高等數(shù)學(xué)第二章課件

學(xué)習(xí)任務(wù)與目標熟練掌握導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的基本運算，會應(yīng)用導(dǎo)數(shù)變化率的描述來理解在學(xué)習(xí)工程類課程中遇到的概念，能利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題．掌握隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)的求法，二階及高階導(dǎo)數(shù)的物理意義，能用其解決工程類問題．理解微分的概念，會用微分作近似計算與估計．第一節(jié)：導(dǎo)數(shù)的概念兩個引例導(dǎo)數(shù)的概念利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系導(dǎo)數(shù)的概念12.1.1兩個引例設(shè)物體作變速直線運動，位移

關(guān)于時間

的運動方程為

，試求物體在

時刻的瞬時速度

．引例1變速直線運動的瞬時速度導(dǎo)數(shù)的概念1解設(shè)物體從

點開始運動，經(jīng)過時間

到達點

，所經(jīng)過的路程

，即

，當(dāng)時間

由

變到

時，物體由點變到點

，物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的距離

，物體在

這段時間內(nèi)所走過的路程為

在

這段時間內(nèi)的平均速度為

導(dǎo)數(shù)的概念1顯然在

這段時間內(nèi)的平均速度不能確切描述在

時刻的速度，但是

越小時，平均速度

就越接近時刻

的速度，當(dāng)

時，平均速度

的極限值就是物體在時刻的瞬時速度，即

平均速度

，稱為路程

在

到

時間段內(nèi)的平均變化率；而瞬時速度

，稱為路程

在時間

時刻的瞬時變化率．導(dǎo)數(shù)的概念1引例2

曲線的切線斜率設(shè)函數(shù)

在點

處連續(xù)，曲線

在點

處有切線且斜率存在，求曲線

在點處的切線斜率，如圖所示．導(dǎo)數(shù)的概念1解在曲線上另取一點

，設(shè)其坐標為．先求取割線斜率，設(shè)割線

的傾角為

，切線

的傾角為

，則割線

的斜率為

顯然當(dāng)

時，即點沿著曲線趨近于定點

時，割線

趨近于極限位置

（即切線

）．于是得到切線

的斜率為

導(dǎo)數(shù)的概念12.1.2導(dǎo)數(shù)的概念定義1設(shè)函數(shù)

在點

及其左右近旁有定義，給自變量

在點

處一個增量

，相應(yīng)地會有函數(shù)增量當(dāng)

時，若

的極限存在，則稱此極限值為

在點

處的導(dǎo)數(shù)，并稱函數(shù)

在點處可導(dǎo)，記作

，即

也可記為

，或

．1.導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的概念1注：1）若式（2-1）的極限存在，則稱函數(shù)在點

處可導(dǎo)；若極限不存在，則稱函數(shù)

在點

處不可導(dǎo)（或?qū)?shù)不存在）．2）導(dǎo)數(shù)的定義式（2-1）還可以有下列兩種形式：（1）令

，得

；（2）令，得

．導(dǎo)數(shù)的概念12.區(qū)間可導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)定義2如果函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)每一點都可導(dǎo)，則稱

在區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)．即對

，都有導(dǎo)數(shù)值與之對應(yīng)，而

是關(guān)于

的函數(shù)，則稱

為函數(shù)

的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，即

也可記作

，

，

．

表示

在任意點

處的導(dǎo)數(shù)．注：

是

的函數(shù)，而

是一個常數(shù)，

是導(dǎo)函數(shù)

在

處的函數(shù)值．2.1.3利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念1由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)可按以下三個步驟進行：（1）求函數(shù)增量：

；（2）計算比值：

；（3）求極限：

．導(dǎo)數(shù)的概念1例2

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．例1

求函數(shù)

（

為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)．解因為為常數(shù)，所以

，

，

．即

解（1）求函數(shù)增量：

；（2）計算比值：

；（3）求極限：可得冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（

為任意實數(shù)）．函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則2例3

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．解

即用同樣的方法可以求出以上兩個公式是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則2例4

求函數(shù)

（

，

）的導(dǎo)數(shù)．解當(dāng)

時，

與

是等價無窮?。傻弥笖?shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：特別地，當(dāng)

時，有．解

得對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

．特別地，當(dāng)

時，有

．例5

求

（，

）的導(dǎo)數(shù)．函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則2注：求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)時，一般先求出已給函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后再求導(dǎo)函數(shù)在該點處的函數(shù)值．函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則2例6

求下列函數(shù)在指定點處的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）（3）（4）解（1）（2）（3）（4）2.1.4導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的概念1由引例2及導(dǎo)數(shù)的定義可知：函數(shù)

在點處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線

，以點

為切點的切線斜率，即

示．由直線的點斜式方程可以得到：（1）曲線

在點

處的切線方程為：

（2）曲線

在點處的法線方程為：．函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則2例7求曲線在點處的切線方程和法線方程．解

因為

，于是曲線在點

處的切線斜率為從而，所求的切線方程為即

．所求法線的斜率為

，所求的法線方程為

．即

．函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則2例8求曲線

上一點，使得過該點的切線與直線

平行．解設(shè)曲線

上點

處的切線與直線

平行，曲線

在

處的切線斜率為

而直線的斜率為

，根據(jù)兩條直線平行的條件，有

，即

．將

代入曲線，得所以，曲線

在點

處的切線與直線

平行．導(dǎo)數(shù)的概念54.1.5函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1如果函數(shù)

在點處可導(dǎo)，則函數(shù)

一定在點

處連續(xù)．例1

證明函數(shù)

在

處連續(xù)，但在

處不可導(dǎo)．證

（1）因為函數(shù)是基本初等函數(shù)，定義域為

，由基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點都連續(xù)的定理可知，函數(shù)

在

處連續(xù)．（2）因為

，顯然，當(dāng)

時，導(dǎo)數(shù)不存在．第二節(jié)：函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)舉例函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則22.2.1函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則法則1兩個函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)，等于各個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和，即可以推廣到有限個函數(shù)的代數(shù)和的情形，即如果函數(shù)

，

在點

處可導(dǎo)，且

，

，則這兩個函數(shù)的和、差、積、商在點

處也可導(dǎo)，且有函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則2法則2兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)再加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即法則3兩個函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)乘以分母減去分子乘以分母的導(dǎo)數(shù)，然后除以分母的平方，即推論

（

為常數(shù)）．推廣到有限個函數(shù)的代數(shù)和的情形，即函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則22.2.2求導(dǎo)舉例例1

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）（3）（4）解（1）（2）（3）（4）函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則2例2

設(shè)函數(shù)

，求．解，即，這是正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則2例3

設(shè)函數(shù)

，求

．解

即，這是正割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．余切函數(shù)和余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，即

例4

設(shè)函數(shù)

，求．解

函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則2例5

求下列函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù)：（1）

，，（2）

，，

．

即得公式

解（1）（2）第三節(jié)：

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則32.3.1反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的求導(dǎo)法則

若單調(diào)函數(shù)在

內(nèi)可導(dǎo)，且

，其反函數(shù)

在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且、

或

．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3例1

求反正弦函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．解（）是（）的反函數(shù)，而在內(nèi)單調(diào)增加、可導(dǎo)，且．所以在內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為

在

內(nèi)，

．于是有，

．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3例2

求反正切函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．（解略，請仿照例1試求）類似可得，

．以上兩個公式是反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則32.3.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)

在點處可導(dǎo)，函數(shù)

在對應(yīng)點

處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)

在處也可導(dǎo)，并且

或

．或記為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3本法則可推廣到有限次復(fù)合的情形，如

，，

，則復(fù)合函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)為

例3

設(shè)函數(shù)

，求．解

是由

，

復(fù)合而成的，因此

例4

設(shè)函數(shù)

，求

．解

是由

，

復(fù)合而成的，因此

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3例5

設(shè)函數(shù)

，求．解

是由

，

復(fù)合而成的，因此

例6

設(shè)函數(shù)

，求

．解

是由

，

復(fù)合而成的，因此

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3例7

設(shè)函數(shù)

，求．解

是由

，

復(fù)合而成的，因此

例8

設(shè)函數(shù)

，求

．解

是由

，

復(fù)合而成的，因此

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3例9

設(shè)函數(shù)

，求．例10

設(shè)函數(shù)

，求

．解

是由

，

復(fù)合而成的，因,所以

解

是由

，

復(fù)合而成的，因，所以

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3例11

設(shè)函數(shù)

，求．例12

設(shè)函數(shù)

，求

．解

解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3例13

設(shè)函數(shù)

，求．例14

設(shè)函數(shù)

，求

．解將分母有理化，得

，故

解因為

，所以復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3例15

設(shè)函數(shù)

，求．例16

設(shè)函數(shù)

，求

．解解因為

，所以例17

設(shè)函數(shù)，求

．解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3第四節(jié)：初等函數(shù)的求導(dǎo)問題、高階導(dǎo)數(shù)初等函數(shù)的求導(dǎo)問題高階導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）2.4.1初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.導(dǎo)數(shù)的基本公式初等函數(shù)的求導(dǎo)問題、高階導(dǎo)數(shù)4（11）（12）（13）（14）（15）（16）初等函數(shù)的求導(dǎo)問題、高階導(dǎo)數(shù)4（1）（2）（3）（4）2.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則初等函數(shù)的求導(dǎo)問題、高階導(dǎo)數(shù)4設(shè)

，，且和

都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)為

或

．3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則初等函數(shù)的求導(dǎo)問題、高階導(dǎo)數(shù)42.4.2高階導(dǎo)數(shù)若函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)

仍是

的可導(dǎo)函數(shù)，則

的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)

的二階導(dǎo)數(shù)，記作

，

，或

．類似地，二階導(dǎo)數(shù)

的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)

的三階導(dǎo)數(shù)，記為

；三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)

的四階導(dǎo)數(shù)，記為

，…，

階導(dǎo)數(shù)

的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)

的階導(dǎo)數(shù)，記作

，

，

或

．1.高階導(dǎo)數(shù)的概念初等函數(shù)的求導(dǎo)問題、高階導(dǎo)數(shù)4初等函數(shù)的求導(dǎo)問題、高階導(dǎo)數(shù)4二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)．相應(yīng)地，函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)

叫做函數(shù)

的一階導(dǎo)數(shù)．初等函數(shù)的求導(dǎo)問題、高階導(dǎo)數(shù)42.高階導(dǎo)數(shù)的計算例1

設(shè)函數(shù)

，求．解例2

設(shè)函數(shù)

，求．解初等函數(shù)的求導(dǎo)問題、高階導(dǎo)數(shù)4例3

設(shè)函數(shù)

，求．例4

設(shè)函數(shù)，求．解解初等函數(shù)的求導(dǎo)問題、高階導(dǎo)數(shù)4例5

設(shè)函數(shù)，求．解依次類推類似地初等函數(shù)的求導(dǎo)問題、高階導(dǎo)數(shù)4例6

設(shè)函數(shù)，求．解依次類推，可得初等函數(shù)的求導(dǎo)問題、高階導(dǎo)數(shù)43.二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義若物體作變速直線運動，其運動方程為

，則物體運動的速度為路程

對時間的導(dǎo)數(shù)，即．此時，若速度仍是時間

的函數(shù)，則速度

對時間的導(dǎo)數(shù)為

在力學(xué)中把它叫做運動物體在時刻

的加速度，記作．即由以上討論得出二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義：作變速直線運動的物體的加速度

是路程

對時間

的二階導(dǎo)數(shù)．初等函數(shù)的求導(dǎo)問題、高階導(dǎo)數(shù)4例7

設(shè)一物體的運動方程為

，求物體在時刻的速度和加速度．解物體在任意時刻

的速度和加速度分別為

所以

第五節(jié)：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)52.5.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)與自變量

的關(guān)系是用

來表示的，我們稱

為顯函數(shù)．由含

和

的方程

所確定的函數(shù)關(guān)系，稱為隱函數(shù)．求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5（1）方程

的兩邊同時對自變量

求導(dǎo)；（2）遇到只含

的項直接求導(dǎo)；（3）遇到含

的項時，因為是

的函數(shù)，

的函數(shù)則是

的復(fù)合函數(shù)，所以利用導(dǎo)數(shù)基本公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等對含

函數(shù)求導(dǎo)，再乘以

，即對

的導(dǎo)數(shù)；（4）解出，即為所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．例1求隱函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．解

方程兩邊同時對

求導(dǎo)，得

解出，得

隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5例2求橢圓

在點

處的切線方程和法線方程．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5解

將方程兩邊同時對

求導(dǎo)，得由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，橢圓

在點

處的切線斜率和法線斜率分別為切線方程為法線方程為

2.5.2由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5計算由參數(shù)方程（）所確定的函數(shù)

關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，在應(yīng)用類問題中會經(jīng)常遇到，如何計算參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)

呢？我們根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，將

視為中間變量，得到參數(shù)方程的求導(dǎo)法則：

解因為

所以

例3

求由橢圓

所確定的函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5例4

求擺線

在時曲線上的點的切線方程．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5解當(dāng)時，擺線上的點為

．斜率為

點

處的斜率為

．故擺線在點

處的切線方程為即

．2.5.3對數(shù)求導(dǎo)法形如

（

）的函數(shù)叫做冪指函數(shù)，其中

，

是可導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)要求導(dǎo)的函數(shù)是冪指函數(shù)或乘法、除法、冪運算多的復(fù)雜函數(shù)時，可以考慮用對數(shù)求導(dǎo)法，具體步驟為：（1）對等式兩邊同時取以

為底的對數(shù)，并化簡；（2）利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則求其導(dǎo)數(shù)．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5例5

求

（

）的導(dǎo)數(shù)．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5解（1）；（2）根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則，兩邊同時對

求導(dǎo)，得例6

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5解（1）將等式兩邊取自然對數(shù)得

（2）根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則，兩邊同時對

求導(dǎo)，得

第六節(jié)：函數(shù)的微分及應(yīng)用微分的概念微分的幾何意義微分的運算微分在近似計算中的應(yīng)用函數(shù)的微分及應(yīng)用62.6.1微分的概念定義1如果函數(shù)

在點

具有導(dǎo)數(shù)

，則稱

為

在點

的微分，記作

，即

．通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作

，即

．則函數(shù)在點

處的微分可寫成

當(dāng)函數(shù)

在點處有微分時，稱函數(shù)

在點

處可微．函數(shù)的微分及應(yīng)用6一般地，函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)任意點

的微分稱為函數(shù)的微分，記作

，即

由

，得

．由此可見，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．因此，導(dǎo)數(shù)也稱微商．2.6.2微分的幾何意義如圖所示，點

和

是曲線

上鄰近的兩點．

為曲線在點處的切線，其傾斜角為

．容易得到

，這就是說函數(shù)

在點

處的微分，在幾何上表示曲線

在點

處切線

的縱坐標的增量

．函數(shù)的微分及應(yīng)用6在圖中，

表示

與

之差，當(dāng)

很小時，

與相比是微不足道的，因此，可用

近似代替

．這就是說，當(dāng)很小時，有

．2.6.3微分的運算1.微分的基本公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）函數(shù)的微分及應(yīng)用6（13）（9）（11）（15）（12）（14）（10）（16）函數(shù)的微分及應(yīng)用6函數(shù)的微分及應(yīng)用62.函數(shù)的和、差、積、商的微分法則設(shè)

，

都是

的可微函數(shù)，

為常數(shù)，則（1）

（2）

（3）

（4）

（

）．這里給出乘積的微分法則的證明．根據(jù)微分的定義，有函數(shù)的微分及應(yīng)用63.微分形式的不變性由微分的定義知，當(dāng)

是自變量時，函數(shù)

的微分是如果

不是自變量，而是

的可微函數(shù)

，那么對于復(fù)合函數(shù)

，根據(jù)微分的定義和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有

其中

，所以上式仍可寫成由此可見，不論

是自變量還是中間變量，函數(shù)

的微分總是同一個形式：

，此性質(zhì)稱為微分形式的不變性．例1設(shè)函數(shù)

，求

．函數(shù)的微分及應(yīng)用6解方法1：直接應(yīng)用微分公式

計算，則有

方法2：把

看成中間變量

，則有

例2求函數(shù)

的微分

．解函數(shù)的微分及應(yīng)用6例3設(shè)函數(shù)

的微分

．解方法1：

方法2：

函數(shù)的微分及應(yīng)用6例4將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號內(nèi)，使等式成立．（1）d（

）；

（2）d（

）；（3）d（

）