曲線與方程同步練習 高二上學期數(shù)學人教B版（2019）選擇性必修第一冊

2.4曲線與方程一、必備知識基礎(chǔ)練1.在平面直角坐標系xOy中,動點P關(guān)于x軸對稱的點為Q,且OP·A.x2+y2=2 B.x2-y2=2C.x+y2=2 D.x-y2=22.方程x2+y2=1(xy<0)的曲線形狀是()3.已知0≤α<2π,點P(cosα,sinα)在曲線(x-2)2+y2=3上,則α的值為()A.π3 B.C.π3或5π4.已知A(2,1),B(2,-1),O為坐標原點,動點P(x,y)滿足OP=mOA+nOB,其中m,n∈R,且m2+n2=12A.x2+y24=1 B.x2C.x2-y24=1 D.x25.曲線x2+y2+2x=0與曲線y+|x|=0的交點個數(shù)是.6.已知圓O1:x2+y2=1和圓O2:(x-4)2+y2=4,過點P(x,y)分別作O1,O2的切線PA,PB,其中A,B為切點,且|PA|=|PB|,則動點P的軌跡方程為.7.動點P與平面上兩定點A(-2,0),B(2,0)連線的斜率的積為定值-12,則動點P的軌跡方程為8.已知圓M經(jīng)過原點和點(3,-1),且它的圓心M在直線2x+y-5=0上.(1)求圓M的方程;(2)若點D為圓M上的動點,定點C(2,0),求線段CD的中點P的軌跡方程.二、關(guān)鍵能力提升練9.阿波羅尼斯(約公元前262—190年)證明過這樣一個命題:在平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點A,B間的距離為2,動點P滿足|PA||A.2 B.2 C.22 D.410.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如圖).曲線C上任意一點到原點的距離的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.211.(多選題)在平面直角坐標系中,曲線C上任意一點P與兩個定點A(-2,0)和B(2,0)連線的斜率之和恒等于2,則關(guān)于曲線C的結(jié)論正確的是()A.曲線C是軸對稱圖形B.曲線C上所有的點都在圓x2+y2=2外C.曲線C是中心對稱圖形D.曲線C上所有點的橫坐標的絕對值都大于212.在平面直角坐標系xOy中,已知M(-1,2),N(1,0),動點P滿足|PM·ON|=|PN|,則動點P的軌跡方程是13.已知A(-2,0),B(1,0)兩點,動點P不在x軸上,且滿足∠APO=∠BPO,其中O為原點,則點P的軌跡方程是.14.已知P為圓(x+2)2+y2=1上的動點,O為坐標原點,M為線段OP的中點,求點M的軌跡方程,并指出軌跡曲線的形狀.15.在邊長為1的正方形ABCD中,邊AB,BC上分別有一個動點Q,R,且|BQ|=|CR|.求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程.16.求由曲線x2+y2=|x|+|y|圍成的圖形的面積.17.已知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓O:x2+y2=1,動點M到圓O的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)λ(λ>0),求動點M的軌跡方程,并指出軌跡曲線的形狀.參考答案一、必備知識基礎(chǔ)練1.B設P(x,y),則Q(x,-y).因為OP·OQ=2,所以x2-y2=2.2.C方程x2+y2=1(xy<0)表示以原點為圓心,1為半徑的圓在第二、四象限的部分.3.C由(cosα-2)2+sin2α=3,得cosα=12又0≤α<2π,∴α=π34.B由題意得(x,y)=(2m+2n,m-n),∴x=2m+2n,y=m-n,∴m=x+2y4∵m2+n2=12∴(x+2y4)2+(x-2y4)2=125.2由x2+y2+2x6.x=138設P(x,y),則由|PA|=|PB|,得|PA|2=|PB|2,所以x2+y2-1=(x-4)2+y2-4,化簡得x=137.x2+2y2-2=0(x≠±2)設P(x,y),由題意知,x≠±2,kAP=yx+2,kBP=yx-2,由條件知kAP·kBP=-12,所以yx+2·y8.解(1)設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),則圓心M(-D2,-E依題意得F=0,所以圓M的方程為x2+y2-4x-2y=0.(2)設P(x,y),D(x1,y1),依題意得x點D(x1,y1)為圓M上的動點,得(2x-2)2+(2y)2-4(2x-2)-2(2y)=0,化簡得P的軌跡方程為x2+y2-4x-y+3=0.二、關(guān)鍵能力提升練9.C設經(jīng)過點A,B的直線為x軸,AB的方向為x軸正方向,線段AB的垂直平分線為y軸,線段AB的中點O為原點,建立平面直角坐標系,則A(-1,0),B(1,0).設P(x,y),∵|PA||PB|=2,∴(x+1)2要使△PAB的面積最大,只需點P到AB(x軸)的距離最大,此時面積為12×2×22=22.故選C10.B∵圖形關(guān)于y軸對稱,∴只考慮x≥0的情況,此時曲線C:x2+y2=1+xy,曲線C上任意一點P(x,y)到原點距離d=x2當x=0時,y=±1,∴d=1;當x>0時,x2+y2=1+xy≤1+x2+y22?x2+y2≤2?d≤2,∴11.BC設P(x,y),依題意有yx+2+yx-2=2,整理,得x2=xy+4,于是曲線C的方程為y=x-又因為x2+y2=x2+(x-4x)2=2x2+16x2-8≥22x2·16代入點(1,-3),得-3=1-41,所以點(1,-3)在曲線C上,但其橫坐標的絕對值不大于2,故D選項錯誤.故選BC12.y2=4x設P(x,y).由M(-1,2),N(1,0),得PM=(-1-x,2-y),ON=(1,0),PN=(1-x,-y).因為|PM·ON|=|所以|1+x|=(1-x)13.(x-2)2+y2=4(y≠0)由角平分線的性質(zhì)定理得|PA|=2|PB|,設P(x,y),則(x+2)2整理得(x-2)2+y2=4(y≠0).14.解設M(x,y),P(x1,y1).∵M為線段OP的中點,∴x=x1將P(2x,2y)代入圓的方程(x+2)2+y2=1,可得(2x+2)2+(2y)2=1,即(x+1)2+y2=14此方程為點M的軌跡方程.∴點M的軌跡曲線是以(-1,0)為圓心,12為半徑的圓15.解分別以AB,AD邊所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標系.如圖所示,則點A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),設動點P(x,y),Q(t,0)(0≤t≤1),由|BQ|=|CR|知|AQ|=|BR|,則R(1,t).當t≠0時,直線AR:y=tx,①直線DQ:xt+y=1,則1-y=xt,①×②,得y(1-y)=tx·xt,化簡得x2+y2-y=0當t=0時,點P與原點重合,坐標(0,0)也滿足上述方程.故點P的軌跡方程為x2+y2-y=0(0≤x≤12,0≤y≤1216.解當x≥0,y≥0時,方程x2+y2=|x|+|y|化成x2+y2=x+y,即(x-12)2+(y-12)2=上式表示圓心為(12,12所以,當x≥0,y≥0時,方程x2+y2=|x|+|y|表示圓(x-12)2+(y-12)2=1同理,當x≥0,y<0時,方程x2+y2=|x|+|y|表示圓(x-12)2+(y+12)2=當x<0,y≥0時,方程x2+y2=|x|+|y|表示圓(x+12)2+(y-12)2=當x<0,y<0時,方程x2+y2=|x|+|y|表示圓(x+12)2+(y+12)2=1以上合起來構(gòu)成如圖所示的圖形,面積為2+π.17.解如圖所示,設直線MN切圓于N點,則動點M組成的集合是P={M|