北師大版七年級上冊數(shù)學《一元一次方程》全章復習與鞏固(提高版)知識點整理及重點題型梳理

精品文檔用心整理PAGE資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用北師大版七年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習《一元一次方程》全章復習與鞏固（提高）知識講解【學習目標】1．經(jīng)歷建立方程模型、解方程和運用方程解決實際問題的過程，體會模型思想；2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，會解數(shù)字系數(shù)的一元一次方程，感受轉(zhuǎn)化思想；3．能運用一元一次方程解決實際問題，能根據(jù)實際意義檢驗方程的解的合理性．【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．要點詮釋：（1）一元一次方程變形后總可以化為ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的標準形式．（2）判斷是否為一元一次方程，應看是否滿足：①只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．3．方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個方程的解．4．解方程：求方程的解的過程叫做解方程．要點二、等式的性質(zhì)與去括號法則1．等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)1：等式兩邊同時加上(或減去)同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式．等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，（或除以同一個不為0的數(shù)），所得結(jié)果仍是等式．2．合并法則：合并時，把系數(shù)相加(減)作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變．3．去括號法則：（1）括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應各項的符號相同．（2）括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應各項的符號相反．要點三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．(2)去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．(3)移項：把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，常數(shù)項移到方程另一邊．(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項及常數(shù)項，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．要點四、用一元一次方程解決實際問題的常見類型1.等積變形：①形狀面積變了，周長沒變；②原體積＝變化后體積.2.利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進價3.行程問題：路程＝速度×時間4.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率5.工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量6.銀行存貸款問題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數(shù)7.數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：.8.方案問題：（1）運用一元一次方程解應用題的方法求解兩種方案值相等的情況．（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論．【典型例題】類型一、一元一次方程的相關(guān)概念 1．已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是關(guān)于x的一元一次方程，求m和x的值．【思路點撥】若一個整式方程經(jīng)過化簡變形后，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)不為0，則這個方程是一元一次方程．【答案與解析】解：因為方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是關(guān)于x的一元一次方程，所以3m-4＝0且5-3m≠0．由3m-4＝0解得，又能使5-3m≠0，所以m的值是．將代入原方程，則原方程變?yōu)?，解得．所以，．【總結(jié)升華】解答這類問題，一定要嚴格按照一元一次方程的定義．方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m2是關(guān)于x的一元一次方程，就是說x的二次項系數(shù)3m-4＝0，而x的一次項系數(shù)5-3m≠舉一反三：【變式】下面方程變形中，錯在哪里：(1)方程2x=2y兩邊都減去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y),即x-y=-(x-y).方程x-y=-(x-y)兩邊都除以x-y,得1=-1.（2），去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括號得：9-21x=4x+2+2x.【答案】（1）答：錯在第二步，方程兩邊不能除以x-y，只有一種可能就是x-y為0了，所以出現(xiàn)了1=-1的錯誤，也就是說對于等式性質(zhì)來說，如果想要除以式子來說，這個式子一定是不能為0的. （2）答：錯在第一步，去分母時2x項沒乘以公分母6.2.（2015秋?營山縣校級期中）對于ax+b=0（a，b為常數(shù)），表述正確的是（）A．當a≠0時，方程的解是x= B．當a=0，b≠0時，方程有無數(shù)解C．當a=0，b=0，方程無解 D．以上都不正確【答案】D．【解析】解：A、當a≠0時，方程的解是x=﹣，故錯誤；B、當a=0，b≠0時，方程無解，故錯誤；C、當a=0，b=0，方程有無數(shù)解，故錯誤；D、以上都不正確．【總結(jié)升華】此題很簡單，解答此題的關(guān)鍵是：正確記憶一元一次方程的一般形式中，一次項系數(shù)不等于0．舉一反三：【變式】已知|x+1|+(y+2x)2＝0，則________．【答案】1類型二、一元一次方程的解法3．解方程：解方程3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5．【答案與解析】解：把2x-1看做一個整體．去括號，得：3(2x-1)-9(2x-1)-9＝5．合并同類項，得-6(2x-1)＝14．系數(shù)化為1得：，解得．【總結(jié)升華】把題目中的2x-1看作一個整體，從而簡化了計算過程．本題也可以考慮換元法：設2x-1＝a，則原方程化為3[a-(3a+3)]＝5．舉一反三：【變式】解方程【答案】解：把方程兩邊含有分母的項化整為零，得．移項，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：z＝1．類型三、特殊的一元一次方程的解法1．解含字母系數(shù)的方程4.解關(guān)于的方程：【思路點撥】這個方程化為標準形式后，未知數(shù)x的系數(shù)和常數(shù)都是以字母形式出現(xiàn)的，所以方程的解的情況與x的系數(shù)和常數(shù)的取值都有關(guān)系．【答案與解析】解：原方程可化為：當時，原方程有唯一解：；當時，原方程無數(shù)個解；當時，原方程無解；【總結(jié)升華】解含字母系數(shù)的方程時，一般化為最簡形式，再分類討論進行求解，注意最后的解不能合并，只能分情況說明．2．解含絕對值的方程5.解方程|x-2|＝3．【答案與解析】解：當x-2≥0時，原方程可化為x-2＝3，得x＝5．當x-2＜0時，原方程可化為-(x-2)＝3，得x＝-1．所以x＝5和x＝-1都是方程|x-2|＝3的解．【總結(jié)升華】如圖所示，可以看出點-1與5到點2的距離均為3，所以|x-2|＝3的意義為在數(shù)軸上到點2的距離等于3的點對應的數(shù)，即方程|x-2|＝3的解為x＝-1和x＝5．舉一反三：【變式】若關(guān)于的方程無解，只有一個解，有兩個解，則的大小關(guān)系為：()A.B.C.D.【答案】A類型四、一元一次方程的應用6．李偉從家里騎摩托車到火車站，如果每小時行30千米，那么比火車開車時間早到15分鐘；若每小時行18千米，則比火車開車時間遲到15分鐘，現(xiàn)在李偉打算在火車開車前10分鐘到達火車站，求李偉此時騎摩托車的速度應是多少?【思路點撥】本題中的兩個不變量為：火車開出的時間和李偉從家到火車站的路程不變．【答案與解析】解：設李偉從家到火車站的路程為y千米，則有：，解得：由此得到李偉從家出發(fā)到火車站正點開車的時間為(小時)．李偉打算在火車開車前10分鐘到達火車站時，設李偉騎摩托車的速度為x千米/時,則有：(千米/時)答：李偉此時騎摩托車的速度應是27千米/時．【總結(jié)升華】在解決問題時，當發(fā)現(xiàn)某種方法不能解決問題時，應該及時變換思維角度，如本題直接設未知數(shù)較難時，應迅速變換思維的角度，合理地設置間接未知數(shù)以尋求新的解決問題的途徑和方法．7.黃岡某地“杜鵑節(jié)”期間，某公司70名職工組團前往參觀欣賞，旅游景點規(guī)定：①門票每人60元，無優(yōu)惠；②上山游玩可坐景點觀光車，觀光車有四座和十一座車，四座車每輛60元，十一座車每人10元．公司職工正好坐滿每輛車且總費用剛好為4920元時，問公司租用的四座車和十一座車各多少輛?【答案與解析】解：設四座車租x輛，十一座車租輛，依題意得：解得：x＝1，答：公司租用的四座車和十一座車分別是1輛和6輛.【總結(jié)升華】解答本題需從“公司職工正好坐滿每輛車且總費用剛好為4920元”中挖掘兩個等量關(guān)系構(gòu)建方程求解.8．某牛奶加工廠有鮮奶9噸，若在市場上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤500元，制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤1200元；制成奶片銷售，每噸可獲利潤2000元，該工廠的生產(chǎn)能力是：如制成酸奶，每天可加工3噸；制成奶片每天可加工1噸，受人員限制，兩種加工方式不可同時進行，受氣溫條件限制，這批牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完畢．為此，該廠某領(lǐng)導提出了兩種可行方案：方案1：盡可能多的制成奶片，其余直接銷售鮮牛奶；方案2：將一部分制成奶片，其余制成酸奶銷售，并恰好4天完成．你認為選擇哪種方案獲利最多，為什么?【答案與解析】解：（1）若選擇方案1，依題意，總利潤=2000元×4+500元×(9-4)=10500（元）．（2）若選擇方案2．方法一：解：設將x噸鮮奶制成奶片，則用(9-x)噸鮮奶制成酸奶銷售.依題意得，，解得．當時，．總利潤=2000×1.5+1200×7.5=12000（元）．∵12000>10500，∴選擇方案2較好．方法二：解：設x天生產(chǎn)奶片，則（4-x）天生產(chǎn)酸奶.x+3(4-x)=9x=1.54-x=2.51.5×1×2000+2.5×3×1200=12000（元）∵12000>10500，∴選擇方案2較好．答：選擇方案2獲利最多，只要在四天內(nèi)用7.5噸鮮奶加工成酸奶，用1.5噸的鮮奶加工成奶片．【總結(jié)升華】如果題目中的數(shù)量關(guān)系較復雜，常借助列表，畫線段圖，示意圖等手段幫助我們理順題目中的數(shù)量關(guān)系，列出方程．例如本題方案2中的方法一，設將x噸鮮奶制成奶片，則列表如下：每噸利潤噸數(shù)工效天數(shù)酸奶12003奶片20001合計94該表可以使條件之間的關(guān)系一目了然，從而得到等量關(guān)系，當然此題也可以設天數(shù)來計算，同學們可根據(jù)理解自己選擇．舉一反三：【變式】（2015?吳江市一模）現(xiàn)有甲、乙兩種金屬的合金10kg，如果加入甲種金屬若干，那么重新熔煉后的合金中乙種金屬占2份，甲種金屬占3份，如果加入