專題25.1概率初步（十三大考點(diǎn)）

專題概率初步1.能識(shí)別必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件，知道隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是有大小的；2.理解概率的含義,能通過列舉法，列表法或畫樹狀圖法列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果;3.知道通過大量地重復(fù)試驗(yàn),可以用頻率來估計(jì)概率一、事件類型1.必然事件：有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件.2.不可能事件：有些事情我們事先肯定它一定不會(huì)發(fā)生，這些事情稱為不可能事件.3.不確定事件：許多事情我們無法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，稱為不確定事件（又叫隨機(jī)事件）.說明：（1）必然事件、不可能事件都稱為確定性事件.（2）事件分為確定事件和不確定事件，確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，①必然事件發(fā)生的概率為1，即(必然事件)；②不可能事件發(fā)生的概率為0,即（不可能事件）；③如果為不確定事件，那么二、概率1.定義：一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件發(fā)生的概率，記為．（1）一個(gè)事件在多次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性，反映這個(gè)可能性大小的數(shù)值叫做這個(gè)事件發(fā)生的概率.（2）概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個(gè)數(shù)值.2.概率的求法：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件包含其中的種結(jié)果，那么事件發(fā)生的概率為．（1）一般地，所有情況的總概率之和為1;（2）在一次實(shí)驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有限多個(gè);（3）在一次實(shí)驗(yàn)中,各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等;（4）概率從數(shù)量上刻畫了一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，事件發(fā)生的可能性越大，則它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0;（5）可能性與概率的關(guān)系事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0．3.求概率方法：（1）列舉法：通常在一次事件中可能發(fā)生的結(jié)果比較少時(shí)，我們可以把所有可能產(chǎn)生的結(jié)果全部列舉出來，并且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等時(shí)使用.等可能性事件的概率可以用列舉法而求得.但是我們可以通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法;（2）列表法：當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素（例如擲兩個(gè)骰子），并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時(shí)使用;（3）列樹形圖法：當(dāng)一個(gè)實(shí)驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素（例如從3個(gè)口袋中取球）時(shí)，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時(shí)使用.三、頻率與概率1.頻數(shù)：在多次試驗(yàn)中，某個(gè)事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù).2.頻率：某個(gè)事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比，叫做這個(gè)事件出現(xiàn)的頻率.3.一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近，那么，這個(gè)常數(shù)就叫作事件的概率，記為.考點(diǎn)01事件的判斷例1．下列事件中為必然事件的是（

）A．任意拋擲一枚圖釘，結(jié)果釘尖著地 B．在一個(gè)只裝著白球和黑球的袋中，摸出紅球C．太陽(yáng)從東邊升起 D．明天會(huì)下雨【答案】C【分析】必然事件，在一定的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，有的事件在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生，這樣的事件叫必然發(fā)生的事件，簡(jiǎn)稱必然事件，由此即可求解．【詳解】解：、任意拋擲一枚圖釘，結(jié)果釘尖著地，是隨機(jī)事件，故錯(cuò)誤，不符合題意；、在一個(gè)只裝著白球和黑球的袋中，摸出紅球，是不可能事件，故錯(cuò)誤，不符合題意；、太陽(yáng)從東邊升起，是必然事件，故正確，符合題意；、明天會(huì)下雨，是隨機(jī)事件，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查事件的分類，掌握隨機(jī)事件，不可能事件，必然事件的概念是解題的關(guān)鍵．變式11．下列事件是隨機(jī)事件的是（

）A．任意畫一個(gè)三角形，該三角形的內(nèi)角和為180°B．從分別寫有2，4，6的三張卡片中隨機(jī)抽出一張，卡片上的數(shù)字能被2整除C．購(gòu)買一張福利彩票就中獎(jiǎng)D．從裝有4個(gè)紅球和2個(gè)黃球的袋中，隨機(jī)抽取一個(gè)是白球【答案】C【分析】根據(jù)事件發(fā)生概率的可能性大小來確定答案．【詳解】解：A、任意畫一個(gè)三角形，該三角形的內(nèi)角和為180°，是必然事件，故本選項(xiàng)不符合題意；B、從分別寫有2，4，6的三張卡片中隨機(jī)抽出一張，卡片上的數(shù)字能被2整除，是必然事件，故本選項(xiàng)不符合題意；C、購(gòu)買一張福利彩票就中獎(jiǎng)，是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)符合題意；D、從裝有4個(gè)紅球和2個(gè)黃球的袋中，隨機(jī)抽取一個(gè)是白球，是不可能事件，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是必然事件、隨機(jī)事件和不可能事件的概念，熟練掌握三者之間的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．變式12．如圖，電路圖上有4個(gè)開關(guān)A、B、C、D和1個(gè)小燈泡，在所有的元件和線路都正常的前提下．下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個(gè)事件是不可能事件的是（

）A．只閉合1個(gè)開關(guān) B．只閉合2個(gè)開關(guān)C．只閉合3個(gè)開關(guān) D．閉合4個(gè)開關(guān)【答案】A【分析】根據(jù)題意分別判斷能否發(fā)光，進(jìn)而判斷屬于什么事件即可．【詳解】解：A、只閉合1個(gè)開關(guān)，小燈泡不會(huì)發(fā)光，屬于不可能事件，符合題意；B、只閉合2個(gè)開關(guān)，小燈泡可能發(fā)光也可能不發(fā)光，是隨機(jī)事件，不符合題意；C、只閉合3個(gè)開關(guān)，小燈泡一定會(huì)發(fā)光，是必然事件，不符合題意；D、閉合4個(gè)開關(guān)，小燈泡一定會(huì)發(fā)光，是必然事件，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件的判斷，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意判斷小燈泡能否發(fā)光．變式13．“三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角”這一事件是（）A．隨機(jī)事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角，以及必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念解答．【詳解】解：三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角是必然事件，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理、必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．考點(diǎn)02可能性的大小例2．在不透明的袋子里裝有個(gè)紅球、個(gè)白球、個(gè)黑球，它們除顏色外都相同，從袋子中任意摸出個(gè)球．下列判斷正確的是（

）甲：摸到紅球比摸到白球的可能性??；乙：摸到紅球和摸到黑球的可能性相同A．只有甲對(duì) B．只有乙對(duì) C．甲、乙都對(duì) D．甲、乙都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)個(gè)數(shù)最多的就得到可能性最大分別分析即可．【詳解】解：依題意，個(gè)紅球、個(gè)白球、個(gè)黑球，白球的個(gè)數(shù)最多，∴摸到紅球比摸到白球的可能性小，故甲正確；摸到紅球和摸到黑球的可能性相同，故乙正確；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了隨機(jī)事件以及可能性大小，利用可能性大小的比較：只要總情況數(shù)目相同，誰包含的情況數(shù)目多，誰的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當(dāng)，那么它們的可能性就相等得出是解題關(guān)鍵．變式21．下列詞語(yǔ)所反映的事件中，可能性最小的是（

）A．瓜熟蒂落 B．守株待兔 C．旭日東升 D．十拿九穩(wěn)【答案】B【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可得出答案．【詳解】解：A、瓜熟蒂落，是必然事件，發(fā)生的可能性為1，不符合題意；B、守株待兔所反映的事件發(fā)生的可能性很小，符合題意；C、旭日東升，是必然事件，發(fā)生的可能性為1，不符合題意；D、十拿九穩(wěn)，是必然事件，發(fā)生的可能性為1，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對(duì)待．一般地必然事件的可能性大小為1，不可能事件發(fā)生的可能性大小為0，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小在0至1之間．變式22．有10張（）數(shù)字卡片放入紙袋，隨意摸一張，摸出可能性最大的是（

）A．合數(shù) B．質(zhì)數(shù) C．偶數(shù) D．不能確定【答案】C【分析】這10張卡片中，合數(shù)有4、6、8共3個(gè)，質(zhì)數(shù)有2、3、5、7共4個(gè)，偶數(shù)有0、2、4、6、8共5個(gè)．比較數(shù)量的多少，即可解答．【詳解】解∶0~9這10張卡片中，合數(shù)有4、6、8共3個(gè)，質(zhì)數(shù)有2、3、5、7共4個(gè)，偶數(shù)有0、2、4、6、8共5個(gè)．∵，∴隨意摸一張，摸出可能性最大的是偶數(shù)，故選∶C．【點(diǎn)睛】本題考查可能性大小的判斷，明確數(shù)量越多，摸到的可能性越大．變式23．抽獎(jiǎng)啦！現(xiàn)有3個(gè)不透明箱子，箱子內(nèi)放有若干小球（除顏色外其余均相同）．規(guī)定：每次只能摸一個(gè)小球，摸出紅球獎(jiǎng)勵(lì)一杯奶茶，摸出黃球獎(jiǎng)勵(lì)一支雪糕，若小麗想得到一杯奶茶，應(yīng)選擇從號(hào)箱子里摸球，如愿的可能性最大．【答案】②【分析】分別求得從各個(gè)箱子中摸到黃色小球的可能性的大小，然后比較后即可得到答案．【詳解】解：依題意：從①號(hào)箱子摸到紅球的可能性為；從②號(hào)箱子摸到紅色球的可能性為；從③號(hào)箱子摸到紅球的可能性為；∵∴應(yīng)選擇從②號(hào)箱子里摸球，如愿的可能性大．故答案為：②．【點(diǎn)睛】本題考查了可能性大小的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是分別求得每個(gè)箱子摸到黃球的可能性的大小，難度不大．考點(diǎn)03利用概率公式計(jì)算簡(jiǎn)單事件的概率例3．如圖，在的正方形網(wǎng)格中有9個(gè)格點(diǎn)，已經(jīng)取定點(diǎn)和，在余下的7個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)，使為直角三角形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先找到可以組成直角三角形的點(diǎn)，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，則如圖中的點(diǎn)和與點(diǎn)A和B組成直角三角形；當(dāng)時(shí)，則如圖中的點(diǎn)與點(diǎn)A和B組成直角三角形；當(dāng)時(shí)，則如圖中的點(diǎn)與點(diǎn)A和B組成直角三角形；故故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式以及勾股定理與網(wǎng)格問題：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率．變式31．如果一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)字之差的絕對(duì)值不超過1，則稱該三位數(shù)為“平穩(wěn)數(shù)”．用3，4，5這三個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為．【答案】【分析】根據(jù)題意列出所有可能，根據(jù)新定義，得出2種可能是“平穩(wěn)數(shù)”，根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】解：依題意，用3，4，5這三個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，可能結(jié)果有345，354，435，453，534，543，共六種可能，只有345，543是“平穩(wěn)數(shù)”，∴恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為．故答案為：．變式32．在三張完全相同的卡片上，分別畫有正三角形、正方形、正五邊形，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張，卡片上畫的恰好是中心對(duì)稱圖形的概率是．【答案】【分析】正三角形、正方形、正五邊形，有3種等可能性，是中心對(duì)稱圖形的是正方形，一種可能性，根據(jù)公式計(jì)算即可，熟練掌握公式計(jì)算概率是解題的關(guān)鍵．【詳解】正三角形、正方形、正五邊形，有3種等可能性，是中心對(duì)稱圖形的是正方形，一種可能性，卡片上畫的恰好是中心對(duì)稱圖形的概率是，故答案為：．變式33．今年“”互聯(lián)網(wǎng)促銷期間，某網(wǎng)紅店開展有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡進(jìn)店購(gòu)物的顧客均有轉(zhuǎn)動(dòng)8等分圓盤的機(jī)會(huì)，（如圖），如果規(guī)定當(dāng)圓盤停下來時(shí)指針指向1就中一等獎(jiǎng)，指向3或8就中二等獎(jiǎng)，指向2或4或6就中三等獎(jiǎng)；指向其余數(shù)字不中獎(jiǎng)．(1)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，中一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的概率分別是多少？(2)6月18日這天有1600人參與這項(xiàng)活動(dòng)，估計(jì)這天獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)是多少？【答案】(1)，，(2)200人【分析】本題主要考查了概率．（1）分別找到1，3或8，2或4或6的份數(shù)即可得到概率；（2）總?cè)藬?shù)乘以獲得一等獎(jiǎng)的概率即可．解題的關(guān)鍵是掌握概率公式：如果一個(gè)事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種結(jié)果，那么事件的概率．【詳解】（1）解：由題意知，，，，即中一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的概率是分別是，，；（2）解：由（1）知，獲得一等獎(jiǎng)的概率是，（人，估計(jì)獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)為200人．考點(diǎn)04利用概率公式求數(shù)量例4．一個(gè)不透明的袋中有紅、黃、白三種顏色球共50個(gè)，它們除了顏色外其他都相同，其中黃球個(gè)數(shù)比白球個(gè)數(shù)的2倍少5個(gè)，已知從袋中摸出一個(gè)紅球的概率是．(1)求袋中白球的個(gè)數(shù)；(2)求從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率；(3)取走2個(gè)白球和3個(gè)黃球后，求從剩余的球中摸出一個(gè)球是紅球的概率．【答案】(1)15；(2)；(3)．【分析】（1）總個(gè)數(shù)乘以紅球的概率求出紅球個(gè)數(shù)，據(jù)此得出黃、白球的總個(gè)數(shù)，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)黃球個(gè)數(shù)比白球個(gè)數(shù)的2倍少5個(gè)及球的總個(gè)數(shù)列出關(guān)于x的方程，解之即可；（2）用黃球的個(gè)數(shù)除以球的總個(gè)數(shù)即可；（3）用紅球的個(gè)數(shù)除以袋中剩余球的總個(gè)數(shù)即可．【詳解】（1）袋中紅球的個(gè)數(shù)為（個(gè)），則袋中黃、白球的總個(gè)數(shù)為（個(gè)），設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，則，解得，∴袋中白球有15個(gè)；（2）由（1）知，袋中黃球的個(gè)數(shù)為個(gè)，所以從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率為；（3）取走2個(gè)白球和3個(gè)黃球后，紅球有10個(gè)，球的總個(gè)數(shù)為45個(gè)，所以從剩余的球中摸出一個(gè)球是紅球的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查概率公式，隨機(jī)事件A的概率事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．變式41．在一個(gè)不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個(gè)，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有25次摸到紅球，則口袋中紅球約有個(gè)．【答案】3【分析】本題考查利用頻率估計(jì)概率，利用頻率估計(jì)隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率為，根據(jù)概率公式即可求出答案．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，計(jì)算出相應(yīng)的紅球個(gè)數(shù)．【詳解】解：設(shè)紅球有個(gè)，則，解得，∴紅球的個(gè)數(shù)約為個(gè)．故答案為：．變式42．袋子中裝有除顏色外完全相同的n個(gè)黑球和5個(gè)白球，從中隨機(jī)抽取1個(gè)，若選中白球的概率是，則n的值是．【答案】10【分析】本題考查的是概率公式．如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率．根據(jù)概率公式列出方程，再計(jì)算即可求出n的值．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，故答案為：10．變式43．暑假期間，某商場(chǎng)為了吸引顧客，對(duì)一次購(gòu)物滿元的顧客可獲得一次轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤得獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì).如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤被等分成個(gè)扇形），轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤停止后，根據(jù)指針指向參照下表獲得獎(jiǎng)券（指針指向黃色區(qū)域不獲獎(jiǎng)，指向分界線時(shí)重轉(zhuǎn)，直到指向某一扇形為止）顏色紅藍(lán)黑獎(jiǎng)券金額（元）205080(1)甲顧客購(gòu)物元，他獲得獎(jiǎng)券的概率是___________；(2)乙顧客購(gòu)物元，并參與該活動(dòng)，他獲得元和元獎(jiǎng)券的概率分別是多少？(3)為加大活動(dòng)力度，現(xiàn)商場(chǎng)想調(diào)整獲得元獎(jiǎng)券的概率為，其余獎(jiǎng)券獲獎(jiǎng)概率不變，則需要將多少個(gè)黃色區(qū)域改為紅色？【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）用消費(fèi)的錢數(shù)和元比較即可確定能否參與抽獎(jiǎng)，不能參加抽獎(jiǎng)則獲得獎(jiǎng)金的概率為；（2）用概率公式求解即可；（3）設(shè)需要將個(gè)黃色區(qū)域改為紅色，根據(jù)元獎(jiǎng)券的概率為列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴小明購(gòu)物元，不能獲得轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，∴小明獲得獎(jiǎng)金的概率為；故答案為：．（2）解：乙顧客購(gòu)物600元，能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，由題意可知，每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，共有種等可能的結(jié)果，其中紅色的有種，黑色的有種，所以指針指向紅色的概率為，指針指向黑色的概率為，所以他獲得元和元獎(jiǎng)券的概率分別為，．（3）解：設(shè)需要將個(gè)黃色區(qū)域改為紅色，則由題意得，，解得：，所以需要將個(gè)黃色區(qū)域改為紅色．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式，根據(jù)概率進(jìn)行計(jì)算，概率的意義，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)05幾何概率例5．如圖，是一個(gè)等腰直角三角形紙板，，在此三角形內(nèi)部作一個(gè)正方形，使在邊上，點(diǎn)，分別在，邊上．將一個(gè)飛鏢隨機(jī)投擲到這個(gè)紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用陰影的面積除以的面積即可．【詳解】解：如圖，是一個(gè)等腰直角三角形，，設(shè)，的面積為，，四邊形為正方形，是一個(gè)等腰直角三角形∴，，陰影區(qū)域的面積為，飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概率，求概率時(shí)，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計(jì)算方法是長(zhǎng)度比，面積比，體積比等．變式51．如圖，正方形是一塊綠化帶，其中陰影部分，都是正方形的花圃，已知自由飛翔的小鳥，將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，求得陰影部分的面積與正方形的面積，即可求得小鳥在花圃上的概率．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，正方形的面積為，由勾股定理得：，四邊形為正方形，，四邊形是正方形，，，和是等腰直角三角形，，，，，，陰影部分的面積為：，小鳥在花圃上的概率為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、幾何概率、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，表示出陰影部分的面積與正方形的面積是解此題的關(guān)鍵．變式52．如圖所示陰影部分是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形的邊長(zhǎng)為4，取正方形各邊的四等分點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q．作第3個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，可以認(rèn)為聚成了一點(diǎn)，將一飛鏢隨機(jī)投擲到大正方形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知，，，面積相等，，，，面積相等，依此方法一直繼續(xù)下去，可知陰影區(qū)域的面積占正方形面積的，據(jù)此可得出答案．【詳解】解：是正方形，，取正方形各邊的四等分點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．作第2個(gè)正方形，，，，同理得：，依此方法一直繼續(xù)下去，可知陰影區(qū)域的面積占正方形面積的，將一飛鏢隨機(jī)投擲到大正方形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率，理解幾何概率的意義，并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．變式53．如圖，在平行四動(dòng)形紙板中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，連接．將一飛鏢隨機(jī)投擲到平行四邊形紙板上，則飛鏢落在陰影部分的概率為．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，得到，，從而得到，進(jìn)而得出，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在同一直線上，，，，，飛鏢落在陰影部分的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率，平行四邊形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率相應(yīng)的面積與總面積之比，根據(jù)題意計(jì)算出是解此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)06列表法求概率例6．桌面上有張卡片．張卡片的正面分別標(biāo)有數(shù)字，這些卡片除數(shù)字外完全相同，將卡片背面朝上且打亂擺放順序，隨機(jī)抽取張卡片，抽取的卡片數(shù)字都是方程的解的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了列表法求概率，解一元二次方程，先解一元二次方程，然后根據(jù)概率公式，即可求解．【詳解】解：∴或，解得：或列表如下，，，，，，，，，，，，，共有12種等可能結(jié)果，其中解都是方程的解的情形有2種，∴抽取的卡片數(shù)字都是方程的解的概率是故選：A．變式61．一只不透明的袋子中裝有4個(gè)除了顏色外都相同的小球，其中兩個(gè)紅球、一個(gè)黃球、一個(gè)綠球．?dāng)噭蚝笙葟闹忻?個(gè)小球（不放回），再?gòu)挠嘞碌漠?dāng)中摸出一個(gè)小球，如果紅球代表A種矩形紙片，黃球代表B種矩形紙片，綠球代表C種矩形紙片，通過畫樹狀圖或列表求兩次摸出的小球代表的紙片能拼成一個(gè)新矩形的概率（不重疊無縫隙拼接）【答案】【分析】畫樹狀圖法或列表法，根據(jù)題意利用概率計(jì)算公式，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得能夠能拼成一個(gè)新矩形是兩個(gè)紅色代表的紙片，紅色和黃色小球代表的紙片，黃色和綠色小球代表的紙片，列表如下紅紅黃綠紅（紅，紅）（黃，紅）（綠，紅）紅（紅，紅）（黃，紅）（綠，紅）黃（紅，黃）（紅，黃）（綠，黃）綠（紅，綠）（紅，綠）（黃，綠）由表可得，共有12種等可能結(jié)果，中兩次摸出的小球代表的紙片能拼成一個(gè)新矩形的有8種等可能結(jié)果，能拼成一個(gè)新矩形的概率答：兩次摸出的小球代表的紙片能拼成一個(gè)新矩形的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了利用樹狀圖或列表的方法求等可能情形下的概率，掌握概率的求法是解題的關(guān)鍵．變式62．某校矩形以《大國(guó)重器》為主題的演講比賽，其中一個(gè)環(huán)節(jié)是即興演講，該環(huán)節(jié)共有三個(gè)題目，由電腦隨機(jī)給每位參賽選手派發(fā)一個(gè)題目，選手根據(jù)題目對(duì)應(yīng)的內(nèi)容進(jìn)行90秒演講．小亮和小敏都參加了即興演講，則電腦給他們派發(fā)的是同一個(gè)題目的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了列舉法求概率．根據(jù)題意正確的列表是解題的關(guān)鍵．記三個(gè)題目為1，2，3，由題意列表，然后求概率即可．【詳解】解：記三個(gè)題目為1，2，3，由題意列表如下：123123由表可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中派發(fā)的是同一個(gè)題目共有3種等可能的結(jié)果，∵，∴派發(fā)的是同一個(gè)題目的概率為，故選：A．變式63．四張質(zhì)地相同的卡片如圖所示．將卡片洗勻后，背面朝上放置在桌面上．(1)求隨機(jī)抽取兩張卡片，恰好得到數(shù)字的概率；(2)小貝和小晶想用以上四張卡片做游戲，游戲規(guī)則見信息圖．請(qǐng)用列表格法或畫樹狀圖法說明這個(gè)游戲是否公平？【答案】(1)；(2)游戲不公平，理由見解析．【分析】本題考查了游戲公平性的判斷.（）列表可得總共有種結(jié)果，其中得到數(shù)字的有種，根據(jù)概率公式即可得到答案；（）要判斷游戲是否公平，只需要求出雙方贏的機(jī)會(huì)，若相等，則游戲公平，否則，游戲不公平；接下來求出“兩位數(shù)不超過”的概率，即可作出判斷；解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出表來．【詳解】（1）由題意可列出下表，由表可知，共有種結(jié)果，其中得到數(shù)字的有種，∴；（2）從表中可以看出共有結(jié)果16種，兩位數(shù)不超過的有種，∴，∴游戲不公平．考點(diǎn)07樹狀圖求概率例7．如圖，轉(zhuǎn)盤A的三個(gè)扇形面積相等，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，轉(zhuǎn)盤B的四個(gè)扇形面積相等，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，B各一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將指針指向扇形中的兩個(gè)數(shù)字相加（當(dāng)指針落在兩扇形的交線上時(shí)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤）．(1)用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；(2)若規(guī)定指針指向扇形中的兩個(gè)數(shù)字的和為5時(shí)甲贏，和為4時(shí)乙贏，和為其他數(shù)字時(shí)，甲、乙平局．請(qǐng)問這個(gè)游戲?qū)?、乙兩人是否公平？【答案?1)見解析(2)公平，理由見解析【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果；（2）根據(jù)題意得到兩個(gè)數(shù)字的和為5時(shí)，和為4時(shí)的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】（1）畫樹狀圖得：兩個(gè)數(shù)字相加和分別為：2，3，4，5，3，4，5，6，4，5，6，7．則共有12種等可能的結(jié)果；（2）∵兩個(gè)數(shù)字的和為5的有3種情況，兩個(gè)數(shù)字的和為4的有3種情況，∴兩個(gè)數(shù)字的和為5的概率是：．兩個(gè)數(shù)字的積為奇數(shù)的概率是：．∴這個(gè)游戲?qū)?、乙兩人是公平的．【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式71．將數(shù)，，分別寫在三張相同的不透明卡片上的正面，將卡片洗勻后背面朝上置于桌面，甲乙兩個(gè)同學(xué)從中隨機(jī)各抽取一張卡片（注：第一個(gè)同學(xué)抽取到的卡片不放回）．(1)甲同學(xué)抽到的卡片上數(shù)字是的概率是________；(2)求甲乙兩個(gè)同學(xué)抽到的卡片數(shù)字都是無理數(shù)的概率．（用畫樹狀圖的方法求解）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)概率的意義求出即可；（2）用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果數(shù)，從中找出甲乙兩個(gè)同學(xué)抽到的卡片數(shù)字都是無理數(shù)的結(jié)果數(shù)，再用等可能事件概率公式求出即可．【詳解】（1）∵有3張卡片，其中只有一張卡片上的數(shù)字是，∴P（甲同學(xué)抽到的卡片上數(shù)字是），故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：∵一共有6種等可能的結(jié)果，其中甲乙兩個(gè)同學(xué)抽到的卡片數(shù)字都是無理數(shù)有2種可能，∴P（甲乙兩個(gè)同學(xué)抽到的卡片數(shù)字都是無理數(shù)）．【點(diǎn)睛】本題考查列表法和樹狀圖法求等可能事件概率，掌握列表法和樹狀圖法求等可能事件概率的方法是解題的關(guān)鍵．變式72．在2022年高考中，西安某中學(xué)考生小玲高考673分，選擇報(bào)考名校西安交通大學(xué)．西安交通大學(xué)有國(guó)家一級(jí)專業(yè)：A材料科學(xué)與工程、B動(dòng)力工程、C電氣工程、D生物醫(yī)學(xué)工程，小玲可以選擇填寫兩個(gè)志愿．（填寫志愿和順序無關(guān)）(1)小玲填寫兩個(gè)志愿中有A志愿的概率是；(2)小玲的第一志愿在A、B、C、D中選擇一個(gè)，第二志愿在剩下的三個(gè)專業(yè)中選擇一個(gè)，求小玲填寫不選C志愿的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）畫樹狀圖可得共有16種等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)志愿中有A志愿的有7種等可能的結(jié)果，再利用概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖可得共有12種等可能的結(jié)果，其中不選C志愿有6種等可能的結(jié)果，再利用概率公式求解即可．【詳解】（1）解：畫樹狀圖如圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)志愿中有A志愿的有7種等可能的結(jié)果，∴兩個(gè)志愿中有A志愿的概率為；（2）解：畫樹狀圖如圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中不選C志愿有6種等可能的結(jié)果，∴不選C志愿的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查用列表法或樹狀圖求概率、概率公式，畫出樹狀圖找出符合條件的可能的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．變式73．籠子里關(guān)著一只小松鼠（如圖），籠子的主人決定把小松鼠放歸大自然，將籠子所有的門都打開．松鼠要先經(jīng)過第一道門（A，B，或C），再經(jīng)過第二道門（D或E）才能出去．(1)請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法，表示松鼠走出籠子的所有可能路線（經(jīng)過的兩道門）．(2)求松鼠經(jīng)過E門出去的概率．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖即可；（2）根據(jù)（1）所畫的樹狀圖確定松鼠走出籠子的所有可能路線結(jié)果數(shù)和松鼠經(jīng)過E門出去的結(jié)果數(shù)，然后運(yùn)用概率公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：（2）解：根據(jù)（1）所得的樹狀圖可知：松鼠走出籠子的所有可能路線結(jié)果數(shù)為6，松鼠經(jīng)過E門出去的結(jié)果數(shù)為3，則松鼠經(jīng)過E門出去的概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫樹狀圖、根據(jù)樹狀圖求概率等知識(shí)點(diǎn)，正確畫出樹狀圖是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)08用頻率估計(jì)概率例8．在一個(gè)不透明的盒子中裝有a個(gè)除顏色外完全相同的球，這a個(gè)球中只有3個(gè)紅球，若每次將球充分?jǐn)噭蚝螅我饷?個(gè)球記下顏色再放回盒子，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值約為．【答案】15【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，從而估計(jì)出概率，再根據(jù)概率公式列出方程求解．【詳解】解：由題意可得，解得，．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴a的值約為15．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)紅球的概率計(jì)算公式列出方程．變式81．近幾年，二維碼逐漸進(jìn)入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為20的正方形紙片上，如圖，為了估計(jì)黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色陰影的面積為（

）A．8 B．12 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率，理解并熟練運(yùn)用概率公式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在左右，∴點(diǎn)落在陰影部分的概率為，設(shè)陰影部分面積為S，則，即：，∴黑色陰影的面積為12，故選：B．變式82．在一個(gè)不透明的袋子中有50個(gè)除顏色外均相同的小球，通過多次摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率約為，估計(jì)袋中白球有個(gè)．【答案】【分析】用袋中球的總個(gè)數(shù)乘以摸到白球的頻率，據(jù)此可得．【詳解】解：估計(jì)袋中白球有個(gè)，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)白球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．變式83．某商場(chǎng)有一種游戲，規(guī)則是：在一只裝有8個(gè)紅球和若干個(gè)白球（每個(gè)球除顏色外其余都相同）的不透明的箱子中，隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到紅球就可獲得一瓶飲料．工作人員統(tǒng)計(jì)了參加游戲的人數(shù)和獲得飲料的人數(shù)．（見下表）參加游戲的人數(shù)200300400500獲得飲料的人數(shù)39638299獲得飲料的頻率(1)計(jì)算并完成表格；(2)估計(jì)獲得飲料的概率為________（精確到）(3)請(qǐng)你估計(jì)袋中白球的數(shù)量．【答案】(1)見解析(2)(3)32【分析】（1）用獲得飲料的人數(shù)除以參加游戲的人數(shù)即可得；（2）根據(jù)（1）中的頻率進(jìn)行估計(jì)即可；（3）利用估計(jì)的概率和概率公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，，，，填表如下：參加游戲的人數(shù)200300400500獲得飲料的人數(shù)39638299獲得飲料的頻率（2）解：觀察表格可知隨著參加人數(shù)的增加，獲得飲料的頻率逐漸穩(wěn)定在附近，所以估計(jì)獲得飲料的概率為；（3）解：設(shè)袋中有白球x個(gè)，根據(jù)題意，得，解這個(gè)方程，得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，答：估計(jì)袋中有32個(gè)白球．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，解題的關(guān)鍵是了解大量反復(fù)試驗(yàn)中某個(gè)事件發(fā)生的頻率能估計(jì)概率．考點(diǎn)09概率與代數(shù)的結(jié)合例9．若實(shí)數(shù)為不大于的非負(fù)整數(shù)，則使關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】解分式方程得，因?yàn)閷?shí)數(shù)為不大于的非負(fù)整數(shù)，則，，，，，，，分別討論，，，，，，幾種情況，得出使關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)情況，即可求得概率．【詳解】解：解分式方程得，實(shí)數(shù)為不大于的非負(fù)整數(shù)，，，，，，，，顯然解的分子只能是2的倍數(shù)，從而a只能取偶數(shù)；∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，方程無解，故舍去；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，使關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)的概率為，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查概率公式，分式方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．變式91．從不等式組所有整數(shù)解中任取一個(gè)數(shù)，求它是偶數(shù)的概率．【答案】【分析】首先求得不等式組的所有整數(shù)解，然后由概率公式求得答案．【詳解】解：解不等式得：，解不等式得：，不等式組的解集為：，整數(shù)解有：2，3，4，5，6；任取一個(gè)數(shù)，它是偶數(shù)的概率是．【點(diǎn)睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用以及不等式組的解集．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式92．從，，，，0，，1，2，3這9個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，記為m，若數(shù)m使關(guān)于x的不等式組無解，且使關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，那么從這9個(gè)數(shù)中抽到滿足條件的m的概率是．【答案】【分析】解不等式組得到，再解分式方程，根據(jù)方程有非負(fù)整數(shù)解得到符合此條件的數(shù)，最后利用概率公式計(jì)算可得答案．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式組無解，∴，∴符合此條件的有，，，，0，，1這7個(gè)數(shù)，解分式方程得，∵方程有非負(fù)整數(shù)解，∴在以上7個(gè)數(shù)中，符合此條件的有﹣3、﹣1這2個(gè)，∴從這9個(gè)數(shù)中抽到滿足條件的m的概率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解不等式組，解分式方程，概率的計(jì)算公式，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．變式93．有四張完全相同且不透明的卡片，正面分別標(biāo)有數(shù)字、、、，將四張卡片背面朝上，任抽一張卡片，卡片上的數(shù)字記為，放回后洗勻，再抽一張，卡片上的數(shù)字記為，則函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限的概率是．【答案】/【分析】畫樹狀圖得出所有的等可能的結(jié)果，根據(jù)當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，即可求解．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有種等可能的結(jié)果∵當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限∴滿足條件的結(jié)果有種故函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限的概率是：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了概率的求解和根據(jù)一次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限判斷參數(shù)的取值．熟記相關(guān)結(jié)論即可．考點(diǎn)10概率與幾何的結(jié)合例10．如圖，A，B是邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格的兩個(gè)格點(diǎn)，在格點(diǎn)上任意放置點(diǎn)C．(1)試在圖①中標(biāo)出所有符合條件的點(diǎn)C，使得為直角三角形，并求能使為直角三角形的概率；(2)試在圖②中標(biāo)出所有符合條件的點(diǎn)C，使得為等腰三角形，并求能使為等腰三角形的概率．【答案】(1)圖見解析，能使為直角三角形的概率(2)圖見解析，能使為等腰三角形的概率【分析】（1）網(wǎng)格中共有36個(gè)格點(diǎn)，找到能使得為直角三角形的格點(diǎn)即可利用概率公式求解；（2）網(wǎng)格中共有36個(gè)格點(diǎn)，找到能使得為等腰三角形的格點(diǎn)即可利用概率公式求解．【詳解】（1）解：所有符合題意的點(diǎn)C如圖①，圖中共有36個(gè)格點(diǎn)，而使得為直角三角形的格點(diǎn)有10個(gè)，所以能使為直角三角形的概率為；（2）所有符合題意的點(diǎn)C如圖②，圖中共有36個(gè)格點(diǎn)，而使得為等腰三角形的格點(diǎn)有10個(gè)，所以能使為等腰三角形的概率為；【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中直角三角形和等腰三角形的判定以及概率公式，找全符合題意的點(diǎn)是關(guān)鍵．變式101．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，將長(zhǎng)為2的線段的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)．如果點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿圖中所示方向按A→B→C→D→A滑動(dòng)到A止，同時(shí)點(diǎn)R從點(diǎn)B出發(fā)，沿圖中所示方向按B→C→D→A→B滑動(dòng)到B止，在這個(gè)過程中，線段的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積記為S．點(diǎn)N是正方形內(nèi)任一點(diǎn)，把N點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的距離均不小于1的概率記為P，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知：點(diǎn)M到正方形各頂點(diǎn)的距離都為1，故點(diǎn)M所走的運(yùn)動(dòng)軌跡為以正方形各頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑的四個(gè)扇形，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為正方形的面積減去4個(gè)扇形的面積，求得概率P，用P表示所求的面積即可．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，，∴點(diǎn)M到正方形各頂點(diǎn)的距離都為，∴點(diǎn)M所走的運(yùn)動(dòng)軌跡為以正方形各頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑的四個(gè)扇形，∴4個(gè)扇形的面積為，∵正方形的面積為，∴點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為．∵N點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的距離均不小于1的概率記為P，∴，∴，∴點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為．故選：C．【點(diǎn)睛】綜合考查概率，有關(guān)面積的計(jì)算；得到點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積是解決本題的關(guān)鍵；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于相應(yīng)的面積與總面積之比．變式102．如圖，三角形紙板，點(diǎn)M，N分別是中點(diǎn)，點(diǎn)D，E在上，連接、，，小明隨機(jī)向紙板內(nèi)投擲飛鏢一次，飛鏢落在陰影部分的概率是．【答案】【分析】求出飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影部分的面積與三角形的面積之比即可．【詳解】解：連接，設(shè)與交于點(diǎn)O．設(shè)，中邊上的高為h，則，∵點(diǎn)M、N分別是，中點(diǎn)，∴，中邊上的高為，梯形的高為,∴．在與中，，∴，∴，中邊上的高為，中邊上的高為，∵，∴，∴飛鏢落在陰影部分的概率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了幾何概率問題，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．也考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積．變式103．在的方格紙中，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)分別位于如圖所示的小正方形的頂點(diǎn)上．(1)從C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，以所取的這一點(diǎn)及A，B為頂點(diǎn)畫三角形，則所畫三角形是等腰三角形的概率是______．(2)從C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)中任意取兩個(gè)不同的點(diǎn)，以所取的這兩點(diǎn)及A，B為頂點(diǎn)畫四邊形，求所畫四邊形是平行四邊形的概率（用樹狀圖或列表求解）．【答案】(1)(2)所畫的四邊形是平行四邊形的概率．【分析】（1）根據(jù)從C，D，E，F(xiàn)四個(gè)點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，一共有4種可能，選取C，D，E點(diǎn)時(shí)，所畫三角形是等腰三角形，即可得出答案；（2）利用樹狀圖得出從C、D、E、F四個(gè)點(diǎn)中先后任意取兩個(gè)不同的點(diǎn)，一共有12種可能，進(jìn)而得出以點(diǎn)A、B、E、C為頂點(diǎn)及以A、B、E、F為頂點(diǎn)所畫的四邊形是平行四邊形，即可求出概率．【詳解】（1）解：根據(jù)從C，D，E，F(xiàn)四個(gè)點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，一共有4種可能，選取C，D，E點(diǎn)時(shí)，所畫三角形是等腰三角形，所畫三角形是等腰三角形的概率；故答案為：；（2）解：用“樹狀圖”或利用表格列出所有可能的結(jié)果：∵以點(diǎn)A、B、E、C為頂點(diǎn)及以A、B、E、F為頂點(diǎn)所畫的四邊形是平行四邊形，∴所畫的四邊形是平行四邊形的概率．【點(diǎn)睛】本題考查列表法或樹狀圖法求隨機(jī)事件發(fā)生的概率，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況是解決問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)11概率與物理的結(jié)合例11．在物理課上，同學(xué)們學(xué)習(xí)了“電學(xué)”知識(shí)之后，便可以設(shè)計(jì)一些簡(jiǎn)單的電路圖．(1)如圖1所示的電路圖中，三個(gè)開關(guān)并聯(lián)成一個(gè)開關(guān)組，閉合其中任何一個(gè)開關(guān)，可以使燈泡發(fā)亮的概率是________；(2)如圖2，在圖1的電路圖中，新增一個(gè)開關(guān)組，在兩個(gè)開關(guān)組中各閉合一個(gè)開關(guān)，用樹狀圖或列表法求小燈泡發(fā)亮的概率．(3)小明同學(xué)觀察圖2后提出：“若將開關(guān)或去掉，則在兩個(gè)開關(guān)組中各閉合一個(gè)開關(guān)，小燈泡一定會(huì)發(fā)亮．”你認(rèn)為小明同學(xué)的說法是否正確？試簡(jiǎn)要說明理由．【答案】(1)1(2)(3)小明同學(xué)的說法正確，理由見解析【分析】（1）根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；（2）先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到能使小燈泡發(fā)亮的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；（3）先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到能使小燈泡發(fā)亮的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】（1）解：由并聯(lián)電路的特點(diǎn)可知，閉合三個(gè)開關(guān)中的任何一個(gè)開關(guān)都能使燈泡發(fā)亮，∴閉合其中任何一個(gè)開關(guān)，可以使燈泡發(fā)亮的概率是1，故答案為：1；（2）解：設(shè)用A，B，C表示，用D，E，F(xiàn)表示，列表如下：ABCDEFA（A，D）（A，E）（A，F(xiàn)）B（B，D）（B，E）（B，F(xiàn)）C（C，D）（C，E）（C，F(xiàn)）D（D，A）（D，B）（D，C）E（E，A）（E，B）（E，C）F（F，A）（F，B）（F，C）由表格可知一共有18種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中能使小燈泡發(fā)亮（）的結(jié)果數(shù)有6種，∴能使小燈泡發(fā)亮的概率為；（3）解：小明同學(xué)的說法正確，理由如下：列表如下：設(shè)用A，B，C表示，用D表示，ABCDA（A，D）B（B，D）C（C，D）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中能使小燈泡發(fā)亮（）的結(jié)果數(shù)有6種，∴能使小燈泡發(fā)亮的概率為，∴若將開關(guān)或去掉，則在兩個(gè)開關(guān)組中各閉合一個(gè)開關(guān)，小燈泡一定會(huì)發(fā)亮，∴小明同學(xué)的說法正確．【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，樹狀圖法或列表法求解概率，正確理解題意列出表格或畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．變式111．摩爾斯電碼（又譯為摩斯密碼）是一種時(shí)通時(shí)斷的信號(hào)代碼，通過不同的排列順序來表達(dá)不同的英文字母、數(shù)字和標(biāo)點(diǎn)符號(hào)．它的表現(xiàn)形式可以是編碼，可以是敲擊聲音，也可以是燈光，其中，燈光是以光亮?xí)r間來表示長(zhǎng)短信號(hào)，若短光對(duì)應(yīng)的是字母S，長(zhǎng)光對(duì)應(yīng)的是字母O，請(qǐng)回答下列問題：（1）若隨機(jī)發(fā)射一組這樣的長(zhǎng)光或短光，信號(hào)對(duì)應(yīng)為字母“S”的概率是___________．（2）S．O．S是國(guó)際摩爾斯電碼救難信號(hào)，它的光線發(fā)射方法為：短光——長(zhǎng)光—短光，若隨機(jī)發(fā)射三次這樣的長(zhǎng)光或短光，請(qǐng)你求出救難信號(hào)發(fā)送成功的概率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）隨機(jī)發(fā)射一組這樣的長(zhǎng)光或短光，短光出現(xiàn)的機(jī)會(huì)占；（2）畫樹狀圖找出所有可能出現(xiàn)的情況，從中找出符合條件SOS的可能情況，利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵隨機(jī)發(fā)射一組這樣的長(zhǎng)光或短光，短光對(duì)應(yīng)的是字母S，長(zhǎng)光對(duì)應(yīng)的是字母O，短光信號(hào)對(duì)應(yīng)為字母“S”的是兩種情況中的一種，信號(hào)對(duì)應(yīng)為字母“S”的概率P=；（2）隨機(jī)發(fā)射三次這樣的長(zhǎng)光或短光，有8種搭配的情形，其中SOS只有1種，隨機(jī)發(fā)射三次這樣的長(zhǎng)光或短光，短光—長(zhǎng)光—短光，救難信號(hào)發(fā)送成功的概率P=．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)驗(yàn)概率，掌握一組信號(hào)由兩種信號(hào)組成，用頻率表示概率，畫樹狀圖，找出所有可能情況，從中找出滿足條件的情形，利用概率公式計(jì)算是解題關(guān)鍵．變式112．在一次試驗(yàn)中，每個(gè)電子元件的狀態(tài)有兩種可能（通電，斷開），并且這兩種狀態(tài)的可能性相等，如圖A，B之間電流能夠正常通過的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】先根據(jù)題意畫出樹狀圖，確定所有等可能的結(jié)果和A、B之間電流能夠正常通過的結(jié)果數(shù)，然后運(yùn)用概率公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有4種等可能的結(jié)果，A、B之間電流能夠正常通過的結(jié)果有1種，所以A、B之間電流能夠正常通過的概率是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用樹狀圖法求概率．根據(jù)題意、正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．變式113．如圖，電路圖上有三個(gè)開關(guān)A、B、C，開關(guān)閉合記“+”，開關(guān)斷開記“”．(1)若只閉合其中一個(gè)開關(guān)，則小燈泡發(fā)光（即電流通過）的概率是______；(2)用樹狀圖或列表格的方法表示三個(gè)開關(guān)A、B、C閉合或斷開的所有情況，并求小燈泡發(fā)光（即電流通過）的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可知共有3種等可能的情況，其中只有只閉合開關(guān)C時(shí)，小燈泡發(fā)光，即可利用概率公式求解；（2）由題意畫出樹狀圖，得出所有等可能的情況，再找出符合題意的情況，最后利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】（1）由題意可知當(dāng)只閉合開關(guān)A時(shí)，小燈泡不發(fā)光．當(dāng)只閉合開關(guān)B時(shí)，小燈泡不發(fā)光．當(dāng)只閉合開關(guān)C時(shí)，小燈泡發(fā)光．∴若只閉合其中一個(gè)開關(guān)，小燈泡發(fā)光（即電流通過）的概率是．故答案為：；（2）由題意可列樹狀圖如下，由樹狀圖可知共有8種等可能的情況，其中小燈泡發(fā)光的情況有5種，∴小燈泡發(fā)光（即電流通過）的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，列表法或畫樹狀圖法求概率．掌握概率公式和正確的畫出樹狀圖或列出表格是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)12概率與比賽的結(jié)合例12．甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戲，一人為蒙眼人，捉另外兩人，捉到一人，記為捉一次；被捉到的人成為新的蒙眼人，接著捉……一直這樣玩（每次捉到一人）．請(qǐng)用樹狀圖解決下列問題，(1)若甲為開始蒙眼人，捉兩次，求第二次捉到丙的概率；(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，應(yīng)該誰為開始蒙眼人？【答案】(1)(2)甲【分析】（1）用樹狀圖法列舉出甲為開始蒙眼人，捉兩次所有可能出現(xiàn)的情況，進(jìn)而求出捉2次，捉到丙的概率；（2）用樹狀圖法列舉出甲為開始蒙眼人，捉三次所有可能出現(xiàn)的情況，通過甲、乙、丙被捉到的次數(shù)得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，甲為開始蒙眼人，捉兩次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：共有4種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中第2次捉到丙的只有1種，所以甲為開始蒙眼人，捉兩次，第二次捉到丙的概率為．（2）如圖2，若甲為開始蒙眼人，捉三次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：共有8種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中第3次提到甲的有2種，捉到乙的有3種，捉到丙的有3種，根據(jù)所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，應(yīng)該甲為開始蒙眼人．【點(diǎn)睛】本題考查用樹狀圖法求隨機(jī)事件發(fā)生的概率．列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵．變式121．某籃球運(yùn)動(dòng)員去年共參加40場(chǎng)比賽，其中3分球的命中率為，平均每場(chǎng)有12次3分球未投中．(1)該運(yùn)動(dòng)員去年的比賽中共投出多少個(gè)3分球？共投中多少個(gè)3分球？(2)在其中的一場(chǎng)比賽中，該運(yùn)動(dòng)員3分球共出手20次，小明說，該運(yùn)動(dòng)員這場(chǎng)比賽中一定投中了5個(gè)3分球，你認(rèn)為小明的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)共投出640個(gè)3分球，共投中160個(gè)3分球(2)說法不正確；理由見解析【分析】（1）設(shè)該運(yùn)動(dòng)員共出手x個(gè)3分球，則3分球命中x個(gè)，未投中x個(gè)，根據(jù)“某籃球運(yùn)動(dòng)員去年共參加40場(chǎng)比賽，平均每場(chǎng)有12次3分球未投中”列出方程，解方程即可；（2）根據(jù)概率的意義知某事件發(fā)生的概率，就是在大量重復(fù)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定到的某個(gè)值；由此加以理解即可．【詳解】（1）解：設(shè)該運(yùn)動(dòng)員共投出x個(gè)3分球．∵3分球的命中率為，∴3分球的未命中率為1－＝．根據(jù)題意，得＝12．解得x＝640．∴x＝0.25×640＝160(個(gè))．答：運(yùn)動(dòng)員去年的比賽中共投出640個(gè)3分球，共投中160個(gè)3分球．（2）解：小明的說法不正確；3分球的命中率為，是相對(duì)于40場(chǎng)比賽來說的，而在其中的一場(chǎng)比賽中，雖然該運(yùn)動(dòng)員3分球共出手20次，但是該運(yùn)動(dòng)員在這場(chǎng)比賽中不一定投中了5個(gè)3分球．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、概率的意義．解題的關(guān)鍵是理解概率的意義．變式122．一個(gè)智力挑戰(zhàn)賽需要全部答對(duì)兩道單項(xiàng)選擇題，才能順利通過第一關(guān).第一道題有個(gè)選項(xiàng)，第二道題有個(gè)選項(xiàng)，這兩道題小新都不會(huì)，不過小新還有一個(gè)“求助卡”沒有用，使用“求助卡”可以讓主持人去掉其中一題的一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)．（1）如果小新在第題使用“求助卡”，請(qǐng)用樹狀圖或者列表來分析小新順利通過第一關(guān)的概率；（2）從概率的角度分析，你建議小新在第幾題使用“求助卡”．為什么．【答案】（1）；（2）建議小新在第二題使用“求助卡”，理由見解析【分析】（1）畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小新都選對(duì)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算；（2）如果小新在第二題使用“求助卡”，畫樹狀圖展示所有8種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小新都選對(duì)的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計(jì)算出小新順利通過第一關(guān)的概率，然后比較兩個(gè)概率的大小可判斷小新在第幾題使用“求助卡“．【詳解】解:（1）列樹狀圖如下:共有種等可能的結(jié)果，其中兩道題都正確的結(jié)果有個(gè)，所以小新順利通過第一關(guān)的概率為（2）建議小明在第二題使用“求助卡”，若第二題使用“求助卡”，可列樹狀圖如下:此時(shí)小新順利通過第一關(guān)的概率為因?yàn)?，所以建議小新在第二題使用“求助卡”【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．變式123．甲、乙兩同學(xué)開展“投球進(jìn)筐”比賽，雙方約定：①比賽分6局進(jìn)行，每局在指定區(qū)域內(nèi)將球投向筐中，只要投進(jìn)一次后該局便結(jié)束；②若一次未進(jìn)可再投第二次，以此類推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未進(jìn)，該局也結(jié)束；③計(jì)分規(guī)則如下：a.得分為正數(shù)或0；b.若8次都未投進(jìn)，該局得分為0；c.投球次數(shù)越多，得分越低；局比賽的總得分高者獲勝.(1)設(shè)某局比賽第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次將球投進(jìn)，請(qǐng)你按上述約定，用公式、表格或語(yǔ)言敘述等方式，為甲、乙兩位同學(xué)制定一個(gè)把n換算為得分M的計(jì)分方案；(2)若兩人6局比賽的投球情況如下(其中的數(shù)字表示該局比賽進(jìn)球時(shí)的投球次數(shù)，“×”表示該局比賽8次投球都未進(jìn))：根據(jù)上述計(jì)分規(guī)則和你制定的計(jì)分方案，確定兩人誰在這次比賽中獲勝.第一局第二局第三局第四局第五局第六局甲5×4813乙82426×【答案】（1）見解析，（2）甲在這次比賽中獲勝．見解析．【分析】（1）因?yàn)榭偣灿?次投球的機(jī)會(huì)，且投球次數(shù)越多，得分越低，可以設(shè)計(jì)計(jì)分為1次投中得8分，兩次投中得7分，依次下降1分即可；（2）根據(jù)（1）的計(jì)分方案，可以分別計(jì)算甲、乙的得分，進(jìn)行比較．【詳解】(1)計(jì)分方案如下表：n(次)12345678M(分)87654321(2)根據(jù)以上方案計(jì)算得6局比賽，甲共得4+0+5+1+8+6=24分，乙共得1+7+5+7+3+0=23分，所以甲在這次比賽中獲勝．【點(diǎn)睛】此題要能夠根據(jù)規(guī)則合理設(shè)計(jì)得分，根據(jù)實(shí)際設(shè)計(jì)的方案進(jìn)行正確計(jì)算．考點(diǎn)13統(tǒng)計(jì)與概率綜合例13．某校在課后服務(wù)中，成立了以下社團(tuán)：A．計(jì)算機(jī)，B．圍棋，C．籃球，D．書法每人只能加入一個(gè)社團(tuán)，為了?學(xué)生參加社團(tuán)的情況，從參加社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，其中圖1中D所占扇形的圓心角為．請(qǐng)結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有______人；(2)請(qǐng)你將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3)若該校共有1800學(xué)生加入了社團(tuán)，請(qǐng)你估計(jì)這1800名學(xué)生中有多少人參加了籃球社團(tuán)；(4)在書法社團(tuán)活動(dòng)中，由于甲、乙、丙、丁四人平時(shí)的表現(xiàn)優(yōu)秀，恰好四位同學(xué)中有兩名是男同學(xué)，兩名是女同學(xué)．現(xiàn)決定從這四人中任選兩名參加全市書法大賽，用畫樹狀圖求恰好選中一男一女的概率．【答案】(1)(2)見解析(3)這名學(xué)生中有人參加了籃球社團(tuán)(4)【分析】（1）由D所占扇形的圓心角為，根據(jù)，計(jì)算可求這次被調(diào)查的學(xué)生；（2）根據(jù)C組人數(shù)為：，計(jì)算求解，然后補(bǔ)圖即可；（3）根據(jù)，計(jì)算求解即可；（4）根據(jù)題意，畫樹狀圖，然后求概率即可．【詳解】（1）解：∵D所占扇形的圓心角為，∴這次被調(diào)查的學(xué)生共有：（人）；故答案為：；（2）解：由題意知，C組人數(shù)為：（人），補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）解：（人），答：這名學(xué)生中有人參加了籃球社團(tuán)，（4）解：設(shè)甲乙為男同學(xué)，丙丁為女同學(xué)，畫樹狀圖如下：∴一共有種可能的情況，恰好選擇一男一女有種，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，列舉法求概率．從統(tǒng)計(jì)圖中獲取正確的信息，正確的畫樹狀圖是解題的關(guān)鍵．變式131．在加強(qiáng)對(duì)中小學(xué)生“雙減”和“五項(xiàng)管理”政策下，某校為了了解在教學(xué)改革模式下九年級(jí)期末數(shù)學(xué)成績(jī)，隨機(jī)抽取40名學(xué)生抽測(cè)，滿分為50分，并將測(cè)試成績(jī)分成五檔：A檔：；B檔：；C檔：；D檔：；E檔：，繪制頻數(shù)分布圖如下，已知在這一組的具體得分（單位：分）是20、26、22、27、28、26、26、26、24、29、27、21、28、27．(1)在這一組成績(jī)數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為，眾數(shù)為，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(2)若成績(jī)不低于40分為優(yōu)秀，該校九年級(jí)有1800名學(xué)生，則該校九年級(jí)期末數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生約有多少名？(3)該校舉辦“一幫一”活動(dòng)，在A檔中隨抽取兩名學(xué)生，在E檔隨抽取兩名學(xué)生，則該4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，恰好抽出一名A檔學(xué)生和一名E檔學(xué)生的概率是多少？【答案】(1)26，26，圖見解析(2)180名(3)【分析】（1）先把這一組的數(shù)據(jù)重新排序，再根據(jù)中位數(shù)與眾數(shù)的含義求解中位數(shù)與眾數(shù)，由總?cè)藬?shù)減去已知各組人數(shù)可得D組人數(shù)，再補(bǔ)全圖形即可；（2）由總?cè)藬?shù)1800乘以不低于40分的占比，從而可得答案；（3）先列表得到所有等可能的結(jié)果數(shù)，再確定符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：在這一組的具體得分（單位：分）是20、26、22、27、28、26、26、26、24、29、27、21、28、27．重新排列如下：20、21、22、24、26、26、26、26、27、27、27、28、28、29．排在第7個(gè)，第8個(gè)數(shù)分別為：26，26，∴中位數(shù)為：，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是26，∴眾數(shù)是26；而D組人數(shù)為：，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：（2）（名），答：該校九年級(jí)期末數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生約有180名，（3）設(shè)4名同學(xué)代號(hào)分別為，由題意列表如下：————————共有12種等可能情況，恰好抽出一名A檔和一名E檔學(xué)生的可能性有8種，故恰好抽出一名A檔學(xué)生和一名E檔學(xué)生的概率是，即．【點(diǎn)睛】本題考查的是從頻數(shù)分布表中獲取信息，中位數(shù)，眾數(shù)的含義，利用樣本估計(jì)總體，利用畫樹狀圖與列表法求解隨機(jī)事件的概率，掌握以上基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．變式132．為了解學(xué)生對(duì)“校園安全知識(shí)”的了解程度，某校隨機(jī)抽取了七年級(jí)、八年級(jí)各20名學(xué)生進(jìn)行問卷測(cè)試，并對(duì)得分情況進(jìn)行整理和分析（得分用整數(shù)x表示，單位：分），且分為A，B，C三個(gè)等級(jí)，分別是：優(yōu)秀為A等級(jí)：；合格為B等級(jí)：；不合格為C等級(jí)：．分別繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表，其中七年級(jí)學(xué)生測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)的眾數(shù)出現(xiàn)在A等級(jí)，A等級(jí)測(cè)試成績(jī)情況分別為：81，87，89，90，96，96，96，96，97，97，99，100；八年級(jí)學(xué)生測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)在A等級(jí)的共有a個(gè)人．七年級(jí)、八年級(jí)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差如下表所示：根據(jù)以上信息，解答下列問題：成績(jī)成平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級(jí)85bc八年級(jí)858896(1)填空：____，_____，______；(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該學(xué)校哪個(gè)年級(jí)的測(cè)試成績(jī)更好，并說明理由；(3)若從獲得C等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名分享感受，抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級(jí)、一名來自八年級(jí)的概率是______．【答案】(1)13，88，96(2)八年級(jí)，理由見解析(3)【分析】（1）先計(jì)算八年級(jí)學(xué)生測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)在A等級(jí)的人數(shù)所占百分比，再用20乘以這個(gè)百分比，即可求出a的值，根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義，即可求出b和c的值；（2）比較兩個(gè)年級(jí)的方差，根據(jù)方差越小成績(jī)?cè)椒€(wěn)定，即可解答；（3）先求出B年級(jí)成績(jī)?cè)贑等級(jí)的人數(shù)，再畫出樹狀圖，數(shù)出所有的情況數(shù)和符合條件的情況數(shù)，用概率公式求解即可．【詳解】（1）解：八年級(jí)學(xué)生測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)在A等級(jí)的人數(shù)所占百分比：，∴，∵七年級(jí)抽取了20個(gè)人，∴中位數(shù)是第10個(gè)和第11個(gè)人成績(jī)的平均數(shù)，由圖可知，七年級(jí)C等級(jí)由3人，B等級(jí)有5人，∴中位數(shù)為七年級(jí)A等級(jí)中第2個(gè)和第3個(gè)人成績(jī)的平均數(shù)，∴，∵七年級(jí)學(xué)生測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)的眾數(shù)出現(xiàn)在A等級(jí)，∴，故答案為：13，88，96；（2）解：∵七年級(jí)學(xué)生成績(jī)的方差>八年級(jí)學(xué)生成績(jī)方差，∴八年級(jí)學(xué)生成績(jī)更穩(wěn)定，∴八年級(jí)測(cè)試成績(jī)更好；（3）解：八年級(jí)測(cè)試成績(jī)?cè)贑等級(jí)的人數(shù)：，∴兩個(gè)年級(jí)C等級(jí)一共有4人，設(shè)七年級(jí)的三個(gè)人為A、B、C，八年級(jí)的一個(gè)人為D，畫出樹狀圖如圖所示：一共有12種情況，抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級(jí)、一名來自八年級(jí)的有6種情況，∴抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級(jí)、一名來自八年級(jí)的概率．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求中位數(shù)，眾數(shù)，根據(jù)方差做決策，根據(jù)樹狀圖求概率，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義，以及畫樹狀圖的方法，掌握概率等于所求情況數(shù)和總情況數(shù)之比．變式133．恩施清外開展主題為“防疫常識(shí)知多少”的調(diào)查活動(dòng)，抽取了九年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查問卷設(shè)置了A：非常了解、B：比較了解、C：基本了解、D：不太了解四個(gè)等級(jí)，要求每個(gè)學(xué)生填且只能填其中的一個(gè)等級(jí)，采取隨機(jī)抽樣的方式，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖，根據(jù)以上信息回答下列問題：等級(jí)頻數(shù)頻率A20B15bC10Da(1)頻數(shù)分布表中______，______，將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；(2)若九年級(jí)有學(xué)生1450人，請(qǐng)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果估算該?！胺浅Ａ私狻焙汀氨容^了解”防疫常識(shí)的學(xué)生共有多少人？(3)在“非常了解”防疫常識(shí)的學(xué)生中，某班有5個(gè)學(xué)生，其中3男2女，計(jì)劃在這5個(gè)學(xué)生中隨機(jī)抽選兩個(gè)加入防疫志愿者團(tuán)隊(duì)，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求所選兩個(gè)學(xué)生中至少有一個(gè)女生的概率．【答案】(1)，，補(bǔ)圖見解析(2)人(3)【分析】（1）根據(jù)頻率=頻數(shù)÷總數(shù)，結(jié)合C等級(jí)頻數(shù)與頻率計(jì)算出被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而可得出、的值，根據(jù)值補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖即可；（2）利用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想，先求出調(diào)查結(jié)果中“非常了解”和“比較了解”的頻率之和，再乘上該?？?cè)藬?shù)即可得到；（3）利用樹狀圖列出所有的情況，選出滿足條件的情況數(shù)，利用概率公式求解即可．【詳解】（1）解：∵C等級(jí)頻數(shù)為10，頻率為，∴總?cè)藬?shù)為（人），∴（人），，故答案為：，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：（2）根據(jù)頻數(shù)分布表可知，“非常了解”和“比較了解”的頻率之和為：，∴（人），答：估算該?！胺浅Ａ私狻焙汀氨容^了解”防疫常識(shí)的學(xué)生共有人．（3）設(shè)3男生對(duì)應(yīng)大寫字母，兩女生對(duì)應(yīng)大寫字母，在這5個(gè)學(xué)生中隨機(jī)抽選兩個(gè)加入防疫志愿者團(tuán)隊(duì)的所有結(jié)果，畫樹狀圖如下：共有20等可能結(jié)果，滿足所選兩個(gè)學(xué)生中至少有一個(gè)女生的有14種，∴所選兩個(gè)學(xué)生中至少有一個(gè)女生的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布表、頻率分布直方圖、樣本估計(jì)總體、利用樹狀圖或列表法求概率問題，解題的關(guān)鍵是：能從圖表中獲取信息，會(huì)畫樹狀圖列出所有的情況，利用概率公式求概率．基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列事件中屬于必然事件的是（

）A．等腰三角形的三條邊都相等 B．兩個(gè)偶數(shù)的和為偶數(shù)C．任意拋一枚均勻的硬幣，正面朝上 D．立定跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)是【答案】B【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：A、等腰三角形的三條邊都相等，不是必然事件，不符合題意；B、兩個(gè)偶數(shù)的和為偶數(shù)，是必然事件，符合題意；C、任意拋一枚均勻的硬幣，正面朝上，是隨機(jī)事件，不符合題意；D、立定跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)是，是不可能事件，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．2．在一個(gè)不透明的布袋中，有大小、形狀完全相同，顏色不同的15個(gè)球，從中摸出紅球的概率為，則袋中紅球的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．5 C．10 D．12【答案】B【分析】本題主要考查隨機(jī)事件概率，假設(shè)紅球有x個(gè)，根據(jù)紅球可能出現(xiàn)的情況除以總的可能情況即可，利用事件發(fā)生的概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【詳解】解：設(shè)有x個(gè)紅球，得，解得．故選：B．3．如圖，某展覽大廳有A，B兩個(gè)入口，C，D，E三個(gè)出口，小明任選一個(gè)入口進(jìn)入展覽大廳，參觀結(jié)束后任選一個(gè)出口離開，不同的出入路線一共有（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，得出所有等可能的結(jié)果即可求得答案．【詳解】解：由題意，畫樹狀圖為：由圖可知，共有6種等可能的結(jié)果．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列表法與樹狀圖法．正確列出表格或畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．4．在學(xué)習(xí)“頻率的穩(wěn)定性”一節(jié)時(shí)，張老師讓同學(xué)們親自體驗(yàn)，經(jīng)歷事件發(fā)生的過程，感受可能性的大?。》f和小琪擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，并把數(shù)據(jù)記錄如下表：擲硬幣的次數(shù)100200300400500正面朝上的次數(shù)58106144197251若擲硬幣的次數(shù)為5000，則“正面朝上”的頻數(shù)最接近（

）A．1000 B．2000 C．2500 D．3550【答案】C【分析】隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，正面向上的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近，據(jù)此求解即可．【詳解】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)：隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，正面朝上的頻率逐漸穩(wěn)定到附近，所以拋擲硬幣的次數(shù)為5000，則“正面朝上”的頻數(shù)最接近，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估算概率，解題的關(guān)鍵是掌握利用頻率估算概率的方法．5．某班男女同學(xué)人數(shù)之比為，則在該班隨機(jī)抽一名同學(xué)，抽到女同學(xué)的概率是．【答案】【分析】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，考查的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．本題可設(shè)班級(jí)共有名同學(xué)，根據(jù)比例求出女同學(xué)的人數(shù)，然后求出所求的概率．【詳解】解：設(shè)該班有個(gè)同學(xué)，男女同學(xué)數(shù)之比為，女同學(xué)有個(gè)，則在該班隨機(jī)抽取一名同學(xué)，抽到女同學(xué)的概率是．故答案為．6．從，4，5這3個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)作為k，b，則直線在第一、三、四象限的概率為．【答案】【分析】先畫樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果，然后根據(jù)概率公式計(jì)算，即可求解．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中直線在第一、三、四象限（，）的結(jié)果有2種，∴直線在第一、三、四象限的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率和點(diǎn)的坐標(biāo)特征，通過列表法或樹狀圖法列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率是解題的關(guān)鍵．7．有四張大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分別印有4種車標(biāo)，將這四張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，所抽取的卡片正面上的圖形都是中心對(duì)稱圖形的概率是．【答案】【分析】設(shè)四張卡片從左向右分別記為：A、B、C、D．則只有A、C的卡片為中心對(duì)稱圖形，利用樹狀圖法求解概率即可．【詳解】解：設(shè)四張卡片從左向右分別記為：A、B、C、D．則只有A、C的卡片為中心對(duì)稱圖形，畫樹狀圖如圖所示：共有12種等可能的結(jié)果，所抽取的卡片正面圖形都是中心對(duì)稱圖形的結(jié)果有2種，∴所抽取的卡片正面上的圖形都是中心對(duì)稱圖形的概率為．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了中心對(duì)稱圖形的識(shí)別以及樹狀圖法求解概率，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．8．兒童節(jié)期間，游樂場(chǎng)里有一種游戲的規(guī)則是：在一個(gè)裝有6個(gè)紅球和若干白球（每個(gè)球除顏色外，其它都相同）的袋中，隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到一個(gè)紅球就得歡動(dòng)世界通票一張，已知參加這種游戲的有300人，游樂場(chǎng)為此游戲發(fā)放歡動(dòng)世界通票50張，請(qǐng)你通過計(jì)算估計(jì)袋中白球的數(shù)量是個(gè).【答案】【分析】本題考查了利用樣本估計(jì)總體和頻率估計(jì)概率，設(shè)袋中共有個(gè)白球，根據(jù)摸到紅球的概率求出球的總個(gè)數(shù)，即可解答．【詳解】解：設(shè)袋中共有個(gè)白球，則摸到紅球的概率（紅球）=依題意，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；故答案為：．9．2022年冬奧會(huì)吉祥物為“冰墩墩”和“雪容融”，體現(xiàn)了人與自然和諧共生，深受青少年的喜愛．現(xiàn)有8張正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面圖案不同外，其余均相同，其中3張正面印有冰墩墩?qǐng)D案，5張正面印有雪容融圖案，將8張卡片正面向下洗勻擺放．(1)從中隨機(jī)抽取一張卡片，抽到的卡片恰好是雪容融圖案的概率是________；(2)請(qǐng)你從卡片中取出張冰墩墩卡片，再?gòu)氖Ｓ嗟目ㄆ须S機(jī)抽出一張，將“抽出的卡片為雪容融”記為事件A，若事件A為必然事件，則m的值為________；若事件A為隨機(jī)事件，則m的值為________．【答案】(1)(2)3；或【分析】（1）根據(jù)概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；（2）抽取m張冰墩墩卡片后，抽取一張卡片，當(dāng)“抽出的卡片為雪容融”為必然事件，那么剩下抽取m張冰墩墩卡片后，則剩下的卡片都是雪容融卡片；當(dāng)“抽出的卡片為雪容融”為隨機(jī)事件，那么剩下抽取m張冰墩墩卡片后，則剩下的卡片中還有冰墩墩卡片，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解；∵一共有8張卡片，其中有雪容融圖案的卡片有5張，且每張卡片被抽到的概率相同，∴從中隨機(jī)抽取一張卡片，抽到的卡片恰好是雪容融圖案的概率是，故答案為：（2）解：∵從卡片中取出張冰墩墩卡片，再?gòu)氖Ｓ嗟目ㄆ须S機(jī)抽出一張，“抽出的卡片為雪容融”為必然事件，∴在抽取張冰墩墩卡片后，剩余的卡片中只有雪容融的卡片，∴此時(shí)；∵從卡片中取出張冰墩墩卡片，再?gòu)氖Ｓ嗟目ㄆ须S機(jī)抽出一張，“抽出的卡片為雪容融”為隨機(jī)事件，∴在抽取張冰墩墩卡片后，剩余的卡片中還有冰墩墩卡片，∴，又∵且m為正整數(shù)，∴或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，隨機(jī)事件和必然事件的定義，在一定條件下，一定會(huì)發(fā)生的事件叫做必然事件，可能發(fā)生也有可能不會(huì)發(fā)生的事件叫做隨機(jī)事件．10．“天宮課堂”第二課在中國(guó)空間站開講，神舟十三號(hào)飛行乘組航天員翟志剛、王亞平、葉光富講了又一堂精彩的太空科普課．這場(chǎng)充滿奇思妙想的太空授課，讓科學(xué)的種子在億萬青少年的心里生根發(fā)芽．小明和小亮對(duì)航天知識(shí)產(chǎn)生了極大興趣，他們?cè)谥袊?guó)載人航天網(wǎng)站了解到，航天知識(shí)分為“夢(mèng)圓天路”、“飛天英雄”、“探秘太空”、“巡天飛船”等模塊．他們決定先從：“夢(mèng)圓天路”、：“飛天英雄”、：“探秘太空”三個(gè)模塊中隨機(jī)選擇一個(gè)進(jìn)行學(xué)習(xí)．(1)小明同學(xué)選擇：“探秘太空”模塊的概率是_________；(2)用畫樹狀圖或列表的方法求出小明和小亮選擇相同模塊的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了概率的計(jì)算、畫樹狀圖或列表法求概率，（1）根據(jù)題意所有模塊數(shù)是個(gè)，選擇的概率，則根據(jù)概率的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意畫樹狀圖或列表的方法得出所有的可能結(jié)果，再根據(jù)概率的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可；熟練掌握概率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵從、、三個(gè)模塊中隨機(jī)選擇一個(gè)，∴小明同學(xué)選擇：“探秘太空”模塊的概率．故答案為：；（2）解：畫樹狀圖如下：共有種可能性結(jié)果，其中小明和小亮選擇相同模塊的結(jié)果有種，∴小明和小亮選擇相同模塊的概率．11．一個(gè)不透明的袋子中裝有三個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字3，4，5．從袋子中隨機(jī)取出一個(gè)小球，用小球上的數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后放回，再取出一個(gè)小球，用小球上的數(shù)字作為個(gè)位上的數(shù)字，這樣組成一個(gè)兩位數(shù)．這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的概率是多少？請(qǐng)你用列表法或面樹狀圖法加以說明．【答案】，樹狀圖見解析【分析】此題考查了列表法與樹狀圖法，畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的數(shù)有3個(gè)，∴這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的概率是12．在一個(gè)不透明的口袋里裝有黑、白兩種顏色的球共4個(gè)．某學(xué)習(xí)小組做摸球?qū)嶒?yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回口袋中，不斷重復(fù)．下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n204840401000012000摸到白球的次數(shù)m1061204849796019摸到白球的頻率(1)請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近（精確到）；(2)試估算口袋中白球有多少個(gè)？(3)若從中摸出一個(gè)球后不放回，再?gòu)挠嘞碌那蛑忻鲆粋€(gè)，請(qǐng)用列表法求兩次摸到的球的顏色相同的概率．【答案】(1)(2)估計(jì)口袋中白球的個(gè)數(shù)為2個(gè)(3)【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率接近；（2）利用頻率估計(jì)概率，可估計(jì)摸到白球的概率為，然后利用概率公式計(jì)算白球的個(gè)數(shù)；（3）先利用列表法展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次摸到的球顏色相同的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】（1）解：由題可得，當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率接近；故答案為：；（2）解：∵摸到白球的概率為，∴估計(jì)口袋中白球的個(gè)數(shù)(個(gè))．（3）解：根據(jù)題意列表如下：第二次第一次白1白2黑1黑2白1（白1，白2）（白1，黑1）（白1，黑2）白2（白2，白1）（白2，黑1）（白2，黑2）黑1（黑1，白1）（黑1，白2）（黑1，黑2）黑2（黑2，白1）（黑2，白2）（黑2，黑1）由上表可知，共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩次摸到的球顏色相同的有4種，分別為：（白1，白2），（白2，白1），（黑2，黑1），（黑1，黑2），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法以及利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用