高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（選擇性必修一）：圓與圓的位置關系-重難點題型檢測（教師版）

專題2.16圓與圓的位置關系-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2021·廣東·高二期中）“a=?3”是“圓x2+y2=1A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)圓與圓的位置關系及充分條件，必要條件的概念進行判斷即可得出答案.【解答過程】a=?3時，圓(x+a)2+y所以“a=?3”是兩圓相切的充分條件；若圓x2+y當兩圓外切時，a=?3；當兩圓內(nèi)切時，解得a=1或a=?1，所以“a=?3”不是兩圓相切的必要條件，選項A正確.故選：A.2．（3分）（2022·全國·高二課時練習）已知兩圓x2+y2=1和(x+2)A．(?∞,?42C．(?∞,?4【解題思路】根據(jù)圓心距與半徑和、半徑差的關系可求實數(shù)a的取值范圍.【解答過程】由已知，得兩圓的圓心分別為(0,0)，(?2,a)，半徑分別為1，5，故圓心距d=(0+2)因為兩圓沒有公共點（外離或內(nèi)含），所以a2+4<5?1或a2+4>5+1，解得故選：A.3．（3分）（2022·廣東汕頭·高二階段練習）圓O1:(x?1)2+A．23 B．26 C．32【解題思路】已知兩圓方程，可先讓兩圓方程作差，得到其公共弦的方程，然后再計算圓心到直線的距離，再結(jié)合勾股定理即可完成弦長的求解.【解答過程】已知圓O1:(x?1)兩圓方程作差，得到其公共弦的方程為：AB：x?3y+12=0，而圓心O1到直線AB的距離為d=圓O1的半徑為27，所以12故選：D.4．（3分）（2022·全國·高二課時練習）已知半徑為1的動圓與圓x?52+y+7A．x?5B．x?52+C．x?5D．x?52+【解題思路】設動圓圓心為x,y，兩半徑相加，內(nèi)切兩半徑相減，即可求解【解答過程】設動圓圓心為x,y，若動圓與已知圓外切，則x?52+y+72若動圓與已知圓內(nèi)切，則x?52+y+72故選：D.5．（3分）（2023·全國·高三專題練習）與直線x?y?4=0和圓x+12+y?1A．x+12+y+1C．x?12+y+1【解題思路】求出過圓心與直線垂直的直線方程，所求圓的圓心在此直線上，又圓心到直線的距離可得所求圓的半徑，設所求圓的圓心為a,b，且圓心在直線x?y?4=0的左上方，利用a?b?42=2【解答過程】圓x+12+y?12=2過圓心?1,1與直線x?y?4=0垂直的直線方程為x+y=0，所求圓的圓心在此直線上，又圓心?1,1到直線x?y?4=0的距離為62=32設所求圓的圓心為a,b，且圓心在直線x+y=0的上，所以a?b?42=2，且a+b=0，解得a=1,b=?1（a=3,b=?3故選：C．6．（3分）（2022·全國·高二專題練習）已知圓C1：x2+y2?10x?10y=0和圓A．公共弦長為310 B．公共弦長為C．公切線長310 D．公切線長【解題思路】根據(jù)已知條件求得公共弦所在直線方程，利用直線截圓所得弦長的計算公式，即可求得結(jié)果.【解答過程】因為圓C1的圓心為5,5，半徑r1=52；對圓C2圓心距C1C2=210故AB所在直線方程為：x2整理得：?x?3y+10=0，故C1到直線AB的距離d=故AB=2故選：B.7．（3分）（2022·全國·高二專題練習）設點P為直線2x+y?2=0上的點，過點P作圓C：x2+y2+2x+2y?2=0的兩條切線，切點分別為A，B，當四邊形PACBA．2x?y?1=0 B．2x+y?1=0C．2x?y+1=0 D．2x+y+1=0【解題思路】當PC最小時，四邊形PACB的面積取得最小，此時PC：x?2y?1=0與聯(lián)立2x+y?2=0聯(lián)立求得P1,0，和PC的中點坐標及PC，可得以PC為直徑的圓的方程與圓C【解答過程】由于PA，PB是圓C：x+12+y+12=4所以SPACB=2S當PC最小時，四邊形PACB的面積取得最小，此時PC：y+1=12x+1聯(lián)立x?2y?1=0,2x+y?2=0,得x=1,y=0,所以PC的中點為0,?12，以PC為直徑的圓的方程為x2即x2與圓C：x2+y2+2x+2y?2=0故選：B．8．（3分）（2021·重慶市高二期中）我校?；沾砣N德性：一是虛心，代表學習；二是不斷，代表工作；三是精誠團結(jié)，代表最后勝利.如圖，這三個圓可看作半徑為2，且過彼此圓心的圓，圓心分別是O1、O2、O3（都在坐標軸上），l1是圓O1與圓O3位于左下方的公切線，l2是圓O1與圓O2位于右下方的公切線，點P在圓O1上運動，M、N分別在l1A．2,6 B．3,43 C．23【解題思路】求出直線l1、l2的方程，設點P2【解答過程】連接O1O2、O1O3，設直線l1分別切圓O1、圓O3由題意可知，△O1O由于三個圓心O1、O2、O3都在坐標軸上，則O所以，O10,3、O2?1,0、O由圓的幾何性質(zhì)可知O1E⊥l1，O3所以，l1//O1O3，同理可證設直線l1的方程為y=?3x+b因為直線l1與圓O1相切，則3?b2=2所以，直線l1的方程為y=?3x+同理可求得直線l2的方程為3設點P2cos=2+2sinPN=所以，PM=4+sin故選：A.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高二課時練習）已知圓O1的方程為x?a2+y?b2=4，圓O2的方程為xA．外離 B．外切 C．內(nèi)含 D．內(nèi)切【解題思路】根據(jù)圓心距與半徑的關系，二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．【解答過程】由題意可得圓心O1a,b，半徑r1=2，圓心O2故選：ABD．10．（4分）（2022·江蘇南通·高二期末）已知圓O1：x2+y2=5和圓O2：(x?4)2+y2A．|AB|=4B．過O2作圓O1C．過點A且與圓O2相切的直線方程為D．圓O1的弦AC交圓O2于點D，D為AC的中點，則AC【解題思路】根據(jù)給定條件，求出點A，B的坐標，再結(jié)合圓的性質(zhì)逐項分析、計算判斷作答.【解答過程】依題意，由x2+y2=5圓O1的圓心O1(0,0)，半徑r1=5，圓|AB|=4，A正確；過O2作圓O1的切線，切線長為直線AO2的斜率為k=2?01?4=?23，過點A即3x?2y+1=0，C正確；因D為圓O1的弦AC的中點，則O1D⊥AC，于是得點D在以線段O而點D在圓O2上，則由x(x?1)+y(y?2)=0(x?4)2+y2=13故選：ACD.11．（4分）（2022·全國·高二專題練習）圓Q1:x2+y2?2x=0和圓A．公共弦AB所在直線的方程為x?y=0B．線段AB中垂線方程為x+y?1=0C．公共弦AB的長為2D．P為圓Q1上一動點，則P到直線AB距離的最大值為【解題思路】兩圓方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A的正誤，求出圓Q1的圓心坐標后求出垂直平分線的方程后可判斷B的正誤，利用垂徑定理計算弦長后可判斷C的正誤，求出Q【解答過程】對于A，因為圓Q1:x兩式作差可得公共弦AB所在直線的方程為4x?4y=0，即x?y=0，故A正確；對于B，圓Q1:x則線段AB中垂線的斜率為?1，即線段AB中垂線方程為y?0=?1×(x?1)，整理可得x+y?1=0，故B正確；對于C，圓心Q1(1,0)到x?y=0的距離為又圓Q1的半徑r=1，所以|AB|=2對于D，P為圓Q1上一動點，圓心Q1(1,0)到x?y=0又圓Q1的半徑r=1，所以P到直線AB距離的最大值為2故選：ABD.12．（4分）（2022·江蘇·高二開學考試）已知圓C1:x?12+A．若圓C2與x軸相切，則B．若m=?3，則圓C1與圓C2相離C．若圓C1與圓C2有公共弦，則公共弦所在的直線方程為4x+D．直線kx?y?2k+1=0與圓C1始終有兩個交點【解題思路】對A，圓心到x軸的距離等于半徑判斷即可；對B，根據(jù)圓心間的距離與半徑之和的關系判斷即可；對C，根據(jù)兩圓有公共弦，兩圓的方程相減可得公共弦所在直線方程求解即可；對D，根據(jù)直線kx?y?2k+1=0過定點2,1以及2,1在圓C1內(nèi)判斷即可.【解答過程】因為C1:(x?1)對A，故若圓C2與x軸相切，則有|m|=2對B，當m=?3時，C1對C，由兩圓有公共弦，兩圓的方程相減可得公共弦所在直線方程4x+(6?2m)y+m對D，直線kx?y?2k+1=0過定點2,1，而(2?1)2+(1?3)2=5<11，故點2,1在圓C故選：BD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·福建莆田·高一階段練習）求經(jīng)過點M2,?2以及圓x2+y2?6x=0與【解題思路】方法一，按照圓系方程設為x2+y2?6x+λx2+【解答過程】方法一：將x2+y2=4化為一般式x此圓經(jīng)過M2,?2,代入上述方程得4(1所以該圓的方程為2x2+2方法二：圓x2+y2?6x=0與x設所求圓的方程為x?a2+y2=r2，則2故答案為：x214．（4分）（2022·江蘇·高二課時練習）若圓x2+y2=1與圓x?a【解題思路】根據(jù)兩圓外切半徑之和等于圓心距即可求解.【解答過程】兩圓有三條公切線，則兩圓外切，∴a2+故答案為：3.15．（4分）（2022·江蘇·高二階段練習）設兩圓C1：x2+y【解題思路】利用兩圓的方程相減即可求解.【解答過程】因為圓C1：x由①?②得，所以兩圓的公共弦所在的直線方程為2x?4y?1=0.故答案為：2x?4y?1=0.16．（4分）（2022·全國·高二課時練習）已知圓C1:x?a2+y?a2=8a>0與圓C【解題思路】根據(jù)兩圓無公共點,可知兩圓相離或者內(nèi)涵,故根據(jù)圓心距和兩圓半徑的關系即可求解.【解答過程】圓C1的圓心為C1a,a，半徑r1=22，圓圓心距C1因為兩圓沒有公共點，所以兩圓外離或內(nèi)含，則C1C2>r1+又因為a>0，所以0<a<2或a>4．故答案為:0<a<2或a>4．四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·江蘇·高二課時練習）已知圓C:x2?6x+y2?6y+3=0，直線l:x+y?2=0是圓E與圓C的公共弦(1)求公共弦AB的長度；(2)求圓E的方程．【解題思路】（1）由題可得圓心和半徑，利用弦長公式即求；（2）由題可設Ea,2a，進而可得E0,0，再利用弦長可得圓E的半徑，即求；或由題可設圓E的方程為【解答過程】（1）由圓C:x2?6x+所以圓心C3,3，半徑為15，又直線l:x+y?2=0∴圓心C3,3到直線l:x+y?2=0的距離為3+3?2∴公共弦AB的長度為215?8（2）方法一：由題可設Ea,2a，則CE⊥l∴2a?3a?3=1，解得a=0，即又E0,0到直線l:x+y?2=0的距離為?2所以圓E的半徑為22∴圓E的方程為x2方法二：由題可設圓E的方程為x2即x2+y2?∴6?λ2=2×6?λ∴圓E的方程為x218．（6分）（2022·遼寧·高二階段練習）已知圓C1:x(1)求圓C1與圓C(2)求過兩圓的交點且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程.【解題思路】（1）將兩圓方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圓心C1（2）解法一：設過兩圓的交點的圓為x2+y2?4x+2y+λx2+【解答過程】（1）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，即x2+y所以圓C1的圓心0,1到直線x?y?1=0的距離為d=則AB22=所以公共弦長為23（2）解法一：設過兩圓的交點的圓為x2則x2由圓心21+λ,?1?λ1+λ在直線2x+4y=1上，則所求圓的方程為x2+y解法二：由（1）得y=x?1，代入圓C2化簡可得2x2?4x?1=0當x=2+62時，y=62設所求圓的圓心坐標為a,b，則a?2+62所以r2所以過兩圓的交點且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程為x?319．（8分）（2022·江蘇·高二課時練習）已知圓C1：x(1)求證：圓C1與圓C(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；(3)求經(jīng)過兩圓交點，且圓心在直線x+y?6=0上的圓的方程．【解題思路】（1）將兩圓方程化成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再求出圓心距，即可證明；（2）將兩圓方程作差，即可求出公共弦方程；（3）首先求出兩圓的交點坐標，設圓心為P6?n,n，根據(jù)AP=BP【解答過程】（1）證明：圓C2：x2+∴C2∵圓C1:x2+∴C∵4?10<2（2）解：由圓C1:x將兩圓方程相減，可得2x+2y?4=0，即兩圓公共弦所在直線的方程為x+y?2=0；（3）解：由x2+y則交點為A3,?1，B∵圓心在直線x+y?6=0上，設圓心為P6?n,n則AP=BP，即6?n?32故圓心P3,3，半徑r=∴所求圓的方程為(x?3)220．（8分）（2021·江蘇省高二階段練習）已知圓C1：x2+y2?4x?2y?3=0，圓C2（1）若m=1，判斷圓C1與C（2）設圓C1與圓C2的公共弦所在直線為l，且圓C2的圓心到直線l的距離為22，求直線l【解題思路】（1）由m=1，分別得到圓C1和圓C（2）先得到兩圓公共弦所在直線l的方程，再利用弦長公式求解.【解答過程】（1）當m=1時，由x2+y由x2+y∴圓C1的圓心C12,1，半徑r1=22，圓∴圓心距C1因為兩圓內(nèi)切，所以公切線只有一條，兩圓的公切線方程可由兩圓方程相減得到：x+y+1=0；（2）兩圓公共弦所在直線l的方程為：2x+2y?m+3=0，圓C2的圓心C21,0到直線l于是m?5=2，m=3或7(舍)所以直線l的方程為x+y=0；因為圓C2半徑r2=2由勾股定理可得半弦長為r2所以公共弦長為14.21．（8分）（2022·江蘇·高二課時練習）若圓C1:x(1)求m的值；(2)若圓C1與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，P為第三象限內(nèi)一點且在圓C1上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形【解題思路】（1）分別求得圓C1、C（2）由題意求得A、B點坐標，設P點坐標為(x0,y0)，即可求得直線PA的、PB的方程，進而可求得【解答過程】（1）由題意得：圓C1的圓心坐標(0,0)，半徑為m圓C2整理可得(x?3)2+由兩圓外切得(3?0)2+(4?0)（2）由題意得：點A坐標為(2,0)，點B坐標為(0,2)，設P點坐標為(x0,則直線PA的方程為y=y0x0?2所以點M的坐標為0,2y02?x則四邊形ABNM的面積S==12?由點P在圓上，可得x0所以四邊形ABNM的面積S=4即四邊形ABNM的面積為定值4．22．（8分）（2022·江蘇·高二）在①直線l與⊙B、⊙C均相切，②直線l截⊙A、⊙B、⊙C所得的弦長均相等，這兩個條件中任選一