基于UG的三元整體葉輪的曲面造型

基于UG三元整體葉輪曲面造型的研究1緒論論文背景一些復雜的物體外表，如汽車車身、飛機機身、汽輪機葉片、模具型面等呈流線型自由曲面。所謂自由曲面是指不能用根本立體要素(棱柱、棱錐、球、一般回轉體、有界平面等)描述的呈自然形狀的曲面，必須根據(jù)空間自由曲線和自由曲面的理論進行計算。自由曲面形狀復雜，不能用簡單的曲面數(shù)學模型來表示，許多年來人們不斷的探索方便、靈活、實用的自由曲面的造型方法。而且具有自由曲面的零件的生產，一般來說是單件或小批量生產，傳統(tǒng)的加工方法是由毛坯制造、砂輪打磨、樣件檢驗等主要工序組成，這個過程周期一般較長，工人勞動強度大，而且不易保證加工精度，材料和工裝設備浪費現(xiàn)象嚴重近年來，隨著大量進口數(shù)控機床的引進和國產數(shù)控機床的研制，目前我國擁有的數(shù)控機床和加工中心中，三坐標機床占主流，四軸或五軸聯(lián)動的數(shù)控加工機床也在逐漸涌現(xiàn)。這些使得具有自由曲面的零件的加工精度和加工效率都得到了很大的提高，而加工難度和勞動強度也隨之大幅度減小。雖然目前出現(xiàn)了許多CAD/CAM軟件，但是其普及程度并不高。一方面是因為這些軟件所提供的通用模塊并不完全符合實際生產的需要，另一方面一些數(shù)控機床附帶軟件其各個模塊大多都進行了封裝，只能完成某些特定的功能，用戶無法對其進行二次開發(fā)以添加滿足用戶實際需要的功能，用戶只能向軟件開發(fā)公司定制，制約了對核心技術的掌握和生產的開展。自由曲面的制造己開始邁入計算機輔助制造的行列，要進行自由曲面的數(shù)控加工，首要任務是進行自由曲面的構造。這就對自由曲面的造型技術提出了較高的要求。由于工程實際中給定型值點的自由曲面型面是典型的三維曲面，求解數(shù)控加工此類曲面的關鍵在于構造滿足數(shù)控加工需要的自由曲面。自由曲線曲面造型方法經歷了參數(shù)樣條方法，孔斯曲面，貝塞爾曲面，B樣條曲面，直到當前CAD/CAM系統(tǒng)中曲面造型的主流方法:NURBS曲面造型方法。NURBS造型方法通過控制點建立自由曲面的數(shù)學模型，統(tǒng)一了有理曲面和非有理曲面的數(shù)學描述，而且可以通過調整局部的控制點和權因子來局部修改自由曲面的形狀，有利于方便的對曲面進行局部修改，所以逐漸成為自由曲面造型理論的主流方法[2]。為后續(xù)的自由曲面的數(shù)控加工創(chuàng)造便利條件。正是在這種前提下，對基于UG三元整體葉輪曲面造型的研究意義重大，而且我國在這個領域起步較晚，具有很大的研究開展空間，因此本文選此課題進行設計與研究。1.2文獻綜述1.2.1自由曲面的CAD/CAM的開展及現(xiàn)狀自由曲面形狀復雜，不能用簡單的曲面數(shù)學模型來表示，許多年來人們不斷的探索方便、靈活、實用的自由曲面的造型方法。而且具有自由曲面的零件的生產，一般來說是單件或小批量生產，傳統(tǒng)的加工方法是由毛坯制造、砂輪打磨、樣件檢驗等主要工序組成，這個過程周期一般較長，工人勞動強度大，而且不易保證加工精度，材料和工裝設備浪費現(xiàn)象嚴重近年來，隨著大量進口數(shù)控機床的引進和國產數(shù)控機床的研制，目前我國擁有的數(shù)控機床和加工中心中，三坐標機床占主流，四軸或五軸聯(lián)動的數(shù)控加工機床也在逐漸涌現(xiàn)。這些使得具有自由曲面的零件的加工精度和加工效率都得到了很大的提高，而加工難度和勞動強度也隨之大幅度減小。雖然目前出現(xiàn)了許多CAD/CAM軟件，但是其普及程度并不高。一方面是因為這些軟件所提供的通用模塊并不完全符合實際生產的需要，另一方面一些數(shù)控機床附帶軟件其各個模塊大多都進行了封裝，只能完成某些特定的功能，用戶無法對其進行二次開發(fā)以添加滿足用戶實際需要的功能，用戶只能向軟件開發(fā)公司定制，制約了對核心技術的掌握和生產的開展。自由曲面的制造己開始邁入計算機輔助制造的行列，要進行自由曲面的數(shù)控加工，首要任務是進行自由曲面的構造。這就對自由曲面的造型技術提出了較高的要求。由于工程實際中給定型值點的自由曲面型面是典型的三維曲面，求解數(shù)控加工此類曲面的關鍵在于構造滿足數(shù)控加工需要的自由曲面。自由曲線曲面造型方法經歷了參數(shù)樣條方法，孔斯曲面，貝塞爾曲面，B樣條曲面，直到當前CAD/CAM系統(tǒng)中曲面造型的主流方法:NURBS曲面造型方法。NURBS造型方法通過控制點建立自由曲面的數(shù)學模型，統(tǒng)一了有理曲面和非有理曲面的數(shù)學描述，而且可以通過調整局部的控制點和權因子來局部修改自由曲面的形狀，有利于方便的對曲面進行局部修改，所以逐漸成為自由曲面造型理論的主流方法[2]。為后續(xù)的自由曲面的數(shù)控加工創(chuàng)造便利條件。美、法等國的CAD技術一直以來走在世界的前沿，他們擁有許多世界聞名的CAD/CAM系統(tǒng)，這些系統(tǒng)具備十分強大的功能。美國SDRC公司的I-DEASMasterSeries軟件采用VGX(超變量化)技術，用戶可以直觀、實時地進行三維產品的設計和修改。VGX有如下好處:不必像參數(shù)化造型系統(tǒng)那樣要求模型“全約束〞，在全約束及非全約束的情況下均可順利地完成造型；模型修改不必拘泥于造型歷史樹，修改可基于造型樹，亦可超越造型歷史樹；可直接編輯任意3D實體特征，無須回到生成此特征的2D線框初始狀態(tài)；可就地以拖動方式隨意修改3D實體模型,而無須僅以“尺寸驅動〞一種方式來修改模型；模型修改許可形狀及拓撲關系發(fā)生變化，而并非像參數(shù)技術那樣僅僅是尺寸的數(shù)據(jù)發(fā)生變化；所有操作均為“一拖一放〞方式，操作簡單。美國UnigraphicsSolutions公司的UG源于航空業(yè)、汽車業(yè)，以Parasolid幾何造型核心為根底，采用基于約束的特征建模和傳統(tǒng)兒何建模為一體的復合建摸技術。其曲面功能包含于FreeformModeling模塊之中，采用了NURBS、B樣條、Bezier數(shù)學根底，同時保存解析幾何實體模型方法，造型能力較強。其曲面建模完全集成在實體建模之中，并可獨立生成自由形狀形體，以備實體設計時使用。而許多曲面建模操作可直接產生或修改實體模型，曲面殼體、實體與定義他們的幾何體完全相關。UG軟件實現(xiàn)了面與體的完美集成，可將無厚度曲面殼縫合到實體上,總體上，UG的實體化曲面處理能力是其主要特征和優(yōu)勢[6]。美國PTC公司的Pro/Engineer以其參數(shù)化、基于特征、全相關等概念聞名于CAD界，其曲面造型集中在Pro/SURFACE模塊。其曲面生成、編輯能力覆蓋了曲面造型中的主要問題.主要用于構造外表模型，實體模型，并且可以在實體上生成任意凹下或凸起物等。尤其是可以將特殊的曲面造型實例作為一種特征參加特征庫中。Pro/Eng-ineer自帶的特征庫就含有如下特征:復雜拱形外表、三維掃描外形、復雜的非平行或旋轉混合、混合/掃描、管道等等。該軟件的曲面處理能力僅適合于通用的機械設計中較常見的曲面造型間題[7]。美國IBM公司的CATIA/CADAM(DassaultSvstem公司開發(fā))是一個廣泛的CAD/DAM/CAE/PDM應用系統(tǒng)。該系統(tǒng)有關曲面的模塊包括:曲面設計(Surfacedesign)、高級曲面設計(Advancedsurfacedesign)、自由外形設計(Freeformdesign)、整體外形修形(Globalshapedeformation)、創(chuàng)成式外形修形(Generativeshapemodeling)和白車身設計(Bodywhitetemplates)等。CATIA外形設計和風格設計解決方案對零件提供了廣泛的集成化工具。該系統(tǒng)具有很強的曲面造型功能。還有法國Matra一DataVision公司的Euclid集成系統(tǒng)是一個集機械設計與工廠設計于一身的企業(yè)級并行工程解決方案，其曲面功能在“ASD高級曲面設計〞之中。美國CV公司的CADDS5軟件的NURBS曲面設計模塊是CV公司用以完成大型復雜曲面造型的專用工具。NURBS集成于清晰造型的數(shù)據(jù)庫結構中，但其強大的曲面裁減使得曲面構成的實體可貫穿參數(shù)設計、詳細設計、加工、分析的全過程。預計在不久的將來，微機CAD/CAM系統(tǒng)將以其良好的2D設計/繪圖、3D實體/曲面造型、數(shù)控加工、工程數(shù)據(jù)管理，物性分析的集成化優(yōu)勢而得到廣泛的應用和開展。自由曲面造型技術的開展及現(xiàn)狀從研究的領域來看，曲面造型技術已從傳統(tǒng)的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，擴充到曲面變形、曲面重建、曲面簡化、曲面轉換和曲面等距性。1〕曲面變形(DeformationorShapeBlending)傳統(tǒng)的NURBS曲面模型僅允許調整控制頂點或權因子來局部改變曲面形狀,最多利用層次細化模型在曲面特定點進行直接操作;一些簡單的基廠參數(shù)曲線的曲面設計方法，如掃掠法(Sweeping),蒙皮法(Skinning),旋轉法和拉伸法也僅允許調整生成曲線來改變曲面形狀。計算機動畫業(yè)和實體造型業(yè)迫切需要開展與曲面表示方式無關的變形方法或形狀調配方法，于是產生了自由變形(FFD)、基于彈性變形或熱彈性力學等物理模型的變形法、基于求解約束的變形法、基于幾何約束的變形法等曲面變形技術，以及基于多面體對應關系或基于圖像形態(tài)學中Minkowski和操作的曲面形狀調配技術。2〕曲面重建(Reconstuction)在精致的轎車車身設計或人臉類雕塑曲面的動畫制作中，常先用油泥制模，再作三維型值點采樣。在醫(yī)學圖像可視化中，也常用CT切片來得到人體臟器外表的三維數(shù)據(jù)點。從曲面上的局部采樣信息來恢復原始曲面的幾何模型，稱為曲面重建，采樣工具為激光測距掃描器、醫(yī)學成像儀、接觸探測數(shù)字轉換器、雷達或地震勘探儀器等。根據(jù)重建的形式，其可以分為函數(shù)型曲面重建和離散型曲面重建。前者代表工作有Eck于1996年建立的任意拓撲B樣條曲面重建法和Sapidis于1995年創(chuàng)造的離散點集擬和法。后者的常用方法是建立離散點集的平面片逼近模型,如Hoppcy于1992年和1994年光后創(chuàng)立的分片線性或分片光滑的曲面模型。對于離散型重建，要求輸出曲面具有正確的拓撲結構，并且隨著采樣密度的增加而收斂到原始曲面，當重建曲面為閉曲面時，Willer等人開展出一種基于可變形模型的曲面重建算法，稱為外殼(Crust)算法。這種算法的優(yōu)點在于輸出的離散曲面在細節(jié)區(qū)域具有密集點，而在無特征的區(qū)域具有稀疏點。最近幾年，曲面重建的研究形成了熱潮。3〕曲面簡化(SurfacesSimplification)與曲面重建一樣，這一研究領域目前也是國際熱點之一，其根本思想在于從二維重建后的離散曲而或造型軟件的輸出結果(主要是三角網絡)中去除冗余信息而又保證模型的準確度，以利于圖形顯示的實時性、數(shù)據(jù)存儲的經濟性和數(shù)據(jù)傳輸?shù)目焖傩浴τ诙喾直媛是婺Ｐ投?，這一技術還有利于建立曲面的層次逼近模型，進行曲面的分層顯示、傳輸和編輯具休的曲面簡化方法有網格頂點剔除法、網格邊界刪除法、網格優(yōu)化法、最大平面逼近多邊形法以及參數(shù)化重新采樣法。4〕曲面轉換(Conversion)同一張曲面可以表示為不同的數(shù)學形式，這一思想不僅具有理論意義，而且具有工業(yè)應用的現(xiàn)實意義。例如，NURBS這種參數(shù)有理多項式曲面雖然包括了參數(shù)多項式曲面的一切優(yōu)點，但也存在著微分運算繁瑣費時、積分運算無法控制誤差的局限性。而在曲面拼接及物性計算中，這兩種運算是不可防止的這就提出了將一張NURBS曲面轉化成近似的多項式曲面的問題，同樣的要求更表達在NURBS曲面設計系統(tǒng)與多項式曲面系統(tǒng)之間的數(shù)據(jù)傳遞和無紙化生產工藝中。再如，在兩張參數(shù)曲面的求交運算中，如果把其中一張曲面的NURBS形式轉化為隱式，就容易得到方程的數(shù)值解。近幾年來，國際圖形界對曲面轉換的研究主要集中在以下幾點;NURBS曲面用多項式曲面來逼近的算法及收斂性;Bezier曲線曲面的隱式化及其反問題;CONSURF飛機設計系統(tǒng)的Ball曲線向高維推廣的各種形式比擬及相互轉化;有理Bezie曲線曲面的降價逼近算法及誤差估計;NURBS曲面在三角域上的互相快速轉換。5〕曲面等距性(Offset)其在計算機圖形及加工中有著廣泛的應用，因而成為這幾年的熱門話題之一。例如，數(shù)控機床的刀具路徑設計就要研究曲線的等距性。但從數(shù)學表達式中很容易看出，一般而言，一條平面曲線的等距曲線不再是有理曲線，這就超越了通用NURBS系統(tǒng)的使用范圍，造成了軟件設計的復雜性和數(shù)值計算的不穩(wěn)定性。為解決這一問題，十幾年來國際圖形界提出了用簡單曲線來逼近等距曲線的種種算法，這又帶來了收斂性考核、計算不穩(wěn)定、誤差難控制等問題。那么，是否存在具有精確有理等距曲線的某種參數(shù)曲線呢?1990年美國學者Farouki首次找到某一類特殊的平面參數(shù)多項式曲線具有這種性質，稱之為PH曲線而到1993年，浙江大學的呂偉利用復分析法、重新參數(shù)化和代數(shù)幾何技術，完整地給出了OR多項式和有理參數(shù)曲線的一般形式，徹底解決了平面曲線的等距線的有理化問題。在曲線等距性問題上，呂偉于1996年證明了常用二次曲面的有理等距線均可用有理參數(shù)樣條精確表示的結論;同年他與奧地利學者Pottmann等揭示出有理直紋面的等距面可以有理參數(shù)化，同時證明了脊線為有理樣條曲線的管道曲面可以精確表示為有理樣條曲面。曲線曲面的等距性還與機械學中的形位公差理論及幾何設計中的區(qū)間曲線曲面有著密切的關系。從表示方法來看，以網格細分〔Subdivision〕為特征的離散造型與傳統(tǒng)的連續(xù)造型相比，大有后來居上的創(chuàng)新之勢。例如用NURBS的修剪來對付，但是他們至少會遇到以下困難:修剪是昂貴的，而且有數(shù)值誤差;要在曲面的接縫處保持光滑，即使是近似的光滑也很困難，因為模型是活動的。而細分曲面有潛力克服以上兩個困難，其無須修剪，活動模型的平滑度被自動地保證。如果多面體的一個面有n條邊，細分一次后，這個面就會變成n個四邊形。隨著細分的不斷進行，控制網格就被逐漸磨光，其極限狀態(tài)就是一張自由曲面。其是無縫的，因而是平滑的，即使模型是活動的。這種方法顯著地壓縮了設計和建立一個原始模型的時間，更重要的是允許原始模型局部地精致化。這就是其優(yōu)于連續(xù)曲面造型方法之處。1.3論文的主要工作三元整體葉輪曲面造型的研究關鍵在于如何由點生成曲線、由曲線生成曲面、由片體生成曲面，進而產生空間葉輪實體。本文主要工作內容如下：1〕研究自由曲面造型方法。2〕研究直紋面的幾何特性。3〕采用UG/OpenGRIP編程構造的方法生成葉片的曲線。4〕完成三元整體葉輪的曲面造型。2自由曲面造型的技術2.1引言1963年美國波音(Boeing)飛機公司的弗格森(Ferguson)首先提出了將曲線曲面表示為參數(shù)的矢函數(shù)方法。他最早引入參數(shù)三次曲線，構造了組合曲線和由四點的位置矢量及兩個方向的切矢定義的弗格森雙三次曲面片。從此曲線曲面的參數(shù)化形式成為形狀數(shù)學描述的標準形式。1964年美國麻省理工學院(MIT)的孔斯(Coons)發(fā)表了一個具有一般性的曲面描述方法，給定圍成封閉曲線的四條邊界就可定義一塊曲面片。1967年，孔斯進一步推廣了他的這一思想。但是前述兩種方法對曲線、曲面的形狀不易控制;修改任意一個型值點都會影響整條曲線和整張曲面的形狀，且形狀變化難以預測，即不具備局部性。因此這兩種方法都屬于構造插值曲線和插值曲面的方法，不適用于進行曲線或曲面的設計。1971年法國雷諾(Renault)汽車公司的貝齊爾(Bezier)提出一種由控制多邊形設計曲線的新方法。設計員只要移動控制定點就可方便地修改曲線的形狀，而且形狀的變化完全在預料之中。貝齊爾方法簡單易用，又漂亮地解決了整體形狀控制問題，把曲線曲面的設計向前推進了一大步，為曲面造型的進一步開展奠定了堅實的根底。但貝齊爾方法仍存在連接問題和局部修改問題。1972年，德布爾(de-Boor)總結給出了關于B樣條的一套標準算法，1974年美國通用汽車公司的戈登(Gordon)和里森費爾德(Riesenfeld)又把B樣條理論引入曲線曲面設計系統(tǒng)，B樣條方法幾乎繼承了貝齊爾方法的一切優(yōu)點，貝齊爾曲線曲面被看作為B樣條曲線曲面的一種特例，而B樣條方法比貝齊爾方法更具一般性，即任何分段光滑多項式曲線曲面均可用B樣條曲線曲面表示。B樣條基函數(shù)具有計算穩(wěn)定、快速的特點，同時B樣條曲線曲面具有局部可修改性.較成功地解決了貝齊爾方法的局部控制問題，并在參數(shù)連續(xù)性根底上解決了連接問題，具有較強幾何造型能力.1975年美國錫拉丘茲(Syracuse)大學的弗斯普里爾(Versprille)在他的博士論文里將B樣條理論推廣到有理情況，首先提出了非均勻有理B樣(non-uniformrationalB-Spline，簡稱NURBS)這個概念。后來主要由于皮格爾〔PiegI)和蒂勒(Tiller)[2]等人對非均勻有理B樣條方法進行的深入研究，使這一方法在理論和實用上逐步趨向成熟。至80年代后期，NURBS方法開展為曲線曲面造型方法中最為先進的技術。但由于權因子與參數(shù)化問題至今還沒有完全解決，NURBS方法存在數(shù)值不穩(wěn)定的問題[3]。表1對這幾種方法的優(yōu)缺點作了一比擬。表2-1曲面造型方法的比擬方法特點缺點Coons曲面法簡單易行、編輯方便、插值精度高設計曲面時，需要用到切矢、扭矢，不直觀，難于控制Bezier曲面法核體逼近，具有對稱性，網格的四個角點位于曲面上控制多邊形頂點數(shù)目決定了曲面的階次，缺乏局部修改性B樣條曲面法階次與控制頂點數(shù)目無關，具有局部可修改性，曲面片之間無條件光滑拼接曲面片一般不通過特征網格的任意一個頂點NURBS曲面法對標準的解析曲線(如圓錐曲線等)和自由曲線提供了統(tǒng)一的數(shù)學描述，保存了B樣條曲線的節(jié)點插入、修改、分割以及修改控制點等強有力的技術，而且還具有修改權因子來修改曲線形狀的能力計算量較大。影響軟件的運行速度，消耗的存儲量較大。而且當權因子為零和負值時容易引起計算的不穩(wěn)定，導致發(fā)生畸變在形狀設計領域中，設計人員通常是從二維的情況開始定義對象的關鍵形狀，在構造好曲線的根底上，利用曲面生成方法產生復雜的三維形態(tài).構造出精確的曲線是生成最終物體形狀的關鍵和根底.常用的曲線構造方法為:控制頂點輸入法;插值點輸入法;從曲面上生成曲線法等。需要確定的參數(shù)有:曲線的次數(shù)、節(jié)點矢量及控制頂點。80年代末至90年代初，曲面造型領域的開展又出現(xiàn)了新的特點。在某些應用領域，因為力學的原因，人們不滿足于現(xiàn)有數(shù)學模型下的曲面造型技術，開始探索基于其它數(shù)學描述方法的新的曲面造型技術，例如，物理曲面造型、流線型曲面造型等。工程實際中給定截面型值點的自由曲面是典型的三維曲面，求解數(shù)控加工此類曲面的關鍵在于構造滿足數(shù)控加工需要的自由曲面。1988年Woodwardlw針對按截面測量所得數(shù)據(jù)，提出了一種B樣條曲面插值算法，即蒙皮法生成曲面。但這種方法要求數(shù)據(jù)點呈拓撲矩形陣列，即各截面數(shù)據(jù)點數(shù)完全相同。由于測量得到的原始數(shù)據(jù)點，本身就包含測量誤差，采用插值算法容易出現(xiàn)波動，光順性較差，因此采用曲面逼近更接近工程實際。王國瑾等提出了B樣條光順準逼近的思想，即在有約束條件處通過型值點，其它局部用逼近數(shù)據(jù)點來產生;蔣人為也提出了運用重頂點的方法來解決有約束條件的曲面逼近問題;1999年，彭芳瑜等提出基于最小二乘法的曲面生成算法。它在插值的思想上融合逼近的思想，解決了蒙皮法中因截面線族不均勻而導致的曲面光順性不好的問題;2002年，張麗艷[6]結合二分法和最小二乘法，對截面曲線進行逼近.構造出B樣條截面曲線，最后用截面曲線構造蒙皮曲山。即最終的B樣條曲面。目前，曲面造型領域的開展又出現(xiàn)了新的特點[9，10]。在某些應用領域，人們不滿足于現(xiàn)有數(shù)學模型下的曲面造型技術，開始探索基于其它數(shù)學描述方法的新的曲面造型技術，如物理曲面造型、流線型曲面造型等。新的造型方法得到廣泛的研究和探索，這些都將為曲線曲面的深入研究提供新的思想，為計算機輔助制造創(chuàng)造更加便利的條件。通常來講，雙三次B樣條曲面能滿足設計者的要求，此時能保證曲面間連續(xù)。節(jié)點矢量的選取對曲面的品質十分重要。選取節(jié)點參數(shù)的方法有均勻(等距)參數(shù)化法、積累弦長參數(shù)化(弦長參數(shù)化)法、向心參數(shù)化(弦長的平方根)法、修正弦長參數(shù)化法等。通常采用積累弦長參數(shù)化方法求解節(jié)點矢量。形狀設計中，設計人員頭腦里一般直接考慮的是曲線的大致形狀，而非控制多邊形的形狀。因此通常是通過給出曲線上的一些點，反算出曲線的控制頂點，再由控制點得到曲線。常用方法為插值法和最小二乘逼近兩種方法。插值法要求得到的曲線通過己知數(shù)據(jù)點，最小二乘逼近法一般不要求曲線通過數(shù)據(jù)點，只要求數(shù)據(jù)點與得到的曲線上對應點距離的平方和為最小。對曲線形狀的控制有三個途徑:1)通過移動控制頂點來改變曲線形狀;2)修改節(jié)點矢量;3)移動數(shù)據(jù)點并重新計算。常用的方法有節(jié)點插入與曲線升階兩種方法來對曲線形狀進行控制。插入節(jié)點算法是B樣條方法配套技術中最重要的技術之一。通過插入節(jié)點，可以進一步改善B樣條曲線的局部性質，提高對B樣條曲線形狀控制的潛在靈活性;可以實現(xiàn)對曲線的分割;可以在生成曲面時使不同的節(jié)點矢量統(tǒng)一起來等;1980年伯姆(Boehm)[5]給出了B樣條曲線節(jié)點插入算法，給出了未知新頂點的計算公式，提出可通過將同一節(jié)點插入k次，得到對應B樣條曲線上的點?？贫?Cohen)等人[6]也提出同時可以插入多個節(jié)點的奧斯陸(Oslo)算法。伯姆算法簡單，算法效率高，并且?guī)缀沃庇^，易為工程實際所接受。B樣條升階是B樣條方法配套技術中另一項重要的技術。其重要性主要表現(xiàn)為:升階可以增加幾何造型的柔性，通過升階，增加了控制定點數(shù)，提高形狀控制的靈活性;升階是設計組合曲線時必不可少的工具和手段;升階是構造蒙皮、掃描曲面和組合曲面的重要T-具。1984年，普勞茨(Prautzsch)提出一個B樣條曲線的升階算法[7]給出了確定B樣條曲線升階后未知新頂點的算法。隨后在1991年又對該算法進行了改良[8]，使它線性依賴于節(jié)點數(shù)和曲線階次，速度更快，但算法復雜。Cohen等在1988年提出了遞歸升階方法[9]，它基于離散B樣條，無需調用節(jié)點插入的算法，直接用遞推公式進行升階，易于實現(xiàn)。另外還有Piegl等提出了基于Bezier曲線升階的方法[10]，秦開懷指出[]傳統(tǒng)的升階方法只適用于端點插值B樣條曲線和周期性B樣條曲線的升階，對于其它的非端點插值的B樣條曲線的升階問題卻無法解決。他給出了解決傳統(tǒng)B樣條曲線升階理論中的這些問題的一般算法。B樣條基函數(shù)的遞推算法、節(jié)點插入算法和升階算法就構成了B樣條曲線曲面的B樣條擬合曲曲造型的理論根底和根本算法體系。復雜形狀零件是數(shù)控加工的主要對象，為了對這類零件的加工進行編程，首先必須進行幾何建模。曲面造型技術是復雜形狀零件建模的根底及工具，也是幾何造型技術的重要分支之一。隨著CAD/CAM應用的不斷深化，目前對曲線曲面已經形成了一套較為完整的理論和方法體系，包括參數(shù)曲線曲面理論、Bezier方法、B樣條方法等。三次B樣條曲線具有C2級連續(xù)，通常它已能滿足工程外形曲線連續(xù)階的要求。因此，在工程上所采用的B樣條曲線，一般指的是這種曲線?；诖?，本文將采用以三次B樣條曲線為根底的雙三次B樣條曲面對自由曲面進行造型。曲面造型的幾何根底2.2.1B樣條曲線和曲面1〕B樣條基函數(shù)的定義[14]在區(qū)間[a,b]上，取分割為節(jié)點〔knot〕，構造B樣條基函數(shù)為:〔2.1〕在公式中第一項在當時取1，在其他情況下取0；規(guī)定0/0＝0；其中B樣條基函數(shù)的第一個i下標表示序號，第二個下標k表示基函數(shù)的次數(shù)。該遞推公式說明，欲確定第i個k次B樣條基，需要用到共k+2個節(jié)點。區(qū)間[]為的支撐區(qū)間，也就是說僅在這個區(qū)間內的值不為零。2〕B樣條曲線的定義設有一組節(jié)點序列，由其確定的B樣條基函數(shù)，有一頂點系列構成特征多邊形，將與線性組合，得到k次〔k+1〕階B樣條曲線，其方程為：a≤x≤b〔2.2〕其中r(x)是參數(shù)x的k次分段多項式。3〕B樣條曲線的數(shù)學模型設空間有k+n+1個點，那么稱以下函數(shù)所決定的參數(shù)曲線為第1段k次B樣條曲線:(2.3)由各段曲線組成的整體曲線，稱為k次B樣條曲線。其中(2.4)4〕B樣條曲面的定義定義一張次張量積B樣條曲面，其方程為：μ≥0，ω≤1〔2.5〕其中是〔m＋n〕×〔n+1〕陣列，構成一張?zhí)卣骶W絡；、分別是定義在節(jié)點矢量，上的B樣條基函數(shù)。三次B樣條曲線的主要性質由式(2.3)可知，每4個控制頂點定義一條三次樣條曲線。通常特征多邊形的頂點數(shù)都多于4個，每增加一個頂點，相應地就增加一段B樣條曲線，假定增加的點為，那么就決定了新增加的三次B樣條曲線。如果有n個頂點，那么就有(n一3)段曲線。所以B樣條曲線段的性質就是整體B樣條曲線的性質，如下所述。由〔2.5〕式得三次B樣條曲線的矢值方程為：(2.6)由〔2.6〕式得代入(2.6)式得第i段的三次B樣條曲線為(2.7)寫成矩陣形式為:(2.8)1〕曲線的起點和終點，一般情況下不過起始控制頂點與終止控制頂點。對三次B樣條曲線段式而言:〔2.9〕圖2-1三次B樣條曲線段2〕曲線在起點與終點處的切線，與控制多邊形的起始邊與終止邊，有著密切的關系?！?.10〕〔2.11〕這說明三次B樣條曲線段起點的切向量平行于ΔViVi+1Vi+2的邊ViVi+2，長度為它的二分之一;終點處的切向量平行于ΔVi+1Vi+2Vi+3的邊Vi+1Vi+3。，長度為它的二分之一。如圖2-1所示。3〕用三次B樣條曲線段能自然的連接成整體的三次B樣條曲線，不需要任何附加條件。這是因為在連結點處，一階導數(shù)、二階導數(shù)均連續(xù)。即前一曲線段(控制點為Vi，Vi+1，Vi+2，Vi+3)終點的切向量，恰好是下一曲線段(控制點為Vi+1，Vi+2，Vi+3，Vi+4)起點的切向量;前一曲線段終點的二階導向量，恰好是一曲線段起點的二階導向量。切線量相等可從(2.9)式看出。二階導向量相等可從(2.10)式看出。將(2.10)對u再求導，得〔2.12〕4〕具有局部可調性三次B樣條曲線的各段僅由相鄰的四個頂點確定，因此改變特征多邊形的某個頂點，只會影響與該頂點有關的相鄰四段曲線，其它地方的曲線不會引起變化。這表達了B樣條曲線的局部可修改性。5〕曲線位于其控制頂點的凸包之內所謂“凸包〞，是指由控制頂點的全部或一局部所張成的凸范圍。假設控制多邊形為凸時，那么凸包就是此控制多邊形，曲線的形狀也是凸的，并位于凸包內。假設控制多邊形有凸有凹時，那么不計凹下去的頂點，由剩下的頂點構成凸包，盡管曲線的形狀也有凸有凹，但總位于凸包內。這一性質稱為B樣條曲線的凸包性，如圖2-2所示。圖2-2B樣條曲線的凸包性直紋面的幾何特性.1直紋面的定義直線經過剛體運動后其Plvcker坐標變?yōu)?，用矩陣來表示就是?.13〕式中，O為零矩陣；為所對應的反對稱矩陣[4]，下同。從微分幾何學的觀點看，直紋面根據(jù)其沿每一條母線的切平面是否唯一，可分為可展曲面和非可展曲面。可展曲面是直紋面的一種重要類型，沿著它的每一條母線只有一個切平面，比擬具有代表性的如圓柱面和圓錐面。設直紋面的準線方程及每一點處的直母線單位方向矢量分別為和，且分別有連續(xù)的一階導數(shù)和，可以證明直紋面為可展曲面的充要條件為：〔2.14〕即滿足上式〔2.14〕條件的的直紋面為可展直紋面，反之為非可展直紋面。直線在三維空間中的運動有旋轉、平移和螺旋3種特殊情形。利用Klein映射分別討論直線在這3種特殊的運動形式下掃掠所得直紋面的Klein像特點。2.3.2旋轉直線在三維空間中繞過點P的軸線旋轉角度θ，相應的L的Plvcker坐標變換為該變換矩陣寫成指數(shù)形式為〔2.15〕容易證明〔2.16〕式〔2.16〕中根據(jù)L與A的關系有以下三種情況：當L=A時，L旋轉=L，T〔θ〕L≡L，屬于六維空間的一維線性子空間，就是軸線的Klein像：當時，，L旋轉后=-L， 屬于六維空間的二維線性子空間，此時正好是三維空間中的線列，其Klein像為Klein二次型上的直線；〔3〕當時，L旋轉后、、L線性無關，屬于六維空間的三維線性子空間：且當，即A與L共面時，直線掃描形成錐面或柱面，軸線A屬于該子空間：當，即A與L異面時，直線掃描形成單葉雙曲面，軸線A不屬于該子空間。以上說明三維空間中的直線繞定直線A旋轉所得的所有直線T〔θ〕L的Klein坐標屬于六維空間中的某一線性子空間，該子空間維數(shù)可能為一維、二維或三維。2.3.3平移直線L在三維空間中只作平移掃描時，設位移矢量為p〔t〕，相應的L的Klein坐標變換為其Klein像為一點。為常矢量時，是六維空間的一維線性子空間。因工程實際中與L〔0〕線性無關，所以L〔t〕屬于六維空間的二維線性子空間，其Klein像是直線，此時掃描形成的是平面。否那么，是六維空間的二維線性子空間，所以L〔t〕屬于六維空間的三維線性子空間，其Klein像共面。2.3.4螺旋運動螺旋運動是指剛體繞空間軸旋轉和沿該軸的平移運動。一條異于軸的直線在螺旋運動下掃描所得曲面就是螺旋直紋面。不失一般性，如圖1所示建立坐標系，坐標原點為軸線A與直線L0的公垂線和軸線A的交點〔假設A與L0相交，交點為坐標原點〕，以ω為z軸，為x軸，那么掃描所形成的直紋面母線族為式中，P為螺旋節(jié)距。容易證明由直線L旋轉其Klein坐標滿足關系：在時刻t，直線L〔t〕與軸線的公垂線分別交直線和軸線于點a〔t〕與b〔t〕.當時，點a〔t〕與b〔t〕重合。當，點a〔t〕運動軌跡為螺旋線。設b〔t〕在軸線上的坐標為d〔t〕，那么其沿著軸線勻速平動，必滿足條件，其中，θ〔t〕為L〔t〕的旋轉角。常見的直紋面有圓錐面、圓柱面、單葉雙曲面、拋物雙曲面、螺旋面。它們的Klein像特征見表2-2。由于曲面具有幾何不變性，即與坐標系的選取無關，所以剛體運動不會改變上述幾種常見直紋面的Klein像的特性〔共面性質〕。表2-2幾種特殊直紋面的Klein像特征2.4等距曲線和等距曲面2.4.1等距曲線在數(shù)控機床加工零件時，由機床控制刀具中心，使零件得到一定的形狀。刀具路徑和被加工件的外型曲線是兩條相互平行的曲線，這就是等距線的一種具體形式。等距線的定義：一條曲線，讓上每一點沿在這點的法線的一定方向〔或法矢〕移動一段距離a，得到新的點，這些新的點的軌跡稱為的等距曲線。等距線的方程：設曲線的矢函數(shù)為〔2.17〕可以計算它的單位法矢為：〔2.18〕雙重符號的選取，可由圖2-3決定。那么它的等距線方程為：〔2.19〕當同時取“＋〞號時，公式〔2.18〕表示等距線的方程，同時取“－〞號時，那么〔2.18〕表示的方程圖3-1等距線示意圖圖2-3等距曲線示意圖2.4.2等距曲面類似于等距曲線的概念的引入，也可以建立等距曲面的概念。例如在加工曲面時，由球刀中心點的運動得到的軌跡形狀也就是被加工曲面的平行曲面。假設一張曲面，讓上每一點沿這點法矢的一定方向移動一段距離a，得到新的點的軌跡就稱為的法向等距面。以下推導等距面的方程。設曲面的矢量方程：〔2.20〕故曲面在任一點的單位法矢為〔2.21〕這樣，法向等距面〔2.22〕在實際應用中，公式〔2.21〕可以用來計算半徑為a的刀具中心軌跡。3三元整體葉輪的曲面造型3.1葉輪的曲面造型方法研究葉片的曲面構型原理及方法在實際生產過程中，葉輪葉片曲面的輪廓形狀是由實驗的方法來確定的，這種以離散點來決定形狀的零件曲面稱為列表自由曲面[16]。其特點是列表曲線上的各離散點之間沒有嚴格的連續(xù)規(guī)律，而在加工中往往要求曲面能平滑地通過各點，并滿足加工精度要求。在處理該類自由曲面時，首先要選擇一個或多個插值方程來描述它。下面針對葉片曲線構造設計中給出的離散點進行B樣條曲線插值。3.離散點的插值設給定曲線上的n+1個數(shù)據(jù)點，其中，為點的直角坐標值。構造三次B樣條插值曲線的實質就是反算三次B樣條曲線的n+3個控制點。三次B樣條曲線方程〔3.1〕其中，為控制頂點；為3次標準B樣條基函數(shù)。在此采用累加弦長參數(shù)化的方法進行參數(shù)化，令控制多邊形的各邊邊長為?？偟倪呴L為，那么3次B樣條曲線的節(jié)點矢量為：，將與數(shù)據(jù)點相對應的參數(shù)值代入式〔3.1〕，再補充兩個切矢邊界條件：〔3.2〕〔3.3〕解該線性方程組那么可求得n+3個控制點，至此那么可給出插值n+1個數(shù)據(jù)點的曲線，如圖3-1所示。圖3-1B-曲線插值3.2UG軟件概述Unigraphics軟件為美國UGS公司的主要產品，該軟件不僅具有強大的實體造型、曲面造型、虛擬裝配的產生工程圖等設計功能，而且，在設計過程可進行有限元分析、機構運動分析、動力學分析和仿真模擬，提高設計的可靠性；同時，可用建立的三維模型直接生成數(shù)控代碼，用于產品的加工，其后處理程序支持多種數(shù)控機床。另外它所提供的二次開發(fā)語言UG/OpenGRIP、UG/OpenAPI簡單易學，實現(xiàn)功能多，便于用戶開發(fā)專用CAD系統(tǒng)。UGNX4.0中，曲面建模可以分為以下幾種：〔1〕由點生成曲面，這種曲面是非參數(shù)化的，即生成的曲面與原始構造點不關聯(lián)，當構造點編輯后，曲面不會產生關聯(lián)性更新變化，這類曲面造型的方法有ThroughPoints、FromPoles、FromPointsCloud；〔2〕由曲線生成曲面，這類曲面是全參數(shù)化的，當構造曲面的曲線被編輯修改后，曲面會自動更新，適用于主要、大面積的曲面構造，如Ruled、ThroughCurves、ThroughCurveMesh、Swept等；〔3〕由片體生成曲面，這類曲面大多數(shù)是參數(shù)化的，如Section、BridgeSheet、FaceBlend、SoftBlend、TrimmedSheet、OffsetSheet。有些方法常用于曲面與曲面之間的過渡，如FaceBlend、SoftBlend等。實體建模操作中有布爾運算Unite、Subtract和Intersect，面操作Taper、PatchBody、SimplifyBody等，體操作Hollow、Thread、Sew、WrapGeometry、Scale、TrimBody、SplitBody、PromoteBody等，還有邊緣操作、特征操作等等。UG/OpenGRIP是UG軟件包中的一個模塊，是UGS公司提供的一個用于UG二次開發(fā)的軟件工具。UG/OpenGRIP語言用來創(chuàng)立類似FORTRAN一樣的程序，與Unigraphics系統(tǒng)集成。由于GRIP與Unigraphics系統(tǒng)緊密集成，所以，利用GRIP程序，可以完成與Unigraphics的各種交互操作。例如，調用一些實體生成語句，創(chuàng)立幾何體和制圖實體，可以控制UG系統(tǒng)參數(shù)，實現(xiàn)文件管理功能，可以存取UG數(shù)據(jù)庫，提取幾何體的數(shù)據(jù)和屬性，可以編輯修改已存在的幾何體參數(shù)等。GRIP還有一些交互命令用于控制實體狀態(tài)、對話菜單的選擇以及調用UG的通用的構造子功能等。此外，GRIP語言與一般的通用語言一樣，有完整的語法規(guī)那么，程序結構，內部函數(shù)，以及與其它通用語言程序的相互調用等。GRIP程序同樣要經過編譯、鏈接后，生成可執(zhí)行程序，才能運行。UG作為一個高度集成的CAD/CAM/CAE軟件系統(tǒng)，具有強大的建模和加工功能，所以本文選用UG/CAD系統(tǒng)對葉輪零件進行三維建模?；赨G的整體葉輪造型圖紙給定的葉輪為一直徑160mm，高58mm的整體半封閉式葉輪，葉輪圖紙及局部點數(shù)據(jù)如附錄A中所示。葉輪模型的整體構造過程如流程圖3-2所示：離散點數(shù)據(jù)離散點數(shù)據(jù)葉片B-曲線葉片B-曲面輪轂截面曲線葉片輪轂整體葉輪布爾并運算圖3-2葉輪CAD造型流程圖離散點插值的UG/OPENGRIP實現(xiàn)由于圖紙給定的數(shù)據(jù)點很多，每條用來生成曲面的B-曲線需要由幾十個離散點來生成，手工操作較為繁瑣?？梢赃\用UG/OPENGRIP中的BCUVE函數(shù)來實現(xiàn)曲線的樣條插值。此函數(shù)的功能是通過一系列點生成B-曲線或將這些點作為控制頂點生成B-曲線[17]。格式：objlist=BCURVE/objlist1[,VERT[,numlist]][,DEGREE,num[,CLOSED]][,IFERR,label:]objlist：生成的B-曲線；objlist1：用于生成B-曲線的一系列點；VERT：輔詞，用于確定是否將這些點作為控制頂點來生成B-曲線，為可選項；numlist：每個點所對應的權重系數(shù)；DEGREE，num：B-曲線的階數(shù)，為可選項；CLOSED：輔詞，用于確定生成的B-曲線是否閉合，為可選項；IFERR，label：錯誤信息輸出，為可選項。以葉片腹面上的兩條B樣條曲線〔蓋盤和軸盤曲線〕插值為例，來介紹B樣條程序：Entity/pt(48),obj(2)Pt(1)=point/,,7.0000P……PPPt(25)=point/,,Pt(26)=point/,,……Pt(47)=point/,,Pt(48)=point/,,Obj(1)=BCURVE/pt(1..24),degree,3Obj(2)=BCURVE/pt(25..48),degree,3halt生成的葉腹面蓋盤和軸盤曲線如圖3-3所示。圖3-3生成的葉腹面蓋盤和軸盤曲線在本文中，葉片腹面蓋盤曲線參數(shù)點和腹面軸盤曲線參數(shù)點坐標值〔單位：mm〕分別如下表3-1和3-2所示：表3-1表3-2XYZ7.0000XYZ葉片曲面的直紋面生成三元整體葉輪曲面的直紋面的生成一般有兩種方法。第一種方法，一般的葉片造型為圖紙給出，如圖3-4所示，蓋盤和軸盤用兩組離散點進行B樣條插值計算。根據(jù)離散點的插值可求得n+3個控制點給出的插值n+1個數(shù)據(jù)點的蓋盤曲線。同理，可求得葉輪的軸盤曲線。將蓋盤曲線和軸盤曲線上的對應點相連，那么形成葉片中性面，它為一扭曲的非可展直紋曲面，其方程為：式中：為直母線參數(shù)。蓋盤曲線軸盤曲線蓋盤曲線軸盤曲線圖3-4蓋盤與軸盤曲線構造葉片直紋曲面第二種方法，以上面所生成的兩條B樣條曲線為準線，可以生成葉片的直紋曲面。同樣可以利用UG/OPENGRIP的直紋面函數(shù)直接在GRIP環(huán)境下生成直紋面[18]。obj=RLDSRF/ent1,[point1],ent2[,point2]obj：生成直紋面；ent：選取或定義用來生成直紋面的圖元如直線或曲線；point：選取或定義用來控制方向的參考點；由節(jié)例子中的兩條B-曲線生成直紋曲面的程序如下：Entity/LN(2)