2023年全國新高考普通高中全真模擬卷（四）數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用并使用完畢前測試時間:年一月一日一時一分———時一分

仿真卷04

本試卷分第I卷和第n卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合A={—1,0,2},{0,1,2},則AUB=()。

A、{-1,0,1}

B、{-1,04,2)

C、{0,1,2)

D、{0,2}

【答案】B

【解析】：A={—1,0,2},B={0,1,2},AAUB={-1A1,2},故選B。

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=l+出(aeR),且|z|=M,貝()。

1-2;

A、V2

B、6.或后

C、舊

D、石或3

【答案】A

【解析】\ll+a2=V10,解得a=±3,

(l+3i)(l+2i)__5+5i_]?、

當(dāng)。=3時，則一--==|高|=收，

1-2/1-2/(1-20(1+20-5

當(dāng)。=—3時，則^^=上3(1-30(1+2/)_7-z_71.|-^-|=V2,故選A。

-(1-2z)(l+2z)-5一55八

1-2/1-2/1-2/

3.某地積極響應(yīng)黨中央的號召，開展扶貧活動，扶貧第x年該地區(qū)貧困戶每年人均收入y萬元的部分?jǐn)?shù)據(jù)

如下表:

年份編號X12345

年人均收入ya

根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，求得y與x的線性回歸方程為9=0.32x+().()8,則。=()。

A、0.8

B、0.9

C、1

D,1.3

【答案】C

【解析】工=3,,由?=0.325+0.08,可得a=l,故選C。

4.“牽星術(shù)”是古代的航海發(fā)明之一，在《鄭和航海圖》中都有記載。如圖所示，“牽星術(shù)''儀器主要是由牽

星板（正方形木板），輔以一條細(xì)繩貫穿在本板的中心牽引組成，要確定航船在海上的位置，觀察員一手持

一塊豎直的牽星板，手臂向前伸直，另一手持著線端置于眼前，眼睛瞄準(zhǔn)牽星板上下邊緣，將下邊緣與水

平線取平，上邊緣與北極星眼線重合，通過測出北極星眼線與水平線的夾角來確定航船在海上的位置（緯

度）。某航海觀察員手持邊長為20c/n的牽星板，繩長70cm,觀察北極星，眼線恰好通過牽星板上邊緣，

則航船所處的緯度位于區(qū)間（）。

參考數(shù)據(jù)：tanl0°?0.1763.tanl5°?0.2679.tan20°=0.3640、tan25°a0.4663。

A、［0°,10。］

B、(10。,15。］

C、(15。,20。］

D、(20°,25°］

【答案】C

【解析】如圖可知，。為AC的中點，則AD=DC=10,

BC=7702-102=405/3cm,

AB=J2()2+(40揚2=20V13cm,

tanAABC=-^==—?0.289,：0.364>0.289>0.2679.

40V36

/.tanl50>tanZABC>tan20°,則航船所處的緯度位于區(qū)間（15°,20°],故選C。

5.5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一是著名的香農(nóng)公式：C=Wlog2（l+^）o它表示：在受噪聲干擾的信道中，最

大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W,信遒內(nèi)信號的平均功率S,信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其

中9叫做信噪比。當(dāng)信噪比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計。假設(shè)目前信噪比為1600,若不改變

N

帶寬卬，而將最大信息傳播速度C提升50%,那么信噪比士要擴大到原來的約（）。

N

A、10倍

B、20倍

C、30倍

D、40倍

【答案】D

【解析】由題意設(shè)現(xiàn)在的信噪比為X,則可列出等式W4°g2”=3

log,16002

log,x=-log1402=log2403,?.x=403,.?.9=40,故選D。

22-1600

6，若(貝在

6.已知函數(shù)/(x)的定義域為［0,+8),且滿足了(幻=，L°-x<lgx)=/(x)-7t,Ig(x)[0,10]

2/(x-l),x>l

內(nèi)的零點個數(shù)為()。

A、8

B,9

C、10

D,II

【答案】B

【解析】由題意可得函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,

則當(dāng)XG［0,1)時，/(x)的值域為［0,e-1),則y=/(x)與y=7i在［0,1)內(nèi)無交點,

當(dāng)xe［l,2)時，f(x)的值域為［0,2e-2),則y=/(x)與y=兀在［1,2)內(nèi)有一個交點,

以此類推，結(jié)合圖像可知xe［0,10］,y=f(x)與y=7i共有9個交點，故選B。

7.如圖所示，在底圓半徑和高均為2后的圓錐中A3、CO是過底圓圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母

線總的中點，已知過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦

點到圓錐頂點P的距離等于()。

A、75

B、1

Vio

1r、

4

D、旦

2

【答案】A

【解析】如圖所示，過點E作石垂足為H,

：E是母線尸3的中點，圓錐的底面半徑和高均為2立，

：.OH=EH=叵,：.OE=2,

在平面CED內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系如圖，

2

設(shè)拋物線的方程為：y=2Px(p>0),尸為拋物線的焦點,

而點C的坐標(biāo)為(2,2正)，代入拋物線方程可得：8=2px2,

：.p=2,尸(1,0),即瓦'=1,PB=4,PE=2,

二拋物線的焦點到圓錐頂點尸的距離為血￡工￡^=正，故選A。

8.四位小伙伴在玩一個“幸運大挑戰(zhàn)”小游戲，有一枚幸運星在他們四個人之間隨機進(jìn)行傳遞，游戲規(guī)定：

每個人得到幸運星之后隨機傳遞給另外三個人中的任意一個人，這樣就完成了一次傳遞。若游戲開始時幸

運星在甲手上，記完成”(n>2,)次傳遞后幸運星仍在甲手上的所有可能傳遞方案種數(shù)為％,則

()。

A、叼=9

B、a4=27

C、a5=69

D,a6=183

【答案】D

【解析】I?從甲開始，一次傳遞有三種情況(甲傳到下一個人有三種選擇)，

...當(dāng)〃=1時，就傳遞一次，不可能回到甲手上，.?.％=(),

當(dāng)〃=2時，傳遞兩次，先傳到任意乙、丙、丁手上，再傳回到甲，二的=3,

當(dāng)〃=3時，傳遞三次，先傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到除了甲以外的兩個人手上,

最后傳回到甲，4=3x2=6,

當(dāng)”=4時，傳遞四次，兩種情況：

(1)先傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到甲手上，

再傳到任意乙、丙、丁手上，最后傳回到甲，二？、：!*?：%

(2)先傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到除了甲以外的兩個人手上，

再傳到除了甲以外的兩個人手上，最后傳回到甲，；.3x2x2=12,

.?.%=9+12=21,

當(dāng)〃=5時,傳遞五次，三種情況:

(1)先傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到甲手上,

再傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到除了甲以外的兩個人手上,

最后傳回到甲,3x1x3x2=18,

(2)先傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到除了甲以外的兩個人手上,

再傳到甲手上,再傳到任意乙、丙、丁手上,

最后傳回到甲,3x2x1x3=18,

(3)先傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到除了甲以外的兩個人手上,

再傳到除了甲以外的兩個人手上，再傳到除了甲以外的兩個人手上,

最后傳回到甲，.*.3x2x2x2=24,

a5=18+18+24=60,

當(dāng)〃=6時，傳遞六次，兩種情況：

(1)先傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到甲手上，

再傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到甲手上，

再傳到任意乙、丙、丁手上，

最后傳回到甲，,3x1x3x1x3=27,

(2)先傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到甲手上，

再傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到除了甲以外的兩個人手上，

再傳到除了甲以外的兩個人手上，

最后傳回到甲，...3*1x3x2x2=36,

(3)先傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到除了甲以外的兩個人手上，

再傳到甲手上，再傳到任意乙、丙、丁手上，

再傳到除了甲以外的兩個人手上，

最后傳回到甲，.?.3x2x1x3x2=36,

(4)先傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到除了甲以外的兩個人手上，

再傳到除了甲以外的兩個人手上，再傳到甲手上，

再傳到任意乙、丙、丁手上，最后傳回到甲，二3x2x2x1x3=36,

(5)先傳到任意乙、丙、丁手上，再傳到除了甲以外的兩個人手上，

再傳到除了甲以外的兩個人手上，再傳到除了甲以外的兩個人手上，

再傳到除了甲以外的兩個人手上，

最后傳回到甲，；.3x2x2x2x2=48,

二4=27+36+36+36+48=183,

故選D。

答題技巧：D選項一定不做！單選題，ABC錯，則D一定對，但要注意一定要保證其他三個選項一定全

錯。

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。

9.下列命題中正確的是()o

A、BxG(0,+oo),(,)*>(「)"

B、Vxe(0,1),log工x>logIx

23

C、Vxe(0,^),(夕>/

D、3xe(0,1),(^)v>log,x

【答案】ABC

【解析】A選項，由指數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)可知，當(dāng)xe（0,+8）時，（；）,>（_1廣恒成立，對，

B選項，由對數(shù)函數(shù)圖像可知，當(dāng)xw（O,l）,logix>logix同樣恒成立，對，

23

C選項，y=d）*在（0,；）上單調(diào)遞減，在y=N在（0,；）上單調(diào)遞增，

當(dāng)％=0時，（g）°=1,（）5=0,當(dāng)x時，（；盧=^^，

AVXG（0,1）,對，

D選項，y=（工廠在（（）」）上單調(diào)遞減，在y=log]x在（（）」）上單調(diào)遞減，

23-3

當(dāng)X=0時，ymax=（g）°=l，當(dāng)X=；時，>,min=10g|1=l,

Vxe（0,^）,（；）*<10glx,錯，

故選ABC,

10.19（可年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了一種曲線。如圖所示，取一個邊長為1的正三角形，在每個邊上以中

間的，為一邊，向外側(cè)凸出作一個正三角形，再把原來邊上中間的擦掉，得到第2個圖形，重復(fù)上面的步驟,

3

得到第3個圖形。這樣無限地作下去，得到的圖形的輪廓線稱為科赫曲線。云層的邊緣，山脈的輪廓，海岸

線等自然界里的不規(guī)則曲線都可用“科赫曲線''的方式來研究，這門學(xué)科叫“分形幾何學(xué)“。下列說法正確的是

（）?

A、第4個圖形的邊長為4-

81

B、記第"個圖形的邊數(shù)為％,

C、記第〃個圖形的周長為",

D、記第〃個圖形的面積為S“，

【答案】BCD

【解析】各個圖像的邊長成等比數(shù)列，且4=（，

???可設(shè)邊長為%=(g)"T,C

4A選項錯,

各個圖形的邊數(shù)也成等比數(shù)列，且4=4,...a“=3-4"T,B選項對,

4.

周長為2=%?%=3x(])"一,C選項對,

當(dāng)〃f+oo時，圖形無限接近于圓，故S“vSg]=Af,D選項對,

故選BCDo

7171

sin(2x+—)+cos(2x+—)

已知函數(shù)/(x)=_______44,則下列說法正確的是()o

1-sinx-cosx

A、/(x)為周期函數(shù)

B、/(x)的圖像關(guān)于點(三,0)對稱

4

CNf(x)有最大值—

D、/(%)在(_3,0)上單調(diào)遞增

【答案】ABD

O72

方位伯21+32幻+3(32%-sin2x)夜(3?Asii?%)2頁cos2x

【解析Jf(x)=

sin2x+cos2x—sinx-cosxsin2x+cos2x-sinxcosx2-sin2x

:/(x+7t)=/(x),1?f(x)為周期函數(shù)，A正確,

由/(2+x)=——x)得/(x)的圖像關(guān)于點3,0)對稱，B正確，

444

令加=268s2”,25/2cos2x+m-sin2x=2m,則12m-+學(xué)、，「?一...?血,

2—sin2x33

/7

??.f(x)有最大值9竺?,C錯誤,

令7=2%,當(dāng)%￡(一3,0)時，，金(一兀,0),g(r)=2a^cosZ,

22-sinr

2V2(l-2smO>o口正確，

(2-sinr)2

故選ABDo

12.如圖所示，已知正四棱柱ABCD-45G2的底面邊長為1，側(cè)棱長為2,點P、。分別在半圓弧CG

和半圓弧(均不含端點)上，且G、P、Q、c在球。上，則下列說法正確的是()。

A、當(dāng)點P在半圓瓠CG的中點處時，三棱錐G-PQC的體積為定值

B、當(dāng)點P在半圓弧CG的中點處時，過G、P、Q三點的平面截正四棱柱所得的截面的形狀都是四

邊形

C、球。的表面積的取值范圍為(4兀,8兀)

D、當(dāng)點Q在半圓弧AA的三等分點處時，球。的表面積為(11-46)兀

【答案】AD

【解析】如圖1,取棱CG的中點E，棱。。的中點尸，棱的中點G,

7F

根據(jù)題意，球心。在線段所上，設(shè)/RGQ=a,ae[O,-）,

則由余弦定理可得"2?=2-2cosa,設(shè)OE=x,則OC2=W+i,

OC2=OF24-F22=（l-x）2+2-2cosa,

2

：OQ2=OC2=R2（R為球。的半徑），x=i-cosae[0,l）,:.臥=0C?=x+le[l,2),

...球。的表面積為S=4JTR2G[4兀,8兀），C選項錯，

當(dāng)點。在半圓弧AA的三等分點處時，a=3,則x=l-cosa=l-也，

二球。的表面積5=4兀/?2=4兀x（1-百）=（11_4行）兀，D選項對，

4

當(dāng)點Q在弧A尸上時，連結(jié)AF,在平面ADRA中，過點。作A尸的平行線，

與線段。?！窤O分別交于M、N,

延長Cf與的相交，連結(jié)交點與點N交于點S,

此時當(dāng)點P在半圓弧CG的中點處時，

過C]、P、。三點的平面截正四棱柱所得的截面為五邊形GM覘P，B選項錯,

當(dāng)尸在半圓弧CG的中點處時，三棱錐G-PQC的體積為

匕-PQC=%-PCG=5-PCG=]X1X]X2x1=§,為定值，A選項對,

故選ADo

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量入分滿足：|7|=1、|向=2、\a+h\=43,則"與X的夾角大小為o

【答案】—

3

【解析】V\a+b\1=a+h+2a%=l+4+2a.各=3,/.a-b=-i,

.一；a-b1.27t

??cos<a,b>=————=——,..<a,b>=——。

\a\-\b\23

14.在一次機器人比賽中，有供選擇的A型機器人和5型機器人若干，從中選擇一個機器人參加比賽，3型

機器人被選中的概率為之，若A型機器人比3型機器人多4個，則A型機器人的個數(shù)為。

10

【答案】7

【解析】設(shè)機器人總個數(shù)為4,A型機器人的個數(shù)為機、3型機器人的個數(shù)為〃，

x-

r,in=—F2

M74-H—V0

；A型機器人比8型機器人多4個，二，解得42,

m-n=4x_

、n=----2

2

A型機器人有二+2個，B型機器人有2—2個，

22

￡,2

又??.3型機器人被選中的概率為三3，.??2o一4=—3,

10x10

解得％=10,??.加=7、力=3,??.A型機器人的個數(shù)為7。

22,

15.設(shè)￡、尸2分別為雙曲線C：今一一H—=1的左、右焦點，若雙曲線上C存在點A,使得ZFjAg=」，

aa'+53

且|鉆|二3|伍|,則々=。

【答案】土2

【解析】設(shè)|隹|=》，則|"；|=3x,...在焦點中，由余弦定理得：

222

|FiF2|=|AF}|+1AF21-2-\AF2\-\AFt\-COSZF}AF2

=x2+9x2-2x-3xcosl20°=10x2+3x2=13x2,

2C=|FIF,|=V13X,e=^^=叵,

lx2

3m-,?乒泮務(wù)行解得a=±2。

16.若,"+1Wax+Z?(a,bwR)對于Vxw(0,+oo)恒成立，則當(dāng)〃=0時，。的最小值為__________

X

當(dāng)時，的最小值為__________。(本小題第一個空分,

a>022第二個空3分)

a

【答案】1--

e

【解析】當(dāng)。=0時，6N(』*l)max，令/(乃=曲土1,定義域為(0,+8),

XX

則r(x)=上」￥二1=一雪，令/'(?=0,解得x=i,

XX

當(dāng)0<x<l時，r(x)>0,???/(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,

當(dāng)了>i時，/。)<0,，/(了)在(i,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

???/(%)在尤=1處取得極大值也是最大值，.??/(%)max=/⑴==1,

又當(dāng)X-0+時，/(x)<0,當(dāng)xf+8時，/(x)>0,/(-)=0,

二做/(x)的圖像如圖所示，即匕的最小值為1,

設(shè)g(x)=ox+b,則y=g(x)為直線，

：a>0,.,.斜率為正，2為最小值時匕<o,

a

即直線y=g(x)的截距為負(fù)，當(dāng)〉=8(工)為y=/。)的切線時，截距最小,

設(shè)切點為P(%,Jo),則0<及<1,

”=-蜂，lnXo+l=J^―0+6,解得b=21nxo+l,

%玉)/玉)

y0=a-x0+b

.?心=_包1@些士D,設(shè)力(x)=_x《2lnx+l),0<x<l,

aInx0Inx

、2(lnx)2+lnx-l(21nx-l)-(lnx+l),.?的飛1廠

/Z(x)=一一-~~4_z------=------------------------令力A(x)/=z0,解得%=一，x=Ve,

(Inx)(Inx)e2

又0<x<l,...當(dāng)0<x<，時，似x)<0,二"(x)在(0」)單調(diào)遞減，

ee

當(dāng)L<X<1時，"(x)>0,Mx)在d，l)單調(diào)遞增，

ee

：.h(X)在X=，處取得極小值也是最小值，二/z(X)max=Ad)=-J，即的最小值為一1。

eeeae

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)設(shè)5〃為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和，已知w=3,?！?]=2%+1。

(1)證明：數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列;

（2）判斷〃、a“、S”是否成等差數(shù)列？并說明理由。

【解析】（1）。2=3，。"+1=2%+1,，4]=1,1分

由題意得4+1工0,a"+l+1=2a"+2=2,又4+1=2,3分

?！?1%+1

.?.｛%+1｝是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，4分

（2）由（1）?！?1=2",二a“=2"-1,5分

r\_+]

S——n=2',+'-n-2,7分

“1-2

/.n+S“—2%=〃+2向—〃一2-2（2"—1）=0,9分

：.n+Sn^2a?,即〃、％、S“成等差數(shù)列。10分

18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=Asin(cox+(p)(A>0,<D>0)的圖像是由y=J^sin@x+《)的

圖像向右平移四個單位得到的。

3

(1)若/(x)的最小正周期為兀，求/(x)的與y軸距離最近的對稱軸方程；

(2)若/(X)在耳，用上有且僅有一個零點，求3的取值范圍。

【解析】(1)：〃x)的最小正周期為兀，..?2巧7r=兀，...8=2,2分

V/(%)的圖像是由y=J^sin(3X+g)的圖像向右平移T個單位得到的，

/(%)=V2sin[2(x-—)+—J=V2sin(2x-—),4分

333

令2x—1=E+],ZeZ,得/(x)的對稱軸方程為x=1^+g,keZ,5分

要使直線x=^+如(&eZ)與y軸距離最近，則須|生+幺|最小，

122122

=此時對稱軸方程為x=-三；6分

12

(2)由已知得：/(x)=V2sinfco(x—^)+^1,

,兀兀

E+—co——

令/(x)=。得：co(x--)+—=H,keZ、即工=----------,keZ、8分

33co

qr

?.?/(乃在[],汽]上有且僅有一個零點，

.兀71

E+—CD——

—冗</------3------3—,<71

2co

5-<CO<6^-2)

/7IX兀兀6t-2>0

(左一兀+2

1)33.3迎，6Z-2,11分

<—??co>0,?co>6Z-8

co22

3女+2

/7八兀兀co<--------。3Z+2

(攵+1)兀+—3——26攵一8<-------

33>兀2

co

解得：-<k<2,,：k&Z,：.k=\,/.l<co<-o12分

32

19.(本小題滿分12分)如圖所示，在長方體A3CD—4出6。中，A4|=A。、CD=42AD,N為CD中

點，M為￡>G中點。

(1)求證：8。_1_平面4\也；

(2)若線段AN上存在點。使得3Q_LAN,求直線G0與平面4與。所成角的正弦值。

【解析】(1)在長方體ABCD-AqGA中，以。為原點如圖建系，設(shè)AO=4,1分

則A(4,0,0)、3(4,4屈0)、C(0,472,0),￡)(0,0,0)、4(4,0,4)、片(4,4a,4)、

。1(0,4也4)、2(0,0,4)、N(0,2Vl0)、M(0,2&,4),3分

/.BD=(-4,-4V2,0),AM=(-4,2Vl4)、AN=(-4,272,0),

：.BDAM=0,BDAN=0,：.BDYAM.BDVAN,

又4WA4V=A,AM、4Vu平面AMW,二6OJ_平面AMW；5分

(2)設(shè)。(如y0,z0),設(shè)A。=XAN,貝ij(%一4,%,z0)=X(-4,2>/2,0),

x0=4—4X,y0=2V2A.,z0=0,0(4—4A.,2-\/2A.,0),

又3QJ.4V,.,.旗?加=0,6分

,/BQ=(-4X.2V2X-4A/2,0),AN=(-4,20,0),

(-4X)x(-4)+(2V2X-4V2)x2V2=0,解得入=g,Q(g,半,0),

8分

——?48-x/2——?84A/2——?88.

?,<?,0=(3，-3，-4bAG=(3，"4)'B,2=(3，_3，-4)，

84V2彳八

——x+----y-4z=0

設(shè)平面4片。的法向量為1=(x,y,z),則一上一,即《33

n*B^Q=088行“八

—x-----y-4z=(J

則y=0,令x=3,解得z=—2,則7=(3,0,—2),10分

設(shè)直線C|。與平面A<2所成角的平面角為0，

則sin0=|cos<?>|=||=,

IGQII〃I26

即直線GQ與平面AgQ所成角的正弦值為之竺。12分

26

20.(本小題滿分12分)某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識競賽，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在知識

競賽中的情況，采取分層抽樣隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450~950分之間，根據(jù)調(diào)查的

結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示。將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手

(1)求。的值，并估計該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代

表);

(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)落在［550,650)、［750,850)內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再從這10人中隨

機抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手'’的學(xué)生人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(3)若樣本中屬于“高分選手”的女生有10人，完成下列2x2列聯(lián)表,并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為該校

學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？

屬于“高分選手”不屬于"高分選手”合計

男生

女生

合計

(參考公式：K2=---------——-----------,其中〃=a+/?+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解析】(1)由題意知100x(0.0015+4+0.0025+0.0015+0.001)=1,解得a=0.0035,1分

樣本平均數(shù)為1=500x0.15+600x0.35+700x0.25+800x0.15+900x0.10=670,2分

中位數(shù)為650,眾數(shù)為600；3分

(2)由題意，從［550,650)中抽取7人，從［750,850)中抽取3人，4分

隨機變量X的所有可能取值有0、1、2、3,

P(X=0)=

"X=2)=管端、"X=3)=箸桔

7分

:.隨機變量X的分布列為：

X0123

3563211

rP

120120120120

數(shù)學(xué)期望￡(X)=Ox亙+lx色+2x3+3XL=9

9分

12012012012010

(3)樣本中男生40人，女生60人屬于“高分選手'’的25人，其中女生12人,

得出以下2x2列聯(lián)表：

屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計

男生152540

女生105060

合計2575100

._n(ad-bc)2100(10X25-15x50)2503)

??A-=------------------=—>5.024,

(6Z+b)(c+d)(a+c)(b+d)25x75x40x609

二有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與性別有關(guān)。12分

21.(本小題滿分12分)已知橢圓C：，+表?=1(。＞人＞0)的離心率等于g,橢圓C與拋物線C］：y2=1x

交于P、。兩點(P在x軸上方)，且PQ經(jīng)過C的右焦點。

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點A、8是橢圓上不同的兩個動點，且滿足直線AP與直線8尸關(guān)于直線PQ對稱，試問直線A8

的斜率是否為定值，請說明理由。

yo=^c

【解析】(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c設(shè)點P(c,先)，則,I分

1

c29c即￥+9c

消去知得:—+----=1,=1①,2分

222

a2b之a(chǎn)~2(a-c)

?.?橢圓C的離心率等于4，，￡=！,即a=2c②,

3分

2a2

將②代入①得:(2Z7+2[(2C)2-C2]=1,化簡得：-+—=1,4分

42c

.22

解得c=2,b=一C?=.??橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+2-=1；5分

1612

(2)將P(2,%)代入拋物線G：丁=2%中，得其二■|x2,解得先=3(取正值)，

則P(2,3)、Q(2,-3),

當(dāng)AP與5尸關(guān)于直線尸。對稱時，PA、的斜率之和為0,