北師大版八年級下冊數(shù)學《圖形的平移與旋轉》全章復習與鞏固(提高)知識點整理及重點題型梳理

精品文檔用心整理PAGE資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用北師大版八年級下冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習《圖形的平移與旋轉》全章復習與鞏固（提高）知識講解【學習目標】1.了解平移、旋轉、中心對稱，探索它們的基本性質；2.能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過平移、旋轉后的圖形，能作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次圖形變換后的圖形；3.利用平移、旋轉、中心對稱、軸對稱及其組合進行圖案設計；4.認識和欣賞軸對稱、平移、旋轉在現(xiàn)實生活中的應用.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、平移變換1.平移的概念：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大?。c詮釋：（1）平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內的變換；（2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的形狀和大?。?．平移的基本性質：一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，對應點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等；對應線段平行（或在一條直線上）且相等，對應角相等．要點詮釋：（1）要注意正確找出“對應線段，對應角”，從而正確表達基本性質的特征；（2）“對應點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等”，這個基本性質既可作為平移圖形之間的性質，又可作為平移作圖的依據(jù)．3.平移與坐標變換：(1)點的平移點的平移引起坐標的變化規(guī)律：在平面直角坐標中，將點(x，y)向右(或左)平移a個單位長度，可以得到對應點(x+a，y)(或(x-a，y))；將點(x，y)向上(或下)平移b個單位長度，可以得到對應點(x，y+b)(或(x，y-b))．要點詮釋：上述結論反之亦成立，即點的坐標的變化引起的點相應的平移變換．(2)圖形的平移平移是圖形的整體運動．在平面直角坐標系內，一個圖形進行了平移變化，則它上面的所有點的坐標都發(fā)生了同樣的變化，其變化規(guī)律遵循：“右加左減，縱不變；上加下減，橫不變”．要點詮釋：（1）上述結論反之亦成立，即如果把一個圖形各個點的橫坐標都加(或減去)一個正數(shù)a，相應的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加(或減去)一個正數(shù)a，相應的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度．（2）一個圖形依次沿x軸方向、y軸方向平移后所得圖形，可以看成是由原來的圖形經(jīng)過一次平移得到的．要點二、旋轉變換

1．旋轉概念：在平面內，將一個圖形繞一個定點按某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉.這個定點稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角.

要點詮釋：（1）旋轉后的圖形與原圖形的形狀、大小都相同，但形狀、大小都相同的兩個圖形不一定能通過旋轉得到.（2）旋轉的角度一般小于360°.（3）旋轉的三個要素：旋轉中心、旋轉角度和旋轉方向（即順時針或逆時針方向）２．旋轉變換的性質：

一個圖形和它經(jīng)過旋轉所得的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等，任意一組對應點與旋轉中心的連線所成的角都等于旋轉角；對應線段相等，對應角相等.３．旋轉作圖步驟：

①分析題目要求，找出旋轉中心，確定旋轉角.

②分析所作圖形，找出構成圖形的關鍵點.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉各頂點和旋轉中心所連線段,從而作出圖形中各關鍵點的對應點.

④按原圖形連結方式順次連結各對應點.

要點三、中心對稱與圖案設計1．中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做它們的對稱中心，這兩個圖形稱為成中心對稱的．要點詮釋：中心對稱的性質：成中心對稱的兩個圖形中，對應點所連線段經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分．2.中心對稱圖形：

把一個圖形繞著某點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心.

要點詮釋：中心對稱作圖步驟：

①連結決定已知圖形的形狀、大小的各關鍵點與對稱中心，并且延長至2倍，得到各點的對稱點.

②按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形.3.圖形變換與圖案設計的基本步驟

①確定圖案的設計主題及要求；

②分析設計圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉、軸對稱對基本圖案進行變換，實現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機組合；

④對圖案進行修飾，完成圖案.4.平移、軸對稱、旋轉三種變換的關系：圖形經(jīng)過平移、旋轉或軸對稱的變換后，雖然對應位置改變了，但大小和形狀沒有改變，即兩個圖形是全等的．【典型例題】類型一、平移變換1.閱讀理解題．

（1）兩條直線a，b相交于一點O，如圖①，有兩對不同的對頂角；

（2）三條直線a，b，c相交于點O，如圖②，則把直線平移成如圖③所示的圖形，可數(shù)出6對不同的對頂角；

（3）四條直線a，b，c，d相交于一點O，如圖④，用（2）的方法把直線c平移，可數(shù)出對不同的對頂角；

（4）n條直線相交于一點O，用同樣的方法把直線平移后，有對不同的對頂角；

（5）2013條直線相交于一點O，用同樣的方法把直線平移后，有對不同的對頂角．

【思路點撥】（3）畫出圖形，根據(jù)圖形得出即可；

（4）根據(jù)以上能得出規(guī)律，有n（n-1）對不同的對頂角；

（5）把n=2013代入求出即可．【答案與解析】解：（3）

如圖有12對不同的對頂角，

故答案為：12．

（4）有n（n-1）對不同的對頂角，

故答案為：n（n-1）；（5）把n=2013代入得：2013×（2013-1）=4050156，

故答案為：4050156．【總結升華】本題考查了平移與對頂角的應用，關鍵是能根據(jù)題意得出規(guī)律．舉一反三：【變式】（2017·莒縣模擬）如圖，△ABC的面積為2，將△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，則四邊形AEFB的面積為（）．A．6B．8C．10D．12【答案】C2．（2015春?召陵區(qū)期中）如圖①，將線段A1A2向右平移1個單位到B1B2，得到封閉圖形A1A2B2B1（即陰影部分），在圖②中，將折線A1A2A3向右平移1個單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3（1）在圖③中，請你類似地畫一條有兩個折點的折線，同樣向右平移1個單位，從而得到一個封閉圖形，并用陰影表示；（2）請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積（設長方形水平方向長均為a，豎直方向長均為b）：S1=，S2=，S3=；（3）如圖④，在一塊長方形草地上，有一條彎曲的小路（小路任何地方的水平寬度都是2個單位），請你求出空白部分表示的草地面積是多少？（4）如圖⑤，若在（3）中的草地又有一條橫向的彎曲小路（小路任何地方的度都是1個單位），請你求出空白部分表示的草地的面積是多少？【思路點撥】（1）根據(jù)題意，直接畫圖即可，注意答案不唯一，只要畫一條有兩個折點的折線，得到一個封閉圖形即可．（2）結合圖形，根據(jù)平移的性質可知，①②③中陰影部分的面積都可看作是以a﹣1為長，b為寬的長方形的面積．（3）結合圖形，通過平移，陰影部分可平移為以a﹣2米為長，b米為寬的長方形，根據(jù)長方形的面積可得小路部分所占的面積．（4）結合圖形可知，小路部分所占的面積=a米為長，b米為寬的長方形的面積﹣a米為長，1米為寬的長方形的面積﹣2米為長，b米為寬的長方形的面積+2米為長，1米為寬的長方形的面積．【答案與解析】解：（1）畫圖如下：（2）S1=ab﹣b，S=ab﹣b，S2=ab﹣b，S3=ab﹣b猜想：依據(jù)前面的有關計算，可以猜想草地的面積仍然是ab﹣b方案：1、將“小路”沿著左右兩個邊界“剪去”；2、將左側的草地向右平移一個單位；3、得到一個新的矩形理由：在新得到的矩形中，其縱向寬仍然是b．其水平方向的長變成了a﹣1，所以草地的面積就是：b（a﹣1）=ab﹣b．（3）∵小路任何地方的水平寬度都是2個單位，∴空白部分表示的草地面積是（a﹣2）b；（4）∵小路任何地方的寬度都是1個單位，∴空白部分表示的草地面積是ab﹣a﹣2b+2．【總結升華】本題主要考查了利用平移設計圖案，用到的知識點是矩形的性質和平移的性質，能利用平移的性質把不規(guī)則的圖形拆分或拼湊為簡單圖形來計算草地的面積是解題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖，面積為12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移距離是邊BC長的兩倍，則圖中四邊形ACED的面積為（）A．24cm2B．36cm2C．【答案】B.四邊形ABED是平行四邊形且S四邊形ABED=S四邊形ACFD，而S四邊形ACED=S四邊形ABED-S△ABC．類型二、旋轉變換3．正方形ABCD中對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，F(xiàn)是OB上一點，且OE=OF，回答下列問題：

（1）在圖中1，可以通過平移、旋轉、翻折中的哪一種方法，使△OAF變到△OBE的位置．請說出其變化過程．

（2）指出圖（1）中AF和BE之間的關系，并證明你的結論．

（3）若點E、F分別運動到OB、OC的延長線上，且OE=OF（如圖2），則（2）中的結論仍然成立嗎？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明你的理由．

【思路點撥】（1）根據(jù)圖形特點即可得到答案；

（2）延長AF交BE于M，根據(jù)正方形性質求出AB=BC，∠AOB=∠BOC，證△AOF≌△BOE，推出AF=BE，∠FAO=∠EBO，根據(jù)三角形內角和定理證出即可；

（3）延長EB交AF于N，根據(jù)正方形性質推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可證△ABF≌△BCE，推出AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可．【答案與解析】解：（1）旋轉，以點O為旋轉中心，逆時針旋轉90度．

（2）圖（1）中AF和BE之間的關系：AF=BE；AF⊥BE．

證明：延長AF交BE于M，

∵正方形ABCD，

∴AC⊥BD，OA=OB，

∴∠AOB=∠BOC=90°，

在△AOF和△BOE中

∴△AOF≌△BOE（SAS），

∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，

∵∠EBO+∠OEB=90°，

∴∠FAO+∠OEB=90°，

∴∠AME=90°，

∴AF⊥BE，

即AF=BE，AF⊥BE．

（3）成立；

證明：延長EB交AF于N，

∵正方形ABCD，

∴∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，

∵∠ABF+∠ABD=180°，∠BCE+∠ACB=180°，

∴∠ABF=∠BCE，

∵AB=BC，BF=CE，

∴△ABF≌△BCE，

∴AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，

∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°，

∴∠E+∠FAB=45°，

∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°，

∴∠ANE=180°-90°=90°，

∴AF⊥BE，

即AF=BE，AF⊥BE．【總結升華】本題主要考查對正方形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，旋轉的性質等知識點的連接和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．4.如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA、OD到點F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，連接EF．將△EOF繞點O逆時針旋轉角得到△E1OF1(如圖2)．(1)探究AE1與BF1的數(shù)量關系，并給予證明；(2)當＝30°時，求證：△AOE1為直角三角形．【思路點撥】(1)要證AE1＝BF1，就要首先考慮它們是全等三角形的對應邊；(2)要證△AOE1為直角三角形，就要考慮證∠E1AO＝90°.【答案與解析】解：(1)AE1＝BF1，證明如下：∵O為正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF.∵△E1OF1是△EOF繞點O逆時針旋轉角得到，∴OE1＝OF1.∵∠AOB＝∠EOF＝900，∴∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB.在△E1OA和△F1OB中，，∴△E1OA≌△F1OB（SAS）.∴AE1＝BF1.(2)取OE1中點G，連接AG.∵∠AOD＝900，＝30°，∴∠E1OA＝900－＝60°.∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.∴AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°∴∠E1AO＝90°.∴△AOE1為直角三角形.【總結升華】正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的判定.舉一反三：【變式】在等邊三角形ABC中有一點P，已知PC＝2,PA＝4，PB＝，則∠APB＝.【答案】90°類型三、中心對稱與圖形設計5.如圖，方格紙中四邊形ABCD的四個頂點均在格點上，將四邊形ABCD向右平移5格得到四邊形A1B1C1D1．再將四邊形A1B1C1D1，繞點A逆時針旋轉180°，得到四邊形A1B2C2D（1）在方格紙中畫出四邊形A1B1C1D1和四邊形A1B2C2D（2）四邊形ABCD與四邊形A1B2C2D2【思路點撥】