本科經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)第9章(第4版)-金融銀行-

第9章

異方差:如果誤差方差不是常數(shù)會(huì)有什么結(jié)果第9章古典線性回歸模型（CLRM）的基本假定中有一條是：隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是同方差的。如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)ui隨著i的不同而不同，我們稱(chēng)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)具有異方差性。2本章主要討論的是以下問(wèn)題：異方差有什么性質(zhì)？異方差的后果是什么？如何檢驗(yàn)異方差的存在與否？異方差有那些補(bǔ)救措施？第9章9.1

異方差的性質(zhì)3異方差的后果異方差的診斷異方差的補(bǔ)救措施White異方差校正后的標(biāo)準(zhǔn)誤和t統(tǒng)計(jì)量若干異方差實(shí)例小結(jié)第9章9.1

異方差的性質(zhì)儲(chǔ)蓄0X0

XY4儲(chǔ)蓄個(gè)人可支配收入(a)同方差(b)異方差個(gè)人可支配收入異方差：E(ui2

)=Yi2返回首頁(yè)第9章例9.1

放松管制后紐約股票交易所(NYSE)的經(jīng)紀(jì)人傭金51975年四五月間，債券交易委員會(huì)廢除了對(duì)于紐約股票交易所股票交易固定傭金率的規(guī)定，允許股票經(jīng)紀(jì)人在競(jìng)爭(zhēng)的基礎(chǔ)上索取傭金。

表9-1給出了從1975年4月到1978年12月間經(jīng)紀(jì)人對(duì)機(jī)構(gòu)投資者索要的平均每股傭金的季度數(shù)據(jù)。表9-1中

X1—傭金率，美分/股(0至199股)X2—傭金率，美分/股(200至999股)X3—傭金率，美分/股(1000至9999股)X4—傭金率，美分/股(10000股以上)第9章表9-1：紐約股票交易所傭金率趨勢(shì)(單位：美分/股)6第9章表9-1的數(shù)據(jù)有兩個(gè)特征1.放松管制以來(lái)，傭金率有下降的趨勢(shì)72.四類(lèi)傭金率的均值、方差存在顯著差異(見(jiàn)表9-1和下圖)傭金率第9章四類(lèi)傭金率的方差有顯著差異，也就是說(shuō)，隨著股票交易量的增大，傭金率的方差也隨之變化，這就是異方差。8如果我們想建立一個(gè)回歸模型來(lái)解釋傭金率對(duì)股票交易數(shù)量(和其它變量)的函數(shù)，那么與高交易量客戶相關(guān)的誤差項(xiàng)方差將會(huì)低于與低交易量客戶相關(guān)的誤差項(xiàng)方差。這對(duì)我們建立的回歸模型是否有影響、有怎樣的影響？該怎樣修正？下面來(lái)看例9.2。第9章例9.2

523個(gè)工人的工資等數(shù)據(jù)表9-2（見(jiàn)Excel文件）給出了一個(gè)純截面數(shù)據(jù)的例子。表中收集了523個(gè)工人的工資、受教育年限和工齡等數(shù)據(jù)。考慮以下模型：9第9章Eviews軟件回歸結(jié)果如下：Dependent

Variable:

WAGEMethod:

Least

SquaresSample:

1

523Included

observations:

523VariableCoefficientStd.

Errort-StatisticProb.C-4.5244721.239348-3.6506870.0003EDUC0.9130180.08219011.108680.0000EXPER0.0968100.0177195.4635130.0000R-squared0.194953Mean

dependent

var9.118623Adjusted

R-squared0.191856S.D.

dependent

var5.143200S.E.

of

regression4.623573Akaike

info

criterion5.905932Sum

squared

resid11116.26Schwarz

criterion5.930366Log

likelihood-1541.401F-statistic62.96235Durbin-Watson

stat1.867684Prob(F-statistic)0.000000（9-3）10例9-3第9章圖9-311回歸方程(9-3)的殘差平方第9章12圖9-4第9章9.2

異方差的后果OLS估計(jì)量仍是線性無(wú)偏的，但不再具有有效性，即不再具有最小方差性。殘差方差

不再是真實(shí)

的無(wú)偏估計(jì)量根據(jù)常用估計(jì)OLS估計(jì)量方差的公式得到的方差通常是有偏的。T檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)失效回到例9.2中得到的回歸方程(9-3)，由于異方差的存在，該方程的t檢驗(yàn)失效。返回首頁(yè)13第9章我們來(lái)簡(jiǎn)單看一下為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的后果。14運(yùn)用普通最小二乘法的原理是要使殘差平方和最小，如果在異方差情況下仍然使用普通最小二乘法，每一個(gè)ei都有同樣的權(quán)重，無(wú)論它是來(lái)自于一個(gè)較大方差的總體還是來(lái)自于一個(gè)較小方差的總體。這樣做是不合適的。我們應(yīng)該給那些取自較小方差總體的觀察值以更大的權(quán)重，而給那些取自較大方差總體的觀察值以較小的權(quán)重這能夠使我們更為精確地估計(jì)總體回歸函數(shù)。這就是加權(quán)最小二乘法(weighted

least

squares)。第9章圖9-515第9章9.3

異方差的診斷：如何知道存在異方差問(wèn)題16對(duì)具體問(wèn)題異方差的檢驗(yàn)并非易事，因?yàn)槲覀儍H僅知道一個(gè)樣本，很難知道總體的情況，是否是異方差便不易確定。直接計(jì)算得到方差不太可能，但我們可以借助于一些檢測(cè)工具來(lái)檢驗(yàn)異方差是否存在。檢驗(yàn)方法有（1）根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)殘差的圖形檢驗(yàn)帕克檢驗(yàn)

(Parktest)Glejser

檢驗(yàn)

(GlejserWhite

檢驗(yàn)異方差的其它檢驗(yàn)方法test)返回首頁(yè)第9章9.3.1

根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)17所考察問(wèn)題的性質(zhì)往往提供了是否存在異方差的信息。在涉及不均勻單位的橫截面數(shù)據(jù)中，常存在異方差。在例9.2中便是如此。我們可以根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)定性地分析是否存在異方差問(wèn)題。這是常用方法之一。第9章9.3.2

殘差的圖形檢驗(yàn)對(duì)回歸得到的殘差作圖進(jìn)行分析是常用的另一種異方差的檢驗(yàn)方法。18為觀察異方差的存在與否，我們常常使用的殘差圖有下列幾種：殘差ei對(duì)X的散點(diǎn)圖；殘差ei對(duì)每一個(gè)解釋變量的散點(diǎn)圖；殘差ei對(duì)應(yīng)變量的估計(jì)值的散點(diǎn)圖；殘差平方ei2對(duì)X的散點(diǎn)圖；殘差平方ei2對(duì)每一個(gè)解釋變量的散點(diǎn)圖；殘差平方ei2對(duì)應(yīng)變量的估計(jì)值的散點(diǎn)圖；第9章如果圖形中沒(méi)有可觀察到的系統(tǒng)模式，表明數(shù)據(jù)中可能不存在異方差，否則表明數(shù)據(jù)中很可能存在異方差。19第9章0Xe2a)0e2b)X

00Xe2e)0Xe2d)Xe2c).

.

..

...

........

..

..

.

......

...

..

...

..….

.

...

.

.

....

..............

..

.

..

..

.

..20第9章回到例9.2，現(xiàn)在我們做ei2對(duì)X的散點(diǎn)圖。圖9-7與（9.3）式工資的估計(jì)值21第9章9.3.3

帕克檢驗(yàn)

(Park

test)如果存在異方差，異方差中的方差可能與一個(gè)或多個(gè)解釋變量系統(tǒng)相關(guān)。為此，我們可作

i2對(duì)一個(gè)或多個(gè)解釋變量的回歸。例如在雙變量模型中，可運(yùn)行下面的回歸方程：ln

i2=B1+B2lnXi+vi(9-4)其中

vi

是誤差項(xiàng)。這就是帕克檢驗(yàn)。由于方差i2i，運(yùn)行如下回歸方是未知的，帕克建議用ei來(lái)代替程：lnei2=B1+B2lnXi+vi(9-5)ei2可從原始的回歸方程中獲得，比如模型(9-3)。22第9章帕克檢驗(yàn)的步驟：23作普通最小二乘回歸，不考慮異方差問(wèn)題。從原始回歸方程中得殘差ei，求其平方，再取對(duì)數(shù)。利用原始模型中的每個(gè)解釋變量作形如(9-5)的回歸?；蜃鱡i2對(duì)Y的估計(jì)值的回歸。檢驗(yàn)零假設(shè)B2=0，也即不存在異方差。如果拒絕零假設(shè)，則意味著可能存在異方差，但接受零假設(shè)并不意味著一定不存在異方差。第9章在5％的顯著水平下，估計(jì)的斜率系數(shù)是統(tǒng)計(jì)顯著的。帕克檢驗(yàn)的缺陷：在上述回歸方程中，誤差項(xiàng)

vi本身可能存在異方差。所以，判斷回歸方程中是否存在異方差，可能需要更多的檢驗(yàn)。另外：帕克所選擇的特殊函數(shù)形式只是建議性的，其它的函數(shù)形式也許會(huì)使我們得到不同的結(jié)論。例9.3

工資回歸與帕克檢驗(yàn)我們來(lái)解釋工資回歸方程(9-3)。把從這個(gè)回歸方程中得到的殘差提取出來(lái)，估計(jì)得到如下結(jié)果（ls

ss1^wagef）

：=-10.35965+3.467se=(11.795)

(1.255)(9-6)r2=0.0.0144t

=(-0.8783)

(2.762)p

=(0.3802)

(0.0059)24第9章取對(duì)數(shù)后Eviews軟件的回歸結(jié)果如下：ls

log(ss1^2)25log(wagef)Dependent

Variable:

LOG(ss1^2)Method:

Least

SquaresSample:

1

523Included

observations:

522VariableCoefficientStd.Error

t-StatisticProb.C-3.3509780.809702-4.1385330.0000LOG(WAGEF)2.2319660.3686666.0541620.0000R-squared0.211964Mean

dependent

var1.518696Adjusted

R-squared0.162712S.D.

dependent

var2.194627S.E.

of

regression2.024705Akaike

info

criterion4.347534Sum

squared

resid65.59091Schwarz

criterion4.363847Log

likelihood-37.17848F-statistic36.65287Durbin-Watson

stat1.661072Prob(F-statistic)0.000000第9章9.3.4

Glejser

檢驗(yàn)

(Glejser

test)

Glejser

檢驗(yàn)實(shí)質(zhì)上與帕克檢驗(yàn)很相似。Glejser

建議作ei的絕對(duì)值對(duì)X的回歸。Glejser

建議的一些函數(shù)形式如下：(9-7)(9-8)(9-9)26第9章每種情形的零假設(shè)都是不存在異方差，零假設(shè)為B2=0。27如果零假設(shè)被拒絕，則表明可能存在異方差。第9章例9.4

工資回歸與Glejser檢驗(yàn)28根據(jù)回歸方程(9-3)的殘差估計(jì)前面模型，得到的結(jié)果如下：(9-10)(9-11)(9-12)第9章Eviews軟件回歸：分別用在編輯框用以下命令即可：

ls

abs(ss1)cEduc29ls

abs(ss1)cEduc^0.5ls

abs(ss1)c1/Educ結(jié)果見(jiàn)Eviews文件。第9章對(duì)回歸方程(9-3)的殘差估計(jì)以上模型，對(duì)斜率系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，從而判斷是否存在異方差。30可以看出三個(gè)方程的檢驗(yàn)結(jié)果都是一樣的，即拒絕零假設(shè)，斜率系數(shù)是統(tǒng)計(jì)顯著的，存在異方差。對(duì)Glejser檢驗(yàn)要注意的問(wèn)題與帕克檢驗(yàn)一樣，上述方程中的誤差項(xiàng)本身可能就存在異方差和系列相關(guān)問(wèn)題，但對(duì)于大樣本，上述模型能很好地檢驗(yàn)異方差問(wèn)題。第9章319.3.5

White檢驗(yàn)(White’s

General

Heteroscedasticity對(duì)模型

Yi=B1+B2X2i+B3X3i+uiWhite

檢驗(yàn)步驟如下：用普通最小二乘法估計(jì)上面回歸方程，得到殘差ei。作輔助回歸：

ei2=A1+A2X2i+A3X3i+A4X2i2+A5X3i2+A6X2iX3i+vi求輔助回歸方程的R2值。因?yàn)榇薘2值與樣本容量(n)的乘積服從分布，自由度等于該方程中解釋變量的個(gè)數(shù)(不包括截距項(xiàng))。計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。（零假設(shè)：不在異方差）第9章32例9.5

工資回歸與懷特的一般異方差檢驗(yàn)繼續(xù)回到模型(9-3)，懷特異方差檢驗(yàn)的回歸結(jié)果如下：（在Eviews中White檢驗(yàn)的操作較為簡(jiǎn)單，只需要在(9-3)的回歸輸出結(jié)果中用View－Residual

Test-White

Heteroskedasticity即可。）第9章33White

Heteroskedasticity

Test:F-statistic2.269163Probability0.046542Obs*R-squared11.23102Probability0.046987Test

Equation:Dependent

Variable:

RESID^2Method:

Least

SquaresVariable

Coefficient

Std.

Error

t-Statistic

Prob.C14.3829671.347260.2015910.8403EDUC-1.1832969.137968-0.1294920.8970EDUC^20.1686390.3006760.5608650.5753EDUC*EXPER0.0222390.1041170.2135910.8309EXPER-1.4011301.912126-0.7327600.4640EXPER^20.0271130.0209691.2930390.1966R-squared0.021474Mean

dependent

var21.25480Adjusted

R-squared0.012011S.D.

dependent

var65.53846S.E.

of

regression65.14369Akaike

info

criterion11.20247Sum

squared

resid2193993.Schwarz

criterion11.25134第9章White檢驗(yàn)的一個(gè)缺陷是它太一般化了。如果有好幾個(gè)解釋變量的話，則在回歸方程中要包括這些變量，變量的平方(或者更高次冪)以及它們的交叉乘積項(xiàng)，這會(huì)迅速地降低自由度。34因此，在引入太多變量時(shí)，必須謹(jǐn)慎一些。有時(shí)，我們可以去掉變量的交叉乘積項(xiàng)。第9章9.3.6

異方差的其它檢驗(yàn)方法斯皮爾曼(Spearman)秩相關(guān)檢驗(yàn)戈德費(fèi)爾德－匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗(yàn)

(3)巴特萊特(Bartlett)方差同質(zhì)性檢驗(yàn)匹克(Peak)檢驗(yàn)布魯爾什－培甘(Breusch-Pagan)檢驗(yàn)CUSUMSQ檢驗(yàn)35第9章9.4

異方差的補(bǔ)救措施返回首頁(yè)我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)看到，異方差的存在并不破壞普通最小二乘法估計(jì)量的無(wú)偏性，但是估計(jì)量卻不再是有效的，即使對(duì)大樣本也是如此。缺乏有效性，就使通常假設(shè)檢驗(yàn)中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值不可靠。因此，如果懷疑存在異方差或者已經(jīng)檢測(cè)到了異方差的存在，就應(yīng)該尋求補(bǔ)救的措施。補(bǔ)救方式取決于(1)誤差方差的真實(shí)值

(2)誤差方差的真實(shí)值是已知的

是未知的。36第9章9.4.1

加權(quán)最小二乘法(WLS)——誤差方差的真實(shí)值已知情形下對(duì)模型

Yi=B1+B2Xi+ui如果異方差

是已知的，可對(duì)原模型兩邊同除以

，得到：令37得到的模型：滿足同方差性。注意，這是一個(gè)無(wú)截距項(xiàng)的三變量回歸模型。第9章9.4.2

加權(quán)最小二乘法(WLS)——誤差方差的真實(shí)值

未知情形下情形1：誤差方差與Xi成比例：平方根變換（模型兩邊同除以Xi的平方根）情形2：誤差方差與Xi2成比例：模型兩邊同除以Xi。一般的做法：在用常規(guī)的OLS法估計(jì)之后，我們將回歸所得的殘差做ei－X圖，觀察圖形，根據(jù)圖形的特點(diǎn)判斷誤差方差是與解釋變量X成比例還是與X的平方成比例，根據(jù)判斷結(jié)果選擇處理方法。38第9章ei39誤差方差與解釋變量X成比例誤差方差與X的平方成比例eiXX第9章例9.6

變換后的工資回歸方程對(duì)工資回歸模型(9-3)，已知可能存在異方差。D作epe平nde方nt根Va變r(jià)變ia換ble，:W得AGE到/(如@SQ下RT(結(jié)ED果UC)：)Method:Least

Squares40Sample:

1

523Includedobservations:523VariableCoefficientStd.

Error

t-StatisticProb.1/(@SQRT(EDUC))-2.645611.07689

-2.456710.0143@SQRT(EDUC)0.781380.071763

10.88840.0000EXPER/(@SQRT(EDUC))0.0876980.016368

5.3578960.0000R-squared0.084405Mean

dependent

var2.517214Adjusted R-squared0.080884S.D.

dependent

var1.316767S.E.

of

regression1.262392Akaike

info

criterion3.309613Sum

squared

resid828.6893Schwarz

criterion3.334047Log

likelihood-862.464Durbin-Watson

stat1.819673(9-24)第9章要想得到原始的（未經(jīng)變換）工資方程，只需將上式兩邊同乘以

，可與最初的回歸方程(9-3)進(jìn)行比較：(9-25)41第9章在確定誤差方差的形式后，可以對(duì)原模型進(jìn)行變換，然后對(duì)變換后的模型進(jìn)行估計(jì)。42在Eviews軟件操作中，需要先確定：a.是否存在異方差；b.異方差的形式；c.如何進(jìn)行變換，也即確定權(quán)系數(shù)的形式。在得知以上信息后，利用Eviews軟件具體操作如下：在主菜單中Quick－Estimateequation，點(diǎn)擊方程設(shè)定對(duì)話框中的Options鍵，選擇WeightedLs/TSLS選項(xiàng)，在Weight后面的空格中添入權(quán)數(shù)序列的名稱(chēng)即可。上例中，在Weight后面的空格中添入權(quán)數(shù)序列的名稱(chēng)1/educ^0.5即可。Eviews操作第9章9.4.3

重新設(shè)定模型除了前面介紹的異方差的補(bǔ)救措施以外，我們還可以通過(guò)對(duì)模型的重新設(shè)定，選擇不同的函數(shù)形式來(lái)達(dá)到消除異方差的目的

(與前兩種方法也有相通之處例如選用對(duì)數(shù)形式來(lái)估計(jì)模型：lnYi=B1+B2lnXi+ui

(9-28)在該模型中，異方差的程度被大大縮小了，因?yàn)閷?duì)數(shù)變換壓縮了測(cè)定變量的尺度，從而把兩個(gè)變量值間的1

0倍差異縮小為2倍差異。例如，9

0是9的1

0倍但ln90(=4.499

8)只有l(wèi)n9(=2.197

2)的兩倍。這是數(shù)變換的優(yōu)點(diǎn)。43第9章C-0.7945520.259204-3.0653540.0023Log(EDUC)0.9573220.09170210.439480.0000Log(EXPER)0.1661890.0246906.7310010.0000R-squared0.193841Mean

dependent

var2.072301Adjusted

R-squared0.190740S.D.

dependent

var0.522545S.E.

of

regression0.470076Akaike

info

criterion1.333873Sum

squared

resid114.9050Schwarz

criterion1.358307Log

likelihood-345.8079F-statistic62.51699Durbin-Watson

stat1.772461Prob(F-statistic)0.00000404例9.7

工資對(duì)數(shù)線性模型對(duì)工資數(shù)據(jù)，其對(duì)數(shù)線性模型如下：Dependent

Variable:

log(WAGE

)Method:

Least

SquaresSample:

1

523Included

observations:

523Variable

Coefficient

Std.

Errort-Statistic

Prob.(9-29)第9章459.5

White異方差校正后的標(biāo)準(zhǔn)差和t統(tǒng)計(jì)量返回首頁(yè)前面我們已經(jīng)說(shuō)過(guò)異方差產(chǎn)生的后果，但White建立了一種考慮到異方差的存在的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差和回歸系數(shù)的方法，此時(shí)我們可以繼續(xù)使用t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)，不過(guò)這時(shí)的OLS估計(jì)量是漸近有效的,也即對(duì)大樣本是有效的。對(duì)工資回歸一例，用White異方差校正后的回歸函數(shù)如下：（在Eviews軟件中，在主菜單中Quick－Estimate

equation，點(diǎn)擊方程設(shè)定對(duì)話框中的Options鍵，點(diǎn)擊Heteroskedasticity即可。）第9章C-4.5244721.273102-3.5538960.000EDUC0.9130180.08845410.321930.000EXPER0.0968100.0186765.1837350.000R-squared0.194953Mean

dependent

var9.11862Adjusted

R-squared0.191856S.D.

dependent

var5.14320S.E.

of

regression4.623573Akaike

info

criterion5.90593Sum

squared

resid11116.26Schwarz

criterion5.93036Log

likelihood-1541.401F-statistic62.9623Durbin-Watson

stat1.867684Prob(F-statistic)0.0406000Dependent

Variable:

(WAGE

)Method:

Least

SquaresSample:

1

523Included

observations:

523White

Heteroskedasticity-Consistent

Standard

Errors

&

CovarianceVariable

Coefficient

Std.

Error

t-Statistic

Prob.（9-30）第9章9.6

若干異方差實(shí)例47例9.8規(guī)模經(jīng)濟(jì)或異方差紐約股票交易所最初是極力反對(duì)對(duì)經(jīng)紀(jì)傭金率放松管制的。NYSE曾向股票交易委員會(huì)提交了一份報(bào)告認(rèn)為在經(jīng)紀(jì)行業(yè)中存在規(guī)模經(jīng)濟(jì)，因此由壟斷決定的固定傭金率是公正的。NYSE所提交的經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析基本上是圍繞著以下回歸函數(shù)來(lái)進(jìn)行的：(9-32)R2=0.934i

=476000+31.348Xi－(1.083×10-6)

Xi2t=

(2.98)

(40.39) (-6.54)其中，Y＝總成本，X＝股票交易的數(shù)量。返回首頁(yè)第9章從模型可看出，總成本和交易量呈正相關(guān)，但由于Xi2系數(shù)為負(fù)，并且是統(tǒng)計(jì)顯著的，這意味著總成本是以一個(gè)遞減的速率在增加。因此，

NYSE認(rèn)為在經(jīng)紀(jì)行業(yè)中存在規(guī)模經(jīng)濟(jì)，從而證明了NYSE的壟斷地位是正當(dāng)?shù)摹?8第9章然而美國(guó)司法部反托拉斯局卻認(rèn)為該模型中存在異方差問(wèn)題(因?yàn)樵诠烙?jì)成本函數(shù)時(shí)未考慮到樣本中所包括的小公司和大公司的差別)，反托拉斯局重新估計(jì)了該方程，得到如下結(jié)果：49i

=342000+25.57Xi+(4.34×10-6)

Xi2

(9-33)t=

(32.3)

(7.07)

(0.503)從此式中可看出，二次項(xiàng)不僅是統(tǒng)計(jì)不顯著的，而且其符號(hào)也發(fā)生了變化。這完全推翻了NYSE的壟斷傭金結(jié)構(gòu)的論點(diǎn)。第9章例9.