軍考類招生-公邊消警-數(shù)學(xué)-第7章平面向量

軍考類招生-公邊消警-數(shù)學(xué)-第7章平面向量[單選題]1.設(shè)a，b，c為任意向量，m∈R，則下列不等式不一定成立的是().A.B.C.D.正確答案：D參考解析：答案D中，如左邊是一與向量c平行的向量，而右邊是一與向量a平行的向量，則D不一定成立.[單選題]2.已知平面向量a＝（1，1），b＝（1，－1），則兩向量的夾角為().A.B.C.D.正確答案：D參考解析：兩向量的乘積ab＝1×1＋1×（－1）＝0，則兩向量垂直，即兩向量的夾角為90°.[單選題]3.給出下列命題：①若a與b共線，則有且僅有一個實數(shù)λ使得a＝λb.②若a≠0.且a·b＝0，則b＝0.③若b≠c則當(dāng)且僅當(dāng)a＝0時a·b＝a·c成立.④若a≠0，且a·b＝a·c，則b＝c.則正確命題的個數(shù)是().A.0個B.1個C.2個D.3個正確答案：A參考解析：①不正確，如若a≠0，b＝0，a∥b，但不存在λ使得a＝λb，②當(dāng)a⊥b時.a·b＝0，b不一定為零向量.③中a·b＝a·c，則a·(b－c)＝0，故a⊥(b－c)，不要求a＝0，③也不正確.④不正確，若b，c在a方向上的投影相等，則a·b＝a·c，但b＝c不一定成立.故正確命題數(shù)為0.[單選題]4.已知非零向量，，若與互相垂直，則的值為().A.B.4C.D.2正確答案：D參考解析：由與互相垂直，得，即，得，即，得[單選題]5.設(shè)a，b，c為任意非零平面向量，且相互不共線，則①；②；③不與c垂直；④中，是真命題的是().A.①②B.②③C.③④D.②④正確答案：D參考解析：①中，平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故①不真；②中，由向量的減法運算可知恰為三角形三邊，故②真.③中，因為，所以垂直，故③不真.④中，，故④真.[單選題]6.己知向量是不平行于x軸的單位向量，且，則等于().A.B.C.D.（1，0）正確答案：B參考解析：設(shè)，則，而，得，解得，或，而是不平行于x軸的，即.[單選題]7.如果直線1沿x軸負方向平移3個單位，再沿y軸正方向平移1個單位后，又回到原來的位置.那么直線1的斜率為().A.B.C.D.3正確答案：A參考解析：設(shè)直線1的方程為y＝kx＋b，則直線沿x軸負方向平移3個單位，再沿y軸正方向平移1個單位后，直線方程應(yīng)為.即，因為此直線與原來的直線y＝kx＋b重合，所以兩方程相同，比較常數(shù)項得.[單選題]8.若向量a＝（1，m），b＝（－2，4），且a·b＝－10，則m＝().A.－4B.－2C.1D.4正確答案：B參考解析：（1，m）·（－2，4）＝－10，即－2＋4m＝－10，解得m＝－2.[單選題]9.平面向量a與b的夾角為60°，，則().A.B.C.4D.12正確答案：B參考解析：，.[單選題]10.已知點O（0，0），A（0，b），B（a，a3）.若△OAB為直角三角形，則必有().A.b＝3B.C.D.正確答案：C參考解析：由題意知.因為△OAB為直角三角形，則：①若，即ba3＝0，當(dāng)b＝0時，點O與點A重合.當(dāng)a＝0時，點O與點B重合，故a3b≠0，即OA與OB不垂直.②若.即b（a3－b）＝0.又b≠0，故b＝a3.③若，即a2＋a3（a3－b）＝0，又a≠0，故故當(dāng)△OAB為直角三角形時，有a3＝b或，即[單選題]11.已知向量a，b滿足，則().A.OB.C.4D.8正確答案：B參考解析：由題意可知[單選題]12.已知向量a＝（2，4），b＝（m，－1），且a⊥b，則實數(shù)m＝().A.2B.1C.－1D.－2正確答案：A參考解析：因為a⊥b，則a·b＝0，即2m＋4×（－1）＝0，解得m＝2.[單選題]13.已知a，b為兩個單位向量，下列命題中正確的是().A.a＝bB.若a∥b，則a＝bC.a·b＝1D.a2＝b2正確答案：D參考解析：A項，因為向量既有大小又有方向，所以a和b的方向可能不同，不一定相等；B項，若a和b反向，則a＝－b；C項，，只有當(dāng)a和b同向時，才有a·b＝1；D項，a2＝b2＝1.[單選題]14.若向量a＝（x，2），b＝（－2，4），且a，b共線，則x＝().A.－4B.－1C.1D.4正確答案：B參考解析：由a，b共線，則有4x－（－2）×2＝0，得x＝－1.[單選題]15.點C在線段AB上，且，則＝().A.B.C.D.正確答案：D參考解析：因為，所以.[單選題]16.向量a＝（0，1，0）與夾角的余弦值為().A.B.C.D.0正確答案：C參考解析：設(shè)兩個向量的夾角為a，則[單選題]17.已知△ABC，D是BC邊上的中點，則等于().A.B.C.0D.正確答案：D參考解析：.[單選題]18.向量a＝（1，2），b＝（－2，1），則a與b的夾角為().A.30oB.45oC.60oD.90o正確答案：D參考解析：設(shè)夾角為θ.因為a·b＝2＋2＝0，所以θ＝90o.[單選題]19.a，b為兩非零向量且不在同一直線上，，則().A.B.C.D.正確答案：A參考解析：，由于a，b為兩非零向量，可得；因a，b不在同一直線上，方向不同，所以a≠b.[單選題]20.四邊形ABCD中，則它一定是().A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形正確答案：A參考解析：表明在四邊形ABCD中，對邊AB和CD平行且相等，所以這個四邊形一定是平行四邊形.[單選題]21.把平面上所有的單位向量歸結(jié)到共同的始點，那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是().A.一條線段B.一個圓面C.圓上的一群孤立點D.一個圓正確答案：D參考解析：長度等于1個單位長度的向量，稱為單位向量，因為平面內(nèi)所有的單位向量長度相等，方向沿平面內(nèi)各個方向，這些向量的終點將在平面內(nèi)構(gòu)成一個圓.[單選題]22.已知△ABC中，點D是BC邊的中點，則為().A.B.C.0D.正確答案：D參考解析：[單選題]23.下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是().A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D.e1＝(1，2)，e2＝(2，4)正確答案：B參考解析：要作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底，則向量e1和e2為平面內(nèi)兩個不共線的向量.ACD三項，向量e1和e2都為共線向量.[單選題]24.已知軸L，，L的正方向與a的夾角為120o，則a在L上的投影為().A.3B.C.2D.－3正確答案：D參考解析：a1＝6×cos120o＝6×（－）＝－3.[單選題]25.若三點P(1，1)，A(2，－4)，B(x，－9)共線，則().A.x＝－1B.x＝3C.D.x＝51正確答案：B參考解析：，，因為P、A、B三點共線，則有即，得.[單選題]26.在矩形ABCD中，的長度等于().A.2B.2C.3D.4正確答案：D參考解析：所以.[單選題]27.若，且a∥b，則銳角為().A.30°B.45°C.60°D.75°正確答案：B參考解析：由a∥b，可得，，則.[單選題]28.已知＜a，b＞＝150o，則a·b＝().A.－24B.24C.－24D.16正確答案：C參考解析：.[單選題]29.設(shè)坐標原點為O，拋物線y2＝2x與過焦點的直線交于A，B兩點，則等于().A.B.C.3D.－3正確答案：B參考解析：根據(jù)拋物線焦點弦的性質(zhì)有[單選題]30.已知a＝（3，－1），b＝（－2，5），則3a－2b＝().A.（2，7）B.（13，－7）C.（2，－7）D.（13，13）正確答案：B參考解析：3a－2b＝3×（3，1）－2×（－2，5）＝（9＋4，3－10）＝（13，－7）.[單選題]31.已知|a|＝8，e為單位向量，當(dāng)它們的夾角為時，a在e上的投影為().A.B.4C.D.正確答案：B參考解析：根據(jù)投影的定義有：a在e上的投影為.[單選題]32.已知a＝（5，8），b＝（2，3），c＝（1，－2），則（a·b）·c＝().A.（34，－68）B.34C.－34D.31正確答案：A參考解析：（a·b）·c＝[（5，8）·（2，3）]·（1，－2）＝（10＋24）×（1，－2）＝34×（1，－2）＝（34，－68）.[單選題]33.若a·b＜0，則a與b的夾角的取值范圍是().A.B.C.D.正確答案：D參考解析：根據(jù)向量間的夾角公式.[單選題]34.已知a＝（3，x），b＝（7，12），并且a⊥b，則x＝().A.B.C.D.正確答案：A參考解析：因為所以（3，x）·（7，12）＝0，即21＋12x＝0，解此方程得x＝.[單選題]35.已知，則的夾角是().A.60°B.120°C.135°D.150°正確答案：B參考解析：根據(jù)向量間的夾角公式.[單選題]36.已知a＝（－，－1），b＝（1，），則＜a，b＞＝().A.30oB.60oC.120oD.150o正確答案：D參考解析：因為所以，所以＜a，b＞＝150o.[單選題]37.正方形ABCD的邊長為1，，則a＋b＋ｃ的模為().A.0B.3C.D.正確答案：D參考解析：根據(jù)向量加法的幾何意義可知：a＋b＋ｃ即為正方形的兩個同向?qū)蔷€向量相加，因此.[單選題]38.已知，則().A.2bB.2aC.－2bD.－2a正確答案：B參考解析：在中，.因為，所以.[單選題]39.已知△ABC中，，則a與b的夾角是().A.30°B.－150°C.150°D.30°或150°正確答案：C參考解析：根據(jù)三角形面積公式有：，所以得或；又因為，從而.[單選題]40.已知△ABC，點D，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC，CA的中點，設(shè)則().A.（a＋b）B.a＋bC.abD.（a－b）正確答案：B參考解析：點D，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC，CA的中點，所以，，所以.又因為，所以.[單選題]41.已知，點P在的延長線上，且，則點P分所成的比是().A.2B.C.D.正確答案：C參考解析：根據(jù)題意易知，再由，結(jié)合幾何意義得.[單選題]42.已知2a＋b＝3c，3a－b＝2c，則().A.a＝bB.a＝2bC.a＝－bD.a＝－2b正確答案：A參考解析：由于2a＋b＝3c，所以，代入3a－b＝2c，得到a＝b.[單選題]43.將函數(shù)的圖像按向量a經(jīng)過一次平移后得到y(tǒng)＝x2的圖像，則a等于().A.(2，－1)B.(－2，1)C.(－2，－1)D.(2，1)正確答案：A參考解析：根據(jù)可知，將其向右平移2個單位，再向下平移1個單位即可得到y(tǒng)＝x2的圖像，即a＝(2，－1).[單選題]44.已知，則的最大值和最小值分別為().A.8，0B.5，0C.8，5D.8，2正確答案：D參考解析：當(dāng)和同向時，取得最大值為8；當(dāng)和反向時，取得最小值為2.[單選題]45.已知點P分所成的比是－3，則P1分所成的比是().A.B.C.D.正確答案：D參考解析：由題意可知，則.[單選題]46.已知a＝（10，5），b＝（5，x），且a∥b，則x的值是().A.2.5B.2C.5D.0.5正確答案：A參考解析：a∥b，所以10x－25＝0.解得x＝2.5.[單選題]47.圓x2＋y2＝1沿x軸的正方向平移，使之與直線相切，則需平移向量a為().A.(1，0)B.C.(2，0)D.正確答案：B參考解析：設(shè)向x軸平移x個單位，圓心為（x，0），則點到直線距離，解得x＝.[單選題]48.已知＝（5，－3），點C的坐標為（－1，3），，則點D的坐標為().A.（11，9）B.（4，0）C.（9，3）D.（9，－3）正確答案：D參考解析：＝（10，－6），所以D點坐標為（10－1，－6＋3），即（9，－3）.[單選題]49.將直線L沿y軸負方向平移a個單位，再沿x軸正方向平移a＋1個單位，若此時所得直線與直線L重合，則直線L的斜率是().A.B.C.D.正確答案：A參考解析：設(shè)直線L的方程為y＝kx＋b，直線平移后得到y(tǒng)－a＝k[x－（a＋1）]＋b，化簡得y＝kx－k（a＋1）＋a＋b，由直線重合有－k（a＋1）－a＋b＝b，解得k＝.[單選題]50.已知且則＝().A.B.4C.2D.2正確答案：C參考解析：所以，解得y＝6.所以.[單選題]51.對于向量a、b、c和實數(shù)λ，下列命題中的真命題是().A.若λa＝0，則λ＝0或a＝0B.若a·b＝0，則a＝0或b＝0C.若a2＝b2，則a＝b或a＝－bD.若a·b＝a·c，則b＝c正確答案：A參考解析：A項，根據(jù)或a＝0；B項，當(dāng)a⊥b時，無論a、b為不為0，均滿足a·b＝0；C項，a2＝b2僅能說明；D項，假設(shè)a＝0，當(dāng)b≠c時也能成立，或a≠0，a、b、c兩兩垂直且時也能成立；綜上所述，僅有A項正確.[單選題]52.已知點A（1，2），B（2，3），C（－2，5），則△ABC的三個內(nèi)角中().A.∠A＝90oB.∠B＝90oC.∠C＝90oD.沒有直角正確答案：A參考解析：，，則，所以，即∠A＝90o.[單選題]53.若向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，則c·(a＋2b)＝().A.3B.4C.0D.2正確答案：C參考解析：由a∥b且a⊥c，可得b⊥c，因此c·(a＋2b)＝0.[單選題]54.已知點A（1，2），B（3，4），C（5，0），則△ABC一定是().A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形正確答案：C參考解析：，，.分別計算出cosA，cosB，cosC得到：cosA＝cosB＝，cosC＝，所以角A＝角B，此三角形為等腰三角形.[單選題]55.已知△ABC和點M滿足，若存在實數(shù)m使得成立，則m＝().A.5B.4C.3D.2正確答案：C參考解析：由，可知M點為△ABC的中心，根據(jù)重心分比性質(zhì)，有.[單選題]56.已知的三個頂點分別為A（－3，4），B（－2，1），C（1，6），那么頂點D的坐標是().A.（0，－9）B.（－9，0）C.（0，9）D.（9，0）正確答案：C參考解析：在中，.設(shè)D的坐標為（x，y），又因為A（－3，4），B（－2，1），C（1，6），所以（1，－3）＝（1－x，6－y），解得x＝0，y＝9.[單選題]57.若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，則c＝().A.－a＋3bB.a＋3bC.3a－bD.3a＋b正確答案：C參考解析：設(shè)，從而列方程，解得x＝3，y＝－1，即c＝3a－b.[單選題]58.已知點P1（－2，4），P2（5，3），點P在P1P2的延長線上，且，則點P的坐標是().A.B.C.（12，2）D.（2，12）正確答案：C參考解析：依題意可知：，設(shè)點P坐標為（x，y），則（x＋2，y－4）＝2（x－5，y－3），解得x＝12，y＝2.所以點P的坐標是（12，2）.[單選題]59.已知a＝(2，1)，與a平行且長度為的向量是().A.(4，2)B.(－4，－2)C.(2，1)或(－2，－1)D.(4，2)或(－4，－2)正確答案：D參考解析：設(shè)該向量為（2x，x），根據(jù)其模為，得，該向量為(4，2)或(－4，－2).[單選題]60.已知a＝（3，x），b＝（7，12），并且a⊥b，則x＝().A.B.C.D.正確答案：A參考解析：因為所以（3，x）·（7，12）＝0，即21＋12x＝0，解此方程得x＝.[單選題]61.已知a，b是非零向量.則|a|＝|b|是(a＋b)與(a－b)垂直的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件正確答案：C參考解析：①已知|a|＝|b|，則，即(a＋b)與(a－b)垂直，充分性具備；②已知(a＋b)與(a－b)垂直，則，從而|a|＝|b|，必要性具備；綜上所述，|a|＝|b|是(a＋b)與(a－b)垂直的充要條件.[單選題]62.已知向量a，b不共線，c＝ka＋b（k∈R），d＝a－b.如果c//d，那么().A.k＝1且c與d同向B.k＝1且c與d反向C.k＝－1且c與d同向D.k＝－1且c與d反向正確答案：D參考解析：如果c∥d，則存在實數(shù)λ，使得c＝λd，即ka＋b＝λ（a－b），所以即[單選題]63.已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，與2i＋j垂直的向量是().A.2i－jB.i－2jC.2i＋jD.i＋2j正確答案：B參考解析：設(shè)改向量為xi＋yj，則，經(jīng)比較：B項正確.[單選題]64.己知向量，則＝().A.B.C.5D.25正確答案：C參考解析：，[單選題]65.已知O為坐標原點，點A，B的坐標分別為(a，0)，(0，a)，a是正常數(shù)，點P在線段AB上，且，則的最大值是().A.aB.2aC.a2D.3a正確答案：C參考解析：設(shè)P（x，y），則＝（x－a，y），由得，，從而＝a2（1－t），最大值為a2.[單選題]66.己知∣a∣＝10，∣b∣＝12，且＝－36，則向量a與b的夾角是().A.60°B.105°C.120°D.135°正確答案：C參考解析：依題意有因此，則向量a、b夾角120°.[單選題]67.向量a的模為10，它與x軸正方向的夾角為150°，則它在x軸上的投影為().A.B.5C.－5D.正確答案：A參考解析：在x軸上的投影為.[單選題]68.已知向量a，b滿足（a＋2b）·（5a－4b）＝0，且∣a∣＝∣b∣＝1，則a與b的夾角為().A.B.C.D.正確答案：B參考解析：∵（a＋2b）·（5a－4b）＝0，∣a∣＝∣b∣＝1，∴6a·b－8＋5＝0.即a·b＝，又a·b＝∣a∣∣b∣cosθ＝cosθ，∴cosθ＝.由于θ∈[0，π]，所以.[單選題]69.若直線按向量a平移得到直線，則a().A.只能是(0，2)B.只能是(2，6)C.只能是(0，2)或(2，6)D.有無數(shù)個正確答案：D參考解析：設(shè)，由得，將該式代入中得，只要滿足即可得到直線，這樣的a有無數(shù)個.[單選題]70.已知空間直角坐標系中三點A（0，1，0），，O為坐標原點，則直線OA與MN所成角的余弦值為().A.B.C.D.0正確答案：C參考解析：設(shè)所成角為α，則有即直線OA與MN所成角的余弦值為[單選題]71.已知點P分所成的比是，則A分所成的比是().A.B.C.D.正確答案：C參考解析：依題意有，則.[單選題]72.如果三角形的頂點為A（－1，2），B（4，3），C（－2，5），那么它的面積為().A.4B.8C.16D.24正確答案：B參考解析：可先在平面直角坐標系中作出這個三角形，，，，從而.所以，可以得到.[單選題]73.△ABC的三個頂點為，則△ABC為()三角形.A.銳角B.直角C.鈍角D.斜腳正確答案：B參考解析：，△ABC為直角三角形.[問答題]1.如下圖，點O（0，0），A（0，5），B（6，3），且AD⊥OB于點D，求點D的坐標.正確答案：設(shè)，則因為，所以，即于是得，即點D的坐標為（2，1）.[問答題]2.已知非零向量e1與e2不共線.（1）若，問A，B，D三點是否共線?并說明理由.（2）若向量和向量，是否存在實數(shù)k使向量a，b為共線向量?若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.正確答案：分析：要判斷A，B，D三點是否共線，只需檢驗是否存在實數(shù)λ，使（1）由條件知可見，，所以共線，故A，B，D三點共線.（2）設(shè)，則即由于向量e1與e2是不共線的非零向量.故且解得，因此，存在實數(shù)k＝±1，使得向量a，b為共線向量.[問答題]3.已知a，b是非零向量，若與垂直，垂直，試求a，b的夾角.正確答案：由條件知化簡得兩式相減得即，代入中得得，所以，由得解得，所以a，b的夾角θ＝60°.[問答題]4.化簡下列各式.正確答案：（1）.（2），或者.（3）.（4）.[問答題]5.已知向量a，b滿足，且a與b的夾角為60°，求.正確答案：，且a與b的夾角為60°，，得[問答題]6.已知向量，且u∥v，求x.正確答案：依題意得∵u∥v，∴由向量平行的充要條件得解得[問答題]7.已知a＋b＋c＝0，求正確答案：，又因為a＋b＋c＝0，所以.[問答題]8.已知點，求（1）點P分的比λ1及x的值；（2）點P2分的比λ2的值.正確答案：（1）由，得解得，故x＝1.（2）由，得解得.[問答題]9.將函數(shù)的圖像按向量平移得到F′的圖像，求F′的解析式.正確答案：設(shè)p(x，y)是函數(shù)y＝2x2的圖像上任一點，在F′上與之對應(yīng)的點是p′(x′，y′)，由平移公式得變形為代入中得即所以F′的解析式為[問答題]10.已知求使最小的t的值.正確答案：所以因此，當(dāng)t＝－4時，最小，為.即使最小的t的值為－4.[問答題]11.把函數(shù)的圖像按向量a平移得到的圖像，求a.正確答案：方法1：設(shè)平移向量a＝(h，k)，把函數(shù)的圖像上任一點P(x，y)按a平移得到的圖像上一點，則代入中得即∵它與是同一函數(shù)，∴所求向量為方法2：由得代人得即方法3：由得令由此得[問答題]12.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若（1）求證A＝B；（2）求邊長c的值；（3）若，求△ABC的面積.正確答案：（1）證明：由正弦定理得：（2）由余弦定理得：∵由（1）得a＝b，（3）解：，∵△ABC為正三角形，[問答題]13.已知，并且a∥b，求a的坐標.正確答案：設(shè)a的坐標為（x，y），因為a∥b，所以2x－y＝0，又因為，所以聯(lián)立兩方程可解得或即a的坐標為[問答題]14.已知向量（1）求線段BD的中點M的坐標；（2）若點P(2，y)滿足，求y與λ的值.正確答案：（1）設(shè)點B的坐標為(x1，y1)，同理可得D(－4，－3).設(shè)點M的坐標為(x2，y2)，則.（2）由已知得又即[問答題]15.已知平面向量（1）證明a⊥b；（2）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使，且x⊥y，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f(t).正確答案：（1）證明：（2）解：，所求函數(shù)關(guān)系式為.[問答題]16.已知a＝（2，1），b＝（－1，2），c＝（8，－1），如果c＝xa＋yb，求x，y的值.正確答案：依題意得，解得：x＝3，y＝－2.[問答題]17.判斷下列各小題中的向量a，b是否共線（其中e1，e2不共線）.正確答案：（1）（2）（3）令，即，無解，所以a，b不共線.[問答題]18.已知（1）求|a＋b|，|a－b|；（2）求a＋b與a的夾角，a－b與a的夾角.正確答案：（2）設(shè)a＋b與a的夾角為，則設(shè)a－b與a的夾角為，則[問答題]19.已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝7.求正確答案：因為，所以.[問答題]20.已知，且a⊥b，求a的坐標.正確答案：設(shè)，又由①②聯(lián)立方程組解得.[問答題]21.已知.當(dāng)實數(shù)k為何值時，（1）ka＋b與a－3b垂直?（2）ka＋b與a－3b平行?正確答案：由已知得（1）當(dāng)時，有解得k＝19.（2）當(dāng)時，由兩向量平行的充要條件得解得[問答題]22.將點A（－3，－2），B（3，1）按向量a＝（6，4）平移到，求點的坐標.正確答案：點的坐標為（－3，－2）＋（6，4）＝（3，2），點的坐標為（3，1）＋（6，4）＝（9，5）.[問答題]23.已知，（1）當(dāng)x，y為何值時，a與b共線?（2）是否存在實數(shù)x，y，使得?若存在，求出x，y的值；若不存在，說明理由.正確答案：（1）若a，b共線，則解得（2）由a⊥b得即由a＝b得即②由①②聯(lián)立方程組解得即存在使得.[問答題]24.設(shè)n和m是兩個單位向量，其夾角是60°，試求向量的夾角.正確答案：由題意得，則設(shè)a，b的夾角為θ，則[問答題]25.用向量法證明下述定理：（1）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（2）對角線等長的平行四邊形是矩形；正確答案：證：已知且AC⊥BD.于是所以，即ABCD為菱形.（2）已知所以化簡得所以是矩形.[問答題]26.已知△ABC的頂點A(0，0)，B(4，8)，C(6，－4)，點M內(nèi)分成的比是3，N是AC邊上的點，且△AMN的面積等于△ABC的面積的一半，求N點的坐標.正確答案：由已知得由余弦定理得，，根據(jù)線段定比分點坐標公式，可求N點的坐標如下.[問答題]27.已知拋物線（1）求拋物線的頂點的坐標；（2）將這條拋物線平移到頂點與(2，－3)重合，求函數(shù)的解析式；（3）將這條拋物線沿x軸平移到通過坐標原點時，求函數(shù)的解析式.正確答案：（1），∴頂點的坐標是M(1，－9).（2）設(shè)點(2，－3)為N，則，把已知函數(shù)圖像按向量平移即得所求函數(shù)圖像，故所求函數(shù)解析式為（3）與x軸交于點，，把已知函數(shù)圖像按向量或平移，即得所求函數(shù)的圖像，故所求函數(shù)的解析式為或[問答題]28.在直角坐標系xOy中，點P到兩點的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C，直線與C交于A、B兩點.（1）寫出C的方程；（2）若，求k的值；（3）若點A在第一象限，證明：當(dāng)k＞0時，恒有.正確答案：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以，為焦點，長半軸為2的橢圓，它的短半軸故曲線C的方程為.（2）設(shè)A（x1，yl），B（x2，y2），其坐標滿足，消去y并整理得，故.若，則x1x2＋yly2＝0，而，于是，化簡得，所以.（3）因為A在第一象限，故x＞0，由知x2＜0，從而xl－x2＞0，又k＞0，故，即在題設(shè)條件下，恒有.[問答題]29.已知，其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實數(shù)m的值，使A、B、C三點共線.正確答案：若A，B，C三點共線，則向量共線，根據(jù)向量共線的充要條件得[問答題]30.已知.（1）求a與b的夾角θ；（2）求|a＋b|和|a－b|；（3）若，作△ABC，求△ABC的面積.正確答案：，[問答題]31.已知正四面體OABC的棱長等于1，M，N分別是棱OA，BC的中點.設(shè)＝a，＝b，＝c.（1）求關(guān)于基底{a，b，c}的分解式；（2）求線段MN的長；（3）求證MN⊥OA，MN⊥BC.正確答案：（1）＝－＝（b＋c）－a＝－a＋b＋c（2）2＝（－a＋b＋c）·（－a＋b＋c）＝（a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c）.∵a＝b＝c＝1，a·b＝b·c＝a·c＝cos60°＝，∴2＝（3－1）＝∴，＝.（3）證明：∵·＝（－a＋b＋c）·a＝（－1＋＋）＝0，·＝（－a＋b＋c）（c－b）＝（－＋＋－1＋1－）＝0，∴MN⊥OA，MN⊥BC.[問答題]32.已知向量a與b的夾角為.記（1）若m與n互相垂直，求實數(shù)k的值.（2）是否存在實數(shù)k，使m與n互相平行?正確答案：（1）則∵m⊥n，則，（2）設(shè)m＝λn，則，∵a，b不共線，即存在，使得m∥n.[問答題]33.已知，設(shè)M是直線OP上一點（O是坐標原點）.（1）求使取最小值時的（2）對（1）中的點M，求∠AMB的余弦值.正確答案：（1）∵點M在OP上，∴可設(shè)，∴當(dāng)x＝2時，最小，此時.（2）當(dāng)時，有又[問答題]34.如圖所示，在△ABC中，，BN與CM交于點P，且，用a，b表示正確答案：把①②代入③得即而a，b不共線，解得[填空題]1.已知向量a、b滿足，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為.正確答案：參考解析：由[填空題]2.已知空間向量，則2a＋b＝.正確答案：（3，2，9）參考解析：由向量的加減原算法則，將對應(yīng)的坐標向量相加即可，故2a＋b＝（3，2，9）.[填空題]3.已知，那么a·b＝.正確答案：－63參考解析：由組成的方程組得[填空題]4.設(shè)，則m＝.正確答案：－2參考解析：由題意得[填空題]5..正確答案：7參考解析：.[填空題]6.若將向量a＝(2，1)圍繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得向量b，則向量b的坐標是.正確答案：參考解析：設(shè)b＝(x，y)，依題意有又∵a與b的夾角為，由①②解得[填空題]7.若向量a＝（2，1，－2），b＝（－1，2，2），則cos＜a，b＞＝.正確答案：參考解析：[填空題]8.向量，則|a＋b|的最大值和最小值分別為.正確答案：20和4參考解析：根據(jù)幾何意義判斷：當(dāng)a，b同向時，|a＋b|取得最大值為12＋8＝20；當(dāng)a，b異向時，|a＋b|取得最小值為12－8＝4.[填空題]9.設(shè)a表示“向東走4km”，b表示“向南走3km”，則|a＋b|＝.正確答案：5km參考解析：根據(jù)幾何意義有：km.[填空題]10.向量a，b互相垂直，且∣a∣＝1，則a·（a＋b）＝.正確答案：1參考解析：由a⊥b，得a·b＝0而a2＝∣a∣2＝1.所以a·（a＋b）＝a2＋a·b＝1.[填空題]11.給出下列命題，①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|，且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，則a∥c其中正確的命題的序號是.正確答案：②③參考解析：①項，a與b只是模相等，方向可能不同，故錯；②項，A、B、C、D是不共線的四點，，有AB∥DC，且AB＝DC，所以四邊形ABCD為平行四邊形；若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB∥DC，且AB＝DC，即；故該項正確；③項，根據(jù)向量的傳遞性可知該項正確；④項，|a|＝|b|，且a∥b時，a＝b或a＝－b，該項錯誤；⑤項，設(shè)b＝0，而0與任何向量都平行，故該項錯誤.[填空題]12.已知點A（1，－2），B（3，0），C（4，3），則的頂點D的坐標是.正確答案：（2，1）參考解析：[填空題]13.下列幾個命題中正確的是.①向量是共線向量，則A，B，C，D必在同一條直線上.②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反.③四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是④若非零向量a，b的方向相同和相反.則a＋b與a，b之一方向相同.⑤△ABC中，必有正確答案：③⑤參考解析：①項，是共線向量，僅能得到AB∥CD，故錯；②項，特殊情況：0與任何向量均平行且垂直，故錯；③項，當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥DC，且AB＝DC，即；當(dāng)時，則AB∥DC，且AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故該項正確；④項，特殊情況：當(dāng)a＝－b時，a＋b＝0，0的方向任意，故該項錯誤；⑤項，，故該項正確.[填空題]14.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且垂直，則λ等于.正確答案：參考解析：依題意有：，即有，其中，代入上式得.[填空題]15.已知△ABC的頂點坐標分別為A（4，1），B（7，5），C（－4，7），那么中線AD的長等于.正確答案：參考解析：要求中線AD的長，首先要求出BC邊中點的坐標.根據(jù)中點坐標公式，有x＝所以[填空題]16.已知與a平行且，點A的坐標是(－1，2)，則B的坐標是.正確答案：(5，10)或(－7，－6)參考解析：設(shè)B（x，y），則，根據(jù)題設(shè)條件得，解得x＝5，y＝10或x＝－7，y＝－6.[填空題]17.已知點A（－1，1），B（3，5），x軸上一點M到A，B的距離相等，則點M的坐標是.正確答案：（4，0）參考解析：設(shè)M（x，0），則得方程（x＋1）2＋12＝（x－3）2＋52，解此方程，得x＝4.[填