高等數(shù)學高數(shù)課件-92偏導數(shù)

一、偏導數(shù)的定義及其計算方法二、偏導數(shù)的幾何意義及函數(shù)偏導數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系三、高階偏導數(shù)第二節(jié)偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法由偏導數(shù)的定義，可以看出計算f關(guān)于x的偏導數(shù),可以先將y0固定,用一元函數(shù)求導的方法求導,再代入x0,即可求得fx(x0,y0)。因此由偏導數(shù)的定義可知，偏導數(shù)本質(zhì)上是一元函數(shù)的微分法問題。只要把x

之外的其他自變量暫時看成常量，對x

求導數(shù)即可。只要把y

之外的其他自變量暫時看成常量，對y

求導數(shù)即可。其它情況類似。偏導數(shù)的定義對自變量的偏導數(shù)為…偏導數(shù)的概念可推廣到二元以上的函數(shù).例如,三元函數(shù)在處的偏導數(shù)……注:上述定義表明,在求多元函數(shù)對某個自變量的只需把其余自變量看作常數(shù),然后直接利偏導數(shù)時,用一元函數(shù)的求導公式之.及復合函數(shù)求導法則來計算如在處例1.

求解法1:解法2:在點(1,2)處的偏導數(shù).例2設(shè)求證證因為所以原結(jié)論成立.例3的偏導數(shù)求三元函數(shù)解把和看作常數(shù),對求導得把和看作常數(shù),對求導得把和看作常數(shù),對求導得例4求的偏導數(shù).解把和看作常數(shù),對求導得利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性,可得偏導數(shù)記號是一個例5.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明1.偏導數(shù)是一個整體記號,不能拆分;2.求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求;例如，二元函數(shù)在點(0,0)處的偏導數(shù)為有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明二、偏導數(shù)的幾何意義

及函數(shù)偏導數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系1．幾何意義圖示2.偏導數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在

連續(xù)，高階偏導數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有偏導數(shù)則在內(nèi)和都是、的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)存在,則稱它們是函數(shù)的二階偏導數(shù).按照對變量求導次序的不同,共有下列四個二階偏導數(shù):高階偏導數(shù)其中第二、第三兩個偏導稱為混合偏導數(shù).類似地,可以定義三階、四階、.以及階偏導數(shù),我們把二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).例6設(shè)求及解例7解設(shè)求二階偏導數(shù).例8求的二階偏導數(shù).解例9滿足拉普驗證函數(shù)拉斯方程證例9滿足拉普驗證函數(shù)拉斯方程證例9滿足拉普驗證函數(shù)拉斯方程證可以看出關(guān)于y的偏導可通過互換變量x,y而得到。2）然后互換x,y后，若將函數(shù)的自變量互換后，函數(shù)的表達式不變，則稱該二元函數(shù)具有對稱性，即1）若將函數(shù)的自變量互換后，函數(shù)的表達式相反，則稱該二元函數(shù)具有反對稱性，即若具有對稱性，計算二階偏導數(shù)時，先計算出變得到若具有反對稱性，只需互換x,y后,再添加一個負號即可到關(guān)于y的三個偏導。例10證明函數(shù)滿足Laplace方程其中證由函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性,得x換y，y換z，z換x，表達式不變例10證明函數(shù)滿足Laplace方程其中證例10證明函數(shù)滿足Laplace方程其中證例11設(shè)試求及解因當時,例11設(shè)試求及解當時,例11設(shè)試求及解當時,例11設(shè)試求及解例11設(shè)試求及解所以例11設(shè)試求及解例11設(shè)試求及解同理有當時,例11設(shè)試求及解同理有例11設(shè)試求及解同理有所以我們有下面的定理：那么一個函數(shù)具有什么條件時，它的二階混合偏導數(shù)與求導的順序無關(guān)呢？則本定理對n

元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立。由上例我們可以看到，同一函數(shù)不同順序的同階混合偏導數(shù)未必相等。更一般地有如下的定理：類似,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導數(shù)可以選擇方便的求導順序。因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù),當三階混合偏導數(shù)在點(x,y,z)連續(xù)時,有而初等例12設(shè),計算（其中p,q為正整數(shù)）。因此，關(guān)于y用Leibniz公式得解:關(guān)于x再用一次Leibniz公式就得：命題：若f(x,y)在凸區(qū)域D上連續(xù)，對

(x,y)D，且f(x,y)在D上恒為一常數(shù)。在一元函數(shù)中，函數(shù)的導數(shù)為0，則此函數(shù)必恒為一個常數(shù)。則在二元函數(shù)中，若它的兩個偏導數(shù)都為0，此二元函數(shù)是否也恒為常數(shù)呢？答案是成立的，但要滿足一定的條件。有fx(x,y)=fy(x,y)=0,則命題：若f(x,y)在凸區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上恒為一常數(shù)。證：

(x1,y1),(x2,y2)D,利用單變量的拉格朗日定理由于在D上，fx(x,y)=fy(x,y)=0,便有f(x1,y1)=f(x2,y2)。故f(