數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級(jí)數(shù)展開課件

第三章冪級(jí)數(shù)展開復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；變項(xiàng)級(jí)數(shù)（函數(shù)級(jí)數(shù)）；冪級(jí)數(shù)；冪級(jí)數(shù)對(duì)復(fù)變函數(shù)研究的應(yīng)用：泰勒級(jí)數(shù)；洛朗級(jí)數(shù)，函數(shù)的奇異性研究。12/5/2023阜師院數(shù)科院3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是無窮項(xiàng)的和1.級(jí)數(shù)的收斂和柯西判據(jù)復(fù)無窮級(jí)數(shù)每一項(xiàng)為收斂如果極限存在并有限收斂：12/5/2023阜師院數(shù)科院充要條件是其實(shí)部與虛部都收斂柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是，對(duì)于一小的正整數(shù)，必存在一N使得n>N時(shí)有式中p為任意正整數(shù)。12/5/2023阜師院數(shù)科院2.絕對(duì)收斂收斂。兩個(gè)絕對(duì)收斂的和，積，仍絕對(duì)收斂。3.復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是復(fù)變函數(shù)。實(shí)際上，對(duì)于z的一個(gè)確定值，復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)變成一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。則原級(jí)數(shù)收斂。12/5/2023阜師院數(shù)科院復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)有一個(gè)定義域B。它的收斂的概念應(yīng)當(dāng)是相對(duì)于這個(gè)定義域而言的。收斂復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在其定義域B中每一點(diǎn)都收斂，則稱在B中收斂。它滿足柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是，對(duì)于一小正整數(shù)，必存在一N(z)

使得n>N(z)時(shí)有12/5/2023阜師院數(shù)科院一致收斂當(dāng)N與z無關(guān)時(shí)。即對(duì)B中所有點(diǎn)給定，就有一個(gè)統(tǒng)一的N使判據(jù)得到滿足。

一致收斂的級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)若為連續(xù)函數(shù)，級(jí)數(shù)也將是連續(xù)函數(shù)。在一條曲線上可以逐項(xiàng)積分。絕對(duì)一致收斂在區(qū)域B中，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)滿足

而數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。即在各點(diǎn)都絕對(duì)收斂12/5/2023阜師院數(shù)科院給定

收斂，但與z的位置有關(guān)。12/5/2023阜師院數(shù)科院3.2冪級(jí)數(shù)冪函數(shù)的復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)于各復(fù)常數(shù)級(jí)數(shù)叫以為中心的冪級(jí)數(shù)。1.定義(3.2.1)z012/5/2023阜師院數(shù)科院2.收斂的達(dá)朗貝爾判據(jù)研究(3.2.1)的模的如下級(jí)數(shù)滿足則實(shí)冪級(jí)數(shù)(3.2.2)收斂，且復(fù)冪級(jí)數(shù)(3.2.1)絕對(duì)收斂。(3.2.1)(3.2.2)12/5/2023阜師院數(shù)科院則實(shí)冪級(jí)數(shù)(3.2.2)收斂，且復(fù)冪級(jí)數(shù)(3.2.1)絕對(duì)收斂。3.收斂圓記有12/5/2023阜師院數(shù)科院收斂圓R叫收斂半徑，以為圓心，R為半徑的圓叫冪級(jí)數(shù)的最簡(jiǎn)單的收斂區(qū)域。保證冪級(jí)數(shù)在圓內(nèi)的點(diǎn)上絕對(duì)收斂，而在圓外可能發(fā)散。圓外仍有區(qū)域是收斂的。根值判別法(3.2.2)收斂，(3.2.1)絕對(duì)收斂。(3.2.2)發(fā)散，(3.2.1)發(fā)散。故當(dāng)，(3.2.1)絕對(duì)收斂。當(dāng)，(3.2.1)可能發(fā)散。12/5/2023阜師院數(shù)科院故例(1)解：收斂半徑:收斂圓內(nèi)部為其實(shí)，對(duì)于12/5/2023阜師院數(shù)科院(2)但對(duì)于顯然級(jí)數(shù)發(fā)散。解：收斂圓實(shí)際上對(duì)于4.冪級(jí)數(shù)的積分表示利用柯西公式在一個(gè)比收斂圓C內(nèi)稍小的圓C’中冪級(jí)數(shù)絕對(duì)一致收斂，故可沿這個(gè)圓逐項(xiàng)積分。12/5/2023阜師院數(shù)科院記C’上點(diǎn)為，而C’內(nèi)任一點(diǎn)為z，則圓上的冪級(jí)數(shù)為利用柯西公式得而有界，12/5/2023阜師院數(shù)科院又乘以冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可任意逐項(xiàng)求導(dǎo)。還可以逐項(xiàng)積分。12/5/2023阜師院數(shù)科院3.3泰勒級(jí)數(shù)展開具有無限階導(dǎo)數(shù)的實(shí)函數(shù)可以展開為泰勒級(jí)數(shù)。復(fù)變函數(shù)中的解析函數(shù)具有無限階導(dǎo)數(shù)，故應(yīng)可展開為泰勒級(jí)數(shù)。定理設(shè)在以為圓心的圓內(nèi)解析，則對(duì)圓內(nèi)任意點(diǎn)，可展開為其中證明：又12/5/2023阜師院數(shù)科院#關(guān)鍵在確定，但這不是唯一的方法例(1)解：#能直接求導(dǎo)就求導(dǎo)12/5/2023阜師院數(shù)科院(2)解：#12/5/2023阜師院數(shù)科院(3)

是多值函數(shù)，各分支在支點(diǎn)相連。但不是支點(diǎn)，在其的鄰域各分支相互獨(dú)立。因此，我們可以只討論展開的主值。解：12/5/2023阜師院數(shù)科院主值#(4)解：定義顯然12/5/2023阜師院數(shù)科院12/5/2023阜師院數(shù)科院是主值，此時(shí)有即二項(xiàng)式定理。#方法與實(shí)函數(shù)同，但應(yīng)注意主值。最普通的辦法，仍是逐級(jí)求導(dǎo)。12/5/2023阜師院數(shù)科院(5)極點(diǎn)在12/5/2023阜師院數(shù)科院不同的冪級(jí)數(shù)在不同的區(qū)域與函數(shù)相同。這里存在什么樣的關(guān)系？設(shè)在小圓在大圓。問題在于12/5/2023阜師院數(shù)科院3.4解析延拓例如和等式兩邊在收斂圓內(nèi)是相同的，但在收斂圓外等式不一定成立。注意，等式的左邊僅在收斂圓內(nèi)有意義，但等式的右邊除t=1（前一個(gè)）或,在整個(gè)復(fù)平面上解析。因此，問：已知，求在之外的F(t)。這個(gè)答案是已知的12/5/2023阜師院數(shù)科院

于是提出問題：已知f(z)在b中解析，是否存在F(z)在B中解析，且在b中F(z)=f(z)。這個(gè)過程叫解析延拓。解析延拓的方法在b中取點(diǎn)，又取的一個(gè)鄰域，j將f(z)展開為泰勒級(jí)數(shù)。如果這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂圓的一部分超出區(qū)域b進(jìn)入?yún)^(qū)域B則此函數(shù)的解析區(qū)域得以擴(kuò)大。逐步使用這種方法，可以逐漸將函數(shù)解析延拓?？梢宰C明，無論采用何種方法，函數(shù)f(z)的解析延拓是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進(jìn)行解析延拓。12/5/2023阜師院數(shù)科院在點(diǎn)z0收斂、絕對(duì)收斂。在定義域，收斂、一致收斂、絕對(duì)一致收斂級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)12/5/2023阜師院數(shù)科院泰勒級(jí)數(shù)解析函數(shù)解析延拓是否可以將一個(gè)解析函數(shù)的解析區(qū)域擴(kuò)大？在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)積分可作為被積函數(shù)，被積函數(shù)不一定是解析函數(shù)。12/5/2023阜師院數(shù)科院3.5洛朗展開泰勒展開必須在函數(shù)的解析區(qū)域才可進(jìn)行。在函數(shù)的奇點(diǎn)的鄰域，是否存在相應(yīng)的展開？(2)

泰勒級(jí)數(shù)的解析區(qū)域?yàn)橐皇諗繄A，收斂圓不可包含奇點(diǎn)，但若研究一個(gè)級(jí)數(shù)，它以圓環(huán)作收斂區(qū)域，則奇點(diǎn)可以取作圓心，它在收斂環(huán)之外。這種級(jí)數(shù)為洛朗級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)是只具有正冪項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，奇點(diǎn)易出現(xiàn)在負(fù)冪項(xiàng)，故考慮有負(fù)冪的級(jí)數(shù)1.收斂環(huán)12/5/2023阜師院數(shù)科院設(shè)其收斂半徑為，則其在圓外部收斂。

故此級(jí)數(shù)在收斂。這個(gè)區(qū)域叫收斂環(huán)。其中正冪部分的收斂半徑為。負(fù)冪部分寫作12/5/2023阜師院數(shù)科院2.定理 設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域的內(nèi)部單值解析，則在環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)z，f(z)可以展開為冪級(jí)數(shù)其中證：沿12/5/2023阜師院數(shù)科院沿兩個(gè)積分回路的方向相反，由柯西定理，沿的積分可變?yōu)檠氐姆e分（差一個(gè)負(fù)號(hào)）如下#此為洛朗展開在奇點(diǎn)附近的展開12/5/2023阜師院數(shù)科院3.例(1)在的鄰域展開。f(z)無定義。但在挖去原點(diǎn)的環(huán)域（整個(gè)復(fù)平面）中又此級(jí)數(shù)又可以看作f(z)的到整個(gè)復(fù)平面的解析延拓。利用泰勒展開12/5/2023阜師院數(shù)科院(2)在環(huán)域中將展開。還是利用泰勒展開f(z)的奇點(diǎn)不是Z=0，而是z=1,-1。(3)在的鄰域?qū)⒄归_。(z-1)的冪級(jí)數(shù)在12/5/2023阜師院數(shù)科院(4)利用取得無限多負(fù)冪12/5/2023阜師院數(shù)科院(5)習(xí)題14z的冪級(jí)數(shù)A.B.12/5/2023阜師院數(shù)科院3.6孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)f(z)除在的小鄰域外處處可導(dǎo)。在挖去的小鄰域外解析。其正冪叫解析部分，負(fù)冪叫主要部分。叫留數(shù)C.12/5/2023阜師院數(shù)科院可去奇點(diǎn)冪級(jí)數(shù)無負(fù)冪項(xiàng)時(shí)的極點(diǎn)冪級(jí)數(shù)僅含有限m個(gè)負(fù)冪項(xiàng)時(shí)的M為極點(diǎn)的階，一階極點(diǎn)稱單極點(diǎn)本性奇點(diǎn)含無窮多負(fù)冪項(xiàng)時(shí)的例(1)中

為可去奇點(diǎn)例(3)中出現(xiàn)一階極點(diǎn)。留數(shù)為例(4)中出現(xiàn)本性奇點(diǎn)。留數(shù)為12/5/2023阜師院數(shù)科院例(5)中情況A中無奇點(diǎn)