第5講 專題二 構(gòu)造全等三角形的常見輔助線（原卷版）

專題二構(gòu)造全等三角形的常見輔助線（原卷版）專題解讀：在幾何題目中，我們常常需要作輔助線構(gòu)造全等三角形，例全等三角形的性質(zhì)解決與線段或角有關(guān)的問題，此類題目難度較大，綜合性強(qiáng)，常見的構(gòu)造方法有“倍長中線”“截長補(bǔ)短”等類型一倍長中線法構(gòu)造全等三角形方法點撥：已知線段中的或三角形的中線，將中線延長，使所得線段長度為原來的2倍。構(gòu)造8字型全等三角形解決問題。典例1△ABC中，AD為BC邊上的中線，已知AB＝5，AC＝3，求線段AD的長的取值范圍．針對訓(xùn)練1．（2020秋?大安市期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【方法感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．

類型二截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形方法點撥：用于解決“線段和差”問題。當(dāng)條件或求證的問題是“線段和差”時，通過在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，或者延長短邊使其等于長邊，從而獲得證明全等所需的“邊相等”的條件，一般需要證明兩次全等。典例2如圖，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分線AD，CE相交于點O．（1）∠AOC＝；（2）求證：AE+CD＝AC．針對訓(xùn)練4．（2021秋?東莞市校級期末）點E是BC的中點，DE平分∠ADC．（1）如圖1，若∠B＝∠C＝90°，求證：AE平分∠DAB；（2）如圖1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度數(shù)；（3）如圖2，若DE⊥AE，求證：AD＝AB+CD．

類型三角平分線與垂線，延長構(gòu)造全等三角形方法點撥：此類題目的特點是已知角平分線和與角平分線垂直的一條線，將垂線和角的一條邊同時延長交于一點，就可以利用“ASA”判定三角形全等典例3如圖，△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90゜，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E．求證：BD＝2AE．針對訓(xùn)練1．（2021秋?南開區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是AC