第4章6-多維隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件

1定理的推廣p123設(shè)Z=g(X,Y),g(x,y)為二元連續(xù)實(shí)函數(shù),E[g(X,Y)]存在,(1)若(X,Y)為離散型,P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2…),則(2)若(X,Y)為連續(xù)型,概率密度為f(x,y),則2例1.設(shè)(X,Y)的分布律如下，求E(X+Y)和E(XY)?

YX12300.10.20.110.30.10.23例2.設(shè)(X,Y)的概率密度如下，求

E(XY)、E(X).例3.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，其密度函數(shù)為求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差。解：5性質(zhì)1E(c)=c 性質(zhì)3E(X±Y)=E(X)±E(Y)性質(zhì)4

如果X,Y相互獨(dú)立，則有E(XY)=E(X)E(Y) 二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)2E(cX)=cE(X)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)推廣：設(shè)為n個(gè)r.v.，則有

推廣：若為相互獨(dú)立的r.v.，則6證:

設(shè)二維連續(xù)型r.v.的聯(lián)合概率密度為其邊緣分布密度、性質(zhì)3E(X±Y)=E(X)±E(Y) 7性質(zhì)4

如果X,Y相互獨(dú)立，則有E(XY)=E(X)E(Y) 若X和Y相互獨(dú)立，此時(shí)證:8例4.將r個(gè)球放入N個(gè)盒中，設(shè)每個(gè)球落入各盒中是等可能的，求有球的盒子數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.提示：將一個(gè)r.v.分解成若干個(gè)r.v.的和，這是一個(gè)常用的技巧.9例5.一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，旅客有10個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車。以X表示停車的次數(shù)，求E(X).（設(shè)每個(gè)旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立）。10推廣：設(shè)是相互獨(dú)立的r.v.，則設(shè)X、Y相互獨(dú)立，則有一般情況下，則有三、方差的性質(zhì)11證明：證：注：12解：X～b(n,p)，則X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，引入r.v.則X＝X1＋…+Xn,顯然Xi～B(1,p)，其分布律為∴例6.設(shè)X～b(n,p)，求E(X)、D(X).13例7.X～U(1,3),Y～N(2,4)且X、Y獨(dú)立，求E(3X-4Y-1)、D(3X-4Y-1)和E(Y2).14正態(tài)分布的可加性

(p119):

則推廣：設(shè),且X1,…,Xn相互獨(dú)立，則設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且15例8.設(shè)活塞的直徑X～N(22.4，0.032)，氣缸的直徑Y(jié)～N(22.5,0.042)，X、Y相互獨(dú)立。任取一只氣缸，求活塞能裝入氣缸的概率。161)k階(原點(diǎn))矩:

2)k階中心矩:

3)k+l

階混合(原點(diǎn))矩:

4)

k+l

階混合中心矩:

4.7矩、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)1.原點(diǎn)矩與中心矩注：17例1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

X1245P1/31/61/61/3求：182.定義若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,則稱Cov(X,Y)=E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}為X與Y的協(xié)方差,

易見

Cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y)稱為X,Y的相關(guān)系數(shù)。(無量綱)193.協(xié)方差性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0；

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b為常數(shù))；

(4)Cov(X1±X2,Y)=Cov(X1,Y)±Cov(X2,Y);(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y).例2.Cov(4X+3Y+1,-2X+4Y)=?204.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

(1)|

XY|1；

(2)|

XY|=1存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1；

XY的意義：反映X與Y的線性關(guān)系，所以又叫線性相關(guān)系數(shù).若

XY

＝0，則稱X、Y不相關(guān)，此時(shí)Cov(X,Y)=0.例3.(1)若Y＝3X-4，則

ρXY＝1X-101

1/31/31/3(2)設(shè)X的分布律如下，Y＝X2,則ρXY＝021？“獨(dú)立”和“不相關(guān)”的關(guān)系若X、Y獨(dú)立，則X、Y不相關(guān)。獨(dú)立不相關(guān)但X、Y不相關(guān)，不一定能推出X、Y獨(dú)立.獨(dú)立指沒有任何關(guān)系，不相關(guān)僅指沒有線性關(guān)系,但可能存在其它形式的密切關(guān)系。對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)(見p133、p114)22例4.設(shè)X服從(-1/2,1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=cosX,（請(qǐng)課下自行驗(yàn)證）因而ρXY=0，即X和Y不相關(guān).但Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，所以X、Y不獨(dú)立.不難求得，Cov(X,Y)=0，例5.設(shè)(X,Y)在G={(X,Y)：x2+y2

1}上服從均勻分布，求證：X與Y不相關(guān)，但不是相互獨(dú)立的。23例6.設(shè)(X,Y)具有概率密度,求解：245.

定義（X,Y）的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣256.n維正態(tài)r.v.的性質(zhì)p135性質(zhì)1:設(shè)服從n維正態(tài)分布，都是正態(tài)變量；反之，若是相互獨(dú)立的正態(tài)變量,是n維正