2023屆湖南省新課標數(shù)學高一年級上冊期末教學質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（本大題共12小題，共60分）

1.如圖是函數(shù)/(x)=Asin(tyx+夕)|A>0,69>0,|^?|<三在一個周期內(nèi)的圖象，則其解析式是（）

兀/(x)=3sin12x+—

A./(x)=3sin|x+—B.

3

c./(x)=3sinl2x-1/(x)=3sin12x+^

D.

2.函數(shù)＞=Ineos的單調(diào)遞減區(qū)間為

,5TT,1\n,.5萬,27

A.k7r+——,k7i'+——,kwZB.%乃+——,k^+,k&Z

1212123

.兀、24,7115萬

C.k7r+—^7r+—,keZD.攵萬+一,k〃+,keZ

63612

3.一人打靶中連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是。

A.至多有一次中靶B.兩次都中靶

C.兩次都不中靶D.只有一次中靶

4.在。2兀］上，滿足sinx…g的x的取值范圍是（）

7t5兀、

A.[O,f]r]

ooo

r7l271rr5n

c.—D.[—,7l]

63o

5.已知函數(shù)/(x)=%2—2x+ln|x—l|+a,現(xiàn)有下列四個結論：

①對于任意實數(shù)a,f(x)的圖象為軸對稱圖形；

②對于任意實數(shù)a,/(x)在上單調(diào)遞增；

③當4>1時，/(x)>()恒成立；

④存在實數(shù)。，使得關于X的不等式“X)>0的解集為(9,0］口［2,+8)

其中所有正確結論的序號是()

A.①@B.③④

C.②?④D.①@@

6.我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)

學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也可用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如通過函數(shù)

y=1+力cosX的解析式可判斷其在區(qū)間［-7T,句的圖象大致為()

7.已知三條不重合的直線加，n,I,兩個不重合的平面a,夕，有下列四個命題:

①若加||〃，〃ua,則根②若m1/7,且/||加，則?！?7；

③若mua,〃ua,m\\/3,n\\j3,則a〃/7；

④若nu0,m,則〃_La.其中正確命題的個數(shù)為

A.1B.2

C.3D.4

IT

8.函數(shù)f(x)=Zsin(3戶6)(其中4>0,3>0,4)|V―)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)F(x)的解析式為()

2

C.y=sin[2x+§JD.y=sin^4x+—J

9.下列說法正確的是()

A.向量4與5共線，B與Z共線，則￡與2也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點

c.向量a與B不共線，則￡與B都是非零向量

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

10.下列四條直線，傾斜角最大的是

A.y=x+1B.y=2x+1

C.y=—x+lD.x=l

11.設集合A={x|-l<xWl},B={-1,1,2,3}.貝iJ&A)n8=()

A.{-1,2,3}B.{1,2,3}

C.{-1,1,2}D.{-1,1,2,3}

12.已知集合4={(羽丁)|3工+5丁+16=0,-24％<3},8={(x,y)|Ax-y+l—Z=0},若Ac3#0,則實數(shù)

攵的取值范圍是()

A.(―co,-3]u[l,+oo)B.(—oo,-3)U(l,+oo)

C.[-3,1]D.(-3,1)

二、填空題(本大題共4小題，共20分)

13.在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉膈(bienao).已知在鱉膈M-ABC中，M4L平

面ABC,MA=AB=BC=2,則該鱉席的外接球與內(nèi)切球的表面積之和為.

14.函數(shù)y=x2-2x(-\<x<2)的最大值為.

15.已知函數(shù)則"13))=-------

'之是音理數(shù)

f(x)=6

疼宏理數(shù)

log(x+l),x>0

16.已知函數(shù)式X)=<29Cc若函數(shù)g(x)=/lx)—/7Z有3個零點，則實數(shù)所的取值范圍是_________.

—X—2x,x<0

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.已知函數(shù)/(x)=Asin(5+°)+b(A>0,④>0,|同v%)的部分圖象如圖所示.

154

(2)把/(X)圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的y,再向左平移刃個單位長度，向下平移1個單位長度,得到g(X)

的圖象，求g(x)的單調(diào)區(qū)間.

18.已知/(x)+g(x)=21og2(lr),其中/(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù).

(1)求“X)與g(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)/(x)在其定義域上的單調(diào)性(不需證明)；

(3)若不等式/。―2。+/(2-3f)20恒成立，求實數(shù)/的取值范圍.

19.我們知道，指數(shù)函數(shù)/(》)=優(yōu)(。>0,且QH1)與對數(shù)函數(shù)g(x)=log“x(a>0,且awl)互為反函數(shù).

已知函數(shù)/(x)=2"其反函數(shù)為g(x).

(1)求函數(shù)尸(x)=[g(初|2—2rg(x)+3,xe[2,8]的最小值；

(2)對于函數(shù)°(x),若定義域內(nèi)存在實數(shù).%,滿足9(-%)=一0小)，則稱9(x)為"函數(shù)”.已知函數(shù)

=—2,叫x)-3,x"l,為其定義域上的“L函數(shù)”，求實數(shù)〃?的取值范圍.

—3,x<—1

2-y

20.已知函數(shù)/(x)=log2—7的定義域為集合A,關于x的不等式的解集為3,若A=6,求實數(shù)。的

x—\

取值范圍

21.如圖，在三棱錐V—中，平面L4BJ_平面為等邊三角形，AC,且AC=BC=

分別為AB,憶4的中點

(1)求證：VB〃平面MOC；

(2)求證：平面A/OCL平面03；

4r1

22.證明：函數(shù)/(幻=4?——］是奇函數(shù).

參考答案

一、選擇題(本大題共12小題，共60分)

1、B

【解析】通過函數(shù)的圖象可得到：A=3,T=兀，?=—=2,貝！|/(x)=3sin(2x+0),然后再利用點,3］在圖

71\12)

象上求解.，

2萬

【詳解】由函數(shù)的圖象可知：A=3,T=7r,0=—=2,

71

所以"x)=3sin(2x+0),

又點后在圖象上，

所以3sin[2x^+ej=3,

即sin蠢+（p=1,

TT7T

所以2+°=2Qr+勺，

62

即0=2kji+—9

因為|同<多

所以8=0

所以〃x）=3sin（2x+1）

故選：B

【點睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的圖象求解析式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

2、D

7TTTTT）7T

【解析】由題意得24萬<2x<24乃+—，&￡Z/.k兀+—Sx<k冗+——,kGZ

32612

選D.

【點睛】函數(shù)y=不皿5+0）+8（4>0初>0）的性質(zhì)

⑴'max=A+8,Win=A-8.

(2)周期T=.27.r

CO

兀

(3)由CDx+(p=—+kn{kcZ)求對稱軸

jrTT

(4)由一§+2々i<cox+(p<—+2kn(kGZ)求增區(qū)間;

jr327r

由一+2EVox+eW——卜2kli(keZ)求減區(qū)間

22

3、C

【解析】根據(jù)互斥事件定義依次判斷各個選項即可.

【詳解】對于A,若恰好中靶一次，則“至少有一次中靶”與“至多有一次中靶”同時發(fā)生，不是互斥事件，A錯誤;

對于B,若兩次都中靶，則“至少有一次中靶”與“兩次都中靶”同時發(fā)生，不是互斥事件，B錯誤；

對于C,若兩次都不中靶，則“至少有一次中靶”與“兩次都不中靶”不能同時發(fā)生，是互斥事件，C正確；

對于D,若只有一次中靶，則“至少有一次中靶”與“只有一次中靶”同時發(fā)生，不是互斥事件，D錯誤.

故選：C.

4、B

【解析】根據(jù)y=s，加的函數(shù)圖象結合特殊角的三角函數(shù)值，即可容易求得結果.

1JrS

當sinx...—,得一領Jx—兀

266

故選：B.

【點睛】本題考查利用三角函數(shù)的圖象解不等式，屬簡單題.

5、D

【解析】根據(jù)函數(shù)/(x)=f—2x+lnk-l|+a的解析式，可知其關于直線x=l,可判斷①正確；

/(x)=d-2x+hl|x-1|+。是由y=f—2x與y=-"相加而成，故該函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，由此可判斷②;根據(jù)

y=In卜-1|的函數(shù)值情況可判斷③;看。=0時情況，結合函數(shù)的單調(diào)性，可判斷④的正誤.

【詳解】對①，因為函數(shù)y=Y—2x與》=111卜一1||的圖象都關于直線％=1對稱，所以/(力的圖象關于直線x=l對

稱，①正確

對②，當x>l時，函數(shù)y=/—2x與y=ln|x-l|都單調(diào)遞增，所以/(x)也單調(diào)遞增，②正確

對③，當x->i時，y(x)--oo,③錯誤

對④，因為“X)圖象關于直線X=1對稱，在(y,l)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，且〃0)=〃2)=a,

所以存在4=0,使得/(X)ZO的解集為(-8,0］。［2,+8),④正確

故選：D

6、A

【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)值的符號及函數(shù)的零點即可判斷出選項.

[詳解]當乃]時，令y=[x+']cosx=0,得工=_三或x=工，

\xJ22

且時，y=(尤+g]cosx>0；7時，y=(x+g)cos元<0,故排除選項B.

因為y=cosx為偶函數(shù)，y=x+：為奇函數(shù)，所以y=(x+g%osx為奇函數(shù)，故排除選項C；

因為x=0時，函數(shù)y=(x+g卜osx無意義，故排除選項D；

故選：A

7、B

【解析】當何在平面a內(nèi)時,mu平面a,①錯誤；兩個平面的垂線平行，且兩個平面不重合，則兩個平面平行,②正確

③中，當m〃”時，平面a,尸可能相交，③錯誤；④正確.故選B.

考點：空間線面位置關系.

8、A

7T

【解析】由圖觀察出A和T后代入最高點，利用|。|<,可得9,進而得到解析式

【詳解】解：由圖可知：A=l,—=—=—,：.T=7r,。='=2,

41264T

代入點C，1)得l=sin(2x3+。)，(p~\———卜2k兀9kwZ,

6632

,,7T汽

,I。1<不，：?(P=工，

26

y=sin(2x+?),

故選A.

【點睛】本題考查了由y=Asin(s+0的部分圖象確定其表達式，屬基礎題.

9、C

【解析】根據(jù)共線向量(即平行向量)定義即可求解.

【詳解】解：對于A：B可能是零向量，故選項A錯誤；

對于B：兩個向量可能在同一條直線上，故選項B錯誤;

對于c：因為0與任何向量都是共線向量，所以選項C正確；

對于D：平行向量可能在同一條直線上，故選項D錯誤

故選：C.

10、C

【解析】直線方程尸X+1的斜率為1,傾斜角為45。，

直線方程y=2x+l的斜率為2,傾斜角為a(60°<a<90"),

直線方程y=-x+l的斜率為T,傾斜角為135",

直線方程x=l的斜率不存在，傾斜角為90。.

所以C中直線的傾斜角最大.

本題選擇C選項.

點睛：直線的傾斜角與斜率的關系斜率&是一個實數(shù)，當傾斜角a/90。時，&=tana.直線都有斜傾角，但并不是每

條直線都存在斜率，傾斜角為90。的直線無斜率.

11,A

【解析】先求得A,然后求得(電A)cB.

【詳解】砌=(-?),—uA)nB={-1,2,3}.

故選：A

12、A

【解析】集合A表示(-2,-2)到(3,-5)的線段，集合B表示過定點(1,1)的直線，ACBH0,說明線段和過定點的

直線有交點，由此能求出實數(shù)k的取值范圍

【詳解】由題意可得，集合A表示(-2,-2)至(J(3,-5)的線段上的點，集合B表示恒過定點(1,1)的直線.

???線段和過定點的直線有交點

.?.根據(jù)圖像得到只需滿足士?=-3,或攵2生萼=1

1-31-(-2)

故選A.

【點睛】本題考查交集定義等基礎知識，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想，是基礎題.解答本題的關鍵是理解集

合A表示(-2,-2)到(3,-5)的線段，集合8表示過定點(1,1)的直線，再通過AC3/0得出直線與線段有交點，通

過對應的斜率求解.

二、填空題(本大題共4小題，共20分)

13、24萬—8岳

M-ABC四個面都為直角三角形，MA_L平面ABC,MA=AB=BC=2,

...三角形的AC=2近,

從而可得MC=26,

那么ABC內(nèi)接球的半徑r：可得(近-r)2=r2+(2-2

解得：r=2-y/2

???△ABC時等腰直角三角形，

二外接圓半徑為;AC=G

外接球的球心到平面ABC的距離為=1

2

可得外接球的半徑R=V3

故得：外接球表面積為127r.

由已知，設內(nèi)切球半徑為八，

S2;'2也x2=2?

S&ABC=—X2/X2=2

1，

S&MAB=-X2X2=2

S&wBc=gx2x2^2=2>/2

11(.

,?q?.MA=—(SAMAC+SMfiC+，.他+SAMBC)?r

—x2x2=—x(2>/2+2+2+2,\/2),r

33

r=V2-1，

內(nèi)切球表面積為S=4%，'2=44(應一])2=([2一8正)4，

外接球與內(nèi)切球的表面積之和為24乃-8在萬

故答案為：24萬一8，^》.

點睛：本題考查了球與幾何體的問題，一般外接球需要求球心和半徑，首先應確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì),

球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平

面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線，這樣兩

條直線的交點，就是其外接球的球心.

14、3

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結合給定的區(qū)間求最大值即可.

【詳解】由y=x2—2x=(x—l)2—l,則開口向上且對稱軸為x=l,X-l<x<2,

???)1=_]=3,y1-2=0,故函數(shù)最大值為3.

故答案為：3.

15、,##0.5

【解析】利用分段函數(shù)的解析式，代入求解.

【詳解】因為函數(shù)，

(冷笫》宏育理麴

f(x)=6

是無理教.

所以…、/\/、

/(/(13))=f(亭)=sin(亍)=sin(2JT+丹=sin：=：

故答案為：

1

16、(0,1)

【解析】將方程的零點問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的交點問題，作出函數(shù)的圖象得到機的范圍

【詳解】令g(X)=f(x)-m=0,

得m=f(x)

作出y=/(x)與￥=機的圖象，

要使函數(shù)g(x)=/(x)有3個零點，

則y=/(x)與7="，的圖象有3個不同的交點,

所以0V機＜1,

故答案為(0,1)

【點睛】本題考查等價轉(zhuǎn)化的能力、利用數(shù)形結合思想解題的思想方法是重點，要重視

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

17、(1)/(x)=2sin(2x-gj+l

(2)單調(diào)遞減區(qū)間為耳,￡+耳心團,單調(diào)遞增區(qū)間為千+耳彳+耳(丘Z)

【解析】(1)根據(jù)最值求A)的值；根據(jù)周期求①的值；把點代入求e的值.

(2)首先根據(jù)圖象的變換求出g(x)的解析式，然后利用整體代入的方法即可求出g(x)的單調(diào)區(qū)間.

【小問1詳解】

由圖可知A+8=3,-A+b=-l,所以A=2,b=\.

又工=包+2=工，所以T=乃，因為。＞0,所以切=至=2.

212122T

因為/(普)=2$m(系+夕)+1=3,所以朗+e=5+2A](左eZ),

即。=一三+wZ),又〈萬，得0=-三,

33

所以/(x)=2sin(2x-()+l.

【小問2詳解】

由題意得g(x)=2sin[4x+yj=2cos4x,

由2k兀W4xW兀+2k兀(keZ),得—4x<?+當(&eZ),

k冗jrk兀

故g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為q+5-(&wz),

由〃+2左乃<4x42乃+2攵乃(攵cZ),得？+算4%s]+短(keZ),

故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為+(k￡Z),

2

18、(1)/(x)=log21^(-1<x<l),^(%)=log2(l-x)(-l<x<l)；(2)函數(shù)/(x)在其定義域上為減函數(shù);

【解析】(1)由/(力+8(力=21082(1-力與/(-x)+g(-x)=21og2(l+x)可建立有關“X)、g(x)的方程組,

可得解出“X)與g(力的解析式：

(2)化簡函數(shù)“X)解析式，根據(jù)函數(shù)“X)的解析式可直接判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(3)將所求不等式變形為/(I-2r)N/(3r-2),根據(jù)函數(shù)/(x)的定義域、單調(diào)性可得出關于實數(shù)/的不等式組，

由此可解得實數(shù)，的取值范圍.

【詳解】(1)由于函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，

?."(%)+g(x)=2log2(l-x),.?./(―x)+g(―x)=2log2(l+x),

BP-/(x)+g(x)=2log2(1+x),

2

所以，]，；；)；：(；)「『(I：)解得〃x)=log2產(chǎn),g(x)=log2(l-x).

[-/(x)+g(x)=21og2(l+x)1+x')

l+x>0

由八，可得

l-x>0

2

所以，/(x)=log2^^(T<x<l)，g(.v)=log2(l-x)(-l<%<l)；

(2)函數(shù)/(乃=1。82=的定義域為(Tl),〃x)=log2警3=]og/m一“，

1IX1IX11IXJ

所以，函數(shù)/(x)在其定義域上為減函數(shù);

(3)由于函數(shù)/(x)為定義域(-1』)上的奇函數(shù)，且為減函數(shù)，

由/(1一2。+/(2-3。20,可得/(1一2/)2-/(2-3。=/(3/-2),

l-2/<3r-2

3

由題意可得一1<1—2，<1,解得二

-l<2-3r<l5

因此，實數(shù)r的取值范圍是|,11.

【點睛】思路點睛：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)不等式的思路如下：

(1)先分析出函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性；

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的關系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞恐g的關系，并注意定義域；

(3)求解關于自變量的不等式，從而求解出不等式的解集.

19、(1)答案見解析

(2)[-l,+oo)

【解析】(1)利用換元法令P=log2X，P€[l,3],可得所求為關于p的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分析討論，

即可得答案.

(2)根據(jù)題意，分別討論在[-1,1]、(-8,-1)和(1,+0。)上存在實數(shù).％,滿足題意，根據(jù)所給方程，代入計算，結合

函數(shù)單調(diào)性，分析即可得答案.

【小問1詳解】

由題意得g(x)=10g,x

-2

所以F(x)=(x)]-2tg(x)+3=(log2x)-2rlog2x+3,xe[2,8],

令p=log2X,p€[l,3],設M(p)=p2-2fp+3,pw[l,3]

則M(P)為開口向上，對稱軸為〃=。的拋物線，

當rwi時，"(P)在[1,3]上為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以M(p)的最小值為M⑴=4一2人

當1<，<3時，M(P)在(1")上單調(diào)遞減，在3)上單調(diào)遞增，

所以M(p)的最小值為M⑺=3-/；

當，23時，M(P)在口,3]上為單調(diào)遞減函數(shù),

所以M(p)的最小值為“⑶=12-6f；

綜上，當fWl時，尸(%)的最小值為4一2，

當l<f<3時，E(x)的最小值為3-產(chǎn)，

當「23時，E(x)的最小值為12—6/

【小問2詳解】

①設在上存在毛，滿足°(一％)=-。&),

則4%-m-2^'-3+4^一帆—3=0,

令，=2鳳+2』，則122匹2”>-27。=2,當且僅當天)=。時取等號,

又與

所以fW2i+2T=*,即re2,1,

2L2J

所以4的一機?2<i)+l—3+4-陽—m-2-%+'-3=產(chǎn)一2—2mt—6=0?

7

所以加e-1,--

②設(YO,T)存在％,滿足夕(-%)=一夕國)，

貝!1一3+4-*°—〃-3=0，即機=2/T一3-2加有解，

因為y=2-T-3?2V在(TO,-1)上單調(diào)遞減，

所以機〉一工,

2

同理當在(1,+℃)存在與，滿足貝一跖人一0伍)時，解得加>一；，

所以實數(shù)團的取值范圍［-1,+8)

【點睛】解題的關鍵是理解新定義，并根據(jù)所給定義，代入計算，結合函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)存在性思想，進行求解，屬

難題

20、{a\a<-1}.

2—x

【解析】對數(shù)真數(shù)大于零，所以土衛(wèi)>0,解得1<X<2.2'為增函數(shù)，所以a<-a-x,x<-