高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（必修二）：專題8.2 基本立體圖形（重難點題型檢測）（教師版）

專題8.2基本立體圖形（重難點題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022秋·安徽六安·高二期中）下列圖形所表示的幾何體中，不是棱錐的為（

）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)棱錐的定義結合結合圖形分析可得答案.【解答過程】棱錐的定義為：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.根據(jù)棱錐的定義，B、C、D選項中的幾何圖形是棱錐，A選項中的幾何圖形是由兩個棱錐組合而成的，所以不是棱錐;故選：A.2．（3分）（2022秋·四川遂寧·高二期中）如圖是由哪個平面圖形旋轉得到的（

）A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)圓柱、圓錐與圓臺的定義，判斷選項中的圖形旋轉一周后所得到的幾何體的形狀，進而可得結果.【解答過程】A中圖形旋轉得到兩個圓錐與一個圓柱，不合題意；B中圖形旋轉得到兩個相同底面的圓錐，不合題意；C中圖形旋轉得到相同底面的圓柱與圓錐，不合題意；D中圖形旋轉得到一個圓臺與一個圓錐，合題意.故選：D.3．（3分）（2022·高一課時練習）下列命題中正確的個數(shù)是（

）①由五個面圍成的多面體只能是三棱柱；②由若干個平面多邊形所圍成的幾何體是多面體；③僅有一組對面平行的五面體是棱臺；④有一面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐.A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】舉反例說明①③不正確；②是多面體的定義，正確；由棱錐的結構特征說明④錯誤.【解答過程】解：①中，由五個面圍成的多面體可以是四棱錐，故①不正確；②中，根據(jù)幾何體的性質(zhì)和結構特征可知，多面體是由若干個平面多邊形所圍成的幾何體，故②正確；③中，僅有一組對面平行的五面體，可以是三棱柱，故③不正確；④中，有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖中的幾何體，滿足條件，但并不是棱錐，故④不正確.故選：B.4．（3分）（2022·高二課時練習）下列說法正確的是（

）①圓臺可以由任意一個梯形繞其一邊旋轉形成；②用任意一個與底面平行的平面截圓臺，截面是圓面；③以半圓的直徑為軸旋轉半周形成的旋轉體叫做球；④圓柱的任意兩條母線平行，圓錐的任意兩條母線相交，圓臺的任意兩條母線延長后相交．A．①② B．②③ C．①③ D．②④【解題思路】利用圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征分析判斷即可【解答過程】圓臺是直角梯形繞其直角邊或等腰梯形繞其兩底邊的中點連線旋轉形成的，故錯；②用任意一個與底面平行的平面截圓臺，截面是圓面，故正確；球是以半圓的直徑為軸旋轉一周形成的旋轉體，故③錯；④圓柱的任意兩條母線平行，圓錐的任意兩條母線相交，圓臺的任意兩條母線延長后相交，故正確．故選：D.5．（3分）（2022秋·重慶萬州·高三階段練習）在古代，斗笠作為擋雨遮陽的器具，用竹篾夾油紙或竹葉棕絲等編織而成，其形狀可以看成一個圓錐體，在《詩經(jīng)》有“何蓑何笠”的句子，說明它很早就為人所用.已知某款斗笠如圖所示，它的母線長為22，側面展開圖是一個半圓，則該斗笠的底面半徑為（

A．4 B．42 C．2 【解題思路】側面展開圖一個半圓，則此半圓的弧長等于底面圓周長，由此求出底面半徑.【解答過程】設底面半徑為r，底面圓周長2π斗笠母線長l=22，側面展開圖一個半圓，則此半圓的弧長1所以l?π故選：C.6．（3分）（2022·全國·高一期中）如圖，正三棱錐A?BCD中，∠BAD=20°，側棱長為2，過點C的平面與側棱AB,AD相交于B1,A．22 B．23 C．4 【解題思路】將正三棱錐A?BCD沿AC剪開，要使△CB1D1的周長的最小則有C【解答過程】將正三棱錐A?BCD沿AC剪開可得如下圖形，∵∠BAD=20°，即∠CAC'=π∴要使△CB1D1的周長的最小，則又正三棱錐A?BCD側棱長為2，△CAC'是等邊三角形，∴(CD故選：D.7．（3分）（2022秋·上海浦東新·高二期中）如圖，圓錐O的軸截面是一個面積為1的等腰直角三角形，C為弧AB上的一點，∠CPB=45°，E為線段PB上的動點，則CE+OE的最小值為（

）A．2 B．3 C．2 D．2【解題思路】將空間圖形進行翻折變化到同一平面，根據(jù)兩點之間線段最短即可求解.【解答過程】將△PBC翻折到平面PAB內(nèi)，得到如圖所示平面四邊形OBC因為S△PAB=1所以OP=OA=OB=1,所以∠BPO=45又因為∠CPB=45°，所以翻折后的圖形中∠OPC根據(jù)兩點之間線段最短可知，CE+OE的最小值為OC=O故選:B.8．（3分）（2022秋·上海虹口·高二期末）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有面的個數(shù)及棱長分別為（

）A．26，2?1 B．24，2?2 C．26，2?2【解題思路】將該多面體分為三層，分別數(shù)出每一層的面數(shù)，求和即可得正多面體的面數(shù)；設正多面體的棱長為a，作出該幾何體的截面，為正八邊形，利用多面體棱長與正方體的棱長的關系列方程即可求解【解答過程】可以將該多面體分為三層，上層8個面，中層8個面，下層8個面，上下底各1個面，所以共有8+8+8+1+1=26個面，設正多面體的棱長為a，作出該幾何體的截面如圖，截面圖為正八邊形，由圖可得CD=1?a2，因為△CDE為等腰直角三角形，所以CE=2CD，即解得：a=12+1故選：A.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022春·甘肅蘭州·高一期末）下列說法不正確的是（

）A．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺B．繞直角三角形任一邊旋轉所得幾何體為圓錐C．用任何一個平面截球面，得到的截面都是圓D．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱【解題思路】根據(jù)空間幾何體的結構特征判斷即可.【解答過程】AC選項根據(jù)圓錐、圓臺、球的結構特征即可得到是正確的；B選項需要繞直角三角形的直角邊旋轉得到的才是圓錐，故B錯；D選項有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，如下圖：故選：BD.10．（4分）（2022春·湖北襄陽·高一階段練習）下列說法正確的是A．以直角三角形的一條邊所在直線為軸，其余兩邊旋轉形成的曲面圍成的幾何體是圓錐B．以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉形成的曲面圍成的幾何體是圓錐C．經(jīng)過圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形D．圓錐側面的母線長有可能大于圓錐底面圓的直徑【解題思路】根據(jù)圓錐的概念及性質(zhì)，各選項逐一判斷即可得到答案.【解答過程】A不正確，直角三角形繞斜邊所在直線旋轉得到的旋轉體不是圓錐；B正確，以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；C正確，因為圓錐的母線長都相等，所以經(jīng)過圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形；D正確，如圖所示，圓錐側面的母線長l有可能大于圓錐底面圓半徑r的2倍（即直徑）.故選：BCD.11．（4分）（2022春·廣東中山·高一期末）從正方體的8個頂點中任選4個不同頂點，然后將它們兩兩相連，可組成空間幾何體．這個空間幾何體可能是（

）A．每個面都是直角三角形的四面體；B．每個面都是等邊三角形的四面體；C．每個面都是全等的直角三角形的四面體；D．有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體．【解題思路】根據(jù)正方體的性質(zhì)和四面體的特征，結合圖形逐個分析判斷即可【解答過程】對于A，每個面都是直角三角形的四面體，如：E﹣ABC，所以A正確；對于B，每個面都是等邊三角形的四面體，如E﹣BGD，所以B正確；對于C，若四面體的每個面都是全等的直角三角形，則必有直角邊等于斜邊，而這樣的直角三角形不存在，所以C錯誤；對于D，有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體，如：A﹣BDE，所以D正確；故選：ABD．12．（4分）（2023秋·廣東清遠·高三期末）已知棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1DA．所得的截面可以是五邊形 B．所得的截面可以是六邊形C．該截面的面積可以為33 【解題思路】利用正方體的對稱性逐一判斷即可.【解答過程】過正方體中心的平面截正方體所得的截面至少與四個面相交，所以可能是四邊形、五邊形、六邊形，又根據(jù)正方體的對稱性，截面不會是五邊形，但可以是正六邊形和非正方形的菱形（如圖）故A錯誤，BD正確；因為四邊形A1B1C1D1的面積為4，當截面過中心O且平行與底面ABCD時，截面為矩形（此時也是正方形），且面積為4<33，若這個截面繞著中心故選：BCD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2023秋·上海靜安·高二期末）把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比為1:4，母線（原圓雉母線在圓臺中的部分）長為9，則原圓錐的母線長12．【解題思路】根據(jù)圓臺的幾何特征利用三角形相似即可求得結果.【解答過程】由題意可得，幾何體如下圖所示：取軸截面可知，圓臺的上、下底面半徑的比為CDAB=1設圓錐的母線長為l，根據(jù)相似比可得CDAB=ED即原圓錐的母線長為12.故答案為：12.14．（4分）（2023秋·上海靜安·高二期末）在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是正方形ABCD、正方形BB1C【解題思路】連接AC，B1C,AB1,找到過點A、【解答過程】如圖連接AC，則AC過點M,連接B1C,則B1C經(jīng)過點則過點A、M、N的平面截正方體的截面為等邊△ACB因為正方體棱長為a，故△ACB1邊長為2a故答案為：3215．（4分）（2022·高一課時練習）如圖，一個矩形邊長為1和2，繞它的長為2的邊旋轉一周后所得如圖的一開口容器（下表面密封），P是BC中點，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁A處，內(nèi)壁P處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點P處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為π2+9【解題思路】把圓柱的側面展開，再利用對稱性及兩點之間線段最短求解螞蟻需經(jīng)過的最短路程【解答過程】該幾何體為圓柱，側面展開圖為矩形ABCD，其中AB=π，AD=2，將問題轉化為在CD上找一點Q，使AQ+PQ作P關于CD的對稱點E，連接AE，令AE與CD交于點Q，則得AQ+PQ的最小值就是AE，其中BE=2+1=3，所以AE=π故答案為：π216．（4分）（2022·高二課時練習）下列命題中，正確的是②③④．（填序號）①以直角三角形的一邊所在的直線為旋轉軸，將直角三角形旋轉一周所得到的旋轉體是圓錐；②以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周所得到的旋轉體是圓柱；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高所在直線為旋轉軸，將等腰三角形旋轉一周形成的幾何體是圓錐；⑤用一個平面去截圓柱，得到的截面是一個圓面或者矩形面．【解題思路】對于①：舉反例：以直角三角形的斜邊所在的直線為旋轉軸，將直角三角形旋轉一周所得到的旋轉體是兩個圓錐構成的組合體.即可否定結論；對于②：由圓柱的定義可以判斷；對于③：由圓柱、圓錐、圓臺的結構特征可以判斷；對于④：由圓錐的定義可以判斷；對于⑤：舉反例：用不平行于底面的平面截圓柱，可以得到的橢圓形截面.即可否定結論.【解答過程】對于①：以直角三角形的斜邊所在的直線為旋轉軸，將直角三角形旋轉一周所得到的旋轉體是兩個圓錐構成的組合體.故①錯誤；對于②：由圓柱的定義可以判斷②正確；對于③：由圓柱、圓錐、圓臺的結構特征可以判斷③正確；對于④：由圓錐的定義可以判斷④正確；對于⑤：用不平行于底面的平面截圓柱，可以得到的橢圓形截面.故⑤錯誤.故答案為：②③④.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國·高一專題練習）指出如圖（1）（2）所示的圖形是由哪些簡單幾何體構成的．【解題思路】直接觀察圖形即可求解.【解答過程】圖（1）是由一個三棱柱和一個四棱柱拼接而成的簡單組合體．圖（2）是由一個圓錐和一個四棱柱拼接而成的簡單組合體．18．（6分）（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖，將平面圖形ABCDEFG繞AG邊所在的直線旋轉一周，作出由此形成的空間圖形，并指出該空間圖形是由哪些簡單空間圖形構成的.【解題思路】結合條件及旋轉體的概念即得.【解答過程】形成的空間圖形如圖所示，該空間圖形自上而下依次由圓柱、圓臺、圓柱、圓臺構成.19．（8分）（2022·高二課時練習）如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得小圓錐SO'與圓錐SO底面的面積之比為1:16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓錐【解題思路】由圓錐平行于底面的截面的性質(zhì)計算．【解答過程】解：因為截得小圓錐SO'與圓錐SO底面的面積之比為1:16，所以小圓錐SO'與圓錐如圖，設SA的長為y，小圓錐底面與被截的圓錐底面半徑分別是x，4x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得3y=x4x．解得20．（8分）（2022·高二課時練習）如圖在一個長方體的容器中，里面裝有一些水，現(xiàn)將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的過程中，判斷下面的說法是否正確，并說明理由．(1)水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形；(2)水的形狀不斷變化，可能是棱柱，也可能變?yōu)槔忮F．【解題思路】根據(jù)繞著棱旋轉旋轉的特點，將問題轉化為長方體被相應平面所截形成的截面形狀.【解答過程】(1)不對.水面的形狀就是用一個與棱（長方體容器傾斜時固定不動的棱）平行的平面截長方體時截面的形狀，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四邊形.(2)不對.水的形狀就是用與棱（長方體容器傾斜時固定不動的棱）平行的平面將長方體截去一部分后，剩余部分的幾何體，此幾何體是棱柱，水比較少時，是三棱柱，水多時，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱錐.21．（8分）（2022秋·江西宜春·高二開學考試）如圖，正四棱臺的高是17cm，上、下底面邊長分別為4cm和(1)求該棱臺的側棱長；(2)求直線B1C1【解題思路】（1）過點A1、C1分別在平面AA1C1C內(nèi)作A1E⊥AC（2）過點B1、C1分別在平面BB1C1C內(nèi)作B1M⊥BC【解答過程】（1）解：過點A1、C1分別在平面AA1C垂足分別為點