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2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題角平分線的性質(zhì)姓名:__________________班級(jí):______________得分:_________________考前須知:本試卷總分值100分,試題共24題,選擇10道、填空8道、解答6道.答卷前,考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.一、選擇題〔本大題共10小題,每題3分,共30分〕在每題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.〔2021秋?徐州期末〕如圖,點(diǎn)P在∠ABC的平分線上,PD⊥BC于點(diǎn)D,假設(shè)PD=4,那么P到BA的距離為〔〕A.3B.4C.5D.6【分析】從開始思考,根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解.【解析】解:∵BP是∠ABC的平分線,PD⊥BC于點(diǎn)D,∴點(diǎn)P到邊AB的距離等于PD=4.應(yīng)選:B.2.〔2021春?新城區(qū)期中〕如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,假設(shè)AB=8,△ABD的面積為16,那么CD的長(zhǎng)為〔〕A.2B.4C.6D.8【分析】作DE⊥AB于E,根據(jù)三角形的面積公式求出DE,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出CD.【解析】解:作DE⊥AB于E,那么12×AB×DE=16,即12×8×解得,DE=4,∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,∴CD=DE=4,應(yīng)選:B.3.〔2021?懷化〕在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D,DE⊥AC,垂足為點(diǎn)E,假設(shè)BD=3,那么DE的長(zhǎng)為〔〕A.3B.32C.2D.【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得.【解析】解:∵∠B=90°,∴DB⊥AB,又∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,∴DE=BD=3,應(yīng)選:A.4.〔2021春?錦江區(qū)期末〕點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上,點(diǎn)P到OA邊的距離等于10,點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn),以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是〔〕A.PQ<10B.PQ>10C.PQ≥10D.PQ≤10【分析】過P作PD⊥OB于D,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PC=PD=10,再根據(jù)垂線段最短得出即可.【解析】解:過P作PD⊥OB于D,∵PC⊥OA,PD⊥OB,OP平分∠AOB,∴PC=PD,∵點(diǎn)P到OA邊的距離等于10,∴PD=PC=10,∴PQ≥10〔當(dāng)Q與點(diǎn)D重合時(shí),PQ=10〕,應(yīng)選:C.5.〔2021?岐山縣二?!橙鐖D,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,CD=2,Q為AB上一動(dòng)點(diǎn),那么DQ的最小值為〔〕A.2B.22C.3D.5【分析】作DH⊥AB于H,如圖,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH=DC=2,然后根據(jù)垂線段最短求解.【解析】解:作DH⊥AB于H,如圖,∵AD平分∠BAC,DH⊥AB,DC⊥AC,∴DH=DC=2,∵Q為AB上一動(dòng)點(diǎn),∴DQ的最小值為DH的長(zhǎng),即DQ的最小值為2.應(yīng)選:A.6.如圖,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AD=6,連接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.假設(shè)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),那么DP長(zhǎng)的最小值為〔〕A.4B.6C.3D.12【分析】根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)DP⊥BC時(shí),DP的長(zhǎng)度最小,求出∠ABD=∠CBD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出AD=DP=6,即可得出選項(xiàng).【解析】解:∵BD⊥CD,∴∠BDC=90°,∴∠C+∠CBD=90°,∵∠A=90°∴∠ABD+∠ADB=90°,∵∠ADB=∠C,∴∠ABD=∠CBD,當(dāng)DP⊥BC時(shí),DP的長(zhǎng)度最小,∵AD⊥AB,∴DP=AD,∵AD=6,∴DP的最小值是6,應(yīng)選:B.7.〔2021秋?慈溪市期中〕如圖,E為∠BAC平分線AP上一點(diǎn),AB=4,△ABE的面積為12,那么點(diǎn)E到直線AC的距離為〔〕A.3B.4C.5D.6【分析】根據(jù)三角形面積公式得出點(diǎn)E到直線AB的距離,利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,即可求解.【解析】解:∵AB=4,△ABE的面積為12,∴點(diǎn)E到直線AB的距離=2×12∵E為∠BAC平分線AP上一點(diǎn),∴點(diǎn)E到直線AC的距離=6,應(yīng)選:D.8.〔2021?灞橋區(qū)模擬〕如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC邊上的高,BE是AC邊的中線,CF是∠ACB的角平分線,CF交AD于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)H,下面說法正確的選項(xiàng)是〔〕①△ABE的面積=△BCE的面積;②∠FAG=∠FCB;③AF=AG;④BH=CH.A.①②③④B.①②③C.②④D.①③【分析】根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行判斷①,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠FAG=∠ACB,再判斷②即可,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AFG=∠AGF,再根據(jù)等腰三角形的判定判斷③即可,根據(jù)等腰三角形的判定判斷④即可.【解析】解:∵BE是AC邊的中線,∴AE=CE,∵△ABE的面積=12×AE×AB∴△ABE的面積=△BCE的面積,故①正確;∵AD是BC邊上的高,∴∠ADC=90°,∵∠BAC=90°,∴∠DAC+∠ACB=90°,∠FAG+∠DAC=90°,∴∠FAG=∠ACB,∵CF是∠ACB的角平分線,∴∠ACF=∠FCB,∠ACB=2∠FCB,∴∠FAG=2∠FCB,故②錯(cuò)誤;∵在△ACF和△DGC中,∠BAC=∠ADC=90°,∠ACF=∠FCB,∴∠AFG=180°﹣∠BAC﹣∠ACF,∠AGF=∠DGC=180°﹣∠ADC﹣∠FCB,∴∠AFG=∠AGF,∴AF=AG,故③正確;根據(jù)不能推出∠HBC=∠HCB,即不能推出HB=HC,故④錯(cuò)誤;即正確的為①③,應(yīng)選:D.9.〔2021春?渭濱區(qū)期末〕如圖,AE是△ABC的角平分線,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),假設(shè)∠BAC=104°,∠C=40°.那么有以下結(jié)論:①∠BAE=52°;②∠DAE=2°;③EF=ED;④S△ABF=12S△A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【分析】由角平分線的定義得到①正確;由∠C=40°,AD⊥BC,∠CAE=52°,得到②正確;由于△AEF和△AED不全等,得到③錯(cuò)誤;由于F為BC的中點(diǎn),根據(jù)三角形面積公式得到④正確.【解析】解:AE是△ABC的角平分線,∠BAC=104°,∴∠BAE=∠CAE=52°,∴①正確;∵∠C=40°,AD⊥BC,∴∠CAD=50°,∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=52°﹣50°=2°,∴②正確;∵沒有條件能證得EF=DE,∴EF不一定等于ED,∴③錯(cuò)誤;∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),∴BF=12∴S△ABF=12S△∴④正確;應(yīng)選:C.10.〔2021秋?長(zhǎng)興縣期末〕如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E,那么以下結(jié)論:①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④假設(shè)AC=4BE,那么S△ABC=8S△BDE.其中正確的有〔〕A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【分析】根據(jù)題中條件,結(jié)合圖形及角平分線的性質(zhì)得到結(jié)論,與各選項(xiàng)進(jìn)行比對(duì),排除錯(cuò)誤答案,選出正確的結(jié)果.【解析】解:∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠DAE,∵∠C=90°,DE⊥AB,∴∠C=∠DEA=90°,∵AD=AD,∴△DAC≌△DAE〔AAS〕,∴∠CDA=∠EDA,∴①AD平分∠CDE正確;無法證明∠BDE=60°,∴③DE平分∠ADB錯(cuò)誤;∵BE+AE=AB,AE=AC,∵AC=4BE,∴AB=5BE,AE=4BE,∴S△ADB=5S△BDE,S△ADC=4S△BDE,∴S△ABC=9S△BDE,∴④錯(cuò)誤;∵∠BDE=90°﹣∠B,∠BAC=90°﹣∠B,∴∠BDE=∠BAC,∴②∠BAC=∠BDE正確.應(yīng)選:B.二、填空題〔本大題共8小題,每題3分,共24分〕請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11.〔2021秋?安居區(qū)期末〕三條公路將A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域,如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng),要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等,那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是∠A、∠B、∠C的角平分線的交點(diǎn)處.【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可.【解析】解:在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng),要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等,根據(jù)角平分線的性質(zhì),集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在∠A、∠B、∠C的角平分線的交點(diǎn)處.故答案為:∠A、∠B、∠C的角平分線的交點(diǎn)處.12.〔2021春?市北區(qū)期末〕如圖,△ABC中,AB=cm,AC=6cm,BC=cm,∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,那么線段PD的長(zhǎng)為1cm.【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PE=PD=PF,進(jìn)而利用三角形的面積公式解答即可.【解析】解:過P點(diǎn)作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,∵∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PD⊥BC,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,∴PD=PE,PD=PF,∴PE=PD=PF,∵△ABC中,AB=cm,AC=6cm,BC=cm,∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC是直角三角形,∴S△即12解得:PD=1〔cm〕,故答案為:1.13.〔2021?湘潭〕如圖,點(diǎn)P是∠AOC的角平分線上一點(diǎn),PD⊥OA,垂足為點(diǎn)D,且PD=3,點(diǎn)M是射線OC上一動(dòng)點(diǎn),那么PM的最小值為3.【分析】根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)PM⊥OC時(shí),PM最小,再根據(jù)角的平分線的性質(zhì),即可得出答案.【解析】解:根據(jù)垂線段最短可知:當(dāng)PM⊥OC時(shí),PM最小,當(dāng)PM⊥OC時(shí),又∵OP平分∠AOC,PD⊥OA,PD=3,∴PM=PD=3,故答案為:3.14.〔2021秋?利通區(qū)期末〕如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,假設(shè)AB=5,DC=2,那么△ABD的面積為5.【分析】作DH⊥AB于H,如圖,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH=DC=2,然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算.【解析】解:作DH⊥AB于H,如圖,∵AD平分∠BAC,DH⊥AB,DC⊥AC,∴DH=DC=2,∴△ABD的面積=12×5×2故答案為5.15.〔2021春?寧德期末〕如圖,△ABC,∠C=90°,BD是△ABC的角平分線,假設(shè)AD=3,CD=2,那么點(diǎn)D到AB邊的距離為2.【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E,先求出CD,再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=CD,即可得解.【解析】解:如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,BD是三角形的角平分線,∴DE=CD=2,即點(diǎn)D到AB邊的距離是2.故答案為:2.16.〔2021秋?隴縣期中〕如圖,OP平分∠MON,PA⊥ON于點(diǎn)A,PA=4,點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么線段PQ的最小值是4.【分析】先判斷Q點(diǎn)的位置,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求解線段PQ的最小值.【解析】解:當(dāng)PQ⊥OM時(shí),PQ有最小值.∵OP平分∠MON,PA⊥ON于點(diǎn)A,PA=4,∴PQ=PA=4,故答案為4.17.〔2021秋?沙河口區(qū)期末〕如圖,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O,連接AO并延長(zhǎng)交BC于D,OH⊥BC于H,假設(shè)∠BAC=60°,OH=5,那么OA=10.【分析】作OE⊥AB交AB于E,由OB平分∠ABC,OH⊥BC,得到OE=OH=5,根據(jù)角平分線的定義得到∠BAO=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解析】解:作OE⊥AB交AB于E,∵OB平分∠ABC,OH⊥BC,∴OE=OH=5,∵∠ABC,∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O,∴AO平分∠BAC,∵∠BAC=60°,∴∠BAO=30°,∴AO=2OE=10,故答案為:10.18.〔2021春?漳州期末〕如圖,點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,∠AOB=60°,PD⊥OA于D,點(diǎn)M在OP上,且DM=MP=6,假設(shè)C是OB上的動(dòng)點(diǎn),那么PC的最小值是6.【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠AOP=12∠AOB=30°,求出DM=OM=4,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得PD=1【解析】解:∵P是∠AOB角平分線上的一點(diǎn),∠AOB=60°,∴∠AOP=12∠AOB=∴∠DPO=60°,∵PM=DM=6,∴∠MDP=∠DPM=60°,∵∠PDO=90°,∴∠ODM=30°=∠AOP,∴OM=DM=6,∴OP=12,∴PD=12OP=∵點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∴PC的最小值為P到OB距離,∴PC的最小值=PD=6,故答案為:6.三、解答題〔本大題共6小題,共46分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19.如圖,△ABC中,∠ABC,∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)P,PE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于E,PF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F,求證:BC=BE+CF.【分析】作PH⊥BC于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PF=PH,得到CF=CH,等量代換即可.【解析】證明:作PH⊥BC于H,∵CP是∠FCB的平分線,PF⊥AC,PH⊥BC,∴PF=PH,∴CF=CH,同理,BH=BE,∴BC=CH+BH=BE+CF.20.〔2021秋?渦陽縣期末〕:如圖,△ABC的角平分線BE、CF相交于點(diǎn)P.求證:點(diǎn)P在∠A的平分線上.【分析】過點(diǎn)P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分別為D、M、N,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PD=PM,同理可得PM=PN,從而得到PD=PN,再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可.【解析】證明:如圖,過點(diǎn)P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分別為D、M、N,∵BE平分∠ABC,點(diǎn)P在BE上,∴PD=PM,同理,PM=PN,∴PD=PN,∴點(diǎn)P在∠A的平分線上.21.〔2021秋?交城縣期末〕:如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分線,AD與CE相交于點(diǎn)F,F(xiàn)M⊥AB,F(xiàn)N⊥BC,垂足分別為M,N.求證:FE=FD.【分析】根據(jù)條件可得到FM=FN,再根據(jù)角的度數(shù)可求得∠MEF=75°=∠NDF,可證明△EFM≌△DFN,可得到FE=FD.【解析】證明:連接BF,∵F是△ABC的角平分線交點(diǎn),∴BF也是角平分線,∵FM⊥AB,F(xiàn)N⊥BC,∴MF=FN,∠DNF=∠EMF=90°,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,∴∠BAC=30°,∴∠DAC=12∠BAC=∴∠CDA=75°,∵∠NFC=45°,∠MFN=120°,∴∠MFE=15°,∴∠MEF=75°=∠NDF,在△DNF和△EMF中,∠DNF∴△DNF≌△EMF〔AAS〕,∴FE=FD.22.〔2021秋?常熟市期中〕如圖,△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,∠BAD=100°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF⊥AB,垂足為F,且∠AEF=50°,連接DE.〔1〕求∠CAD的度數(shù);〔2〕求證:DE平分∠ADC;〔3〕假設(shè)AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD=15,求△ABE的面積.【分析】〔1〕根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠FAE,根據(jù)補(bǔ)角的定義計(jì)算,得到答案;〔2〕過點(diǎn)E作EG⊥AD于G,EH⊥BC于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF=EG,EF=EH,等量代換得到EG=EH,根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論;〔3〕根據(jù)三角形的面積公式求出EG,再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算,得到答案.【解析】〔1〕解:∵EF⊥AB,∠AEF=50°,∴∠FAE=90°﹣50°=40°,∵∠BAD=100°,∴∠CAD=180°﹣100°﹣40°=40°;〔2〕證明:過點(diǎn)E作EG⊥AD于G,EH⊥BC于H,∵∠FAE=∠DAE=40°,EF⊥BF,EG⊥AD,∴EF=EG,∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,∴EF=EH,∴EG=EH,∵EG⊥AD,EH⊥BC,∴DE平分∠ADC;〔3〕解:∵S△ACD=15,∴12×AD×EG+12×CD×EH=15,即12×4×EG解得,EG=EH=5∴EF=EH=5∴△ABE的面積=12×AB×EF=23.〔2021春?南崗區(qū)期末〕:在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BD平分∠ABC
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