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文檔簡介
第2講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系專題四
立體幾何考情分析高考對此部分的考查,一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷,以選擇題、填空題的形式考查,屬于基礎(chǔ)題;二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題,一般以選擇題、填空題或解答題的第(1)問的形式考查,屬中檔題.考點(diǎn)一空間直線、平面位置關(guān)系的判定考點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系考點(diǎn)三翻折問題專題強(qiáng)化練內(nèi)容索引空間直線、平面位置關(guān)系的判定考點(diǎn)一判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷,解決問題.(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型,如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關(guān)系,并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷.核心提煉
(1)(多選)已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則下列說法正確的是A.若α∥β,m?α,n?β,則m∥nB.若m⊥α,m∥n,n⊥β,則α∥βC.若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥nD.若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥β√例1√A選項(xiàng),兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線,可能平行,或者異面,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;B選項(xiàng),若m⊥α,n⊥β,則直線m,n對應(yīng)的方向向量m,n可看作α,β的法向量,由于m∥n,又α,β是兩個(gè)不同的平面,則α∥β,故B選項(xiàng)正確;C選項(xiàng),若兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩個(gè)平面交線的直線才垂直于另一個(gè)平面,從選項(xiàng)中無法判斷m,n和交線的位置關(guān)系,因此m,n可能相交但不垂直,平行,異面但不垂直,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;D選項(xiàng),若m?β,又m⊥α,根據(jù)面面垂直的判定定理,即有α⊥β,若m?β,由于m∥n,n∥β,則m∥β,過m任作一個(gè)平面,使其和β相交于直線c,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,m∥c,又m⊥α,則c⊥α,結(jié)合c?β,即α⊥β,故D選項(xiàng)正確.(2)(多選)(2022·金麗衢十二校聯(lián)考)每個(gè)面均為正三角形的八面體稱為正八面體,如圖.若點(diǎn)G,H,M,N分別是正八面體ABCDEF的棱DE,BC,AD,BF的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是A.四邊形AECF是平行四邊形B.GH與MN是異面直線C.GH∥平面EABD.GH⊥BC√√連接AC,EF,BD,MH,EH,EM,則AC與EF相交且相互平分,故四邊形AECF為平行四邊形,故A正確;所以AE∥CF.又G,H,M,N分別是正八面體ABCDEF的棱DE,BC,AD,BF的中點(diǎn),所以GM∥AE,NH∥CF,所以GM∥NH,且GM=NH,所以四邊形MNHG是平行四邊形,故B錯(cuò)誤;易證平面MNHG∥平面EAB,又GH?平面MNGH,所以GH∥平面EAB,故C正確;因?yàn)镋H⊥BC,MH⊥BC,EH∩MH=H,所以BC⊥平面EMH,而GH?平面EMH,GH∩EH=H,所以GH與BC不垂直,故D錯(cuò)誤.對于線面關(guān)系的存在性問題,一般先假設(shè)存在,然后再在該假設(shè)條件下,利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證,尋找假設(shè)滿足的條件,若滿足,則假設(shè)成立;若得出矛盾,則假設(shè)不成立.規(guī)律方法(1)(多選)(2022·湖南師大附中模擬)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,直線A1C與平面AB1D1的交點(diǎn)為M,O為線段B1D1的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是A.A,M,O三點(diǎn)共線
B.M,O,A1,A四點(diǎn)共面C.B,B1,O,M四點(diǎn)共面
D.A,O,C,M四點(diǎn)共面跟蹤演練1√√√如圖,因?yàn)锳A1∥CC1,則A,A1,C1,C四點(diǎn)共面.因?yàn)镸∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,則點(diǎn)M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,同理,O,A也在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,所以A,M,O三點(diǎn)共線,從而M,O,A1,A四點(diǎn)共面,A,O,C,M四點(diǎn)共面.由長方體性質(zhì)知,OM,BB1是異面直線,即B,B1,O,M四點(diǎn)不共面.(2)設(shè)點(diǎn)E為正方形ABCD的中心,M為平面ABCD外一點(diǎn),△MAB為等腰直角三角形,且∠MAB=90°,若F是線段MB的中點(diǎn),則A.ME≠DF,且直線ME,DF是相交直線B.ME=DF,且直線ME,DF是相交直線C.ME≠DF,且直線ME,DF是異面直線D.ME=DF,且直線ME,DF是異面直線√連接EF,如圖所示,由題意知AB⊥AD,AB⊥AM,AM=AD,AB=AB,則Rt△BAM≌Rt△BAD,所以BM=BD,因?yàn)镋,F(xiàn)分別為BD,BM的中點(diǎn),則EF∥DM,故四邊形FMDE是等腰梯形,所以ME=DF,且直線ME,DF是相交直線.空間平行、垂直關(guān)系考點(diǎn)二平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化核心提煉
如圖,四邊形AA1C1C為矩形,四邊形CC1B1B為菱形,且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C,D,E分別為邊A1B1,C1C的中點(diǎn).(1)求證:BC1⊥平面AB1C;例2∵四邊形AA1C1C為矩形,∴AC⊥C1C,
又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C,平面CC1B1B∩平面AA1C1C=CC1,∴AC⊥平面CC1B1B,∵C1B?平面CC1B1B,∴AC⊥C1B,又四邊形CC1B1B為菱形,∴B1C⊥BC1,∵B1C∩AC=C,AC?平面AB1C,B1C?平面AB1C,∴BC1⊥平面AB1C.(2)求證:DE∥平面AB1C.如圖,取AA1的中點(diǎn)F,連接DF,EF,∵四邊形AA1C1C為矩形,E,F(xiàn)分別為C1C,AA1的中點(diǎn),∴EF∥AC,又EF?平面AB1C,AC?平面AB1C,∴EF∥平面AB1C,同理可得DF∥平面AB1C,∵EF∩DF=F,EF?平面DEF,DF?平面DEF,
∴平面DEF∥平面AB1C,∵DE?平面DEF,∴DE∥平面AB1C.(1)證明線線平行的常用方法①三角形的中位線定理;②平行公理;③線面平行的性質(zhì)定理;④面面平行的性質(zhì)定理.(2)證明線線垂直的常用方法①等腰三角形三線合一;②勾股定理的逆定理;③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直.規(guī)律方法
(2022·西安模擬)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是線段A1B,AC1的中點(diǎn).(1)求證:MN⊥AA1;跟蹤演練2連接A1C,如圖,因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A1B1C1中,AA1C1C為平行四邊形,故A1C和AC1相交,且交點(diǎn)為它們的中點(diǎn)N,又因?yàn)镸為A1B的中點(diǎn),所以MN為△A1BC的中位線,所以MN∥BC.因?yàn)锳A1⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以AA1⊥BC,所以AA1⊥MN,即MN⊥AA1.(2)在線段BC1上是否存在一點(diǎn)P,使得平面MNP∥平面ABC?若存在,指出點(diǎn)P的具體位置;若不存在,請說明理由.存在,當(dāng)P為BC1的中點(diǎn)時(shí),平面MNP∥平面ABC.連接PN,PM,如圖,因?yàn)镹為AC1的中點(diǎn),P為BC1的中點(diǎn),所以PN∥AB,又PN?平面ABC,AB?平面ABC,所以PN∥平面ABC,又由(1)知MN∥BC,BC?平面ABC,MN?平面ABC,故MN∥平面ABC,又MN∩PN=N,MN,PN?平面PMN,所以平面MNP∥平面ABC.翻折問題考點(diǎn)三翻折問題,關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變,一般地,位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變,而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化;對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理,而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.核心提煉(1)(2022·南寧模擬)已知正方形ABCD中E為AB中點(diǎn),H為AD中點(diǎn),F(xiàn),G分別為BC,CD上的點(diǎn),CF=2FB,CG=2GD,將△ABD沿著BD翻折得到空間四邊形A1BCD,則在翻折過程中,以下說法正確的是A.EF∥GH
B.EF與GH相交C.EF與GH異面
D.EH與FG異面√例3如圖,由CF=2FB,CG=2GD,由E為AB中點(diǎn),H為AD中點(diǎn),所以EH∥FG,且EH≠FG,所以四邊形EFGH為梯形.梯形EFGH的兩腰EF,HG延長必交于一點(diǎn),所以EF與GH相交,EH與FG平行,故選項(xiàng)A,C,D不正確,選項(xiàng)B正確.(2)(多選)(2022·山東名校大聯(lián)考)如圖,在矩形ABCD中,AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn),則在△ADE翻折的過程中,下面四個(gè)命題中正確的是A.BM的長是定值B.點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在某個(gè)圓周上C.存在某個(gè)位置,使DE⊥A1CD.A1不在底面BCD上時(shí),MB∥平面A1DE√√√如圖所示,取CD的中點(diǎn)F,連接MF,BF,AC,易得MF∥A1D,BF∥DE,∵M(jìn)F?平面A1DE,A1D?平面A1DE,∴MF∥平面A1DE,同理可得BF∥平面A1DE,又MF∩BF=F,MF,BF?平面BMF,∴平面BMF∥平面A1DE,∵BM?平面BMF,∴BM∥平面A1DE,D選項(xiàng)正確;又∠BFM=∠A1DE,由余弦定理知,MB2=MF2+BF2-2MF·BF·cos∠MFB,∴BM為定值,A選項(xiàng)正確;∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)B為圓心,BM為半徑的圓周上,B選項(xiàng)正確;∵A1C在平面ABCD中的射影在直線AC上,且AC與DE不垂直,∴不存在某個(gè)位置,使DE⊥A1C,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對照前后圖形,弄清楚變與不變的元素后,再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系.易錯(cuò)提醒
(多選)如圖,在矩形ABCD中,BC=1,AB=x,BD和AC交于點(diǎn)O,將△BAD沿直線BD翻折,則下列說法中正確的是A.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置,
使得AB⊥OCB.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置,
使得AC⊥BDC.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置,使得AB⊥平面ACDD.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置,使得AC⊥平面ABD跟蹤演練3√√√當(dāng)AB=x=1時(shí),此時(shí)矩形ABCD為正方形,則AC⊥BD,將△BAD沿直線BD翻折,當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí),因?yàn)镺C⊥BD,OC?平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以O(shè)C⊥平面ABD,又AB?平面ABD,所以AB⊥OC,故A正確;又OC⊥BD,OA⊥BD,且OA∩OC=O,OA,OC?平面OAC,所以BD⊥平面OAC,又AC?平面OAC,所以AC⊥BD,故B正確;即AB⊥AC,且AC∩AD=A,AC,AD?平面ACD,則此時(shí)滿足AB⊥平面ACD,故C正確;若AC⊥平面ABD,又AO?平面ABD,則AC⊥AO,所以在△AOC中,OC為斜邊,這與OC=OA相矛盾,故D不正確.所以將△BAD沿直線BD翻折時(shí),總有AB⊥AD,專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題1.(2022·龍巖質(zhì)檢)已知三條直線a,b,c,若a和b是異面直線,b和c是異面直線,那么直線a和c的位置關(guān)系是A.平行
B.相交C.異面
D.平行、相交或異面√1234567891011121314畫圖分析可知空間直線的三種位置關(guān)系均有可能,故D正確.2.(2022·湖北八市聯(lián)考)設(shè)α,β為兩個(gè)不同的平面,則α∥β的一個(gè)充要條件可以是A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行
B.α,β垂直于同一個(gè)平面C.α,β平行于同一條直線
D.α,β垂直于同一條直線√1234567891011121314對于A,α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行不能得出α∥β,α內(nèi)的所有直線與β平行才能得出,故A錯(cuò)誤;對于B,C,α,β垂直于同一平面或α,β平行于同一條直線,不能確定α,β的位置關(guān)系,故B,C錯(cuò)誤;對于D,α,β垂直于同一條直線可以得出α∥β,反之,當(dāng)α∥β時(shí),若α垂直于某條直線,則β也垂直于該條直線.123456789101112131412345678910111213143.正方體上的點(diǎn)M,N,P,Q是其所在棱的中點(diǎn),則下列各圖中直線MN與直線PQ是異面直線的圖形是√1234567891011121314對于A,易證MQ∥NP,所以A不符合題意;對于B,如圖,因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1,MN?平面A1B1C1D1,PQ?平面ABCD,所以MN與PQ無公共點(diǎn),因?yàn)镸N與PQ不平行,所以MN與PQ是異面直線,所以B符合題意;對于C,易證PM∥NQ,所以C不符合題意;對于D,易證MN∥PQ,所以D不符合題意.4.(2022·華中師大附中模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是A1D的中點(diǎn),則下列說法正確的是A.直線PB與直線D1C平行,直線PB⊥平面A1C1DB.直線PB與直線AC異面,直線PB⊥平面ADC1B1C.直線PB與直線B1D1相交,直線PB?平面ABC1D.直線PB與直線A1D垂直,直線PB∥平面B1D1C√12345678910111213141234567891011121314如圖,連接DB,A1B,D1B1,D1C,B1C,PB,AC,DC1,AB1,由正方體的性質(zhì)知,A1B∥D1C,又A1B與PB相交,所以PB與D1C不平行,故A錯(cuò)誤;顯然,直線PB與直線AC異面,直線A1B⊥平面ADC1B1,而直線PB與A1B不平行,所以直線PB不與平面ADC1B1垂直,故B錯(cuò)誤;直線PB與直線B1D1異面,不相交,故C錯(cuò)誤;1234567891011121314因?yàn)锽A1=BD,P是A1D的中點(diǎn),所以直線PB與直線A1D垂直,又DB∥D1B1,A1B∥D1C,DB?平面B1D1C,A1B?平面B1D1C,A1B∩DB=B,A1B,DB?平面BDA1,D1C,D1B1?平面B1D1C,所以平面BDA1∥平面B1D1C,又PB?平面BDA1,所以直線PB∥平面B1D1C,故D正確.5.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD,則在三棱錐A-BCD中,下列結(jié)論正確的是A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC√12345678910111213141234567891011121314如圖所示,因?yàn)锳D∥BC,∠BAD=90°,AD=AB,所以四邊形ABCD為直角梯形.且∠ABD=∠ADB=∠DBC=45°.又因?yàn)椤螧CD=45°,所以∠CDB=90°,即CD⊥BD.又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD?平面BCD,CD⊥BD,所以CD⊥平面ABD,1234567891011121314若平面ABC⊥平面ABD,那么CD?平面ABC,顯然不成立,故A錯(cuò)誤;因?yàn)镃D⊥平面ABD,AB?平面ABD,所以CD⊥AB.又AB⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ADC,所以AB⊥平面ADC.又因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC,故D正確;1234567891011121314因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,過點(diǎn)A作平面BCD的垂線AE,垂足E落在BD上,顯然垂線不在平面ABC內(nèi),所以平面ABC與平面BDC不垂直,故C錯(cuò)誤,同理B也錯(cuò)誤.6.(2022·中山模擬)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,過A1B且與AC1平行的平面交B1C1于點(diǎn)P,則PC1等于√1234567891011121314連接AB1,交A1B于點(diǎn)Q,連接PA1,PB,PQ,如圖所示.因?yàn)锳C1∥平面A1BP,AC1?平面AB1C1,且平面AB1C1∩平面A1BP=PQ,所以AC1∥PQ,又點(diǎn)Q是AB1的中點(diǎn),所以P是B1C1的中點(diǎn),所以PC1=1.12345678910111213141234567891011121314二、多項(xiàng)選擇題7.(2022·邵陽模擬)如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,則A.BD∥平面EGHFB.FH∥平面ABCC.AC∥平面EGHFD.直線GE,HF,AC交于一點(diǎn)√√因?yàn)锽G∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD.又E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點(diǎn),1234567891011121314易知BD∥平面EGHF,F(xiàn)H與AC為相交直線,即A正確,B,C錯(cuò)誤;因?yàn)镋FHG為梯形,所以EG與FH必相交,設(shè)交點(diǎn)為M,因?yàn)镋G?平面ABC,F(xiàn)H?平面ACD,則M是平面ABC與平面ACD的一個(gè)交點(diǎn),所以M∈AC,即直線GE,HF,AC交于一點(diǎn),所以D正確.8.如圖1,已知E為正方形ABCD的邊AB的中點(diǎn),將△DAE沿邊DE翻折到△PDE,連接PC,PB,EC,設(shè)F為PC的中點(diǎn),連接BF,如圖2,則在翻折的過程中,下列命題正確的是A.存在某一翻折位置,使得DE∥平面PBCB.在翻折的過程中(點(diǎn)P不在平面BCDE內(nèi)),
都有BF∥平面PDEC.存在某一翻折位置,使得PE⊥CDD.若PD=CD=PC=4,則三棱錐P-CDE的外接球的表面積為1234567891011121314√√√對于A選項(xiàng),取DC的中點(diǎn)G,連接BG,因?yàn)锽E∥GD,BE=GD,所以四邊形DEBG為平行四邊形,所以DE∥GB,而BG與平面PBC相交,所以DE與平面PBC相交,故A錯(cuò)誤;對于B選項(xiàng),連接FG,則FG∥PD,由DE∥GB,易證平面BFG∥平面EPD,而BF?平面BFG,所以BF∥平面PDE,故B選項(xiàng)正確;對于C選項(xiàng),因?yàn)镻E⊥PD,要使得PE⊥CD,則PE⊥平面PCD,則PE⊥PC,而EC=ED,此時(shí),只需要PC=PD即可,故C選項(xiàng)正確;1234567891011121314對于D選項(xiàng),由PD=CD=PC=4可知,PE⊥平面PCD,PE=2,1234567891011121314設(shè)三棱錐P-CDE的外接球半徑為R,三、填空題9.已知l是平面α,β外的直線,給出下列三個(gè)論斷:①l∥α;②α⊥β;③l⊥β.以其中兩個(gè)論斷為條件,余下的論斷為結(jié)論,寫出一個(gè)正確命題:__________________________________________.(用序號表示)1234567891011121314若①③,則②或若②③,則①(填寫一個(gè)即可)因?yàn)楫?dāng)l∥α,α⊥β時(shí),l與β可能平行或者相交,所以①②作為條件,不能得出③;因?yàn)閘∥α,所以α內(nèi)存在一條直線m與l平行,又l⊥β,所以m⊥β,所以可得α⊥β,即①③作為條件,可以得出②;因?yàn)棣痢挺拢琹⊥β,所以l∥α或者l?α,因?yàn)閘是平面α外的直線,所以l∥α,即②③作為條件,可以得出①.123456789101112131410.三棱錐A-BCD中,AB=CD=1,過線段BC的中點(diǎn)E作平面EFGH與直線AB,CD都平行,且分別交BD,AD,AC于F,G,H,則四邊形EFGH的周長為____.123456789101112131421234567891011121314因?yàn)锳B∥平面EFGH,平面ABC∩平面EFGH=EH,AB?平面ABC,所以AB∥EH,又點(diǎn)E為BC中點(diǎn),所以四邊形EFGH的周長為2.123456789101112131411.已知三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的上、下底面均為正三角形,AB=1,A1B1=2,側(cè)棱長AA1=BB1=CC1,若AA1⊥BB1,則此棱臺(tái)的高為____.1234567891011121314由已知可得該三棱臺(tái)為正三棱臺(tái),還原成棱錐如圖所示,由于下底邊長是上底邊長的兩倍,∴大棱錐的高為棱臺(tái)的高的兩倍,取BC的中點(diǎn)D,B1C1的中點(diǎn)D1,連接PD,DD1,AD,A1D1,O,O1分別是上、下底面的中心,連接PO,OO1.易知P,D,D1三點(diǎn)共線,P,O,O1三點(diǎn)共線.OO1即為該棱臺(tái)的高.由正棱臺(tái)性質(zhì)可得BC⊥PD1,BC⊥PO,PO∩PD1=P,PO,PD1?平面PD1A1,∴BC⊥平面PD1A1,PA1?平面PD1A1,∴BC⊥PA1,又∵AA1⊥BB1,BB1∩BC=B,BB1,BC?平面PB1C1,故AA1⊥平面PB1C1,∴A1P⊥PD1.又AB=1,A1B1=2,123456789101112131412.如圖,把邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折起,使A,C的距離為a,則異面直線AC與BD的距離為____.1234567891011121314如圖,分別取AC,BD的中點(diǎn)S,E,連接AE,CE,SB,SD,SE.則AE⊥BD,CE⊥BD,又AE∩CE=E,AE,CE?平面ACE,則BD⊥平面ACE,則SE⊥BD,AC⊥SD,AC⊥SB,又SD∩SB=S,SD,SB?平面SBD,則AC⊥平面SBD,則SE⊥AC,則SE是異面直線AC與BD的公垂線段,123456789101112131412345678910111213141234567891011121314四、解答題13.(2022·全國乙卷)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點(diǎn).(1)證明:平面BED⊥平面ACD;因?yàn)锳D=CD,E為AC的中點(diǎn),所以AC⊥DE.在△ADB和△CDB中,因?yàn)锳D=CD,∠ADB=∠BDC,DB=DB,所以△ADB≌△CDB,所以BA=BC,又E為AC的中點(diǎn),所以AC⊥BE.因?yàn)锽E∩DE=E,且BE,DE?平面BED,所以AC⊥平面BED,又AC?平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD.12345678910111213141234567891011121314(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點(diǎn)F在BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),求三棱錐F-ABC的體積.123
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