專題17 旋轉(zhuǎn)相似模型-2024年中考數(shù)學(xué)核心幾何模型重點(diǎn)突破（解析版）

專題17旋轉(zhuǎn)相似模型內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析→典例分析→模型演練內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析→典例分析→模型演練【模型】如圖，在△ABC中，已知DE//BC,可知△ADE∽△ABC,將△ADE【例1】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，連接AF,以AF為對(duì)角線作正方形AEFG,邊FG與正方形ABCD的對(duì)角線AC相交于點(diǎn)H,連接DG.以下四個(gè)結(jié)論：①∠EAB=∠GAD;②△AFC∽△AGD;③2AE2=AH·AC;④DG⊥AC.其中正確的個(gè)數(shù)【分析】①四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，∠EAB、∠GAD與∠BAG的和均∠DAG=∠CAF,然后問(wèn)題可證；③由四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，可求證【解析】解：①∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形又∵∠EAB=90°-∠BAG,∠GAD=90°-∠BAG②∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形即③∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AF、AC為對(duì)角線即AF2=AC·AH又∵AF=√2AE又∵四邊形ABCD為正方形，AC為對(duì)角線∴DG在正方形另外一條對(duì)角線上【例2】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,線段CE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，且CE=3,連接BE,以BE為邊作正方形BEFG,M為AB邊的中點(diǎn)，當(dāng)線段FM的長(zhǎng)最小時(shí)，【分析】連接BD,BF,FD,證明△EBC∽△FBD,根據(jù)題意，知道M,F,D三點(diǎn)一線時(shí)，F(xiàn)M最小，然后過(guò)點(diǎn)M作MG⊥BD,垂足為G,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理分別求出MG和DG的長(zhǎng)，再根據(jù)正切的定義計(jì)算即可.【解析】解：連接BD,BF,FD,如圖，由題意知：FM、DF、DM三條線段滿足FM+DF≥MD,其中DM、DF的值一定，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BD,垂足為G,·【例3】【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1,在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D為斜邊BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是【探究證明】如圖2,在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C,D,E在同一條直線上時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置【拓展延伸】如圖3,在Rt△BCD中，∠BCD=90°,BC=2CD=4,過(guò)點(diǎn)C作CA⊥BD于A.將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為α(0?<a<360°),當(dāng)C,D,E在同一條直線上時(shí)，畫(huà)出圖形，并求出線段BE的長(zhǎng)度.【分析】(1)證明△BAD≌△CAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；(2)連接BD,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及垂直的定義即可得到結(jié)論；(3)如圖3,過(guò)A作AF⊥EC,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論.【解析】解：(1)BD=CE,BD⊥CE;(3)如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CE,垂足為點(diǎn)F.,小值時(shí)，線段EG的長(zhǎng)為()在△PEF與△DAE中，∴點(diǎn)F在∠BCP的平分線上，如圖2,作點(diǎn)B關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)M,連接AC、BM,連接AM交直線CF于點(diǎn)F,此∵點(diǎn)B關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)M,∴四邊形ABMC為平行四邊形，設(shè)DE=x,由圖1知，PE=PC=DE=x,2.如圖，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)F是CD邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合).點(diǎn)P為DE上一動(dòng)點(diǎn)，PE<PD,將∠DPF繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后交射線DA于H,G兩點(diǎn)，有下列結(jié)論：①DH=DE;②DP=DG;③DG+DF=√2DP;④DP·DE=DH·DC,其中一定正確的是()A.①②B.②③C.①④【答案】D【解析】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠DPH=∠GPF=90°,∵DE平分∠ADC,∴△GPH=△DPF(ASA)即DP·DE=DH·DC,其中正確的個(gè)數(shù)是()其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1B.2∠GCG'=∠ACA',即可判斷②,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以判斷③,根據(jù)如圖，連接AG,A'G',④點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)是故④錯(cuò)誤，4.如圖，四邊形ABCD為正方形，將△EDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△HBC,點(diǎn)D,B,H在同一直線上，HE與AB交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)HE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,HB=2,HG=3.以其中正確結(jié)論的個(gè)【答案】D【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質(zhì)可知②正確；證明△GBH∽△EDC,得到,即利用△HEC是等腰直角三角形，求出再證明△HGB∽△HDF即可求出EF=3可知③正確；可知④正確.【解析】解：∵△EDC旋轉(zhuǎn)得到△HBC,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,,,∵△HEC是等腰直角三角形，∴HG=EF,故③正確；過(guò)點(diǎn)E作EM⊥FD交FD于點(diǎn)M,∵△AFE~△DFC,AD=kAB(k為常數(shù)),則BD的長(zhǎng)為.(用含k的式子表示)【分析】連接AC,將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ACG,連接DG,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出DG=kBC,然后根據(jù)題意推出∠CDG=90°,即可利用勾股定理求解.【解析】解：如圖，連接AC,∴BC=4,AE垂直平分BC,AB=將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ACG,如圖所示，連接DG,則AD=AG,BD=CG,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠BAC=∠DAG,7.如圖，在△ABC中，AB=5,D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF,當(dāng)點(diǎn)即可求得點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).【解析】如圖：作GB⊥BC于B,取GB=BC,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，則點(diǎn)E與點(diǎn)G重合，8.已知正方形DEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的一邊AD的延長(zhǎng)線上，連結(jié)AG,CE交于點(diǎn)H,若AB=3,DE=√2,則CH的長(zhǎng)為【分析】連接EG,與DF交于N,設(shè)CD和AH交于M,證明△ANG∽ADM,得到從而求出DM的長(zhǎng)，再通過(guò)勾股定理算出AM的長(zhǎng)，通過(guò)證明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE,從而說(shuō)明△ADM∽△CHM,得到最后算出CH的長(zhǎng).【解析】解：連接EG,與DF交于N,設(shè)CD和AH交于M,即9.將一副三角尺(在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=60°;在Rt△DEF中，∠EDF=90°,∠E=45°)如圖①擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P,DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角a(0?<a<60°),DE'交AC于點(diǎn)M,DF'交BC于點(diǎn)N,則【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得,根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠ACD=∠A,再求出∠ADC=120°,再根據(jù)∠ADE=∠ADC-∠EDF計(jì)算得30°,根據(jù)同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN,再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD=60°,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CPD=60°,從而得到∠CPD=∠BCD,似判斷出△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得結(jié)論.【解析】解：∵∠ACB=90°,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，轉(zhuǎn)得到△DCE.連接DA、BE,直線DA、BE交于點(diǎn)F,(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段CF的最大值是將△ACB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐?故當(dāng)C,H,F共線時(shí)，CF最大為FH+CH=√5(2)取AB的中點(diǎn)H,連接CH,FH,設(shè)EC,DF交于點(diǎn)G,如圖：三、解答題11.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC=∠EDF=30°,∠BAC=∠DEC=90°,BC與DF在同【答案】△BDC和△AEC的面積分別為2和·【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M,根據(jù)30°所對(duì)直角邊為斜邊一半，分別求出BC、DC的長(zhǎng)度，且證△BDC∽△AEC,在Rt△DMC中，可得DM=1,即△BDC的面積可求，且即△AEC的面積可求.【解析】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M,,∴△BDC和△AEC的面積分別為2和12.在同一平面內(nèi)，如圖①,將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AED=90°.如圖②,若△ABC固定不動(dòng)，把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點(diǎn)分別為M、N點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合).【探究】求證：△BAN∽△CMA.【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4.(1)BN·CM的值為(2)若BM=CN,則MN的長(zhǎng)為【探究】利用三角形外角的性質(zhì)可證∠BAN=∠AMC,又由∠B=∠C=45°,可證明結(jié)論；【應(yīng)用】(1)首先求出等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)，再由△BAN∽△CMA,得則BN·CM=8;(2)由BM=CN,答案.【解析】【探究】∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°,【應(yīng)用】(1)∵等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4,故答案為：8;EDPAC.圖1(1)如圖2,將△FCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P、G分別為EF、AB的中點(diǎn)，若AF=9,(2)如圖3,將△DEB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)H、G為AB、DB的中點(diǎn)，直接寫(xiě)出的值.【答案】(1)7.5;(2)【分析】(1)連結(jié)PC,GC,易得△PCG~△FCA,得到比例線段計(jì)算即可(2)運(yùn)用三角形相似得到比例線段，計(jì)算即可【解析】(1)連結(jié)PC,GC,可證△PCG~△FCA,PG:AF=PG:FC,PG=7.514.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AC-CB-BA方向繞行△ABC一周，動(dòng)直線1從AC開(kāi)始，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，分別交AB、BC于D、E兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，直線l也停止運(yùn)動(dòng).(1)求點(diǎn)P到AB的最大距離；(2)當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恰好與AB垂直，求此時(shí)t的值.(3)當(dāng)點(diǎn)P關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F時(shí)，四邊形PEFD能否成為菱形?若能，直接寫(xiě)出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最大，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F,根(2)①分別求出DG和PG的長(zhǎng)，求出,即可得②證明(3)分當(dāng)點(diǎn)P在AC上、當(dāng)點(diǎn)P在BC上和當(dāng)點(diǎn)P在AB上三種情況列式求解即可.【解析】解：(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最大，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最大，最大值為Rt△ABC斜邊AB上的高CF,(2)①當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,則有AP=3t,CE=t,如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G,則四邊形CEDG是矩形，即.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠2=∠3,·:;(3)因?yàn)辄c(diǎn)F是點(diǎn)P關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)，即DE垂直平分PF,所以，當(dāng)PF也垂直平分DE時(shí)，四邊形PEFD為菱形.①當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，若PF垂直平分DE,則有;③當(dāng)點(diǎn)P在BA上時(shí)，若點(diǎn)P在直線l的右側(cè)，類比①可得：綜上，當(dāng)時(shí)，四邊形PEFD為菱形.,(1)如圖①,△ABC與△ADE都是等邊三角形，直線BD,CE交于點(diǎn)F.直線BD,AC交于點(diǎn)H.