新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破課件 第1部分 專題突破 專題3　第1講　等差數(shù)列、等比數(shù)列（含解析）

第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列專題三

數(shù)列考情分析1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.等差、等比數(shù)列求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn).考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算考點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)考點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷專題強(qiáng)化練內(nèi)容索引等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.(3)等差數(shù)列的求和公式：核心提煉√例1設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，因?yàn)镾5＝4a4，得a1＝2d(d≠0)，(2)(2022·日照模擬)河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟.現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列{an}，則log2(a3·a5)的值為A.8 B.10 C.12 D.16√∵最下層的“浮雕像”的數(shù)量為a1，依題意有，公比q＝2，n＝7，則an＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，∴a3＝25，a5＝27，從而a3·a5＝25×27＝212，∴l(xiāng)og2(a3·a5)＝log2212＝12.等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，首項(xiàng)a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項(xiàng)和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列.(3)由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行相關(guān)計算.規(guī)律方法

(1)(2022·全國乙卷)已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168，a2－a5＝42，則a6等于A.14 B.12 C.6 D.3跟蹤演練1√方法一

設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，方法二設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，(2)(多選)(2022·廣東聯(lián)考)北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為a1，a2，a3，…，a9，設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＝18，a4＋a6＝90，則

A.a1＝6 B.{an}的公差為9C.a6＝3a3

D.S9＝405√√設(shè){an}的公差為d.由a4＋a6＝90，得a5＝45，又a2＝18，因?yàn)閍6＝9＋5×9＝54，a3＝9＋2×9＝27，所以a6＝2a3，故C錯誤；等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)考點(diǎn)二1.通項(xiàng)性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝2.前n項(xiàng)和的性質(zhì)：(1)對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)時除外).(2)對于等差數(shù)列有S2n－1＝(2n－1)an.核心提煉例2√∴2d(a7＋a5)＋2d(a8＋a6)＝0，又d≠0，a8＋a5＝a6＋a7，∴2(a7＋a6)＝0，(2)(2022·武漢質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，記{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則下列選項(xiàng)錯誤的是A.0<q<1 B.a6>1C.T12>1 D.T13>1√∵等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，∴(a6－1)(a7－1)<0，∵a1>1，若a6<1，則一定有a7<1，不符合題意，則a6>1，a7<1，∴0<q<1，故A，B正確；∵a6a7＋1>2，∴a6a7>1，T12＝a1a2a3…a12＝(a6a7)6>1，故C正確；等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)問題的求解策略(1)抓關(guān)系，抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題.規(guī)律方法(1)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，則a15＋a16等于A.32 B.64

C.128

D.256√跟蹤演練2因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，a1＋a2＝1≠0，所以數(shù)列{a2n－1＋a2n}仍然是等比數(shù)列，記bn＝a2n－1＋a2n，設(shè)其公比為q，所以a15＋a16＝b8＝28－1＝128.(2)(多選)(2022·濟(jì)寧檢測)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，a4＋a11>0，a7·a8<0，則A.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列

B.S6>S9C.當(dāng)n＝7時，Sn最大

D.當(dāng)Sn>0時，n的最大值為14√√√∵在等差數(shù)列{an}中，a1>0，a4＋a11＝a7＋a8>0，a7·a8<0，∴a7>0，a8<0，∴公差d<0，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，A錯誤；∵S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，∴S6>S9，B正確；∵a7>0，a8<0，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，∴當(dāng)n＝7時，Sn最大，C正確；∵a4＋a11>0，a7>0，a8<0，∴當(dāng)Sn>0時，n的最大值為14，D正確.等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷考點(diǎn)三證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法.核心提煉例3(2022·連云港模擬)若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝5，對于任意的n∈N*，都有an＋2＝6an＋1－9an.(1)證明：數(shù)列{an＋1－3an}是等比數(shù)列；由an＋2＝6an＋1－9an，得an＋2－3an＋1＝3an＋1－9an＝3(an＋1－3an)，且a2－3a1＝5－3＝2，所以數(shù)列{an＋1－3an}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.由(1)得an＋1－3an＝2×3n－1，等式左右兩邊同時除以3n＋1，可得(1)

＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項(xiàng)不為0.(2){an}為等比數(shù)列，可推出a1，a2，a3成等比數(shù)列，但a1，a2，a3成等比數(shù)列并不能說明{an}為等比數(shù)列.(3)證明{an}不是等比數(shù)列可用特值法.易錯提醒

(2022·湖北七市(州)聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＝3Sn－2(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；跟蹤演練3當(dāng)n＝1時，a1＝3S1－2＝3a1－2，所以a1＝1；當(dāng)n≥2時，因?yàn)閍n＝3Sn－2，所以an－1＝3Sn－1－2，(2)求證：對任意的m∈N*，Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數(shù)列.對任意的m∈N*，所以2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，即Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數(shù)列.專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題1.(2022·荊州聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，滿足2a4＝a3＋5，則S9等于A.35 B.40 C.45 D.50√1234567891011121314由題意2a4＝a3＋5，得2(a1＋3d)＝a1＋2d＋5，即a1＋4d＝5，即a5＝5，√設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a6＋a8＝(a1＋a3)q5＝1×q5＝－32，所以q5＝－32，123456789101112131412345678910111213143.(2022·漳州質(zhì)檢)我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將1,2，…，9填入3×3的方格內(nèi)，使三行、三列、對角線的三個數(shù)之和都等于15，如圖所示.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3，…，n2填入n×n個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形叫做n階幻方.記n階幻方中數(shù)的和即方格內(nèi)的所有數(shù)的和為Sn，如圖三階幻方中數(shù)的和S3＝45，那么S9等于A.3321 B.361 C.99 D.33√12345678910111213144.(2021·全國甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件√12345678910111213141234567891011121314當(dāng)a1<0，q>1時，an＝a1qn－1<0，此時數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增時，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，則qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，則qn<0(n∈N*)，不存在.所以甲是乙的必要條件.5.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，記bn＝an＋an＋1＋an＋2且bn＋1－bn＝2，則S31等于A.171 B.278 C.351 D.395√12345678910111213141234567891011121314由bn＋1－bn＝2，得bn＋1－bn＝an＋1＋an＋2＋an＋3－(an＋an＋1＋an＋2)＝an＋3－an＝2，所以a1，a4，a7，…是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，a2，a5，a8，…是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，a3，a6，a9，…是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以S31＝(a1＋a4＋…＋a31)＋(a2＋a5＋…＋a29)＋(a3＋a6＋…＋a30)6.(2022·佛山模擬)公比為q的等比數(shù)列{an}滿足：a9＝ln

a10>0，記Tn＝a1a2a3…an，則當(dāng)q最小時，使Tn≥1成立的n的最小值是A.17 B.18 C.20 D.21√1234567891011121314已知{an}是等比數(shù)列，∵a9＝ln

a10>0，∴a9>0，a10>1，又∵a9＝ln

a10＝ln(a9·q)＝ln

a9＋ln

q，∴l(xiāng)n

q＝a9－ln

a9，1234567891011121314當(dāng)x>1時，f′(x)>0，當(dāng)0<x<1時，f′(x)<0，∴在x＝1時，f(x)取極小值1，∴l(xiāng)n

q≥1，q≥e，由題意得q＝e，a9＝1，a1＝e－8，1234567891011121314∴an＝e－8·en－1＝en－9，由Tn＝a1a2a3…an＝e－8·e－7·e－6·…·en－9解得n≥17，∴n的最小值是17.1234567891011121314二、多項(xiàng)選擇題7.(2022·福州質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0.若Sn≤S6，則A.a1<0

B.d<0 C.a6＝0 D.S13≤0√√因?yàn)镾n≤S6，所以S5≤S6且S7≤S6，即a6＝S6－S5≥0，a7＝S7－S6≤0，因?yàn)閐≠0，即a6，a7不同時為零，所以d＝a7－a6<0，故B正確，C錯誤；因?yàn)閍6≥0，即a1＋5d≥0，所以a1>0，故A錯誤；12345678910111213148.(2022·保定模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝1，a2＝2，an＋1＝4an－3an－1，則下面說法正確的是A.數(shù)列{an＋1－an}為等比數(shù)列B.數(shù)列{an＋1－3an}為等差數(shù)列C.an＝3n－1＋11234567891011121314√√√根據(jù)題意得an＋1＝4an－3an－1，即an＋1＋kan＝(k＋4)an－3an－11234567891011121314解得k＝－1或k＝－3，所以可得an＋1－an＝3(an－an－1)或an＋1－3an＝an－3an－1，所以數(shù)列{an＋1－an}為公比為3的等比數(shù)列，故A正確；1234567891011121314數(shù)列{an＋1－3an}為常數(shù)列，即為公差為0的等差數(shù)列，故B正確；所以an＋1－an＝1×3n－1，且an＋1－3an＝－1，三、填空題1234567891011121314an＝2n2所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n2.10.(2022·邯鄲模擬)“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第十六題的“物不知數(shù)”問題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有一個相關(guān)的問題：將1到2022這2022個自然數(shù)中被3除余2且被5除余4的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為______.12345678910111213141341234567891011121314因?yàn)橛?到2022這2022個自然數(shù)中被3除余2且被5除余4的數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個首項(xiàng)為14，公差為15的等差數(shù)列{an}，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝14＋15(n－1)＝15n－1.令an＝15n－1≤2022，解得n≤134，即該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為134.因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以a1a5＝a2a4＝

＝9，1234567891011121314123456789101112131412.(2022·梅州模擬)分形幾何學(xué)的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.圖1是長度為1的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，稱為“二次分形”…，依次進(jìn)行“n次分形”(n∈N*).規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度，要得到一個長度不小于30的分形圖，則n的最小整數(shù)值是_____.(取lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)121234567891011121314兩邊取對數(shù)得(2lg2－lg3)n≥1＋lg3，又n∈N*，解得n≥12，故n的最小整數(shù)值為12.1234567891011121314四、解答題13.(2022·新高考全國Ⅱ)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)證明：a1＝b1；設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2－b2＝a3－b3得a1＋d