初一數(shù)學(xué)絕對值難題解析

精選歡迎下載初一數(shù)學(xué)絕對值難題解析絕對值是初一數(shù)學(xué)的一個重要知識點，它的概念本身不難，但卻經(jīng)常拿來出一些難題，考驗的是學(xué)生對基本概念的理解程度和基本性質(zhì)的靈活運用能力。絕對值有兩個意義：（1）代數(shù)意義：非負(fù)數(shù)（包括零）的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。即|a|＝a（當(dāng)a≥0）,|a|＝－a（當(dāng)a＜0）（2）幾何意義：一個數(shù)的絕對值等于數(shù)軸上表示它的點到原點的距離。靈活應(yīng)用絕對值的基本性質(zhì)：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么條件下成立？|a－b|＝|a|－|b|，在什么條件下成立？常用解題方法：（1）化簡絕對值：分類討論思想（即取絕對值的數(shù)為非負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)兩種情況）（2）運用絕對值的幾何意義：數(shù)形結(jié)合思想，如絕對值最值問題等。（3）零點分段法：求零點、分段、區(qū)段內(nèi)化簡、綜合。例題解析：第一類：考察對絕對值代數(shù)意義的理解和分類討論思想的運用1、在數(shù)軸上表示a、b兩個數(shù)的點如圖所示，并且已知表示c的點在原點左側(cè)，請化簡下列式子：（1）|a－b|－|c－b|解：∵a＜0，b＞0∴a－b＜0c＜0，b＞0∴c－b＜0故，原式＝（b－a）－(b－c)＝c－a（2）|a－c|－|a＋c|解：∵a＜0，c＜0∴a－c要分類討論，a＋c＜0

當(dāng)a－c≥0時，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a當(dāng)a－c＜0時，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、

設(shè)x＜－1，化簡2－|2－|x－2||。解：∵x＜－1∴x－2＜0原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、設(shè)3＜a＜4，化簡|a－3|＋|a－6|。解：∵3＜a＜4∴a－3＞0，a－6＜0原式＝（a－3）－(a－6)＝34、

已知|a－b|＝a＋b，則以下說法：（1）a一定不是負(fù)數(shù)；（2）b可能是負(fù)數(shù)；哪個是正確的？答：當(dāng)a－b≥0時，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，解得b＝0，這時a≥0；當(dāng)a－b＜0時，a＜b，|a－b|＝b－a，由已知|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b，解得a＝0，這時b＞0；綜上所述，（1）是正確的。第二類：考察對絕對值基本性質(zhì)的運用5、

已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，求x＋y＋2012的值？解：∵|x－1|≥0，|y＋1|≥0

∴2011|x－1|＋2012|y＋1|≥0又∵已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，∴|x－1|＝0,|y＋1|＝0∴x＝1，y＝－1，原式＝1－1＋2012＝20126、設(shè)a、b同時滿足：(1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1(2)|a－4|＝0那么ab等于多少？解：∵|a－2b|≥0，|b－1|≥0

∴|a－2b|＋|b－1|＝b－1≥0∴（1）式＝|a－2b|＋b－1＝b－1，得|a－2b|＝0，即a＝2b∵|a－4|＝0

∴a－4＝0，a＝4∵a＝2b

∴b＝2，ab＝4×2＝87、設(shè)a、b、c為非零有理數(shù)，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0,請化簡：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c|。解：∵|a|＋a＝0，a≠0∴a＜0∵|ab|＝ab≥0，b≠0，a＜0

∴b＜0，a＋b＜0∵|c|－c＝0，c≠0∴c＞0，c－b＞0，a－c＜0∴原式＝b＋（a＋b）－（c－b）＋c－a＝b8、滿足|a－b|＋ab＝1的非負(fù)整數(shù)（a，b）共有幾對？解：∵a，b都是非負(fù)整數(shù)∴|a－b|也是非負(fù)整數(shù)，ab也是非負(fù)整數(shù)∴要滿足|a－b|＋ab＝1，必須|a－b|＝1，ab＝0或者|a－b|＝0，ab＝1分類討論：當(dāng)|a－b|＝1，ab＝0時，a＝0，b＝1或者a＝1，b＝0有兩對（a，b）的取值；當(dāng)|a－b|＝0，ab＝1時，a＝1，b＝1有一對（a，b）的取值；綜上所述，（a，b）共有3對取值滿足題意。9、已知a、b、c、d是有理數(shù)，|a－b|≤9，|c－d|≤16，且|a－b－c＋d|＝25，求|b－a|－|d－c|的值？分析：此題咋一看無從下手，但是如果把a(bǔ)－b和c－d分別看作一個整體，并且運用絕對值基本性質(zhì)：|x－y|≤|x|＋|y|即可快速解出。解：設(shè)x＝a－b，y＝c－d，則|a－b－c＋d|＝|x-y|≤|x|＋|y|∵|x|≤9，|y|≤16∴|x|＋|y|≤25,|x-y|≤|x|＋|y|≤25∵已知|x-y|＝25

∴|x|＝9，|y|＝16∴|b－a|－|d－c|＝|－x|－|－y|＝|x|－|y|＝9－16＝－7第三類：多個絕對值化簡，運用零點分段法，分類討論

以上這種分類討論化簡方法就叫做零點分段法，其步驟是：求零點、分段、區(qū)段內(nèi)化簡、綜合。根據(jù)以上材料解決下列問題：（1）

化簡：2|x－2|－|x＋4|（2）

求|x－1|－4|x＋1|的最大值。解：（1）令x－2＝0，x＋4＝0，分別求得零點值：x＝2，x＝-4，分區(qū)段討論：當(dāng)x≤-4時，原式＝－2（x－2）＋（x＋4）＝－x＋8當(dāng)-4＜x≤2時，原式＝－2（x－2）－（x＋4）＝－3x當(dāng)x＞2時，原式＝2（x－2）－（x＋4）＝x－8綜上討論，原式＝…（略)（2）

使用“零點分段法”將代數(shù)式簡化，然后在各個取值范圍內(nèi)求出最大值，再加以比較，從中選出最大值。令x－1＝0，x＋1＝0，分別求得零點值：x＝1，x＝-1，分區(qū)段討論：當(dāng)x≤-1時，原式＝－（x－1）＋4（x＋1）＝3x＋5，當(dāng)x=-1時，取到最大值等于2；當(dāng)-1＜x≤1時，原式＝－（x－1）－4（x＋1）＝－5x－3，此時無最大值；當(dāng)x＞1時，原式＝（x－1）－4（x＋1）＝－3x＋3，此時無最大值。綜上討論，當(dāng)x=-1時，原式可以取到最大值等于2。11、若2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4的值恒為常數(shù)，則此常數(shù)的值為多少？解：我們知道，互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們的絕對值相等，利用這條性質(zhì)，可以把絕對值內(nèi)帶x的項的符號由負(fù)號都變成正號，以便于區(qū)段內(nèi)判斷正負(fù)關(guān)系。即原式＝2x＋|5x－4|＋|3x－1|＋4令5x－4＝0，3x－1＝0，分別求得零點值：x＝4/5,x＝1/3，分區(qū)段討論：當(dāng)x≤1/3時，原式＝2x－（5x－4）－（3x－1）＋4＝－6x＋9，此時不是恒值；當(dāng)1/3＜x≤4/5時，原式＝2x－（5x－4）＋（3x－1）＋4＝7，此時恒為常數(shù)7；當(dāng)x＞4/5時，原式＝2x＋（5x－4）＋（3x－1）＋4＝10x－1，此時也不是恒值。綜上所述，若原式恒為常數(shù)，則此常數(shù)等于7。12、若|a|＝a＋1，|x|＝2ax，且|x＋1|＋|x－5|＋2|x－m|的最小值是7，則m等于多少？解：∵當(dāng)a≥0時，|a|＝a＝a＋1,得到0＝1矛盾

∴a＜0，|a|＝－a＝a＋1，解得a＝－1/2?！遼x|＝2ax＝－x，即x的絕對值等于它的相反數(shù)∴x≤0令x＋1＝0，x－5＝0，x－m＝0，分別求得零點值：x＝－1，x＝5，x＝m∵x≤0∴要對m進(jìn)行分類討論，以確定分段區(qū)間：（1）

若m≥0，則x取值范圍分成x≤－1和－1＜x≤0當(dāng)x≤－1，原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m，x＝－1時取到最小值8＋2m當(dāng)－1＜x≤0，原式＝（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－2x＋6＋2m，x＝0時取到最小值6＋2m所以當(dāng)m≥0時，最小值是6＋2m，令6＋2m＝7，得m＝0.5，符合題意（2）

若－1≤m＜0，則x取值范圍分成x≤－1和－1＜x≤m和m＜x≤0當(dāng)x≤－1，原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m，x＝－1時取到最小值8＋2m,因為－1≤m＜0，所以最小值≥6當(dāng)－1＜x≤m，原式＝（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－2x＋6＋2m，x＝m時取到最小值6所以當(dāng)－1≤m＜0時，最小值是6，和題意不符。（3）

若m＜－1，則x取值范圍分成x≤m和m＜x≤－1和－1＜x≤0當(dāng)x≤m，原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m，x＝m時取到最小值4－2m當(dāng)m＜x≤－1，原式＝－（x＋1）－（x－5）＋2（x－m）＝4－2m，這時為恒值4－2m當(dāng)－1＜x≤0，原式＝（x＋1）－（x－5）＋2（x－m）＝2x－2m＋6，無最小值所以當(dāng)m＜－1時，最小值是4－2m，令4－2m＝7，得m＝－1.5，符合題意綜上所述，m＝0.5或－1.5。第四類：運用絕對值的幾何意義解題1、x的絕對值的幾何意義是在數(shù)軸上表示x的點到原點的距離，即|x|=|x－0||x－1|的幾何意義是在數(shù)軸上表示x的點到表示1的點的距離，|x＋2|的幾何意義是在數(shù)軸上表示x的點到表示－2的點的距離，|a－b|的幾何意義是在數(shù)軸上表示a的點到表示b的點的距離。2、設(shè)A和B是數(shù)軸上的兩個點，X是數(shù)軸上一個動點，我們研究下，當(dāng)X在什么位置時，X到A點和B點的距離之和最??？很顯然，當(dāng)X點在A點和B點之間時，X點到兩個點的距離之和最小，最小值即為A點到B點的距離。當(dāng)再增加一個C點時，如何求動點X到三個點的距離之和的最小值呢。經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)X點在中間的點即C點時，它到三