則圖中的等腰三角形共有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型11根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形例11（2023上·浙江湖州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，將長方形紙帶按如圖所示沿EF所在直線折疊，點C落在上的點處，點D落在點處．已知長方形的兩組對邊分別平行而且相等，四個內(nèi)角都是直角．(1)求證：是等腰三角形．(2)如果，求的度數(shù)．舉一反三1（2023上·山東濟寧·七年級濟寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D中，平分，平分，過D作直線平行于，交，與E，F(xiàn)．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的周長．舉一反三2（2023上·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，．(1)尺規(guī)作圖：在邊上取一點，連接，使；(2)在（1）的條件下，若，，試判斷是否為等腰三角形，并說明理由．舉一反三3（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，D在邊的延長線上，的平分線交的延長線于點E，已知，，求證：．題型12根據(jù)等角對等邊證明邊相等例12（2023上·北京·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，和的平分線交于O點，過點O作的平行線交于M點，交于N點，則的周長為．舉一反三1（2023上·山東青島·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是邊上的中線．(1)求證：是等腰三角形；(2)若的周長為33，，求的長．舉一反三2（2023上·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，．(1)求證：；(2)求證：．舉一反三3（2023上·河南開封·八年級金明中小學(xué)?？计谥校┰谥?，，如圖①，當(dāng)，為的角平分線時，在上截取，連接，易證．(1)如圖②，當(dāng)，為的角平分線時，請直接寫出你的猜想：(2)如圖③，當(dāng)為的外角平分線時，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．題型13根據(jù)等角對等邊求邊長例13（2023上·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，為的平分線，，垂足為M，且，，則（

）．A．10 B．7 C．8 D．9舉一反三1（2023上·廣東廣州·八年級廣州市第二中學(xué)校考期中）如圖，在中，和的平分線交于點，過點作平行交于，交于，若，，則線段的長為（

）A．6 B．7 C．8 D．9舉一反三2（2023上·廣西南寧·九年級南寧三中?？计谥校┤鐖D，，平分，，則．舉一反三3（浙江省臺州市20232024學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，在四邊形中，，連結(jié)，在對角線上取點E，連接．若，．(1)求證：．(2)若平分，且，求的長．題型14直線上與已知兩點組成等腰三角形的點例14（2023下·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知，，若點在坐標(biāo)軸上，且為等腰三角形，則滿足條件的點的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．6 D．7舉一反三1（浙江省臺州市20232024學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知，點在平面直角坐標(biāo)系中，點P在x軸上，若點A，P與原點O構(gòu)成的三角形為等腰三角形，則符合條件的點P有個．舉一反三2（2020上·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，中，動點D在直線上，當(dāng)為等腰三角形，．舉一反三3（2021上·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A，B，C三點的坐標(biāo)分別是，，．(1)求的面積：(2)我們把所有橫坐標(biāo)為的點構(gòu)成的直線叫作直線，畫出關(guān)于直線對稱的（并標(biāo)注頂點字母）；(3)若在y軸上取點D，使為等腰三角形，則這樣的點D共有______個．題型15求與圖形中任意兩點構(gòu)成等腰三角形的點例15（2023上·江蘇無錫·八年級江蘇省天一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖中，，，在直線BA上找一點D，使或為等腰三角形，則符合條件的點D的個數(shù)有（）A．7個 B．6個 C．5個 D．4個舉一反三1（2021上·湖北武漢·八年級武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）?？计谀┮阎校?，在平面內(nèi)找一點，使得，，都是等腰三角形，則這樣的點有（

）個A．4 B．6 C．8 D．10舉一反三2（2023上·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，在y軸上確定點P，使為等腰三角形，則符合條件的點P共有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6一、單選題1．（2021上·安徽滁州·八年級校考階段練習(xí)）點是坐標(biāo)平面上兩定點，C是的圖像上的動點，則滿足上述條件的等腰可以畫出（）個．A．1 B．3 C．4 D．52．（2021·安徽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，根據(jù)作圖痕跡，可知（

）A． B． C． D．3．（2016上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）等腰三角形兩邊長分別為4和12，則這個等腰三角形的第三邊為（）A．4或12 B．16 C．12 D．44．（2023上·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，于點D．，點Р為邊上的動點．點E為邊上的動點，則的最小值是（

）A． B．4 C． D．5二、填空題5．（2023上·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，、是的兩條角平分線，，是上的一個動點，則線段最小值的是．6．（2023上·北京海淀·八年級北京市八一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，與