高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修一）：圓與圓的位置關(guān)系-重難點(diǎn)題型檢測(cè)（教師版）

專(zhuān)題2.16圓與圓的位置關(guān)系-重難點(diǎn)題型檢測(cè)參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿(mǎn)分24分，每小題3分）1．（3分）（2021·廣東·高二期中）“a=?3”是“圓x2+y2=1A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系及充分條件，必要條件的概念進(jìn)行判斷即可得出答案.【解答過(guò)程】a=?3時(shí)，圓(x+a)2+y所以“a=?3”是兩圓相切的充分條件；若圓x2+y當(dāng)兩圓外切時(shí)，a=?3；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，解得a=1或a=?1，所以“a=?3”不是兩圓相切的必要條件，選項(xiàng)A正確.故選：A.2．（3分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩圓x2+y2=1和(x+2)A．(?∞,?42C．(?∞,?4【解題思路】根據(jù)圓心距與半徑和、半徑差的關(guān)系可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答過(guò)程】由已知，得兩圓的圓心分別為(0,0)，(?2,a)，半徑分別為1，5，故圓心距d=(0+2)因?yàn)閮蓤A沒(méi)有公共點(diǎn)（外離或內(nèi)含），所以a2+4<5?1或a2+4>5+1，解得故選：A.3．（3分）（2022·廣東汕頭·高二階段練習(xí)）圓O1:(x?1)2+A．23 B．26 C．32【解題思路】已知兩圓方程，可先讓兩圓方程作差，得到其公共弦的方程，然后再計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離，再結(jié)合勾股定理即可完成弦長(zhǎng)的求解.【解答過(guò)程】已知圓O1:(x?1)兩圓方程作差，得到其公共弦的方程為：AB：x?3y+12=0，而圓心O1到直線(xiàn)AB的距離為d=圓O1的半徑為27，所以12故選：D.4．（3分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知半徑為1的動(dòng)圓與圓x?52+y+7A．x?5B．x?52+C．x?5D．x?52+【解題思路】設(shè)動(dòng)圓圓心為x,y，兩半徑相加，內(nèi)切兩半徑相減，即可求解【解答過(guò)程】設(shè)動(dòng)圓圓心為x,y，若動(dòng)圓與已知圓外切，則x?52+y+72若動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，則x?52+y+72故選：D.5．（3分）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）與直線(xiàn)x?y?4=0和圓x+12+y?1A．x+12+y+1C．x?12+y+1【解題思路】求出過(guò)圓心與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程，所求圓的圓心在此直線(xiàn)上，又圓心到直線(xiàn)的距離可得所求圓的半徑，設(shè)所求圓的圓心為a,b，且圓心在直線(xiàn)x?y?4=0的左上方，利用a?b?42=2【解答過(guò)程】圓x+12+y?12=2過(guò)圓心?1,1與直線(xiàn)x?y?4=0垂直的直線(xiàn)方程為x+y=0，所求圓的圓心在此直線(xiàn)上，又圓心?1,1到直線(xiàn)x?y?4=0的距離為62=32設(shè)所求圓的圓心為a,b，且圓心在直線(xiàn)x+y=0的上，所以a?b?42=2，且a+b=0，解得a=1,b=?1（a=3,b=?3故選：C．6．（3分）（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓C1：x2+y2?10x?10y=0和圓A．公共弦長(zhǎng)為310 B．公共弦長(zhǎng)為C．公切線(xiàn)長(zhǎng)310 D．公切線(xiàn)長(zhǎng)【解題思路】根據(jù)已知條件求得公共弦所在直線(xiàn)方程，利用直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)的計(jì)算公式，即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)閳AC1的圓心為5,5，半徑r1=52；對(duì)圓C2圓心距C1C2=210故AB所在直線(xiàn)方程為：x2整理得：?x?3y+10=0，故C1到直線(xiàn)AB的距離d=故AB=2故選：B.7．（3分）（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P為直線(xiàn)2x+y?2=0上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C：x2+y2+2x+2y?2=0的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)四邊形PACBA．2x?y?1=0 B．2x+y?1=0C．2x?y+1=0 D．2x+y+1=0【解題思路】當(dāng)PC最小時(shí)，四邊形PACB的面積取得最小，此時(shí)PC：x?2y?1=0與聯(lián)立2x+y?2=0聯(lián)立求得P1,0，和PC的中點(diǎn)坐標(biāo)及PC，可得以PC為直徑的圓的方程與圓C【解答過(guò)程】由于PA，PB是圓C：x+12+y+12=4所以SPACB=2S當(dāng)PC最小時(shí)，四邊形PACB的面積取得最小，此時(shí)PC：y+1=12x+1聯(lián)立x?2y?1=0,2x+y?2=0,得x=1,y=0,所以PC的中點(diǎn)為0,?12，以PC為直徑的圓的方程為x2即x2與圓C：x2+y2+2x+2y?2=0故選：B．8．（3分）（2021·重慶市高二期中）我校?；沾砣N德性：一是虛心，代表學(xué)習(xí)；二是不斷，代表工作；三是精誠(chéng)團(tuán)結(jié)，代表最后勝利.如圖，這三個(gè)圓可看作半徑為2，且過(guò)彼此圓心的圓，圓心分別是O1、O2、O3（都在坐標(biāo)軸上），l1是圓O1與圓O3位于左下方的公切線(xiàn)，l2是圓O1與圓O2位于右下方的公切線(xiàn)，點(diǎn)P在圓O1上運(yùn)動(dòng)，M、N分別在l1A．2,6 B．3,43 C．23【解題思路】求出直線(xiàn)l1、l2的方程，設(shè)點(diǎn)P2【解答過(guò)程】連接O1O2、O1O3，設(shè)直線(xiàn)l1分別切圓O1、圓O3由題意可知，△O1O由于三個(gè)圓心O1、O2、O3都在坐標(biāo)軸上，則O所以，O10,3、O2?1,0、O由圓的幾何性質(zhì)可知O1E⊥l1，O3所以，l1//O1O3，同理可證設(shè)直線(xiàn)l1的方程為y=?3x+b因?yàn)橹本€(xiàn)l1與圓O1相切，則3?b2=2所以，直線(xiàn)l1的方程為y=?3x+同理可求得直線(xiàn)l2的方程為3設(shè)點(diǎn)P2cos=2+2sinPN=所以，PM=4+sin故選：A.二．多選題（共4小題，滿(mǎn)分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓O1的方程為x?a2+y?b2=4，圓O2的方程為xA．外離 B．外切 C．內(nèi)含 D．內(nèi)切【解題思路】根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．【解答過(guò)程】由題意可得圓心O1a,b，半徑r1=2，圓心O2故選：ABD．10．（4分）（2022·江蘇南通·高二期末）已知圓O1：x2+y2=5和圓O2：(x?4)2+y2A．|AB|=4B．過(guò)O2作圓O1C．過(guò)點(diǎn)A且與圓O2相切的直線(xiàn)方程為D．圓O1的弦AC交圓O2于點(diǎn)D，D為AC的中點(diǎn)，則AC【解題思路】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再結(jié)合圓的性質(zhì)逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.【解答過(guò)程】依題意，由x2+y2=5圓O1的圓心O1(0,0)，半徑r1=5，圓|AB|=4，A正確；過(guò)O2作圓O1的切線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)為直線(xiàn)AO2的斜率為k=2?01?4=?23，過(guò)點(diǎn)A即3x?2y+1=0，C正確；因D為圓O1的弦AC的中點(diǎn)，則O1D⊥AC，于是得點(diǎn)D在以線(xiàn)段O而點(diǎn)D在圓O2上，則由x(x?1)+y(y?2)=0(x?4)2+y2=13故選：ACD.11．（4分）（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）圓Q1:x2+y2?2x=0和圓A．公共弦AB所在直線(xiàn)的方程為x?y=0B．線(xiàn)段AB中垂線(xiàn)方程為x+y?1=0C．公共弦AB的長(zhǎng)為2D．P為圓Q1上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線(xiàn)AB距離的最大值為【解題思路】?jī)蓤A方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A的正誤，求出圓Q1的圓心坐標(biāo)后求出垂直平分線(xiàn)的方程后可判斷B的正誤，利用垂徑定理計(jì)算弦長(zhǎng)后可判斷C的正誤，求出Q【解答過(guò)程】對(duì)于A，因?yàn)閳AQ1:x兩式作差可得公共弦AB所在直線(xiàn)的方程為4x?4y=0，即x?y=0，故A正確；對(duì)于B，圓Q1:x則線(xiàn)段AB中垂線(xiàn)的斜率為?1，即線(xiàn)段AB中垂線(xiàn)方程為y?0=?1×(x?1)，整理可得x+y?1=0，故B正確；對(duì)于C，圓心Q1(1,0)到x?y=0的距離為又圓Q1的半徑r=1，所以|AB|=2對(duì)于D，P為圓Q1上一動(dòng)點(diǎn)，圓心Q1(1,0)到x?y=0又圓Q1的半徑r=1，所以P到直線(xiàn)AB距離的最大值為2故選：ABD.12．（4分）（2022·江蘇·高二開(kāi)學(xué)考試）已知圓C1:x?12+A．若圓C2與x軸相切，則B．若m=?3，則圓C1與圓C2相離C．若圓C1與圓C2有公共弦，則公共弦所在的直線(xiàn)方程為4x+D．直線(xiàn)kx?y?2k+1=0與圓C1始終有兩個(gè)交點(diǎn)【解題思路】對(duì)A，圓心到x軸的距離等于半徑判斷即可；對(duì)B，根據(jù)圓心間的距離與半徑之和的關(guān)系判斷即可；對(duì)C，根據(jù)兩圓有公共弦，兩圓的方程相減可得公共弦所在直線(xiàn)方程求解即可；對(duì)D，根據(jù)直線(xiàn)kx?y?2k+1=0過(guò)定點(diǎn)2,1以及2,1在圓C1內(nèi)判斷即可.【解答過(guò)程】因?yàn)镃1:(x?1)對(duì)A，故若圓C2與x軸相切，則有|m|=2對(duì)B，當(dāng)m=?3時(shí)，C1對(duì)C，由兩圓有公共弦，兩圓的方程相減可得公共弦所在直線(xiàn)方程4x+(6?2m)y+m對(duì)D，直線(xiàn)kx?y?2k+1=0過(guò)定點(diǎn)2,1，而(2?1)2+(1?3)2=5<11，故點(diǎn)2,1在圓C故選：BD.三．填空題（共4小題，滿(mǎn)分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·福建莆田·高一階段練習(xí)）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M2,?2以及圓x2+y2?6x=0與【解題思路】方法一，按照?qǐng)A系方程設(shè)為x2+y2?6x+λx2+【解答過(guò)程】方法一：將x2+y2=4化為一般式x此圓經(jīng)過(guò)M2,?2,代入上述方程得4(1所以該圓的方程為2x2+2方法二：圓x2+y2?6x=0與x設(shè)所求圓的方程為x?a2+y2=r2，則2故答案為：x214．（4分）（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若圓x2+y2=1與圓x?a【解題思路】根據(jù)兩圓外切半徑之和等于圓心距即可求解.【解答過(guò)程】?jī)蓤A有三條公切線(xiàn)，則兩圓外切，∴a2+故答案為：3.15．（4分）（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）設(shè)兩圓C1：x2+y【解題思路】利用兩圓的方程相減即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)閳AC1：x由①?②得，所以?xún)蓤A的公共弦所在的直線(xiàn)方程為2x?4y?1=0.故答案為：2x?4y?1=0.16．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓C1:x?a2+y?a2=8a>0與圓C【解題思路】根據(jù)兩圓無(wú)公共點(diǎn),可知兩圓相離或者內(nèi)涵,故根據(jù)圓心距和兩圓半徑的關(guān)系即可求解.【解答過(guò)程】圓C1的圓心為C1a,a，半徑r1=22，圓圓心距C1因?yàn)閮蓤A沒(méi)有公共點(diǎn)，所以?xún)蓤A外離或內(nèi)含，則C1C2>r1+又因?yàn)閍>0，所以0<a<2或a>4．故答案為:0<a<2或a>4．四．解答題（共6小題，滿(mǎn)分44分）17．（6分）（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓C:x2?6x+y2?6y+3=0，直線(xiàn)l:x+y?2=0是圓E與圓C的公共弦(1)求公共弦AB的長(zhǎng)度；(2)求圓E的方程．【解題思路】（1）由題可得圓心和半徑，利用弦長(zhǎng)公式即求；（2）由題可設(shè)Ea,2a，進(jìn)而可得E0,0，再利用弦長(zhǎng)可得圓E的半徑，即求；或由題可設(shè)圓E的方程為【解答過(guò)程】（1）由圓C:x2?6x+所以圓心C3,3，半徑為15，又直線(xiàn)l:x+y?2=0∴圓心C3,3到直線(xiàn)l:x+y?2=0的距離為3+3?2∴公共弦AB的長(zhǎng)度為215?8（2）方法一：由題可設(shè)Ea,2a，則CE⊥l∴2a?3a?3=1，解得a=0，即又E0,0到直線(xiàn)l:x+y?2=0的距離為?2所以圓E的半徑為22∴圓E的方程為x2方法二：由題可設(shè)圓E的方程為x2即x2+y2?∴6?λ2=2×6?λ∴圓E的方程為x218．（6分）（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）已知圓C1:x(1)求圓C1與圓C(2)求過(guò)兩圓的交點(diǎn)且圓心在直線(xiàn)2x+4y=1上的圓的方程.【解題思路】（1）將兩圓方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圓心C1（2）解法一：設(shè)過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓為x2+y2?4x+2y+λx2+【解答過(guò)程】（1）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線(xiàn)方程，即x2+y所以圓C1的圓心0,1到直線(xiàn)x?y?1=0的距離為d=則AB22=所以公共弦長(zhǎng)為23（2）解法一：設(shè)過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓為x2則x2由圓心21+λ,?1?λ1+λ在直線(xiàn)2x+4y=1上，則所求圓的方程為x2+y解法二：由（1）得y=x?1，代入圓C2化簡(jiǎn)可得2x2?4x?1=0當(dāng)x=2+62時(shí)，y=62設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為a,b，則a?2+62所以r2所以過(guò)兩圓的交點(diǎn)且圓心在直線(xiàn)2x+4y=1上的圓的方程為x?319．（8分）（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓C1：x(1)求證：圓C1與圓C(2)求兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程；(3)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)x+y?6=0上的圓的方程．【解題思路】（1）將兩圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心距，即可證明；（2）將兩圓方程作差，即可求出公共弦方程；（3）首先求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)圓心為P6?n,n，根據(jù)AP=BP【解答過(guò)程】（1）證明：圓C2：x2+∴C2∵圓C1:x2+∴C∵4?10<2（2）解：由圓C1:x將兩圓方程相減，可得2x+2y?4=0，即兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程為x+y?2=0；（3）解：由x2+y則交點(diǎn)為A3,?1，B∵圓心在直線(xiàn)x+y?6=0上，設(shè)圓心為P6?n,n則AP=BP，即6?n?32故圓心P3,3，半徑r=∴所求圓的方程為(x?3)220．（8分）（2021·江蘇省高二階段練習(xí)）已知圓C1：x2+y2?4x?2y?3=0，圓C2（1）若m=1，判斷圓C1與C（2）設(shè)圓C1與圓C2的公共弦所在直線(xiàn)為l，且圓C2的圓心到直線(xiàn)l的距離為22，求直線(xiàn)l【解題思路】（1）由m=1，分別得到圓C1和圓C（2）先得到兩圓公共弦所在直線(xiàn)l的方程，再利用弦長(zhǎng)公式求解.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)m=1時(shí)，由x2+y由x2+y∴圓C1的圓心C12,1，半徑r1=22，圓∴圓心距C1因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，所以公切線(xiàn)只有一條，兩圓的公切線(xiàn)方程可由兩圓方程相減得到：x+y+1=0；（2）兩圓公共弦所在直線(xiàn)l的方程為：2x+2y?m+3=0，圓C2的圓心C21,0到直線(xiàn)l于是m?5=2，m=3或7(舍)所以直線(xiàn)l的方程為x+y=0；因?yàn)閳AC2半徑r2=2由勾股定理可得半弦長(zhǎng)為r2所以公共弦長(zhǎng)為14.21．（8分）（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若圓C1:x(1)求m的值；(2)若圓C1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在圓C1上，直線(xiàn)PA與y軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形【解題思路】（1）分別求得圓C1、C（2）由題意求得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，即可求得直線(xiàn)PA的、PB的方程，進(jìn)而可求得【解答過(guò)程】（1）由題意得：圓C1的圓心坐標(biāo)(0,0)，半徑為m圓C2整理可得(x?3)2+由兩圓外切得(3?0)2+(4?0)（2）由題意得：點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,2)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,則直線(xiàn)PA的方程為y=y0x0?2所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,2y02?x則四邊形ABNM的面積S==12?由點(diǎn)P在圓上，可得x0所以四邊形ABNM的面積S=4即四邊形ABNM的面積為定值4．22．（8分）（2022·江蘇·高二）在①直線(xiàn)l與⊙B、⊙C均相切，②直線(xiàn)l截⊙A、⊙B、⊙C所得的弦長(zhǎng)均相等，這兩個(gè)條件中任選一