人教A版(選修)生活中的優(yōu)化問題舉例三課時

教學目標：掌握利用導數求函數最大值和最小值的方法.會求一些實際問題〔一般指單峰函數〕的最大值和最小值.-------面積、容積最大〔最小〕問題教學重點：利用導數求函數最值的方法.用導數方法求函數最值的方法步驟教學難點：對最值的理解及與極值概念的區(qū)別與聯系.求一些實際問題的最大值與最小值〔三課時〕第一章導數及其應用吳川一中

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陳智敏高二【16、22】專用1.3導數在研究函數中的應用人教版A數學選修2-2§1.3.3函數的最大（?。┲蹬c導數知識回顧一、如何判斷函數的單調性？f(x)為增函數f(x)為減函數設函數y=f(x)在

某個區(qū)間內可導，二、如何求函數的極值與最值？求函數極值的一般步驟（1）確定定義域（2）求導數f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判斷求f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)內極值；(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b）比較,從而確定函數的最值。如何用導數來求函數的最值？一般地，假設函數y=f(x)在[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么求f(x)的最值的步驟是：〔1〕求y=f(x)在[a，b]內的極值(極大值與極小值)；〔2〕將函數的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.特別地，如果函數在給定區(qū)間內只有一個極值點，那么這個極值一定是最值。復習鞏固知識背景：生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.通過前面的學習，我們知道，導數是求函數最大〔小〕值的有力工具，本節(jié)我們運用導數，解決一些生活中的優(yōu)化問題.第一章導數及其應用吳川一中

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陳智敏高二【16、22】專用人教版A數學選修2-2§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例【1】想一想！看一看！

這是什么？？？海報！

如果你是制作海報的？海報的大小對你有什么影響？？？例：海報版面尺寸的設計

學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F讓你設計一張如圖3.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最小？圖3.4-1

分析：已知版心的面積，你能否設計出版心的高，求出版心的寬，從而列出海報四周的面積來？

例題

你還有其他解法嗎？例如用基本不等式行不？因此，x=16是函數S(x)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。解法二：由解法(一)得例題2、在實際應用題目中，若函數f(x)在定義域內只有一個極值點x0，則不需與端點比較，f(x0)即是所求的最大值或最小值.1、設出變量找出函數關系式；(所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間)確定出定義域；所得結果符合問題的實際意義。解題說明練習1：將一段長為12cm的鐵絲圍成一個矩形，那么這個矩形面積的最大值為多少？解：結論：周長為定值的矩形中，正方形的面積最大。

練習練習2:某養(yǎng)雞場是一面靠墻,三面用鐵絲網圍成的矩形場地.如果鐵絲網長40m,問靠墻的一面多長時,圍成的場地面積最大?y′=-x+20令y′=0得,x=20當0<x<20時,y′>0,當20<x<40時,y′<0.∴x=20時,y最大=20×10=200.答:靠墻的一面長20m時,圍成的場地面積最大,為200m2.

練習練習3:在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個無蓋的方底鐵皮箱.箱底邊長為多少時,箱子容積最大?最大容積是多少?xh

練習xh解：設箱底邊長為x,箱子容積為由解得x1=0(舍),x2=40.當x∈(0,40)時,V'(x)>0;當x∈(40,60)時,V'(x)<0.∴函數V

(x)在x=40處取得極大值,這個極大值就是函數V

(x)的最大值.答當箱箱底邊長為40cm時,箱子容積最大,最大值為16000cm3練習4:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?Rh解設圓柱的高為h,底面半徑為R.那么外表積為S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.可以判斷S(R)只有一個極值點,且是最小值點.答:罐高與底的直徑相等時,所用材料最省.由上述例子，我們不難發(fā)現，解決優(yōu)化問題的根本思路是：優(yōu)化問題用函數表示的數學問題用導數解決數學問題優(yōu)化問題的答案上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數學建模過程。

小結解決生活中的優(yōu)化問題的根本步驟1、建立實際問題的數學模型，寫出函數關系式；2、求函數的導數，求出極值點;3、確定最大（?。┲?；4、作答。

小結要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則其高為（）

B.100C.20D.A.練習5:A課后練習作業(yè)P37習題1.4A組5第一章導數及其應用吳川一中

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陳智敏高二【16、22】專用人教版A數學選修2-2§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例【2】

問題

飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎?你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數學上知道它的道理嗎?是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?情景問題規(guī)格（L）21.250.6價格（元）5.14.52.5例2：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產品，假設它們的價格如下表所示，那么〔1〕對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？〔2〕對制造商而言，哪一種的利潤更大？某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，(１)瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？(２〕瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最??？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+減函數↘增函數↗-1.07p∴每瓶飲料的利潤：解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是例題當半徑r＞２時，f’(r)>0它表示f(r)單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑r＜２時，f’(r)<0它表示f(r)單調遞減，

即半徑越小，利潤越低．1.半徑為２cm時，利潤最小，這時表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的本錢，此時利潤是負值２．半徑為６cm時，利潤最大例題思考！練習1:某工廠生產x件產品的本錢為c=2500+200x+x2(元).(1)要使平均本錢最低,應生產多少件產品?(2)假設產品以每件500元售出,要使利潤最大,應生產多少件產品?答:生產100件產品時,平均本錢最低為250元.練習練習2：某廠每天生產x件產品的本錢為假設要使平均本錢最低，那么每天應生產多少件產品？解：設平均本錢為y元，每天生產x件產品，那么∴每天應生產1000件產品

練習練習3：某廠每天生產x件產品的本錢為:變題：假設受到設備的影響，該廠每天至多只能生產800件產品，那么要使平均本錢最低，每天應生產多少件產品呢？解：設平均本錢為y元，每天生產x件產品，那么練習練習4：某廠每天生產x件產品的本錢為變題：假設受到產能的影響，該廠每天至多只能生產800件產品，那么要使平均本錢最低，每天應生產多少件產品呢？∴函數在(0，1000)上是減函數故每天應生產800件產品練習根本不等式法：“一正、二定、三相等、四最值〞；導數法：一定義域、二導數符號、三單調性、四最值〞。歸納練習5.某商品每件本錢9元,售價為30元,每星期賣出432件,如果降低價格,銷售量將會增加,且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值x(單位:元,0≤x≤30)的平方成正比,商品單價降低2元時,一星期將多賣出24件.(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數;(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大?練習解：(1)設商品降價x元,那么多賣出的商品件數為kx2,假設記商品一個星期的獲利為f(x),那么依題意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).又由條件,24=k×22,于是有k=6.∴f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30].練習(2)根據(1)有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:x[0,2)2(2,12)12(12,30]f′(x)-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↘故x=12時,f(x)到達極大值,∵f(0)=9072,f(12)=11664,∴定價為30-12=18(元)能使一個星期的商品銷售利潤最大.練習【用料問題】練習6：(2021·湖南高考)某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩墩相距m米,余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經測算,一個橋墩的工程費用為256萬元;距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元.假設橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點,且不考慮其他因素,記余下工程的費用為y萬元.(1)試寫出y關于x的函數關系式;(2)當m=640米時,需新建多少個橋墩才能使y最小?

練習練習練習作業(yè)P37習題1.4A組6第一章導數及其應用吳川一中

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陳智敏高二【16、22】專用人教版A數學選修2-2§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例【3】問題3、磁盤的最大存儲量問題(1)你知道計算機是如何存儲、檢索信息的嗎？(2)你知道磁盤的結構嗎？(3)如何使一個圓環(huán)狀的磁盤存儲盡可能多的信息？例題Rr例3：現有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)行區(qū)域。是不是r越小，磁盤的存儲量越大？(2)r為多少時，磁盤具有最大存儲量〔最外面的磁道不存儲任何信息〕？例題解：存儲量=磁道數×每磁道的比特數設存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，每比特所占用的磁道長度不得小于n，且最外面的磁道不存儲任何信息，所以磁道最多可達又由于每條磁道上的比特數相同，為獲得最大的存儲量，最內一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數可到達所以，磁道總存儲量〔1〕它是一個關于r的二次函數，從函數的解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大.例題解：存儲量=磁道數×每磁道的比特數(2)為求f(r)的最大值，先計算例題解得例題練習1：甲?乙兩地相距400千米,一汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過100千米/時.該汽車每小時的運輸本錢t(元)關于速度x(千米/時)的函數關系式是(1)當汽車以60千米/時的速度勻速行駛時,全程運輸本錢為多少元?(2)為使全程運輸本錢最少,汽車應以多少速度行駛?并求出此時運輸本錢的最小值.練習[分析]根據全程運輸本錢=每小時運輸本錢×運輸總時間建立函數關系式,然后利用導數方法求最值.答:汽車以60千米/小時的速度勻速行駛時,全程運輸本錢為1500元.練習練習 練習3.某單位用2160萬元購得一塊空地,方案在該塊地上建造一棟至少10層,每層2000平方米的樓房,經測算,如果將樓房建為x(x≥10)層,那么每平方米的平均建筑費用為560+48x(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應建為多少層?(注:平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用,平均購地費用練習答:為了樓房每平方米的綜合費用最少,該樓房應建為15層.練習【汽油使用效率何時最高】我們知道，汽油的消耗量w(單位:L)與汽車的速度v(單位:km/h)之間有一定的關系，汽車的消耗量w是汽車速度v的函數.根據實際生活，思考下面兩個問題：〔1〕是不是汽車的速度越快，汽油的消耗量越大?〔2〕當汽車的行駛路程一定時，是車速快省油還是車速慢的時候省油呢？一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我們就說汽油的使用效率越高〔即越省油〕。假設用G來表示每千米平均的汽油消耗量，那么這里的w是汽油消耗量，s是汽車行駛的路程如何計算每千米路程的汽油消耗量？例、通過研究，人們發(fā)現汽車在行駛過程中，汽油的平均消耗率g〔即每小時的汽油消耗量，單位:L/h〕與汽車行駛的平均速度v〔單位:km〕之間，有如圖的函數關系g=f(v)，那么如何根據這個圖象中的數據來解決汽油的使用效率最高的問題呢？v(km/h)g(L/h)O12090305051015分析：每千米平均的汽油消耗量，這里w是汽油消耗量，s是汽車行駛的路程∵w=gt，s=vtP(v，g)的幾何意義是什么？如下圖，表示經過原點與曲線上的點P(v，g)的直線的斜率k所以由右圖可知，當直線OP為曲線的切線時，即斜率k取最小值時，汽油使用效率最高例3、經統(tǒng)計說明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y〔升〕關于行駛速度x〔千米/小時〕的函數解析式可以表示為：假設甲、乙兩地相距100千米?！睮〕當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油為升;〔II〕假設速度為x千米/小時，那么汽車從甲地到乙地需行駛小時，記耗油量為h(x)升，其解析式為:.(III)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？17.5

例3、經統(tǒng)計說明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y〔升〕關于行駛速度x〔千米/小時〕的函數解析式可以表示為：假設甲、乙兩地相距100千米。(III)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解：設當汽車以xkm/h的速度行駛時，從甲地到乙地的耗油量為h(x)L，那么xy練習：如圖,在二次函數f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內接矩形ABCD,求這個矩形的最大面積.解:設B(x,0)(0<x<2),那么A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=4-2x.故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令