2022年高考真題-數(shù)學(xué)（天津卷）+含解析

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(天津卷)2022.06.

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2},集合4={0,1,2},B={-1,2},則人0&5)=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】先求出即3,再根據(jù)交集的定義可求API(68).

【詳解】={-2,0,1),故An(d3)={0,l},

故選：A.

2.“x為整數(shù)”是“2x+l為整數(shù)”的()

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不允分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】依據(jù)充分不必要條件的定義去判定"x為整數(shù)''與"2x+l為整數(shù)”的邏輯關(guān)系即可.

【詳解】由題意，若x為整數(shù)，則2x+l為整數(shù)，故充分性成立；

當(dāng)x=L時(shí)，2x+l為整數(shù)，但x不為整數(shù)，故必要性不成立；

2

所以“x為整數(shù)，，是“2x+l為整數(shù)”的充分不必要條件.

故選:A.

【答案】D

【解析】

【分析】分析函數(shù)/(X)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在(-8,0)上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合

適的選項(xiàng).

【詳解】函數(shù)〃同=忙斗的定義域?yàn)閧中工0},

口(-*)--1lx2-11

艮/(-X)=--------=------=_/(尤)'

-XX

函數(shù)”X)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

又當(dāng)x<0時(shí)，/⑺」，2TL0,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)%>1時(shí)，=-=」二Lx」函數(shù)單調(diào)遞增,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

XXX

故選：D

4.為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分

組區(qū)間為[12,13),[13,14),口4/5),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，…,

第五組，右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效

的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()

A.8B.12C.16D.18

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合已知條件和頻率分布直方圖求出志愿者的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出第三組的總?cè)藬?shù)，從而可以求得

結(jié)果.

20

【詳解】志愿者的總?cè)藬?shù)為=50,

(0.24+0.16)x1

所以第三組人數(shù)為50x0.36=18,

有療效的人數(shù)為18-6=12.

故選：B.

5.已知a=2°，7，，c=log2(,則()

A.a>c>hB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>h

【答案】C

【解析】

【分析】利用幕函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出。、h.c的大小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)?gt;0=log21>log2,故a>b>c.

故答案為：C.

6.44：(2log43+log83)(log32+log92)(f()

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.

【詳解】原式=(2x；log23+|log23)(log32+|log32)

43

=-log23x-log32=2,

故選：B

22

7.已知拋物線V=46工,6,鳥分別是雙曲線*?-方=i(a>o,/；>())的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲

JT

線的左焦點(diǎn)耳，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A,若/白64=1，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

2

A.—-/=1B.尤2-2_=1

io-16

爐/2

JCA-----1D.—~y=\

44-

【答案】c

【解析】

【分析】由已知可得出C的值，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，分析可得|A耳|=忻用，由此可得出關(guān)于。、匕、C的方

程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】拋物線尸=4石》的準(zhǔn)線方程為尤=一6，則c=&，則4-6,0)、乙(石，。卜

bx=-c

y——x，即點(diǎn)A[-C——j,

不妨設(shè)點(diǎn)A為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立《a，可得,be

y

x=-ca

TT

因?yàn)锳耳，與鳥且/片工4=1,則為等腰直角三角形,

且|明|=|耳閭,即生=2c,可得2=2,

a

噎

aa=1

2

所以，c=5/5，解得《b=2,因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐―2L=i.

4

c2=a2+b2C=yJ5

故選：C.

8.如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為

120°，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為()

十字

C.26D.27

【答案】D

【解析】

【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.

【詳解】該幾何體由直三棱柱AED-BHC及直三棱柱DGC—AEB組成，作于M,如圖,

因?yàn)镃”=5H=3,NC”B=120。，所以CM=BM=典,HM=-.

22

因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以48=8。=36，

在直棱柱AED—3/7C中，ABJ_平面8HC,則

由ABC8C=3可得HM平面40cB,

設(shè)重疊后的EG與FH交點(diǎn)為人

則匕月x3有'白條匕如1為昌為百個(gè)

J乙乙乙乙T

Q177

則該幾何體的體積為V=2VAFD_BHC-V,_BCDA=2X--—=27.

故選：D.

9.已知/(x)=；sin2x,關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法：

①/(X)的最小正周期為2兀；

②/(x)在［-：,芻上單調(diào)遞增；

44

71兀V3立

③當(dāng)工￡時(shí)，/⑶的取值范圍為

63_彳'彳

④/(X)的圖象可由g(x)=■!■sin(2x+工)的圖象向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

248

以上四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說(shuō)法的真假.

【詳解】因?yàn)?*)=51Sin2x,所以最小正周期為7=號(hào)27r=兀，①不正確；

令f=2xe-￡3,而y=，sinf在一￡￡上遞增，所以/⑴在［-：,9］上單調(diào)遞增，②正確；因?yàn)?/p>

2222244

/=2xe-y,—,sinZ6—^-,1,所以--^-，―,③不正確;

1兀11兀

由于g(X>=-sin(2x+—)=—sin,所以一(X)的圖象可由g(x)=-sin(2x+/的圖象向右平移

三個(gè)單位長(zhǎng)度得到，④不正確.

O

故選:A.

第II卷

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給

3分，全部答對(duì)的給5分.

11-3i

10.已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)------的結(jié)果為

1+21

【答案】l-5i##-5i+l

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則即可解出.

11-3i_(11-3i)(l-2i)_11—6-25i_1_5,

【詳解】

l+2i-(l+2i)(l-2i)―1'

故答案為：1—5i.

11.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

【答案】15

【解析】

5-5r5-5r

【分析】由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理可得的展開式的通項(xiàng)為心=C；-3r-x^~，令=0,代

2

入即可得解.

C1-31/L\5-r<3Y—

【詳解】由題意+的展開式的通項(xiàng)為工句=《?(?)?[三J=C-3~X2

S—Sr

令，^?=()即/*=1，則C[3'=C；?3=15,

展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15.

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.若直線x-y+m=0（加＞0）與圓（》一1）2+（丁一1）2=3相交所得的弦長(zhǎng)為加，則"?=

【答案】2

【解析】

【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于加的等式，即可解得”的值.

【詳解】圓（x—l『+（y—11=3的圓心坐標(biāo)為?！唬?，半徑為

圓心到直線x-y+m=0（機(jī)＞0）距離為

2

m1

由勾股定理可得+=3,因?yàn)榧樱?,解得加=2.

故答案為：2.

13.52張撲克牌，沒(méi)有大小王，無(wú)放回地抽取兩次，則兩次都抽到4的概率為；已知第一次抽

到的是4,則第二次抽取A的概率為.

【答案】①.‘一②

22117

【解析】

【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽

到A的條件下，第二次抽到A的概率.

【詳解】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為民第二次抽到A的事件為C,

則Pg/x方言"$=標(biāo)(切=甯=?=》

13

11

故答案為:

22117

14.在AABC中，CA=a,CB=b,。是4c中點(diǎn)，CB=2BE，試用表示方方為若

AB±DE，則NACB的最大值為

3—1—TT

【答案】①.—b—a②.—

226

【解析】

【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出方后，以｛-，4為基底，表示出存，礪，由

45_1。后可得3^+片=4小￡，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點(diǎn)E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),8(1,0),C(3,0),4x,y),由可得點(diǎn)A的

軌跡為以M(-l,0)為圓心，以廠=2為半徑的圓，方程為(x+1尸+9=4,即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且

僅當(dāng)C4與?！毕嗲袝r(shí)，/C最大，即求出.

【詳解】方法一：

p

C

E<-----------號(hào)-----------

____31__________

DE=CE-CD=^b--a,AB=CB-CA=b-a,ABIDE(3b-a)-(b-a)=0,

a，h2>h+ct273laiblJ3.

3萬(wàn)+a~=4a《|_舊="L舊之—I-IJ-=^7~,當(dāng)且僅當(dāng)同=6同時(shí)取等號(hào)，而

a4a4ap211

TC

0<ZACB<7i,所以NAC8e(0,—].

3—1-jr

故答案為：—b—a；—.

226

方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系:

E(O,O),B(1,O),C(3,O),A(x,y),DE=AB=(1—x,—y),

方后_L福n(a0)(x—1)+匕=0n(x+l)2+y2=4,所以點(diǎn)A的軌跡是以M(-l,0)為圓心，以廠=2

22

C1

為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)C4與OM相切時(shí)，NC最大，此時(shí)sinC=—J=—=L,/C=%.

CM426

3-1—jr

故答案為：—b—a；—.

226

15.設(shè)aeR,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,記〃x)=min{W—2,公—辦+3a—5}.若/(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為

【答案】a>10

【解析】

【分析】設(shè)g(x)=f-公+3a-5,〃(力=國(guó)一2,分析可知函數(shù)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出△?(),

求出〃的取值范圍，然后對(duì)實(shí)數(shù)〃的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式，綜合可

求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】設(shè)8(力=幺一分+3a-5,/z(x)=|x|-2,由兇一2=0可得x=±2.

要使得函數(shù)/(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則A=/—12Q+2020，

解得。<2或。210.

①當(dāng)4=2時(shí)，g(x)=f—2X+1,作出函數(shù)g(x)、〃(x)的圖象如下圖所示：

此時(shí)函數(shù)/(力只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；

②當(dāng)a<2時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為X］、毛(玉<々)，

要使得函數(shù)/(力至少有3個(gè)零點(diǎn)，則々4-2,

a-

一＜-2

所以,2解得ae0；

g(-2)=4+5a-5N0

③當(dāng)a=10時(shí)，^(X)=X2-10X+25,作出函數(shù)g(x)、〃(x)的圖象如下圖所示:

由圖可知，函數(shù)/（X）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,合乎題意；

④當(dāng)a>10時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為七、彳4（七<X4），

要使得函數(shù)/（x）至少有3個(gè)零點(diǎn)，則七22,

->2

可得彳2,解得a>4,此時(shí)a>1（）.

g⑵=4+a-5>0

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是［10,+8）.

故答案為：［10,+8）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：己知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

16.在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a,h,c.已知。=遙力=2c,cosA=.

4

（1）求。的值；

（2）求sinB的值；

（3）求sin（2A—B）的值.

【答案】（1）c=l

力?*加

（2）sinB=---

4

（3）sin（2A-B）=\-

【解析】

【分析】（1）根據(jù)余弦定理儲(chǔ)=〃+。2一20ccosA以及。=2c解方程組即可求出;

（2）由（1）可求出8=2,再根據(jù)正弦定理即可解出；

（3）先根據(jù)二倍角公式求出sin2A,cos2A,再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?=b?+<?-20ccosA，即6=〃？+。2+,匕。，而。=2c，代入得6=4c?+c2+c2,解得：c=I.

2

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可求出人=2,而0<4<兀，所以sinA=嬴7=也2,又，一=〃一,所以

4sinAsinB

9g

Z?sinAx4V10.

sinBn=--------=-----=-----------

aV64

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)閏osA=--,所以一<A<?t,故0<B<—,又sinA=Jl—cos2A=——1所以

4224

sin2A=2sinAcosA=2xf——x—=-----,cos2A=2cos2A-l=2x—-1=-—,而

I4j48168

sinB=，所以cosB="s/l-sin2B=—，

44

故sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB

17.直三棱柱—中，AAi=AB=AC=2,AA,lAB,ACA.AB,。為A4的中點(diǎn)，E為A&

的中點(diǎn)，F(xiàn)為C。的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面ABC；

(2)求直線3E與平面CG。所成角的正弦值；

(3)求平面A。。與平面CG。所成二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵-

5

⑶典

10

【解析】

【分析】(I)以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，4A、4用、AG所在直線分別為X、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

利用空間向量法可證得結(jié)論成立；

(2)利用空間向量法可求得直線8E與平面CG。夾角的正弦值；

(3)利用空間向量法可求得平面\CD與平面夾角的余弦值.

【小問(wèn)1詳解】

證明：在直三棱柱A3C-A4G中，AA1■平面A4G，且ACLA8,則

以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AA、4耳、4G所在直線分別為X、＞、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

Xy

則4（2,0,0）、8（2,2,0）、C（2,0,2）、A（0,0,0）、g（0,0,2）、￡（0,0,2）、￡>（0,1,0）、￡（1,0,0）、

易知平面ABC的一個(gè)法向量為五=（1,0,0）,則麗.送=0，故巨聲_1_而,

防u平面ABC,故EFH平面ABC.

【小問(wèn)2詳解】

解：束=（2,0,0）,qI5=（O,l,-2）,麗=（1,2,0）,

w?C]C=2%=0

設(shè)平面CG。的法向量為二=(Xi，M，zJ,則<

wCjD=y-2Z[=0

EBu4

取y=2,可得7=（0,2,1）,cos<EB,u>=

4

因此，直線BE與平面CC|O夾角的正弦值為g.

【小問(wèn)3詳解】

解：“=（2,0,2）,而=（0,1,0）,

v?4。=2X+2Z=0

設(shè)平面AC。的法向量為3=（/,%,Z2），則<22

v-AiD=y2=0

—u-v1V10

取々=1,可得丫=（1,0,-1）,則C0S<M,v>=i^p|=-7^=-^1

因此，平面4。。與平面eg。夾角的余弦值為巫.

10

18.設(shè)｛q｝是等差數(shù)列，｛4｝是等比數(shù)列，且4=4=生一4=%一么=1?

（1）求｛4｝與｛2｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)｛叫的前n項(xiàng)和為S“，求證：（S“J%）紜S也;

2n

⑶求—（―D"%]4.

k=\

n'

【答案】⑴an=2n-\,bn=2~

(3n-l)4,,+2+16

（2）證明見解析（3）

9

【解析】

【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；

（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前?項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；

（3）先求得產(chǎn)Wi］%-1+［生—一（一1產(chǎn)物進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得7；=名匕41，再

k=\

結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)｛q｝公差為d,｛2｝公比為9,則+勿=/i,

,,1+d—q=1,

由4一仇=〃3一4=1可得〈2,nd=q=2（d=q=4舍去）,

1+2d—4=1

所以勺=2〃-1也=2"，

【小問(wèn)2詳解】

證明:因?yàn)?+1=2勾中0,所以要證以,+i+a“+］）d=S“+也+1-S業(yè),，

即證（S,+i+an+1）bn=Sn+I-2b?-Snbn,即證Sn+i+an+l=2Sn+｝-Sn,

即證。川=51一"，

而%=S.+i-S”顯然成立,所以（Sn+I+an+i）bn=S?+l-bn+l-Sn-bn；

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)椋邸?*-（一1產(chǎn)'。2￡-1］%-l+［%t+l-（-1產(chǎn)］A

=（4%一1+4%—3）X22*-1+［4左+1—（4k-1）］x22k=kx4*1

所以立--（T）%M=1>2廠（-1嚴(yán)明）%T+（*-㈠產(chǎn)%）砥1

A=1k=\

=*x4"i,

k=\

k=\

所以7；=1X42+2X43+3X44+3+〃X4"+1

則47；=1X43+2X44+3X45+3+〃X4"+2,

42(1-4")

作差得-37；,=42+43+44+---+4,,+l-nx4,,+2-nx4,,+2

1-4

(l-3?)4n+2-16

3

(3〃—1)4-2+16

所以7；

9

2/irt+2

所以1)%/為(3n-l)4+16

k=l9

22陽(yáng)=6

19.橢圓3+2r=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為尸、右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為8,且滿足

ab~

（1）求橢圓的離心率e；

（2）直線/與橢圓有唯一公共點(diǎn)M,與y軸相交于N（N異于M）.記0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OM|=|CW|,且

△OMN的面積為6,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】（1）e=@

3

22

⑵工+匯=1

62

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于。、匕的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；

（2）由（1）可知橢圓的方程為/+3y2=a2,設(shè)直線/的方程為），=丘+加，將直線/的方程與橢圓方程

聯(lián)立，由△=（）可得出3加2=。2（1+3左2）,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及己知條件可求得

/的值，即可得出橢圓的方程.

【小問(wèn)1詳解】

解:^====—=>4?2=392+叫=>〃=3)2,

+a22

離心率為

【小問(wèn)2詳解】

解：由（1）可知橢圓的方程為f+3;/=。2,

易知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=-，w,

［依:機(jī)2得(1+322)X2+6^^+(3根2_々2)=0,

聯(lián)立《

X+3V=61

由A=36k2m2-4(1+3A:2)(3/n2〃)=0=>3療=/0+3左2),①

3km.m

y=kx”+m=-----r

3公+1'加uM1+3公

川(%2+1)

由|oM=QM可得加=U卡,②

(3公+1)

由S,N=G可得:|同?攫s③

1?22

聯(lián)立①②③可得公=一，加2=4,=6,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+乙=1.

362

20.已知a,beR，函數(shù)〃x)=e*-asinx,g(x)=3&

(1)求函數(shù)y=/(x)在(OJ(O))處的切線方程：

(2)若y=/(x)和y=g(x)有公共點(diǎn)，

(i)當(dāng)a=0時(shí)，求匕的取值范圍；

(ii)求證：a2+h2>e-

【答案】(1)丁=(1一。)尤+1

(2)(i)［疝,+e)；(ii)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求出((0)可求切線方程；

(2)(i)當(dāng)a=0時(shí)，曲線y=/(x)和y=g(x)有公共點(diǎn)即為s?)=e‘一句,120在［0,+。。)上有零點(diǎn)，求

導(dǎo)后分類討論結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求8e［、3,+8).

(ii)曲線y=/(x"0y=g(x)有公共點(diǎn)即asin^+oA—e?=0,利用點(diǎn)到直線的距離得到

,4+/ze,利用導(dǎo)數(shù)可證—U—>e,從而可得不等式成立.