八年級上數(shù)學整式的乘除與因式分解基本知識點

..精品精品.精品整式的乘除與因式分解基本知識點一、整式的乘除：1、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.例如：；；2、同底數(shù)冪的乘法法則：am·an=am+n(m，n是正整數(shù)).同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.例如：；3、冪的乘方法則：(am)n=amn(m，n是正整數(shù)).冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.例如：；；4、積的乘方的法則：(ab)m=ambm(m是正整數(shù)).積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.例如：；；5、同底數(shù)冪的除法法則：am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m＞n).同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.規(guī)定：例如：；；6、單項式乘法法則7、單項式除法法則單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.8、單項式與多項式相乘的乘法法則：..精品精品.精品單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.9、多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.10、多項式除以單項式的除法法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加. ；11、整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.例如：（4a－1）（4a+1）=___________；（3a－2b）（2b+3a）=___________；=；；12、整式乘法的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍.例如：；；二、因式分解：1、提公因式法：4x2+12x3+4x2、公式法.：（1）、平方差公式：（2）、完全平方公式：..精品精品.精品3、分組分解法：ab－c＋b－aca2－2ab＋b2－c24、“十字相乘法”：即式子x2+(p+q)x+pq的因式分解.x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x2＋7x＋6（2）、x2－5x－6（3）、x2－5x＋6整式的乘法[同底數(shù)冪的乘法]am·an=am+n（m、n都是正整數(shù)）[冪的乘方](am)n＝amn(m，n都是正整數(shù))[積的乘方](ab)n＝anbn(n是正整數(shù))[單項式乘以單項式]單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同的字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．[單項式乘以多項式]單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．[多項式乘以多項式]多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．平方差公式[平方差公式](a＋b)(a－b)＝a2－b2公式的結(jié)構(gòu)特征：⑴左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中，有一項完全相同，另一項互為相反數(shù).⑵右邊是這兩個數(shù)的平方差，即完全相同的項與互為相反數(shù)的項的平方差（同號項2－異號項2）.公式的應(yīng)用：⑴公式中的字母，可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項式或多項式，只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以用此公式進行計算...精品精品.精品⑵公式中的是不可顛倒的，注意是同號項的平方減去異號項的平方，還要注意字母的系數(shù)和指數(shù).⑶為了避免錯誤，初學時，可將結(jié)果用“括號”的平方差表示，再往括號內(nèi)填上這兩個數(shù).如：(a+b)(a-b)=a2－b2↓↓↓↓↓↓計算：(1+2x)(1-2x)=(1)2－(2x)2=1-4x2完全平方公式[完全平方公式](a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和加（或減）它們的積的2倍.公式特征：左邊是一個二項式的平方，右邊是一個三項式（首平方，尾平方，二倍乘積在中央）．公式變形：(a+b)2=(a-b)2+4aba2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4aba2+b2=(a-b)2+2ab(a+b)2-(a-b)2=4ab[公式的推廣](a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac整式的除法[同底數(shù)冪的除法]am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n)．a(chǎn)0=1(a≠0)任何非零數(shù)的零次冪是1.[單項式除以單項式]單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．..精品精品.精品[多項式除以單項式]多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．因式分解[因式分解]把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解（或分解因式）.[提公因式法]ac＋bc=（a＋b）c[公式法]a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=[十字相乘法]x2＋（p＋q）x＋pq=（x＋p）（x＋q）鞏固練習一、訓練平臺1.下列各式中，計算正確的是()A.27×27=28 B.25×22=210 C.26+26=27 D.26+262.當x=時，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于()A.- B.-18 C.18 D.3.已知x-y=3，x-z=，則(y-z)2+5(y-z)+的值等于()A. B. C.- D.04.設(shè)n為正整數(shù)，若a2n=5，則2a6nA.26 B.246 C.242 D.不能確定5.(a+b)(a-2b)=.6.(2a+0.5b)2=7.(a+4b)(m+n)=...精品精品.精品8.計算.(1)(2a-b2)(b2+2a)=；(2)(5a-b)(-59.分解因式.(1)1-4m+4m2； (2)7x310.先化簡，再求值.[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x，其中x=3，y=-1.5.二、探究平臺1.分解因式(a-b)(a2-ab+b2)-ab(b-a)為()A.(a-b)(a2+b2) B.(a-b)2(a+b) C.(a-b)3 D.-(a-b)32.下列計算正確的是()A.a8÷a2=a4(a≠0) B.a3÷a4=a(a≠0)C.a9÷a6=a3(a≠0) D.(a2b)3=a6b3.下列各題是在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，結(jié)果正確的是()A.x4-0.1=(x2+0.1)(x2-0.1) B.-x2-16=(-x+4)(-x-4)C.2xn+x3n=xn(2+x3) D.-x2=(1+2x)(1-2x)4.分解因式：-a2+4ab-4b2=.5.如果x2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m的值是.6.(3x3+3x)÷(x2+1)=.7.1.22222×9-1.33332×4=.8.計算.(1)；(2).9.分解因式...精品精品.精品(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)；(2)x4-81x2y2.10.+x(1+)，其中x=-1.三、交流平臺1.一條水渠其橫斷面為梯形，如圖15－23所示，根據(jù)圖中的長度求出橫斷面面積的代數(shù)式，并計算當a=2，b=0.8時的面積.2.已知多項式x3+kx+6有一個因式x+3，當k為何值時，能分解成三個一次因式的積？并將它分解.3.如果x+y=0，試求x3+x2y+xy2+y3的值.4.試說明無論m，n為任何有理數(shù)，多項式4m2+12m+25+9n2第十六章分式知識點和典型例習題【知識網(wǎng)絡(luò)】【思想方法】1．轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學思想方法，應(yīng)用非常廣泛，運用轉(zhuǎn)化思想能把復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，本章很多地方都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加減運算的基本思想：異分母的分式加減法、同分母的分式加減法；解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而得到分式方程的解等．..精品精品.精品2．建模思想本章常用的數(shù)學方法有：分解因式、通分、約分、去分母等，在運用數(shù)學知識解決實際問題時，首先要構(gòu)建一個簡單的數(shù)學模型，通過數(shù)學模型去解決實際問題，經(jīng)歷“實際問題———分式方程模型———求解———解釋解的合理性”的數(shù)學化過程，體會分式方程的模型思想，對培養(yǎng)通過數(shù)學建模思想解決實際問題具有重要意義．3．類比法本章突出了類比的方法，從分數(shù)的基本性質(zhì)、約分、通分及分數(shù)的運算法則類比引出了分式的基本性質(zhì)、約分、通分及分式的運算法則，從分數(shù)的一些運算技巧類比引出了分式的一些運算技巧，無一不體現(xiàn)了類比思想的重要性，分式方程解法及應(yīng)用也可以類比一元一次方程．第一講分式的運算【知識要點】1.分式的概念以及基本性質(zhì);2.與分式運算有關(guān)的運算法則3.分式的化簡求值(通分與約分)4.冪的運算法則【主要公式】1.同分母加減法則:2.異分母加減法則:;3.分式的乘法與除法:,4.同底數(shù)冪的加減運算法則:實際是合并同類項5.同底數(shù)冪的乘法與除法;am●an=am+n;am÷an=am－n6.積的乘方與冪的乘方:(ab)m=ambn,(am)n=amn7.負指數(shù)冪:a-p=a0=1..精品精品.精品8.乘法公式與因式分解:平方差與完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2（一）、分式定義及有關(guān)題型題型一：考查分式的定義【例1】下列代數(shù)式中：，是分式的有： .題型二：考查分式有意義的條件【例2】當有何值時，下列分式有意義（1） （2） （3） （4） （5）題型三：考查分式的值為0的條件【例3】當取何值時，下列分式的值為0.（1） （2） （3）題型四：考查分式的值為正、負的條件【例4】（1）當為何值時，分式為正；（2）當為何值時，分式為負；（3）當為何值時，分式為非負數(shù).練習：1．當取何值時，下列分式有意義：（1） （2） （3）2．當為何值時，下列分式的值為零：（1） （2）3．解下列不等式..精品精品.精品（1） （2）（二）分式的基本性質(zhì)及有關(guān)題型1．分式的基本性質(zhì)：2．分式的變號法則：題型一：化分數(shù)系數(shù)、小數(shù)系數(shù)為整數(shù)系數(shù)【例1】不改變分式的值，把分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1） （2）題型二：分數(shù)的系數(shù)變號【例2】不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的首項的符號變?yōu)檎?（1） （2） （3）題型三：化簡求值題【例3】已知：，求的值.提示：整體代入，①，②轉(zhuǎn)化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.練習：1．不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1） （2）2．已知：，求的值.3．已知：，求的值...精品精品.精品4．若，求的值.5．如果，試化簡.（三）分式的運算1．確定最簡公分母的方法：①最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪.2．確定最大公因式的方法：①最大公因式的系數(shù)取分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)；②取分子、分母相同的字母因式的最低次冪.題型一：通分【例1】將下列各式分別通分.（1）；（2）；（3）；（4）題型二：約分【例2】約分：（1）；（3）；（3）.題型三：分式的混合運算【例3】計算：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；..精品精品.精品（7）題型四：化簡求值題【例4】先化簡后求值（1）已知：，求分子的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，試求的值.題型五：求待定字母的值【例5】若，試求的值.練習：1．計算（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）.2．先化簡后求值（1），其中滿足.（2）已知，求的值.3．已知：，試求、的值.4．當為何整數(shù)時，代數(shù)式的值是整數(shù)，并求出這個整數(shù)值.（四）、整數(shù)指數(shù)冪與科學記數(shù)法題型一：運用整數(shù)指數(shù)冪計算【例1】計算：（1） （2）..精品精品.精品（3） （4）題型二：化簡求值題【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.題型三：科學記數(shù)法的計算【例3】計算：（1）；（2）.練習：1．計算：（1）（2）（3）（4）2．已知，求（1），（2）的值.第二講分式方程【知識要點】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程產(chǎn)生增根的原因3.分式方程的應(yīng)用題【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知數(shù);2.解分式方程的關(guān)健是化分式方程為整式方程;方程兩邊同乘以最簡公分母.3.解分式方程的應(yīng)用題關(guān)健是準確地找出等量關(guān)系,恰當?shù)卦O(shè)末知數(shù).（一）分式方程題型分析題型一：用常規(guī)方法解分式方程【例1】解下列分式方程..精品精品.精