基本知識(shí)極坐標(biāo)和參數(shù)方程

高中數(shù)學(xué)回歸課本校本教材24〔一〕根底知識(shí)參數(shù)極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)定義：M是平面上一點(diǎn)，表示OM的長度，是，那么有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對(duì),叫極徑，叫極角；一般地，，。2.常見的曲線的極坐標(biāo)方程〔1〕直線過點(diǎn)M,傾斜角為常見的等量關(guān)系：正弦定理，；〔2〕圓心P半徑為R的極坐標(biāo)方程的等量關(guān)系：勾股定理或余弦定理；〔3〕圓錐曲線極坐標(biāo)：，當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線；當(dāng)時(shí)，方程表示拋物線；當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓.提醒：極點(diǎn)是焦點(diǎn)，一般不是直角坐標(biāo)下的坐標(biāo)原點(diǎn)。極坐標(biāo)方程表示的曲線是雙曲線3.參數(shù)方程：〔1〕圓的參數(shù)方程：〔2〕橢圓的參數(shù)方程：〔3〕直線過點(diǎn)M,傾斜角為的參數(shù)方程：即，即注：，據(jù)銳角三角函數(shù)定義，T幾何意義是有向線段的數(shù)量；如：將參數(shù)方程為參數(shù)化為普通方程為將代入即可，但是；如：直線為參數(shù)被圓截得的弦長為____直線為，弦長.4.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式：或，θ的象限由點(diǎn)(x,y)所在象限確定.〔1〕它們互化的條件那么是：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合.〔2〕將點(diǎn)變成直角坐標(biāo)，也可以根據(jù)幾何意義和三角函數(shù)的定義獲得。5.極坐標(biāo)的幾個(gè)注意點(diǎn)：〔1〕極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的必要條件是具有共同的坐標(biāo)原點(diǎn)(極點(diǎn))如：圓的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕，假設(shè)是圓與軸正半軸的交點(diǎn)，以圓心為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過點(diǎn)的圓的切線的極坐標(biāo)方程。如：拋物線，以焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求拋物線的極坐標(biāo)方程。即?！?〕對(duì)極坐標(biāo)中的極徑和參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義認(rèn)識(shí)缺乏如：橢圓的長軸長為6，焦距,過橢圓左焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M、N，設(shè),當(dāng)α為何值時(shí)，MN與橢圓短軸長相等？〔3〕直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)一般不要混合使用：如：某曲線的極坐標(biāo)方程為?！?〕將上述曲線方程化為普通方程；〔2〕假設(shè)點(diǎn)是該曲線上任意點(diǎn)，求的取值范圍?！捕掣居?jì)算1.求點(diǎn)的極坐標(biāo)：有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對(duì),叫極徑，叫極角；如：點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，那么點(diǎn)的極坐標(biāo)為提示：都是點(diǎn)的極坐標(biāo).2.求曲線軌跡的方程步驟：〔1〕建立坐標(biāo)系；〔2〕在曲線上取一點(diǎn)P；〔3〕寫出等式；〔4〕根據(jù)幾何意義用表示上述等式，并化簡〔注意：〕；〔5〕驗(yàn)證。如：長為的線段，其端點(diǎn)在軸和軸正方向上滑動(dòng)，從原點(diǎn)作這條線段的垂線，垂足為，求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程〔軸為極軸〕，再化為直角坐標(biāo)方程.解：設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，那么，且，，∴點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為.由可得，∴其直角坐標(biāo)方程為.3.求軌跡方程的常用方法：⑴直接法：直接通過建立、之間的關(guān)系，構(gòu)成,是求軌跡最根本的方法.⑵待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設(shè)所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),代回方程⑶代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法).如：從極點(diǎn)作圓的弦,求各弦中點(diǎn)的軌跡方程.解:設(shè)所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,圓上的動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)為由題設(shè)可知,,將其代入圓的方程得:.⑷定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足某曲線定義,那么可由曲線定義直接寫出方程.⑸交軌法(參數(shù)法)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到,也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí),可考慮將、均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程.4.參數(shù)和極徑的幾何意義的運(yùn)用：表示OM的長度；T幾何意義是有向線段的數(shù)量；如：過點(diǎn)的直線與軸正半軸、軸正半軸分別交于AB兩點(diǎn)，那么AB最小值為提示：設(shè)傾斜角為，那么或AB=，，那么，令，所以，，注意：此題可以取傾斜角的補(bǔ)角為如過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，求線段的長度.解：對(duì)此拋物線有，所以拋物線的極坐標(biāo)方程為，兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為和，，，∴.∴線段的長度為16.如一顆慧星的軌道是拋物線，太陽位于這條拋物線的焦點(diǎn)上.這慧星距太陽千米時(shí)，極半徑和軌道的軸成角.求這顆慧星軌道的極坐標(biāo)方程，并且求它的近日點(diǎn)離太陽的距離.解：以太陽的位置為極點(diǎn)，軌道的軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，設(shè)軌道的極坐標(biāo)方程為，因?yàn)闀r(shí)，，∴，∴，∴軌道的極坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，.∴這顆慧星軌道的極坐標(biāo)方程為，它的近日點(diǎn)離太陽的距離為千米.5.參數(shù)方程的應(yīng)用----求最值：如：點(diǎn)是