2022年安徽省九年級中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第3講不等式（組）及其應(yīng)用（難）

授課主題不等式（組）及其應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.理解并熟練掌握不等式的性質(zhì)，掌握含參數(shù)不等式（組）解題思路2.學(xué)會應(yīng)用不等式（組）解決實(shí)際問題3.能夠利用一元一次不等式與函數(shù)結(jié)合，解一元二次不等式教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：解不等式（組）并學(xué)會應(yīng)用不等式（組）解決實(shí)際問題難點(diǎn)：不等式相關(guān)新定義題型，解一元二次不等式教學(xué)內(nèi)容不等式（組）及其應(yīng)用不等式（組）及其應(yīng)用知識點(diǎn)一：不等式及其基本性質(zhì)關(guān)鍵點(diǎn)撥及對應(yīng)舉例1.不等式的相關(guān)概念（1）不等式：用不等號(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等關(guān)系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍.例：“a與b的差不大于1”用不等式表示為.2.不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：若a＞b,則a±c>b±c；性質(zhì)2：若a＞b,c>0，則ac>bc，>；性質(zhì)3：若a＞b,c<0，則ac<bc，<.牢記不等式性質(zhì)3，注意變號.如：在不等式－2x＞4中，若將不等式兩邊同時除以－2，可得.知識點(diǎn)二：一元一次不等式3.定義用不等號連接，含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)都是1的，左右兩邊為整式的式子叫做一元一次不等式.例：若是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為4.解法（1）步驟：去分母；去括號；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；系數(shù)化為1.系數(shù)化為1時，注意系數(shù)的正負(fù)性，若系數(shù)是負(fù)數(shù)，則不等式改變方向.（2）解集在數(shù)軸上表示:x≥ax＞ax≤ax＜a知識點(diǎn)三：一元一次不等式組的定義及其解法5.定義由幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組．（1）在表示解集時“≥”，“≤”表示含有，要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圓點(diǎn)表示．（2）已知不等式（組）的解集情況，求字母系數(shù)時，一般先視字母系數(shù)為常數(shù)，再逆用不等式（組）解集的定義，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a1）x＜1a的解集是x＞1，則a的取值范圍是6.解法先分別求出各個不等式的解集，再求出各個解集的公共部分7.不等式組解集的類型假設(shè)a＜b解集數(shù)軸表示口訣x≥b大大取大x≤a小小取小a≤x≤b大小，小大中間找無解大大，小小取不了知識點(diǎn)四：列不等式解決簡單的實(shí)際問題8.列不等式解應(yīng)用題（1）一般步驟：審題；設(shè)未知數(shù)；找出不等式關(guān)系；列不等式；解不等式；驗(yàn)檢是否有意義.（2）應(yīng)用不等式解決問題的情況：a.關(guān)鍵詞：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超過（＞）”、“不足（＜）”等；b.隱含不等關(guān)系：如“更省錢”、“更劃算”等方案決策問題，一般還需根據(jù)整數(shù)解，得出最佳方案注意：列不等式解決實(shí)際問題中，設(shè)未知數(shù)時，不應(yīng)帶“至少”、“最多”等字眼，與方程中設(shè)未知數(shù)一致.【考點(diǎn)】1：一元一次不等式（組）的性質(zhì)1．（2021·全國八年級課時練習(xí)）下列命題:①若則②若則③若則；④⑤若則其中正確的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2021·福建九年級一模）若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），則多項(xiàng)式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能為（）A．﹣1 B．0 C． D．【考點(diǎn)】2：不等式（組）的整數(shù)解1．（2020·重慶巴南區(qū)·）若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組至少有4個整數(shù)解，且使關(guān)于x，y的方程組的解為正整數(shù)，那么所有滿足條件的整數(shù)a的值的和是()．A．－3 B．－4 C．－10 D．－142．（2021·浙江七年級期中）對于數(shù)x，符號表示不大于x的最大整數(shù)．若有正整數(shù)解，則正數(shù)a的取值范圍是（）．A．或 B．或C．或 D．或3．（2021·河南七年級期末）若關(guān)于x的不等式有且只有三個整數(shù)解，則a的取值范圍是__________．【考點(diǎn)】3：含參不等式（組）1．（2020·全國七年級課時練習(xí)）對于正整數(shù)a、b、c、d，符號表示運(yùn)算acbd，已知1<<3，則b+d=_______．2．（2021·沙坪壩·重慶八中八年級開學(xué)考試）如果關(guān)于x的不等式組的解集為，且整數(shù)m使得關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為整數(shù)（x，y均為整數(shù)），則不符合條件的整數(shù)m的有（）A．4 B．2 C．4 D．103．（2021·江蘇泰州市·七年級期末）已知（a≠0）是關(guān)于x，y的二元一次方程組．（1）求方程組的解（用含a的代數(shù)式表示）；（2）若x﹣2y＞0，求a的取值范圍；（3）若x，y之間（不含x，y）有且只有一個整數(shù)，直接寫出a的取值范圍．4．（2021·河南南陽市·）（1）閱讀下面的材料并把解答過程補(bǔ)充完整．問題：在關(guān)于x，y的二元一次方程組中，x＞1，y＜0，求a的取值范圍．分析：在關(guān)于x、y的二元一次方程組中，用a的代數(shù)式表示x，y，然后根據(jù)x＞1，y＜0列出關(guān)于a的不等式組即可求得a的取值范圍．解：由解得又因?yàn)閤＞1，y＜0所以解得a的取值范圍是．因?yàn)閤+y＝a，所以a的取值范圍就是x+y的取值范圍．（2）請你按照上述方法，完成下列問題：①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范圍；②已知a﹣b＝m，在關(guān)于x，y的二元一次方程組中，x＜0，y＞0，請直接寫出a+b的取值范圍．【考點(diǎn)】4：新定義1．（2021·江蘇連云港市·七年級期末）若關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與關(guān)于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解滿足﹣1≤x﹣y≤1，則稱方程ax+b＝0（a≠0）與方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因?yàn)椹?≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0與方程y﹣1＝0是“友好方程”．（1）請通過計算判斷方程2x﹣9＝5x﹣2與方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．（2）若關(guān)于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0與關(guān)于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，請你求出k的最大值和最小值．2．（2021·重慶）我們把形如(1≤≤9且為整數(shù))的四位正整數(shù)叫做“三拖一”數(shù)，例如：2221，3331是“三拖一”數(shù)．（1）最小的“三拖一”數(shù)為；最大的“三拖一”數(shù)為；（2）請證明任意“三拖一”數(shù)不能被3整除；（3）一個“三拖一”數(shù)與50的和的2倍與另一個小于5000不同的“三拖一”數(shù)與75的和的3倍的和正好能被13整除，求這兩個“三拖一”數(shù)．3．（2021·南充市第十中學(xué)校七年級期末）如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)分別是－1，1，點(diǎn)P是線段AB上一動點(diǎn)，給出如下定義：如果在數(shù)軸上存在動點(diǎn)Q，滿足|PQ|＝2，那么我們把這樣的點(diǎn)Q表示的數(shù)稱為連動數(shù)，特別地，當(dāng)點(diǎn)Q表示的數(shù)是整數(shù)時我們稱為連動整數(shù)．（1）在－2.5，0，2，3.5四個數(shù)中，連動數(shù)有；（直接寫出結(jié)果）（2）若k使得方程組中的x，y均為連動數(shù)，求k所有可能的取值；（3）若關(guān)于x的不等式組的解集中恰好有4個連動整數(shù)，求這4個連動整數(shù)的值及a的取值范圍．【考點(diǎn)】5：一元一次不等式的應(yīng)用1．（2021·安徽安慶市·七年級期末）甲、乙兩商場以同樣價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場累計購物超過100元后，超出100元的部分按90%收費(fèi)；在乙商場累計購物超過50元后，超出50元的部分按95%收費(fèi)．（1）若購買商品的標(biāo)價為200元，請計算說明在哪家商場購買劃算．（2）某顧客計劃采購一件某種商品，經(jīng)過測算選擇在乙商場購買更劃算，請問他購買的商品的標(biāo)價在什么范圍內(nèi)？2．（2021·渝中·重慶巴蜀中學(xué)）某玩具廠用A、B兩種主要材料，生產(chǎn)變形機(jī)器人和裝甲機(jī)器人兩種機(jī)器人，其中，每個變形機(jī)器人需要2.5千克A材料、2.5千克B材料：每個裝甲機(jī)器人需要1千克A材料、4千克B材料．每個機(jī)器人的成本價分別為所需兩種材料的成本價之和．若每個變形機(jī)器人售價375元，則利潤率為25%．兒童節(jié)來臨之際，廠家準(zhǔn)備生產(chǎn)若干變形機(jī)器人和裝甲機(jī)器人，兩種機(jī)器人的數(shù)量之和不超過150個．由于材料供應(yīng)商調(diào)整了原材料價格，A材料和B材料的單價剛好互換，則實(shí)際總成本比價格未變動之前的總成本少1500元，那么廠家在生產(chǎn)變形機(jī)器人和裝甲機(jī)器人時實(shí)際總成本最多為___________元．3．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶一中九年級期中）春暖花開，又到了踏青賞花的好季節(jié)，某植物園決定在今年4月份購進(jìn)一批花苗：繡球花苗、薔薇花苗、鐵線蓮花苗和月季花苗．己知每株繡球花苗的價格是每株薔薇花苗價格的，每株月季花苗的價格是每株鐵線蓮花苗價格的3倍．另外，購進(jìn)的繡球花苗數(shù)量是鐵線蓮花苗數(shù)量的2倍，薔薇花苗的數(shù)量是月季花苗數(shù)量的3倍，且鐵線蓮花苗和薔薇花苗的總數(shù)量不超過600株．已知一株繡球花苗和一株鐵線蓮花苗的價格之和為30元，最后，購進(jìn)繡球花苗和薔薇花苗的總費(fèi)用比鐵線蓮花苗和月季花苗的總費(fèi)用多14400元，則今年4月用于購進(jìn)鐵線蓮花苗和月季花苗的總費(fèi)用的最大值為______元．【考點(diǎn)】6：一元一次不等式組的應(yīng)用1．（2021·重慶七年級期末）“端午節(jié)”是我國的傳統(tǒng)佳節(jié)，民間歷來有吃粽子的習(xí)俗．某超市準(zhǔn)備了515個豆沙粽，525個火腿粽和若干個臘肉棕，將這些粽子分成了A,B,C三類禮品盒進(jìn)行包裝．A類禮品盒里有4個豆沙粽，4個火腿粽和6個臘肉粽；B類禮品盒里有3個豆沙粽，5個火腿粽和6個臘肉粽；C類禮品盒里有6個豆沙粽，4個火腿粽和4個臘肉粽．已知A,B,C三類禮品盒的數(shù)量都為正整數(shù)，并且A類禮品盒少于44盒，B類禮品盒少于49盒．如果所有禮品盒里的臘肉粽的總個數(shù)為m，則m=_______________2．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校七年級期末）小語爸爸開了一家茶葉專賣店，包裝設(shè)計專業(yè)畢業(yè)的小語為爸爸設(shè)計了一款紙質(zhì)長方體茶葉包包裝盒（紙片厚度不計）．如圖，陰影部分是裁剪掉的部分，沿圖中實(shí)線折疊做成的長方體紙盒的上下底面是正方形，有三處長方形形狀的“接口”用來折疊后粘貼或封蓋．

（1）若小語用長，寬的長方形紙片，恰好能做成一個符合要求的包裝盒，盒高是盒底邊長的倍，三處“接口”的寬度相等．則該茶葉盒的容積是多少？（2）小語爸爸的茶葉專賣店以每盒元購進(jìn)一批茶葉，按進(jìn)價增加作為售價，第一個月由于包裝粗糙，只售出不到一半但超過三分之一的量；第二個月采用了小語的包裝后，馬上售完了余下的茶葉，但每盒成本增加了元，售價仍不變，已知在整個買賣過程中共盈利元，求這批茶葉共進(jìn)了多少盒？3．（2021·四川）某農(nóng)谷生態(tài)園響應(yīng)國家發(fā)展有機(jī)農(nóng)業(yè)政策，大力種植有機(jī)蔬菜，某超市看好甲、乙兩種有機(jī)蔬菜的市場價值，經(jīng)調(diào)查甲種蔬菜進(jìn)價每千克元，售價每千克元；乙種蔬菜進(jìn)價每千克元，售價每千克元．（1）該超市購進(jìn)甲種蔬菜千克和乙種蔬菜千克需要元；購進(jìn)甲種蔬菜千克和乙種蔬菜千克需要元．求，的值．（2）該超市決定每天購進(jìn)甲、乙兩種蔬菜共千克，且投入資金不少于元又不多于元，設(shè)購買甲種蔬菜千克，求有哪幾種購買方案（3）在（2）的條件下，超市在獲得的利潤取得最大值時，決定售出的甲種蔬菜每千克捐出元，乙種蔬菜每千克捐出元給當(dāng)?shù)馗＠?，若要保證捐款后的利潤率不低于，求的最大值．【考點(diǎn)】7：一元二次不等式1．（2020·河南南陽市·七年級月考）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：例題：解一元二次不等式.解：∵，∴.由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，有（1）；（2）解不等式組（1），得x>3，解不等式組（2），得x<3，故的解集為x>3或x<3，即一元二次不等式的解集為x>3或x<3.問題：求分式不等式的解集.2．（2017·山西）自主學(xué)習(xí)，請閱讀下列解題過程．解一元二次不等式：＞0．解：設(shè)=0，解得：=0，=5，則拋物線y=與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）和（5，0）．畫出二次函數(shù)y=的大致圖象（如圖所示），由圖象可知：當(dāng)x＜0，或x＞5時函數(shù)圖象位于x軸上方，此時y＞0，即＞0，所以，一元二次不等式＞0的解集為：x＜0或x＞5．通過對上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問題：（1）上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的和．（只填序號）①轉(zhuǎn)化思想②分類討論思想③數(shù)形結(jié)合思想（2）一元二次不等式＜0的解集為．（3）用類似的方法解一元二次不等式：＞0．3．（2021·江蘇省鹽城中學(xué)新洋分校八年級月考）閱讀理解:材料1:對于一個關(guān)于x的二次三項(xiàng)式（）,除了可以利用配方法求該多項(xiàng)式的取值范圍外,還可以用其他的方法:比如先令（）,然后移項(xiàng)可得:,再利用一元二次方程根的判別式來確定y的取值范圍,請仔細(xì)閱讀下面的例子:例:求的取值范圍:解:令,,即;材料2:在學(xué)習(xí)完一元二次方程的解法后,愛思考的小明同學(xué)又想到類比一元二次方程的解法來解決一元二次不等式的解集問題,他的具體做法如下:若關(guān)于x的一元二次方程（）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根?（）,則關(guān)于x的一元二次不等式（）的解集為:或,則關(guān)于x的一元二次不等式（）的解集為:;請根據(jù)上述材料,解答下列問題:（1）若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式（a為常數(shù)）的最小值為6,則_____.（2）求出代數(shù)式的取值范圍．類比應(yīng)用:（3）猜想:若中,,斜邊（a為常數(shù),）,則_____時,最大,請證明你的猜想．不等式的性質(zhì)1．（2021·內(nèi)蒙古固陽縣·七年級期末）若，則下列不等式中，正確的是（）A． B． C． D．2．（2020·全國七年級課時練習(xí)）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)問題：已知，且，，試確定的取值范圍．問題解法：，．又，，．又，．①同理得．②由②①得，的取值范圍是．完成任務(wù)：（1）在數(shù)學(xué)問題中的條件下，寫出的取值范圍是_____．（2）已知，且，，試確定的取值范圍；（3）已知，，若成立，試確定的取值范圍（結(jié)果用含a的式子表示）．一元一次不等式（組）整數(shù)解3．（2021·廣東九年級期中）若不等式組的整數(shù)解共有三個，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（2019·四川成都市·石室中學(xué)）有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字，1，2的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中任意抽取一張，將該卡片正面上的數(shù)字記為a；不放回，再從中任意抽取一張，將該卡片正面朝上的數(shù)字記為b，則使關(guān)于x的不等式組的解集中有且只有2個非負(fù)整數(shù)的概率為__________．含參不等式5．（2021·四川）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是________．6．（2021·四川七年級期中）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為；且關(guān)于的方程有正整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之積是（）A．7 B． C．28 D．一元二次不等式7．（2021·山東淄博市·七年級期末）先閱讀理解下面的例題，再按要求完成后面的問題：例：解不等式（x﹣2）（x+1）＞0．解：由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)”得：①或②，解不等式組①，得：x＞2；解不等式組②，得：x＜﹣1．所以（x﹣2）（x+1）＞0的解集為x＞2或x＜﹣1．根據(jù)上述方法解一元二次不等式x2﹣4＞0．8．（2021·湖南九年級期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為整數(shù)且a≠0），對一切實(shí)數(shù)x恒有x≤y≤2x2+，則其解析式為________．新定義9．（2021·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校七年級期末）對、定義了一種新運(yùn)算T，規(guī)定（其中，均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：，已知，．（1）求，的值；（2）求．（3）若關(guān)于的不等式組恰好有4個整數(shù)解，求的取值范圍．10．（2021·江蘇七年級月考）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程．例如：方程的解為，不等式組的解集為，因?yàn)?，所以稱方程為不等式組的關(guān)聯(lián)方程．（1）在方程①；②；③中，不等式組的關(guān)聯(lián)方程是___________．（填序號）（2）若不等式組的一個關(guān)聯(lián)方程的解是整數(shù)，則這個關(guān)聯(lián)方程可以是___________．（寫出一個即可）（3）若方程都是關(guān)于的不等式組的關(guān)聯(lián)方程，求的取值范圍．一元一次不等式（組）的應(yīng)用11．（2021·湖北七年級期末）已知實(shí)數(shù)，，滿足，且有最大值，則的值是__________．12．（2021·四川七年級期末）閱讀理解：例1．解方程|x|＝2，因?yàn)樵跀?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為±2，所以方程|x|＝2的解為x＝±2．例2．解不等式|x﹣1|＞2，在數(shù)軸上找出|x﹣1|＝2的解（如圖），因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解為x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集為x＜﹣1或x＞3．參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程|x﹣2|＝3的解為；（2）解不等式：|x﹣2|≤1．（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．（4）對于任意數(shù)x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范圍．13．（2021·浙江七年級期中）如圖，已知是銳角，過點(diǎn)作射線，．（1）當(dāng)，且射線在的內(nèi)部時，找出圖中另一對成2倍關(guān)系的角，并說明理由；（2）當(dāng)射線在的外部時，探索，，之間的等量關(guān)系；（3）若，求的取值范圍．14．（2021·重慶市璧山區(qū)青杠初級中學(xué)校七年級期中）.某工廠計劃生產(chǎn)一批某種產(chǎn)品，數(shù)量不超過3500件.該產(chǎn)品由三部分組成，分別由廠里甲、乙、丙三個車間完成.三個車間于某天零時同時開