初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)習(xí)題及解析

19/19深圳市菁優(yōu)網(wǎng)絡(luò)科技有限公司一、選擇題（共8小題）1、下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是（）A、y=1﹣QUOTE22x2B、y=2（x﹣1）2+4C、y=QUOTE12（x﹣1）（x+4） D、y=（x﹣2）2﹣x22、下列函數(shù)QUOTE，y=3x2，QUOTE，y=x（x﹣2），y=（x﹣1）2﹣x2中，二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為（） A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè)3、下列函數(shù)關(guān)系中，不可以看作二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（） A、圓的半徑和其面積變化關(guān)系 B、我國(guó)人口年自然增長(zhǎng)率x，兩年中從12億增加到y(tǒng)億的x與y的變化關(guān)系 C、擲鉛球水平距離與高度的關(guān)系 D、面積一定的三角板底邊與高的關(guān)系4、下列四個(gè)函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（） A、QUOTEy=1x2+xy=1x2+x C、y=x2﹣（x+7）2 D、y=（x+1）（2x﹣1）5、（1998?杭州）二次函數(shù)y=3x2﹣2x﹣4的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和是（） A、1 B、﹣1 C、7 D、﹣66、（2009?慶陽）圖（1）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面2m，水面寬4m．如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是（） A、y=﹣1/2x2 B、y=1/2x2 C、y=﹣QUOTE12x2 D、y=QUOTE12x27、（2005?甘肅）如圖，半圓D的直徑AB=4，與半圓O內(nèi)切的動(dòng)圓O1與AB切于點(diǎn)M，設(shè)⊙O1的半徑為y，AM=x，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是（） A、y=﹣x2+x B、y=﹣x2+xC、y=﹣x2﹣x D、y=x2﹣x8、（2007?自貢）進(jìn)入夏季后，某電器商場(chǎng)為減少庫存，對(duì)電熱取暖器連續(xù)進(jìn)行兩次降價(jià)．若設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，降價(jià)后的價(jià)格為y元，原價(jià)為a元，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（） A、y=2a（x﹣1） B、y=2a（1﹣x） C、y=a（1﹣x2） D、y=a（1﹣x）2二、填空題（共5小題）9、如果函數(shù)y=（k﹣3）QUOTE+kx+1是二次函數(shù)，那么k的值一定是_________．10、已知QUOTE是二次函數(shù)，則a=_________．11、關(guān)于x的函數(shù)y=（m+1）x2+（m﹣1）x+m，當(dāng)m=0時(shí)，它是_________函數(shù)；當(dāng)m=﹣1時(shí)，它是_________函數(shù)．12、（2009?泰安）如圖所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是線段BC上一點(diǎn)（P不與B重合），M是DB上一點(diǎn)，且BP=DM，設(shè)BP=x，△MBP的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_________．13、（2007?哈爾濱）如圖，用一段長(zhǎng)為30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度不限）的矩形菜園ABCD，設(shè)AB邊長(zhǎng)為x米，則菜園的面積y（米2）與x（米）的關(guān)系式為_________．（不要求寫出自變量x三、解答題（共7小題）14、（2005?南京）在一塊長(zhǎng)方形鏡面玻璃的四周鑲上與它的周長(zhǎng)相等的邊框，制成一面鏡子．鏡子的長(zhǎng)與寬的比是2：1．已知鏡面玻璃的價(jià)格是每平方米120元，邊框的價(jià)格是每米20元，另外制作這面鏡子還需加工費(fèi)45元．設(shè)制作這面鏡子的總費(fèi)用是y元，鏡子的寬度是x米．（1）求y與x之間的關(guān)系式．（2）如果制作這面鏡子共花了195元，求這面鏡子的長(zhǎng)和寬．15、（2006?岳陽）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)M．（1）請(qǐng)判斷△DMF的形狀，并說明理由．（2）設(shè)EB=x，△DMF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．并寫出x的取值范圍．16、（2002?湖州）已知，如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，M是CD邊上一點(diǎn)（不與C、D重合），以BM為直徑畫半圓交AD于E、F，連接BE，ME．（1）求證：AE=DF；（2）求證：△AEB∽DME；（3）設(shè)AE=x，四邊形ABMD的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍．17、（2002?煙臺(tái)）如圖，已知△ABC的面積為5，點(diǎn)M在AB邊上移動(dòng)（點(diǎn)M與點(diǎn)A、B不重合），MN∥BC，MN交AC于點(diǎn)N，連接BN．設(shè)QUOTEAMABAMAB=x，S△MBN=y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）點(diǎn)E、F分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，設(shè)△MBN與△EBF的公共部分的面積為S，試用含x的代數(shù)式表示S；（3）當(dāng)?shù)冢?）問中的S=QUOTE1515時(shí)，試確定x的值．（不必寫出解題過程）18、（2002?福州）如圖，已知△ABC中，AB=a，點(diǎn)D在AB邊上移動(dòng)（點(diǎn)D不與A、B重合），DE∥BC，交AC于E，連接CD．設(shè)S△ABC=S，S△DEC=S1．（1）當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，求S1：S的值；（2）若QUOTE，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（3）是否存在點(diǎn)D，使得成立？若存在，求出D點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．19、（2005?岳陽）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點(diǎn)D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取E點(diǎn)，使∠ADE=45度．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)：△ABD∽△DCE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．20、（2004?濰坊）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=a，在線段BC上任取一點(diǎn)P，連接DP，作射線PE⊥DP，PE與直線AB交于點(diǎn)E．（1）試確定CP=3，點(diǎn)E的位置；（2）若設(shè)CP=x，BE=y，試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式；（3）若在線段BC上能找到不同的兩點(diǎn)P1，P2使按上述作法得到的點(diǎn)E都與點(diǎn)A重合，試求出此時(shí)a的取值范圍．

答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（共8小題）1、下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是（） A、y=1﹣QUOTE22x2 B、y=2（x﹣1）2+4 C、y=QUOTE1212（x﹣1）（x+4） D、y=（x﹣2）2﹣x2考點(diǎn)：二次函數(shù)的定義。分析：利用二次函數(shù)的定義，整理成一般形式就可以解答．解答：解：A、y=1﹣QUOTE22x2=﹣QUOTE22x2+1，是二次函數(shù)，正確；B、y=2（x﹣1）2+4=2x2﹣4x+6，是二次函數(shù)，正確；C、y=QUOTE1212（x﹣1）（x+4）=QUOTE1212x2+QUOTE3232x﹣2，是二次函數(shù)，正確；D、y=（x﹣2）2﹣x2=﹣4x+4，是一次函數(shù)，錯(cuò)誤．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的定義．2、下列函數(shù)QUOTE，y=3x2，QUOTE，y=x（x﹣2），y=（x﹣1）2﹣x2中，二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為（） A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè)考點(diǎn)：二次函數(shù)的定義。分析：整理成一般形式后，根據(jù)二次函數(shù)的定義條件判定即可．解答：解：y=3x2，QUOTE，y=x（x﹣2）都符合二次函數(shù)定義的條件，是二次函數(shù)；QUOTE，y=（x﹣1）2﹣x2整理后，都是一次函數(shù)．二次函數(shù)有三個(gè)．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的定義．3、下列函數(shù)關(guān)系中，不可以看作二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（） A、圓的半徑和其面積變化關(guān)系 B、我國(guó)人口年自然增長(zhǎng)率x，兩年中從12億增加到y(tǒng)億的x與y的變化關(guān)系 C、擲鉛球水平距離與高度的關(guān)系 D、面積一定的三角板底邊與高的關(guān)系考點(diǎn)：二次函數(shù)的定義。分析：根據(jù)二次函數(shù)的定義，根據(jù)每一題的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式解答即可．解答：解：A、圓的半徑和其面積變化關(guān)系式為：S=πr2，正確；B、我國(guó)人口年自然增長(zhǎng)率x，兩年中從12億增加到y(tǒng)億的x與y的變化關(guān)系式為：y=12（1+x）2，即y=12x2+24x+12，符合二次函數(shù)的定義，正確；C、因?yàn)閿S鉛球投擲的過程形成的是拋物線，所以其關(guān)系式應(yīng)為y=ax2+bx+c（a≠0），正確；D、面積一定的三角板底邊與高的關(guān)系為：a=QUOTE2Sh2Sh，是反比例函數(shù)關(guān)系，錯(cuò)誤．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的定義及常見數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用．4、下列四個(gè)函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（） A、QUOTEy=1x2+xy=1x2+x C、y=x2﹣（x+7）2 D、y=（x+1）（2x﹣1）考點(diǎn)：二次函數(shù)的定義。專題：推理填空題。分析：根據(jù)二次函數(shù)的定義解答．解答：解：A、未知數(shù)的最高次數(shù)不是2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、二次項(xiàng)系數(shù)a=0時(shí)，y=ax2+bx+c不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵y=x2﹣（x+7）2=﹣14x﹣49，即y=﹣14x﹣49，沒有二次項(xiàng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由原方程得，y=2x2﹣x﹣1，符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)正確．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的定義．二次函數(shù)（quadraticfunction）是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)．二次函數(shù)可以表示為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．5、（1998?杭州）二次函數(shù)y=3x2﹣2x﹣4的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和是（） A、1 B、﹣1 C、7 D、﹣6考點(diǎn)：二次函數(shù)的定義。分析：二次函數(shù)寫成一般形式后，即可求二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)．解答：解：二次項(xiàng)系數(shù)為3，常數(shù)項(xiàng)為﹣4，兩個(gè)數(shù)的和為3﹣4=﹣1．故選B．點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)的定義，同時(shí)注意系數(shù)不能忘了符號(hào)．6、（2009?慶陽）圖（1）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面2m，水面寬4m．如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是（） A、y=﹣2x2 B、y=2x2 C、y=﹣QUOTE1212x2 D、y=QUOTE1212x2考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式。分析：由圖中可以看出，所求拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，可設(shè)此函數(shù)解析式為：y=ax2，利用待定系數(shù)法求解．解答：解：設(shè)此函數(shù)解析式為：y=ax2，那么（2，﹣2）應(yīng)在此函數(shù)解析式上．則﹣2=4a即得a=﹣QUOTE1212，那么y=﹣QUOTE1212x2．故選C．點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意得到函數(shù)解析式的表示方法是解決本題的關(guān)鍵，關(guān)鍵在于找到在此函數(shù)解析式上的點(diǎn)．7、（2005?甘肅）如圖，半圓D的直徑AB=4，與半圓O內(nèi)切的動(dòng)圓O1與AB切于點(diǎn)M，設(shè)⊙O1的半徑為y，AM=x，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是（） A、y=﹣QUOTE1414x2+x B、y=﹣x2+x C、y=﹣QUOTE1414x2﹣x D、y=QUOTE1414x2﹣x考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式。分析：連接01M，OO1，可得到直角三角形OO1M，在直角三角形中，利用勾股定理即可解得．解答：解：連接01M，OO1，可得到直角三角形OO1M，那么OO1=2﹣y，OM=2﹣x，O1M=y．∴（2﹣y）2﹣（2﹣x）2=y2，解得y=﹣QUOTE1414x2+x．故選A．點(diǎn)評(píng)：作連心線，連接圓心和切點(diǎn)得到直角三角形是常用的輔助線作法是本題的考查對(duì)象．8、（2007?自貢）進(jìn)入夏季后，某電器商場(chǎng)為減少庫存，對(duì)電熱取暖器連續(xù)進(jìn)行兩次降價(jià)．若設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，降價(jià)后的價(jià)格為y元，原價(jià)為a元，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（） A、y=2a（x﹣1） B、y=2a（1﹣x） C、y=a（1﹣x2） D、y=a（1﹣x）2考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式。分析：原價(jià)為a，第一次降價(jià)后的價(jià)格是a×（1﹣x），第二次降價(jià)是在第一次降價(jià)后的價(jià)格的基礎(chǔ)上降價(jià)的，為a×（1﹣x）×（1﹣x）=a（1﹣x）2．解答：解：由題意第二次降價(jià)后的價(jià)格是a（1﹣x）2．則函數(shù)解析式是y=a（1﹣x）2．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題需注意第二次降價(jià)是在第一次降價(jià)后的價(jià)格的基礎(chǔ)上降價(jià)的．二、填空題（共5小題）9、如果函數(shù)y=（k﹣3）QUOTE+kx+1是二次函數(shù)，那么k的值一定是0．考點(diǎn)：二次函數(shù)的定義。分析：根據(jù)二次函數(shù)的定義，列出方程與不等式求解即可．解答：解：根據(jù)二次函數(shù)的定義，得：k2﹣3k+2=2，解得k=0或k=3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴當(dāng)k=0時(shí)，這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)．點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的定義．10、已知QUOTE是二次函數(shù)，則a=﹣1．考點(diǎn)：二次函數(shù)的定義。分析：由二次函數(shù)的定義，列出方程與不等式解答即可．解答：解：根據(jù)題意可得a2﹣2a﹣1=2解得a=3或﹣1又∵a﹣3≠0∴a≠3，∴a=﹣1．點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)的定義．11、關(guān)于x的函數(shù)y=（m+1）x2+（m﹣1）x+m，當(dāng)m=0時(shí)，它是二次函數(shù)；當(dāng)m=﹣1時(shí)，它是一次函數(shù)．考點(diǎn)：二次函數(shù)的定義；一次函數(shù)的定義。分析：把m=0，m=﹣1分別代入函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的定義來判斷．解答：解：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)解析式變化成y=x2﹣x，是一個(gè)二次函數(shù)；當(dāng)m=﹣1時(shí)，函數(shù)變化成y=﹣2x﹣1，是一次函數(shù)．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的定義與一般形式．12、（2009?泰安）如圖所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是線段BC上一點(diǎn)（P不與B重合），M是DB上一點(diǎn)，且BP=DM，設(shè)BP=x，△MBP的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=x2+4x（0＜x≤6）．考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式。分析：根據(jù)勾股定理可得BD=10，因?yàn)镈M=x，所以BM=10﹣x，過點(diǎn)M做ME⊥BC于點(diǎn)E，可得到△BME∽△BDC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到QUOTEMEDCMEDC=QUOTEBMBDBMBD，由此即可用x表示ME，最后根據(jù)三角形的面積公式即可確定函數(shù)關(guān)系式．解答：解：∵AB=8，BC=6，∴CD=8，AD=6，∴BD=10，∵DM=x，∴BM=10﹣x，R如圖，過點(diǎn)M作ME⊥BC于點(diǎn)E，∴ME∥DC，∴△BME∽△BDC，∴QUOTEMEDCMEDC=QUOTEBMBDBMBD，∴ME=8﹣QUOTE4545x，而S△MBP=QUOTE1212×BP×ME，∴y=x2+4x，P不與B重合，那么x＞0，可與點(diǎn)C重合，那么x≤6．故填空答案：y=x2+4x（0＜x≤6）．點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是利用相似得到△MBP中BP邊上的高M(jìn)E的代數(shù)式，此題主要考查了利用相似三角形的性質(zhì)確定函數(shù)關(guān)系式．13、（2007?哈爾濱）如圖，用一段長(zhǎng)為30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度不限）的矩形菜園ABCD，設(shè)AB邊長(zhǎng)為x米，則菜園的面積y（米2）與x（米）的關(guān)系式為y=﹣QUOTE1212x2+15x．（不要求寫出自變量x的取值范圍）考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式。分析：由AB邊長(zhǎng)為x米根據(jù)已知可以推出BC=QUOTE1212（30﹣x），然后根據(jù)矩形的面積公式即可求出函數(shù)關(guān)系式．解答：解：∵AB邊長(zhǎng)為x米，而菜園ABCD是矩形菜園，∴BC=QUOTE1212（30﹣x），菜園的面積=AB×BC=QUOTE1212（30﹣x）?x，∴y=﹣QUOTE1212x2+15x．故填空答案：y=﹣QUOTE1212x2+15x．點(diǎn)評(píng)：此題首先利用矩形的周長(zhǎng)公式用x表示BC，然后利用矩形的面積公式即可解決問題，本題的難點(diǎn)在于得到BC長(zhǎng)．三、解答題（共7小題）14、（2005?南京）在一塊長(zhǎng)方形鏡面玻璃的四周鑲上與它的周長(zhǎng)相等的邊框，制成一面鏡子．鏡子的長(zhǎng)與寬的比是2：1．已知鏡面玻璃的價(jià)格是每平方米120元，邊框的價(jià)格是每米20元，另外制作這面鏡子還需加工費(fèi)45元．設(shè)制作這面鏡子的總費(fèi)用是y元，鏡子的寬度是x米．（1）求y與x之間的關(guān)系式．（2）如果制作這面鏡子共花了195元，求這面鏡子的長(zhǎng)和寬．考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；解一元二次方程-因式分解法。專題：幾何圖形問題。分析：（1）依題意可得總費(fèi)用=鏡面玻璃費(fèi)用+邊框的費(fèi)用+加工費(fèi)用，可得y=6x×20+45+2x2×120化簡(jiǎn)即可．（2）設(shè)鏡寬為xm，根據(jù)共花了195元，即玻璃的費(fèi)用+邊框的費(fèi)用=195元，即可列出方程求解．解答：解：（1）y=240x2+120x+45（2）設(shè)鏡寬為xm，則可列方程為2x2×120+6x×20+45=1953分整理得8x2+4x﹣5=0解得x1=QUOTE，x2=（舍去）5分∴x=QUOTE∴2x=QUOTE答：鏡子的長(zhǎng)和寬分別是QUOTEm和QUOTEm．點(diǎn)評(píng)：本題是一道一元二次方程的應(yīng)用題，解這類題關(guān)鍵是理解題意，建立恰當(dāng)?shù)年P(guān)系式予以求解．15、（2006?岳陽）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)M．（1）請(qǐng)判斷△DMF的形狀，并說明理由．（2）設(shè)EB=x，△DMF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．并寫出x的取值范圍．考點(diǎn)：等腰三角形的判定；根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式。專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：（1）△DMF是等腰三角形．主要利用菱形ABCD中，∠A=60這個(gè)條件得到∠E、∠DMF的度數(shù)來判斷；（2）不能直接表示△DMF的面積，采用面積分割法，用△AEF、△BEM來表示它．解答：解：（1）△DMF是等腰三角形（2分）∵四邊形ABCD是菱形∴AB=AD∵∠A=60°∴∠ABD=60°∵EF⊥AB∴∠F=30°，∠DMF=∠EMB=30°∴∠F=∠DMF∴DM=DF（5分）∴△DMF是等腰三角形（2）EB=x，則AE=4﹣x，EF=QUOTE33（4﹣x），EN=2QUOTE33∴NF=EF﹣EN=QUOTE33（2﹣x），F(xiàn)M=2QUOTE33（2﹣x）．∵M(jìn)N=NF=QUOTE33（2﹣x）∴DN=MNtan30°=2﹣x∴y=QUOTE33（2﹣x）2（9分）（0≤x＜2）（10分）．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等腰三角形的判定，菱形的性質(zhì)，以及三角形的面積公式．16、（2002?湖州）已知，如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，M是CD邊上一點(diǎn)（不與C、D重合），以BM為直徑畫半圓交AD于E、F，連接BE，ME．（1）求證：AE=DF；（2）求證：△AEB∽DME；（3）設(shè)AE=x，四邊形ABMD的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍．考點(diǎn)：垂徑定理；根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；平行線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：代數(shù)幾何綜合題；數(shù)形結(jié)合。分析：（1）設(shè)BM的中點(diǎn)為O，過O作OH⊥EF，垂足為H．利用平行線的性質(zhì)和垂徑定理可求出；（2）要求證△AEB∽DME，就要利用三角形相似的判定證明，從題中互余的關(guān)系可知三角相等，利用AAA定理可證明；（3）要求四邊形ABMD的面積為y與邊的關(guān)系，就要利用面積公式列出式子，再分析看成變量x的最值范圍．解答：解：（1）證明：設(shè)BM的中點(diǎn)為O，過O作OH⊥EF，垂足為H，∵OB=OM，∴AH=DH．根據(jù)垂徑定理可知EH=FH，∴AE=DF；（2）∵BM是圓O的直徑，∴∠BEM=90°，∴∠AEB+∠DEM=90°，∴∠AEB=∠DME，∴△AEB∽△DME；（3）∵△AEB∽△DME，∴QUOTEABDE=AEDMAB∵AB=1，AE=x，∴DE=2﹣x，∴DM=x（2﹣x），y=QUOTE1212（AB+DM）?AD=﹣x2+2x+1．自變量的取值范圍是0＜x＜1．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平行線，垂徑定理和相似三角形的判定及矩形的面積公式等計(jì)算能力．17、（2002?煙臺(tái)）如圖，已知△ABC的面積為5，點(diǎn)M在AB邊上移動(dòng)（點(diǎn)M與點(diǎn)A、B不重合），MN∥BC，MN交AC于點(diǎn)N，連接BN．設(shè)QUOTEAMABAMAB=x，S△MBN=y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）點(diǎn)E、F分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，設(shè)△MBN與△EBF的公共部分的面積為S，試用含x的代數(shù)式表示S；（3）當(dāng)?shù)冢?）問中的S=QUOTE1515時(shí)，試確定x的值．（不必寫出解題過程）考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；解一元二次方程-直接開平方法；根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式。專題：綜合題；壓軸題。分析：（1）由MN∥BC可知△AMN∽△ABC，得到S△AMN：S△ABC=（QUOTEAMABAMAB）2，即S△AMN：5=x2，利用相似的面積比等于相似比的平方可求得S△MBN=﹣5x2+5x，即y=﹣5x2+5x（0＜x＜1）；（2）根據(jù)FE∥BC∥MN可知，①當(dāng)0＜x≤QUOTE1212時(shí)，△MBN與△EBF的公共部分的三角形與△MBN相似，利用相似的面積比等于相似比的平方可求得S=QUOTE；②當(dāng)QUOTE1212＜x＜1時(shí)，△MBN與△EBF的公共部分的三角形與△EBF相似，利用相似的面積比等于相似比的平方可求得S=5（1﹣x）2；（3）當(dāng)S=QUOTE1515時(shí)，x=QUOTE429429或x=QUOTE4545．解答：解：（1）∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC∴S△AMN：S△ABC=（QUOTEAMABAMAB）2，即S△AMN：5=x2，∵S△MBN：S△AMN=QUOTE1x1x﹣1，∴S△MBN=﹣5x2+5x∴y=﹣5x2+5x（0＜x＜1）；（2）∵E、F分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴FE∥BC∥MN，①當(dāng)0＜x≤QUOTE1212時(shí)，△MBN與△EBF的公共部分的三角形與△MBN相似，∴y：S=4（1﹣x）2，∴S=QUOTE，②當(dāng)QUOTE1212＜x＜1時(shí)，△MBN與△EBF的公共部分的三角形與△EBF相似，∴S：S△BEF=4（1﹣x）2，∵S△BEF=QUOTE5454，∴S=5（1﹣x）2；（3）當(dāng)S=QUOTE1515時(shí)，x=QUOTE429429或x=QUOTE4545．點(diǎn)評(píng)：主要考查了相似三角形的性質(zhì)和根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，其中涉及到直接開平方法解二元一次方程的方法；要會(huì)根據(jù)幾何圖形之間的關(guān)系列二元一次方程，利用相似三角形的相似比是解題的關(guān)鍵．18、（2002?福州）如圖，已知△ABC中，AB=a，點(diǎn)D在AB邊上移動(dòng)（點(diǎn)D不與A、B重合），DE∥BC，交AC于E，連接CD．設(shè)S△ABC=S，S△DEC=S1．（1）當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，求S1：S的值；（2）若QUOTE，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（3）是否存在點(diǎn)D，使得成立？若存在，求出D點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式。專題：開放型；存在型。分析：（1）當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，DE是三角形ABC的中位線，DE：BC=1：2，而高線的比也是1：2，則三角形的面積的比就可以求出；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到底邊DE、BC以及高線之間的關(guān)系，就可以求出面積的比；（3）使得成立，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值y的大小關(guān)系．解答：解：過A作AM⊥BC，交DE與點(diǎn)N，設(shè)AD=x，根據(jù)DE∥BC，可以得到QUOTEDEBCDEBC=QUOTEANAMANAM=QUOTEADABADAB=QUOTExaxa，則DE=QUOTExaxa?BC，AN=QUOTExaxa?AM；（1）當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，DE是三角形ABC的中位線，則DE=QUOTE1212BC，AN=QUOTE1212AM，而S△ABC=S=QUOTE1212?AM?BC，∴S△DEC=S1=QUOTE1212?AN?DE，∴S1：S的值是1：4；（2）作AM⊥BC，垂足為M，交DE于N點(diǎn)，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴QUOTEANAMANAM=QUOTEDEBCDEBC=QUOTEADABADAB=QUOTExaxa，∴QUOTENMAMNMAM=QUOTE．QUOTES1SS1S=（QUOTE1212?MN?DE）：（QUOTE1212?AM?BC）=QUOTEDEBCDEBC?QUOTEMNAMMNAM=QUOTExaxa?QUOTE=QUOTE即y=QUOTE，0＜x＜a，（3）不存在點(diǎn)D，使得S1＞QUOTE1414S成立．理由：假設(shè)存在點(diǎn)D使得S1＞QUOTE1414S成立，那么即y＞QUOTE1414，∴QUOTE＞QUOTE1414，整理得，QUOTE＜0，∵（x﹣QUOTEa2a2）2≥0，∴x不存在．即不存在點(diǎn)D使得S1＞QUOTE1414S．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，以及三角形的面積的計(jì)算方法．19、（2005?岳陽）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點(diǎn)D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取E點(diǎn)，使∠ADE=45度．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)：△ABD∽△DCE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；等腰三角形的性質(zhì)。專題：綜合題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型；分類討論。分析：此題有三問，（1）證明△ABD∽△DCE，已經(jīng)有∠B=∠C，只需要再找一對(duì)角相等就可以了；（2）由（1）證得△ABD∽△DCE，有相似就線段成比例，于是利用（1）的結(jié)果可證得（2）；（3）當(dāng)△ABD∽△DCE時(shí)，可能是DA=DE，也可能是ED=EA，所以要分兩種情況證明結(jié)論．解答：解：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵∠ADE=45°，∴∠BDA+∠CDE=135°．又∠BDA+∠BAD=135°，∴∠BAD=∠CDE．∴△ABD∽△DCE．（2）∵△ABD∽△DCE，∴QUOTEABCD=BDCEAB∵BD=x，∴CD=BC﹣BD=QUOTE22﹣x．∴QUOTE，∴CE=QUOTE22x﹣x2．∴AE=AC﹣CE=1﹣（QUOTE22x﹣x2）=x2﹣QUOTE22x+1．即y=x2﹣QUOTE22x+1．（3）∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，