2023年各省高中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題匯編

2023各省數(shù)學(xué)競賽匯合

書目

1.2023中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷——第3頁

2.2023年中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽試卷（高一年級）--第7頁

3.2023年中學(xué)教學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽試卷（高二年級）--第10頁

4.2023年中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西省預(yù)賽試卷一一第16頁

5.2023年中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海市預(yù)賽試卷——第21頁

6.2023年中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省預(yù)賽試卷——第28頁

7.2023年中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省預(yù)賽試卷（高一年級）--第35頁

8.2023年中學(xué)教學(xué)聯(lián)賽山東省預(yù)賽試卷一第45頁

9.2023年中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅省預(yù)賽試卷一第50頁

10.2023年中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北省預(yù)賽試卷一第55頁

11.2023年中學(xué)教學(xué)聯(lián)賽浙江省預(yù)賽試卷一第62頁

12.2023年中學(xué)教學(xué)聯(lián)賽遼寧省預(yù)賽試卷一第72頁

13.2023年中學(xué)教學(xué)聯(lián)賽新疆區(qū)預(yù)賽試卷（高二年級）一第77頁

14.2023年中學(xué)教學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)賽試卷（高二年級）一第81頁

15.2023年中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽北京市預(yù)賽試卷（高一年級）―第83頁

2023中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷

一、填空題（70分）

1、當(dāng)工三［—3,3］時,函數(shù)f（x）="一3四的最大值為一18—.

2、在A4BC中，已知AC8C=12,AC8A=-45ijAC=_4.

3、從集合｛3,4,5,6,7,8｝中隨機選取3個不同的數(shù)，這3個數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列的概率為

3

4、已知4是實數(shù)，方程x2+（4+i）x+4+ai=0的一個實根是6（，是虛部單位），則|a+勿」的值

為2夜.

X2y2

5、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C:——二一=1的右焦點為尸，一條過原點。且傾斜角

124

為銳角的直線/與雙曲線。交于兩點.若AE45的面積為86,則直線的斜率為

2,

6、已知。是正實數(shù)，左=。恒"的取值范圍是—［1,+00）.

7、在四面體ABCD中，AB=AC=AD=￡>3=5,8C=3,8=4該四面體的體積為

___5A/3.

8、已知等差數(shù)列｛4｝和等比數(shù)列也｝滿意：

-1

at+bx=3,a2+b2=7,a3+b3=15,a4+b4=35,則an+bn=_3"+2n」.

（〃eN*）

9、將27,37,47,48,55,71,75這7個數(shù)排成一列，使隨意連續(xù)4個數(shù)的和為3的倍數(shù)，則這樣

的排列有—144種.

10、三角形的周長為31,三邊a,b,c均為整數(shù)，且則滿意條件的三元數(shù)組（a,。,c）的

個數(shù)為_24—.

二、解答題（本題80分，每題20分）

11、在AABC中，角A,民C對應(yīng)的邊分別為證明:

(1)bcosC+ccosB-a

9.2C

cosA+cosBsin萬

a+bc

證明：(1)在A45C中，由正弦定理七=屏=備=2滅(其中R是△14BC外接圓的半徑),

siiLz^siiixzsmL

得bcosC+ccosj?=27?sinBcosC+2/?sinCcos5

=2/?sin(5+Q

=27?sin/l

=a.

故命題得證................................10分

(2)由(1)知bcosC+c8sB=a,同理有acosC+c8S/4=b,

所以bcosC+ccosB+acosC+ccos4=a+b9

即c(cosB+cos^)=(a+Z>)(l-cosC)=(a+6)?

,cos^+cos5

所以a+620分

12、已知a,h為實數(shù)，a>2,函數(shù)/(x)=|Inx--|+b(x>0).若

x

/(l)=e+l,/(2)=j-ln2+l.

(1)求實數(shù)。,分；

(2)求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若實數(shù)c,d滿意c〉d,cd=l,求證：/(c)</(d)

解：(1)由題設(shè)y(l)=e+l,12)=1—ln2+l得|a|+b=e+l,|ln2—與+b=，一ln2+l,

因為a>2,所以a>21n2,從而a+b=e+l,且，+6=^+1,

解得a=e,b=\.5分

(2)由(1)得危)=|lnx—1+1.

因為Inx,一三在(0,十8)上均單調(diào)遞增，Ine—^^0.

XV

令g(x)=lnx—，，所以有

當(dāng)x>e時，虱x)>g(e)=0,從而危)=lirr—?+1單調(diào)遞增；

當(dāng)OVxVe時，g(x)<g(e)=O,從而危)=；—lnx+1單調(diào)遞減.

?A,

故黃X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e)；單調(diào)遞增區(qū)間為(e,+8).

15分

(3)因為c>d,cd=\,所以d=9,c>l,

e1

于是九0=是一lnc|+1,加/)=yq)=|ec+lnc|+1=ec+lnc+1.

又因為當(dāng)c>l時，ec+lnc>lnc+￡>|lnc—*

cc

t

所以1C)V<0-

命題得證.20分

13、如圖，半徑為1的圓。上有肯定點M為圓O上的動點.在射線(AK

OM上有一動點5,AB=1,OB〉1.線段AB交圓。于另一點//

C,。為線段的。3中點.求線段。。長的取值范圍.1°―6

解：設(shè)乙4。8=0

因為04=48,所以NO氏4=aZBAO=nO0-23.

又OA=OC,得NOC4=180°-2仇于是/30。=180°—3"

因為04=48,。為線段05的中點，所以從而OD=O4?cosOnco的.

在△OCD中，由余弦定理得

CD1=OCi+Ob1-2OC-OD-cos/BOC

=1+cos?。-2cosdcos(180°—30)

=1+cos%+2cos/cos36

=8cos4^—5COS20+1

57

=8(COS2^—T7)2+T；.

1032

.......................................10分

又NBOC=18O0-36?VZAOB=6,

ZOG4=18O°-20>NOBA=a

得180°-36V8,1800-26>6.

所以45。<8<60。....

1

-

42

于是《得孚，等號在cos3=小時成立.

所以線段CD長的取值范圍是印，乎)..............................20分

14、設(shè)是。力,c,d正整數(shù)，見匕是方程％2一?/一(7)％+＜：4=0的兩個根.證明：存在邊長是整

數(shù)且面積為QZ7的直角三角形.

證明：由題設(shè)可知a+b=d—c,ab=cd....................................5分

由于mb,c,d是正整數(shù)，所以a+6,a+c,b+c中任意兩個數(shù)之和大于第三個數(shù)，

從而知存在以〃+b,a+c,b+c為邊的三角形.

因為(a+cy+S+cAuJ+y+^z+Zcg+b)

=J+房+2c2+2c(d—c)

=a2+fe2+2crf

=a2+fe2+2aZ>

=3+6)2....................................15分

所以，這樣的三角形是直角三角形，其直角邊長為a+c,b+c,斜邊長為Q+瓦且該三

角形的面積為

S=；(a+c)(b+c)=^[Qb+c(a+6+c)]

=^ab+cd)

=ab.

故邊長為a+b,a+c,b+c的三角形符合題設(shè)要求.

...................................20分

2023年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽試題參考答案

(高一年級)

說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8分和0分兩檔；解答題的評閱，只要思

路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分。

一'填空題(本題滿分64分，每小題8分。干脆將答案寫在橫線上。)

I.已知集合4=｛》|》4。｝,8=｛》|》>6｝,〃,6€1>1,且AnBp|N=｛l｝,則。+匕=1.

2.已知正項等比數(shù)列｛%｝的公比4*1,且“2,4，生成等差數(shù)列，則

〃3+〃6+。92

3函數(shù)g)=J令的值域為[0,

4.已知Bsin?ar+2sin2/3=\,3(sina+cosa)2-2(siny5+cos^)2=1,貝！Jcos2(a+/7)=

5.已知數(shù)列｛明｝滿意：勺為正整數(shù)，

*』:冊為偶數(shù)'

3afl+1,〃”為奇數(shù),

假如q+w+生=29,貝I」aA=5

6.在△回(7中，角A8,C的對邊長a,4c滿意a+c=?,且C=2A,貝iJsinA=」.

7.在△A8C中，AB=BC=2,AC=3.設(shè)。是△ABC的內(nèi)心，若加=pQ+q元，則?■的

q

3

值為二.

2

8.設(shè)工|,》2戶3是方程x'-x+1=0的三個根，則X：+x?+x?的值為一5

二、解答題（本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分）

9.已知正項數(shù)列（??｝滿意8%+4限=4也“%+1+確1+38%且q=1,%=8,

求｛〃“｝的通項公式.

解在已知等式兩邊同時除以戰(zhàn)二，得+3,

■4分

即數(shù)列他,｝是以々=4為首項,4為公比的等比數(shù)列,

h?=仇-4"T=4"

-1K-12分

2n22

an=[(4"-'-1)-1]??.|=[(4-'-l)_1卜[(4"-2-I)-1]??,2

=...=0(41-1)2_啊="(4"'-1)2-1],

k=\k=l

L〃=1,

分

因此%=n>2--------------------------16

d=l

22

10.已知正實數(shù)人滿意a+b=1,且/+//+1=；72m+少+1產(chǎn),求相的最小值.

TT

解令。=cos，,〃=sin夕，0<。,貝ij

2

cos3。+sin3。+1(cos0+sin^)(cos20-cos6sin6+sin2^)+1

m=--------------r=----------------------------?-------------------

(cos9+sin8+1)3(cos+sin6+1產(chǎn)

?5分

令x=cos?+sin。，則x=V^sin(6+馬6(1,五],且

x2-1

cossin0=10分

2?

于是

“12-)+12+3X-X342+x-x22-x31

m=------------=--------=-------=------=----------------------------

(x+l)32(x+l)32(x+l)22(x+l)2(x+l)2

-15分

因為函數(shù)/(%)=—―-?!?在。,啦］上單調(diào)遞減，所以/(后)。?＜加).

2(x+l)2

因止匕，，〃的最小值為

/(揚=▲巧士--------------------------------------------20分

11.設(shè)/(xXlogKx-ZG+log/x-Sa),其中a>0且4Hl.若在區(qū)間［a+3,a+4］上/(x)41恒

成立，求。的取值范圍.

22

解/(%)=log(,(x-5ax+6a)=logn［(x

>3°,由題意知a+3>“，故”<3,(fl+3)--=-(?-2)>0,故

［x-3a>0,222

2

函數(shù)g(x)=(x--)--在區(qū)間［a+3,a+4］上單調(diào)遞增.

24

--------------------------------------------5分

(1)若0<"1,則/(%)在區(qū)間［a+3,a+4］上單調(diào)遞減,所以/*)在區(qū)間［a+3,a+4］上的最

大值為J(a+3)=logQ2-9a+9).

在區(qū)間［a+3,a+4］上不等式/恒成立，等價于不等式bg“(2/-9“+9)41成立，從而

2a2-9a+9>a,解得az""或04^~.

22

結(jié)合。<”1得0<。<1.--------------------------------------------10

分

3

(2)若則/(x)在區(qū)間［a+3,a+4］上單調(diào)遞增，所以,f(x)在區(qū)間伍+3,a+4］上的最

大值為/3+4)=log“(2M72+16).

在區(qū)間［a+3,a+4］上不等式恒成立,等價于不等式10g.(2.？-1%+16)W1成立，從而

2/-⑵+16V”，即2a2_1%+1640,解得生叵4。4生叵.

44

易知生叵>3,所以不符合.-----------------------------15

42

分

綜上可知：。的取值范圍為(0,1)-------------------------------20

分

2023年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽試題

(高二年級)

說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8分和0分兩檔；解答題的評閱，只要思

路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分。

一、填空題(本題滿分64分，每小題8分。干脆將答案寫在橫線上。)

1.函數(shù)fM=J產(chǎn)1的值域為________________.

VX+4x+7

2已知3sin2a+2sin2/5=1,3(sina+cosa)?-2(sin尸+cos尸產(chǎn)=1,則

cos2(a+4)=?

3.已知數(shù)列｛%｝滿意：為為正整數(shù)，〃相=卷'""為偶數(shù)，假如卬+。2+%=29,則

3an+1,。〃為奇數(shù)，

a\---------------------------

4.設(shè)集合S=｛1,2,3,…,12｝,—=｛%,02，。3｝是S的子集,且滿意。3-。245,那么

滿意條件的子集A的個數(shù)為.

22

5.過原點。的直線/與橢圓C：=+==l(a>b>0)交于M,N兩點，P是橢圓C上異于M,N

ab

的任一點.若直線PM,PN的斜率之積為-1,則橢圓C的離心率為.

3

6.在△/WC中，AB=BC=2,AC=3.設(shè)。是△回(7的內(nèi)心，若入3=pQ+q就，則公■的

q

值為.

7.在長方體AB8-45GR中，已知AC=1,BQ=五,Aa=p,則長方體的體積最大時，p

為.

201290194-

8.設(shè)區(qū)表示不超過x的最大整數(shù)，則Z[華4]=-

A-02

二、解答題(本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分)

9.已知正項數(shù)列｛%｝滿意“4+1+44+2=4擊“4+1+%]+3M%且％=1,a2=S,

求｛%｝的通項公式.

10.已知正實數(shù)滿意/=1,且/+/+i="?（a+/>+i）3,求機的取值范圍.

11.已知點E（，%”）為拋物線V=2pHp>0）內(nèi)肯定點，過E作斜率分別為6,七的兩條直線交

拋物線于A,3,C,。，且M,N分別是線段4?,8的中點.

（1）當(dāng)〃=0且&-&=-1時，求△胡加的面積的最小值；

（2）若kH（2x0,2為常數(shù)），證明：直線MN過定點.

2023年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽試題參考答案

(高二年級)

說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8分和0分兩檔；解答題的評閱，只要思

路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分。

一、填空題(本題滿分64分，每小題8分。干脆將答案寫在橫線上。)

1?函數(shù)/u)=-的值域為.

Vx-+4x+76

2.已知3sin2a+2sir)2/7=1,3(sin+cosa)2-2(sin/9+cos/7)2=1,則cos2(a+0=一；.

3.已知數(shù)列{a,,}滿意：生為正整數(shù)，

忤，明為偶數(shù)，

M+1Z

3。〃+1,?！槠鏀?shù)，

假如a}+a2+a3=29,貝ljax=5.

4.設(shè)集合S={1,2,3,…,12},人=伍］,々，2}是S的子集，且滿意。3一。2?設(shè)那么

滿意條件的子集4的個數(shù)為185.

22

5.過原點。的直線/與橢圓C：j+4=l(a>b>0)交于M,N兩點，P是橢圓C上異于

a~b~

的任一點.若直線PM,PN的斜率之積為-1,則橢圓C的離心率為好.

3_3_

6.在△ABC中，AB=BC=2,AC=3.設(shè)。是的內(nèi)心，若元，則e的

3

值為二.

2

7.在長方體中，已知AC=1,與C=VlAB|=p,則長方體的體積最大時，p

2012701?4-?^

8.設(shè)［x］表示不超過x的最大整數(shù)，則±11=2023.

k=02

二、解答題（本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分）

9.已知正項數(shù)列｛*｝滿意Ja“a“+i+6M+2=4&“*+a；］+3*“/用且q=1,a2=S,

求｛〃“｝的通項公式.

-----------------------------8分

所以J"乎+1=4"，即〃,用=［（4"T）2-1M0.--------------------------------12分

于是，當(dāng)”>1時，

2n222

a?=[(4"-'-l)-l]a?.l=[(4-'-l)-l]-[(4"--I)-l]a?,2

=...=門[(4"---1肛=n1(4i-1)2-1],

￡=lk=l

1,〃=1,

因此％二曲―M“22.-----------------------------16分

、A=1

10.已知正實數(shù)滿意a2+/?2=1,且+）3+1=相（。+〃+1）3,求相的取值范圍.

7T

解令。=cosa〃=sine,o<e<—,貝u

2

322

fY!—_c_o_s__e__+_s_i_n_3_。__+_1—_(_c_o_s_0__+_s_i_n_^_)_(i_c_o_s__0_-__c_o_s_6__s_in_。__+_s_i_n___0)__+_1.___________________________________

一(cos6+sin6+l)3-(cosO+sin。+1產(chǎn)

■5分

令x=cos8+sin8,則x=V2sin(^+—)e(1,V2]且

4

r2_[

cosOsin8=-----?----------------------10分

2

于是

_x(l2)+]_2+3]-彳3_2+1--_2-x_31

(x+l)3―2(x+l)3-2(x+l)2-2(%+1)-2(冗+1)2*

■--15分

因為函數(shù)/(x)=——--在(1.V2J上單調(diào)遞減，所以“/)<m</(I).

2(x+1)2

/(1)=1,/(V2)=^|^

又所

r372-41

四二一20分

11.已知點￡■(,%”)為拋物線V=2p*p>0)內(nèi)肯定點，過E作斜率分別為占，3的兩條直線交

拋物線于A,B,C,。，且M,N分別是線段A8,8的中點.

(1)當(dāng)“=0且&-&=-1時，求△EMN的面積的最小值；

(2)若《+&=義(2x0,尤為常數(shù))，證明：直線MN過定點.

解48所在直線的方程為x=4(y-〃)+"?,其中乙=上，代入y?=2p戈中，得

h

2

y-2ptiy+2pt]n-2pm=0,

設(shè)4(為，%),8(工2，必)，則有必+力=2。/1，從而

%+"2=4(X+%-2〃)+2m=tx(2pt「2n)+2m.

則M(pt；-nt}+m,ptj.

CD所在直線的方程為x=r,(y-〃)+,〃，其中r,=’，同理可得N(p片一叫+m,pu).

k2

------------------------------5

分

(1)當(dāng)〃=0時，E(m,0),M(ptf+m,pt1),N(pg+m,ptD,lEMRp%|Jl+t：,

\EN\=\pt2\^\+t^.

又匕&=-l,故/「4=T，于是△￡?新的面積

S=g|EMHENI=；|p2他I而而弋?7^不忑

>--A/4=p2,

2

當(dāng)且僅當(dāng)|f||=|，2=1時等號成立?

所以，△￡）的的面積的最小值為p2..............................10分

⑵%v=2M「）___=!，

-f2）一叫-/2）G+心），

~P

2

MN所在直線的方程為y-ptx=---------------[x-（pt1-nt{+m],

z、n

（。+，2）-----

P

即y（。+G-%）-ptj?=x—m.--------------------------------------------15分

p

=—+—=2,即f[2=1+1，代入上式，得y?]+q--四）一=、一/%,

t\t2“2pA

即（。+j）（y一與）=1+"一機.

XP

當(dāng)y_‘=0時，有》+&_機=0,即.幾為方程的一組解，

2P一"

所以直線MN恒過定點（〃?-],-----------------------------20分

年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

中2012

出

泗陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷

於

(（5月20日上午8：30-11；00）

S懶二試

題號一試總成績

—二三四五

如

得分

蒯評卷人

復(fù)核人

K

考生注意：

81.本試卷分兩試.第一試共10小題，滿分80分;第二試共5大題，滿分120分.

裁￡

2.用藍色(或黑色)鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答.

3.解題書寫不要超過裝訂線.

事

4.不能使用計算器.

第一試

X

定!

科得分評卷入填空題(每小題8分，共80分)

——

1摒本題共有10小題，要求直接相答案填在題中的橫線上.

/1.已知集合M={1,3,5,7,9|，若非空集合A滿足：4中各元素都加4后構(gòu)成M

的一個子集,4中各元素都減4后也構(gòu)成M的一個子集，則4=.

2.已知兩條直線匕：y=24：,=4,設(shè)函數(shù)y=3*的圖象與/,4分別交于點4、B,

幽

函數(shù)y=5*的圖象與Z,4分別交于點C、D,則直線AB與CD的交點坐標(biāo)是_____.

)3.對于正整數(shù)n,若n=p^g(pmg,p、geM),當(dāng)p-q最小時,我們稱p^q為力的

一

一“最佳分解”，并規(guī)定/⑺=/例如,12的分解有12X1,6x2,4x3,其中4x3為12

的最佳分解，則/(12)=*關(guān)于/In)，有下列四個判斷：

?(4)=0；額一7)=為1⑨'(24)二看a；?(2012)=看4

(

兇

)其中，所有正確判斷的序號是_____.

照4.已知△加C為等腰直角三角形，乙4=90。,且花=。+九斤=。-從若“=

(cos8,sind)(6wR),則△仞，的面積等于.

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷第1頁(共6頁)

(

兇

)

生

5.在正四面體ABCD中,40，平面BCD,垂足為。.設(shè)M是線段4。上一點，且滿

足乙創(chuàng)優(yōu)=90。,則瑞=.

6.如圖1,用的三個頂點都在給定的拋物線

x2=2py（p>0）上，且斜邊AB//x軸,則斜邊上的高|CD\

7.某項游戲活動的獎勵分成一、二、三等獎（參與游戲

活動的都有獎），且相應(yīng)獲獎的概率是以a為首項、2為公比

的等比數(shù)列,相應(yīng)獲得的獎金是以700元為首項、-140為公

差的等差數(shù)列.則參與這項游戲活動獲得獎金的期望是圖】

______%.

8.設(shè)p、g是兩個不同的質(zhì)數(shù)，則pi+/“被p?g除的余數(shù)是.

9.定義在R上的函數(shù)/⑷滿足且對任意的"R,都有/?）<?!".則

不等式/（勿g24）a""的解集為.

10.從公路旁的材料工地沿筆直公路向同一方向運送電線桿到500m以外的公路

邊埋栽，在500m處栽一根，然后每間隔50m在公路邊栽一根.已知運輸車輛一次最多

只能運3根，要完成運栽20根電線桿的任務(wù)，并返回材料工地,則運輸車總的行程最

小為m.

得分評卷人

一、（本題滿分20分）

在△ABC中，已知4B=2,4C=1,且cos2A+Isin24產(chǎn)=1.

（1）求角4的大小和BC邊的長；

（2）若點P在△ABC內(nèi)運動（含邊界），且點P到三邊距離之和為d.設(shè)點P到邊

BC、CA的距離分別為4、y,試用…表示d,并求d的取值范圍.

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷第2頁（共6頁）

得分評卷入

二、（本題滿分20分）

在平面直角坐標(biāo)系中，以點CQ,：）為圓心的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點。，且分別與％軸、

y軸交于點A1（不同于原點0）.

（1）求證:ZUOB的面積S為定值；

（2）設(shè)直線Z：y=-2%+4與圓C相交于不同的兩點M、N,且|0破|=|ON|,

求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽友預(yù)賽試卷第3頁（共6頁）

得分評卷人

三、（本題滿分20分）

如圖2,銳角△ABC內(nèi)接于圓。，過圓心0且垂直于半徑OA

的直線分別交邊四、4C于點E、F.設(shè)圓。在B、C兩點處的切線

相交于點P,求證:直線AP平分線段EF.

圖2

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷第4頁（共6頁）

得分評卷入

四、(本題滿分30分)

已知數(shù)列｛4｝滿足/=4-,4'=2<13*+[+3a?+1(ne7V*).

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)若數(shù)列也[滿足鼠=1+：(neW)，且對任意正整數(shù)MziN2)，不等式

芝[晨>茂恒成立，求整數(shù)W的最大值.

^=1n+log3bk24

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷第5頁(共6頁)

得分評卷入

五、（本題滿分30分）

對于任意的正整數(shù)/證明：

7

1]1+…+1

3^2+32+2i+33-213"+(-2)*6*

圖

摩

那

娜3-

闔

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷第6頁（共6頁）

2023年上海市中學(xué)數(shù)學(xué)競賽

一、填空題（本題滿分60分，前4小題每小題7分，后4小題每小題8分）

1.如圖，正六邊形的邊長為1,它的6條對角線又

圍成一個正六邊形如此接著下去，則全部這些

六邊形的面積和是

a.4

2.已知正整數(shù)q,a,,,%o滿意:上>—,l《i<J410,則為）

42

的最小可能值是

174

3.H若tana+tan，+tany=-，cotcr+cot+cot/=——,cotacot夕

65

17

+cotyffcot/+cot/cotcr=--,則tan(a+尸+y)=.

4.已知關(guān)于x的方程1g(h)=21g(x+l)僅有一個實數(shù)解，則實數(shù)攵的

取值范圍是.

5.如圖，AA￡F是邊長為x的正方形A3CO的內(nèi)接三角形，已知

ZAEF=90°,AE=a,EF=b,a>b,則》=

6.方程2匕3"-3向+2"'=13的非負整數(shù)解（%〃）=，

7.一個口袋里有5個大小一樣的小球，其中兩個是紅色的，兩個是白色的，一個是黑

色的，依次從中摸出5個小球，相鄰兩個小球的顏色均不相同的概率是.

（用數(shù)字作答）

8.數(shù)列｛4｝定義如下：q=l,a,=2,a“+2="駕％一一^-a?,n=l,2,?若

a>2+—,則正整數(shù)加的最小值為

m2012

二、解答題

9.（本題滿分14分）如圖，在平行四邊形A8CD中，AB^x,BC=1,對角線AC與

BD的夾角400=45。，記直線AB與CD的距離為〃（x）.

求/z（x）的表達式，并寫出x的取值范圍.

A

10.（本題滿分14分）給定實數(shù)。＞1,求函數(shù)/（x）=（a+sin"）（4+sinx）的最小值.

l+sinx

11.(本題滿分16分)正實數(shù)x,y,z滿意9A>Z+孫+yz+zx=4,求證:

4

(1)xy+yz+zx>—；

(2)x+y+z22.

12.(本題滿分16分)給定整數(shù)〃修3),記/(“)為集合｛1,2,,2"-1｝的滿意如下兩個

條件的子集A的元素個數(shù)的最小值：

(a)isA2n-IGA；

(b)A中的元素(除1外)均為A中的另兩個(可以相同)元素的和.

(1)求/⑶的值;

(2)求證：/(100)<108.

2023年上海市中學(xué)數(shù)學(xué)競賽答案

9G

1、2、92

~4~

3、114、(f0)U{4}

5、6、(3,0),(2,2)

yjcr+(a-6)一

7、-8、4025

5

9.解由平行四邊形對角線平方和等于四條邊的平方和得

OB1+OC2=-(AB2+BC2)=-(x2+1).①

22

（2分）

在△08C中，由余弦定理

BC2=OB2+OC2-2OBOCcosNBOC,

所以O(shè)B2+OC2-y/2OBOC=\,②

r2_1

由①，②得OBOC=—尸.③

2V2

（5分）

所以SABCD=4SAOBC=4--OBOCsinZBOC

2_]

=yf2OBOC=^——

29

尤2_]

故AB?h(x)----,

2-l

所以/l(x)=土x」...........（10分）

2x

由③可得，x2-l>0,故x>l.

因為O82+OC22203。。，結(jié)合②，③可得

-(x2+l)>2-^i,

22V2

解得（結(jié)合x>l）1<X<V2+1.

Y2_11—

綜上所述，h(x)=-----，l<x<V2+l.（14分）

2x

AHj、(a+sinx)(4+sinx)..3(a-l),

10.解/(x)=-----------------=l+sinx+-