連續(xù)小波變換

第二章連續(xù)小波變換2.1連續(xù)小波基函數(shù)小波，即小區(qū)域的波，是一種特殊的長(zhǎng)度有限、平均值為零的波形。小波的可容許條件：小波特點(diǎn)：（一）“小”。即在時(shí)域都具有緊支集或近似緊支集。（二）正負(fù)交替的“波動(dòng)性”。即直流分量為零。信號(hào)可分解為一系列由同一個(gè)母小波函數(shù)經(jīng)平移與尺度伸縮得到的小波函數(shù)的疊加。將小波母函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移，就可以得到函數(shù)：小波函數(shù)基，它們是由同一母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)序列。伸縮和平移的含義1.尺度伸縮2.時(shí)間平移由于小波基函數(shù)在時(shí)間、頻率域都具有有限或近似有限的定義域，顯然，經(jīng)過(guò)伸縮平移后的函數(shù)在時(shí)、頻域仍是局部性的。小波基函數(shù)的窗口隨尺度因子的不同而伸縮，當(dāng)a逐漸增大時(shí)，基函數(shù)的時(shí)間窗口也逐漸增大，而其對(duì)應(yīng)的頻域窗口逐漸減??；反之亦然。Haar小波定量分析-時(shí)域假定小波母函數(shù)窗口寬度為△t，窗口中心為t0，則相應(yīng)可求出連續(xù)小波的窗口中心為at0+τ，窗口寬度為a·△t。即信號(hào)限制在時(shí)間窗內(nèi)：[at0+τ-△t·a/2,at0+τ+△t·a/2]定量分析-頻域同樣，對(duì)于小波母函數(shù)的頻域變換，其頻域窗口中心為ω0，窗口寬度為△ω，則相應(yīng)的連續(xù)小波的傅立葉變換為：其頻域窗口中心為：窗口寬度為：信號(hào)在頻域窗內(nèi)：從上面的時(shí)頻域的討論可見(jiàn)，連續(xù)小波的時(shí)頻域窗口中心及其寬度都隨a的變化而伸縮，如果我們稱(chēng)△t·△ω為窗口函數(shù)的窗口面積，則：可見(jiàn)：連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積不隨參數(shù)的變化而變化。幾點(diǎn)結(jié)論：（1）尺度的倒數(shù)1/a在一定意義上對(duì)應(yīng)于頻率ω。即尺度越小，對(duì)應(yīng)的頻率越高。如果我們將尺度理解為時(shí)間窗口的話，則小尺度信號(hào)為短時(shí)間信號(hào)，大尺度信號(hào)為長(zhǎng)時(shí)間信號(hào)。（2）在任何τ值上，小波的時(shí)頻窗口大小△t和△

ω都隨頻率ω（或a）的變化而變化。與短時(shí)傅立葉變換中的基不同。（3）在任何尺度a，時(shí)間點(diǎn)τ上，窗口面積保持不變，也可以說(shuō)時(shí)間、尺度分辨率是相互制約的，不可能同時(shí)得到提高。（4）品質(zhì)因素不隨尺度變化而變化?！昂鉗性質(zhì)”：假設(shè)(t)的中心為t0，有效寬度為Dt；(

)的中心為0，有效寬度為D

；則

a,b(t)提取的是f(t)在窗口[b+at0-aDt/2,b+at0+aDt/2]|中的性質(zhì)，相應(yīng)地從頻域上說(shuō)

a,b(

)提取地是F(

)在窗口[

0/a-D

/(2a),0/a+D

/(2a)]中的性質(zhì)，因此對(duì)于小波來(lái)說(shuō)時(shí)域窗口寬度和頻域窗口寬度的乘積始終為DtD

。圖2.1常用的基本小波

Haar小波2.Daubechies小波D4尺度函數(shù)與小波

D6尺度函數(shù)與小波

常用的基本小波

3、雙正交小波雙正交B樣條小波（5-3）、

（9-7）小波濾波器bior2.2,bior4.4（7-5）小波濾波器:常用于圖形學(xué)中。其中尺度函數(shù)是一個(gè)三次B樣條。常用的基本小波

4.Morlet小波Morlet小波不存在尺度函數(shù);快速衰減但非緊支撐.Morlet小波是Gabor小波的特例。Gabor小波Morlet小波常用的基本小波

5.高斯小波這是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于階梯型邊界的提取。

特性：指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化；關(guān)于0軸反對(duì)稱(chēng)。常用的基本小波

6.Marr小波（也叫墨西哥草帽小波）

這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于屋脊型邊界和Dirac邊緣的提取。

特性：指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化；關(guān)于0軸對(duì)稱(chēng)。常用的基本小波

7.Meyer小波它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進(jìn)行定義的。具體定義如下：常用的基本小波

8.Shannon小波在時(shí)域，Shannon小波是無(wú)限次可微的，具有無(wú)窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，Shannon小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。常用的基本小波

9.Battle-Lemarie樣條小波

常用的基本小波

X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct0連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct0連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過(guò)程示意圖Magnitude20Hz80Hz120Hz

正弦信號(hào)在位置500處有一間斷點(diǎn)，由于間斷點(diǎn)持續(xù)的時(shí)間很短，因此在波形圖中無(wú)法辨識(shí)出間斷點(diǎn)來(lái)。如圖2-5。連續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析圖2-5原始信號(hào)

對(duì)該信號(hào)進(jìn)行快速Fourier變換，得到信號(hào)的頻譜圖。觀察信號(hào)的頻譜，除了正弦信號(hào)的基頻之外，無(wú)任何額外的信息。如圖2-6。

連續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析圖2-6頻譜圖

選取db4小波，尺度a=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，對(duì)信號(hào)實(shí)施連續(xù)小波變換，得到小波系數(shù)分布圖。在空間位置500處間斷點(diǎn)的信息一目了然地顯現(xiàn)出來(lái)。在尺度為1處，在整個(gè)時(shí)間范圍（空間位置）內(nèi)分布的小波系數(shù)是正弦信號(hào)的基頻信息。而空間位置500處的間斷點(diǎn)在時(shí)間上是局部的，小波系數(shù)集中發(fā)生在間斷位置的各個(gè)尺度上，將間斷信息凸現(xiàn)了出來(lái)。如圖2-7。連續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析

傳統(tǒng)的快速Fourier變換對(duì)此卻無(wú)能為力，究其原因在于間斷分布的能量在整個(gè)信號(hào)中所占的比例太小，而Fourier變換并無(wú)時(shí)間局部化能力。連續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析圖2-7連續(xù)小波變換原始信號(hào)FFTCWT樣本點(diǎn)n/個(gè)樣本點(diǎn)n/個(gè)頻率/Hz尺度時(shí)域幅值頻域幅值在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)存在同一頻率成分根據(jù)能量最大時(shí)對(duì)應(yīng)的尺度，可以求出信號(hào)頻率應(yīng)用1---正弦信號(hào)原始信號(hào)FFT樣本點(diǎn)n/個(gè)樣本點(diǎn)n/個(gè)頻率/Hz尺度時(shí)域幅值頻域幅值不能體現(xiàn)頻率出現(xiàn)的時(shí)間尺度越大頻率越小，對(duì)應(yīng)20Hz信號(hào)CWT能體現(xiàn)頻率出現(xiàn)的時(shí)間應(yīng)用2---正弦組合信號(hào)尺度=40尺度=10尺度=3應(yīng)用2---正弦組合信號(hào)原始信號(hào)FFT樣本點(diǎn)n/個(gè)樣本點(diǎn)n/個(gè)頻率/Hz尺度時(shí)域幅值頻域幅值反映出頻率隨時(shí)間的變化CWT尺度大，則信號(hào)的頻率低尺度小，則信號(hào)的頻率高應(yīng)用3---調(diào)頻信號(hào)原始信號(hào)FFT樣本點(diǎn)n/個(gè)樣本點(diǎn)n/個(gè)頻率/Hz時(shí)域幅值頻域幅值CWT尺度檢測(cè)出脈沖信號(hào)并給出時(shí)間不能檢測(cè)出脈沖信號(hào)應(yīng)用4---脈沖信號(hào)原始信號(hào)FFTCWT樣本點(diǎn)n/個(gè)樣本點(diǎn)n/個(gè)樣本點(diǎn)n/個(gè)頻率/Hz樣本點(diǎn)n/個(gè)時(shí)域幅值頻域幅值尺度檢測(cè)出沖擊信號(hào)并給出時(shí)間能檢測(cè)出沖擊信號(hào)，但不能給出時(shí)間應(yīng)用5---衰減沖擊信號(hào)

用齒輪齒數(shù)為30，軸的轉(zhuǎn)速fr=1500/60=25Hz，因此齒輪的嚙合頻率fm

=fr×30=750Hz。試驗(yàn)用齒輪的一齒根部有一線切割裂紋，用來(lái)模擬齒輪的裂紋故障。實(shí)驗(yàn)中采樣頻率為20kHz。選取f0=2000Hz，a=1～2，這樣可知其中心頻率落在1000～2000Hz，得到的變換結(jié)果齒輪振動(dòng)信號(hào)的頻譜圖齒輪振動(dòng)信號(hào)應(yīng)用5---齒輪故障

小波分析對(duì)信號(hào)高頻成分的刻劃能力要優(yōu)于其它時(shí)頻分析方法，而且它在突變信號(hào)的檢測(cè)中具有很大的優(yōu)勢(shì)。采用連續(xù)小波變換可以檢測(cè)到齒輪振動(dòng)信號(hào)的幅值突變點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)齒輪局部缺陷的診斷。結(jié)論：齒輪振動(dòng)信號(hào)的尺度譜圖(a=1~2)齒輪振動(dòng)信號(hào)有尺度譜圖(a=1.3)TTTt=4ms，a=1.3~1.5t=44ms，a=1.3~1.5信號(hào)能量突變點(diǎn)表示齒輪的嚙合發(fā)生了異常應(yīng)用5---齒輪故障實(shí)驗(yàn)：

軸系動(dòng)態(tài)固有頻率：機(jī)組在運(yùn)行條件下轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)的固有頻率，主要考察機(jī)組運(yùn)行偏離共振點(diǎn)的程度。采用運(yùn)動(dòng)質(zhì)量撞擊水輪機(jī)軸，產(chǎn)生瞬態(tài)沖擊形成沖擊激振，獲取振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析。應(yīng)用6---軸系動(dòng)態(tài)固有頻率檢測(cè)前后差別不大，難以區(qū)分出軸系動(dòng)態(tài)固有頻率應(yīng)用6---軸系動(dòng)態(tài)固有頻率檢測(cè)方法：對(duì)振動(dòng)信號(hào)非線性建模，得到殘差信號(hào)，進(jìn)行連續(xù)小波變換尺度a=3.7，時(shí)間t=1.9秒有一個(gè)能量相對(duì)集中點(diǎn)尺度a=3.7，時(shí)間t=1.0，4.0，5.8秒附近有三個(gè)連續(xù)能量集中點(diǎn)應(yīng)用6---軸系動(dòng)態(tài)固有頻率檢測(cè)連續(xù)小波變換用于自相似性檢測(cè)

直觀上講，小波分解可通過(guò)計(jì)算信號(hào)和小波之間的自相似指數(shù)(小波系數(shù))得到。自相似指數(shù)大，則信號(hào)的自相似程度就高；反之亦然。若一個(gè)信號(hào)在不同的尺度上都相似于它本身，那么，其自相似指數(shù)在不同的尺度上也是相似的。

對(duì)自相似信號(hào)vonkoch進(jìn)行連續(xù)小波變換。由圖2-8可見(jiàn)，在小波分解后顯示的自相似指數(shù)圖中，在許多尺度上，小波系數(shù)看上去是相似的，另外，垂直軸線上顯示的線條就是由于信號(hào)的自相似性產(chǎn)生的。小波系數(shù)越大，則灰度越深。由于信號(hào)的自相似性也是信號(hào)的分形特征，采用小波分解可以很好地研究信號(hào)或圖像的分形特征。開(kāi)始時(shí)，分形特征隨著時(shí)間的發(fā)展而變化，隨后又不隨時(shí)間的發(fā)展而發(fā)生變化。連續(xù)小波變換用于自相似性檢測(cè)

圖2-8自相似信號(hào)連續(xù)小波變換用于自相似性檢測(cè)

圖2-9自相似信號(hào)的連續(xù)小波變換2.4尺度和頻率之間的關(guān)系a為尺度；△為采樣間隔；Fc為小波的中心頻率；Fa為偽頻率。2.5應(yīng)用實(shí)例例已知一信號(hào)f(t)＝3sin(100pt)＋2sin(68pt)＋5cos(72pt)，且該信號(hào)混有白噪聲，對(duì)該信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換。小波函數(shù)取db3，尺度為1、1.2、1.4、1.6、…、3。其MATLAB程序如下：

t＝0：0.01：1；

f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))；

coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，￠db3￠，￠plot￠)；

title(￠對(duì)不同的尺度小波變換系數(shù)值￠)；

Ylabel(￠尺度￠)；

Xlabel(￠時(shí)間￠)；

程序輸出結(jié)果如圖所示。

圖1.11小波變換的系數(shù)用圖所示的灰度值圖表征，橫坐標(biāo)表示變換系數(shù)的系號(hào)，縱坐標(biāo)表示尺度，灰度顏色越深，表示系數(shù)的值越大。繪圖原理

1.需要用到的小波工具箱中的三個(gè)函數(shù)

cwt（），centfrq（），scal2frq（）

COEFS=cwt(S,SCALES,‘wname’)

說(shuō)明：該函數(shù)能實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波變換，其中S為輸入信號(hào)，SCALES為尺度，wname為小波名稱(chēng)。

FREQ=centfrq(‘wname’)

說(shuō)明：該函數(shù)能求出以wname命名的母小波的中心頻率。

F=scal2frq(A,‘wname’,DELTA)

說(shuō)明：該函數(shù)能將尺度轉(zhuǎn)換為實(shí)際頻率，其中A為尺度，wname為小波名稱(chēng)，DELTA為采樣周期。

注：這三個(gè)函數(shù)還有其它格式，具體可參閱matlab的幫助文檔。

2.尺度與頻率之間的關(guān)系

設(shè)a為尺度，fs為采樣頻率，F(xiàn)c為小波中心頻率，則a對(duì)應(yīng)的實(shí)際頻率Fa為

Fa＝Fc×fs/a

(1)

顯然，根據(jù)采樣定理，為使小波尺度圖的頻率范圍為(0,fs/2)，尺度范圍應(yīng)為(2*Fc,inf),其中inf表示為無(wú)窮大。在實(shí)際應(yīng)用中，只需取尺度足夠大即可。

3.尺度序列的確定

由式(1)可以看出，為使轉(zhuǎn)換后的頻率序列是一等差序列，尺度序列必須取為以下形式：

c/totalscal,...,c/(totalscal-1),c

(2)

其中，totalscal是對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換時(shí)所用尺度序列的長(zhǎng)度(通常需要預(yù)先設(shè)定好)，c為一常數(shù)。

下面講講c的求法。

根據(jù)式(1)容易看出，尺度c/totalscal所對(duì)應(yīng)的實(shí)際頻率應(yīng)為fs/2，于是可得

c=2×Fc×totalscal

(3)

將式(3)代入式(2)便得到了所需的尺度序列。

4.時(shí)頻圖的繪制

確定了小波基和尺度后，就可以用cwt求小波系數(shù)coefs（系數(shù)是復(fù)數(shù)時(shí)要取模），然后用scal2frq將尺度序列轉(zhuǎn)換為實(shí)際頻率序列f，最后結(jié)合時(shí)間序列t，用imagesc(t,f,abs(coefs))便能畫(huà)出小波時(shí)頻圖。

注意：直接將尺度序列取為等差序列，例如1:1:64，將只能得到正確的尺度－時(shí)間－小波系數(shù)圖，而無(wú)法將其轉(zhuǎn)換為頻率－時(shí)間－小波系數(shù)圖。這是因?yàn)榇藭r(shí)的頻率間隔不為常數(shù)。

。

下面給出一實(shí)際例子來(lái)說(shuō)明小波時(shí)頻圖的繪制。所取仿真信號(hào)是由頻率分別為100Hz和200Hz的兩個(gè)正弦分量所合成的信號(hào)。

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