離散數(shù)學(xué)-函數(shù)

5-1函數(shù)的基本概念一.概念定義：X與Y集合，f是從X到Y(jié)的關(guān)系，如果任何x∈X，都存在唯一y∈Y，使得<x,y>∈f,則稱f是從X到Y(jié)的函數(shù)，(變換、映射)，記作f:X

Y,或XY.

如果f:X

X是函數(shù),也稱f是X上的函數(shù).下面給出A={1,2,3}上幾個關(guān)系，哪些是A到A的函數(shù)？1。2。。1。2。。1。2。。1。2。。3333R2R1R3R4.1下面哪些是R到R的函數(shù)？f={<x,y>|x,y∈R∧y=}g={<x,y>|x,y∈R∧x2+y2=4}h={<x,y>|x,y∈R∧y=x2}r={<x,y>|x,y∈R∧y=lgx}v={<x,y>|x,y∈R∧y=}__1x√x.22.定義域、值域和陪域(共域)設(shè)f:XY,

f的定義域(domain)，記作domf，或Df即

Df=domf={x|x∈X∧y(y∈Y∧<x,y>

f)}=Xf的值域(range)：記作ranf，或Rf

即或f(X)Rf=ranf=f(X)={y|y∈Y∧x(x∈X∧<x,y>

f)}

f的陪域(codomain):即是Y(稱之為f的陪域)。.3二.函數(shù)的表示方法

有枚舉法、關(guān)系圖、關(guān)系矩陣、謂詞描述法。

三.從X到Y(jié)的函數(shù)的集合YX：

YX={f|f:XY}YX：它是由所有的從X到Y(jié)函數(shù)構(gòu)成的集合例X={1,2,3}Y={a,b}求所有從X到Y(jié)函數(shù)．結(jié)論：若X、Y是有限集合，且|X|=m，|Y|=n，則|YX|=|Y||X|=nm。從X到Y(jié)的關(guān)系=|P(XY)|=2nm.規(guī)定：從?到?的函數(shù)只有f=?。從?到Y(jié)的函數(shù)只有f=?。若X≠?，則從X到?的函數(shù)不存在。.4四.特殊函數(shù)

1.常值函數(shù)：函數(shù)f:XY，如果y0∈Y,使得對x∈X,有f(x)=y0,即ranf={y0},稱f是常值函數(shù)。2.恒等函數(shù)：恒等關(guān)系IX是X到X函數(shù)，即IX:XX,稱之為恒等函數(shù)。顯然對于x∈X，有IX(x)=x。五.兩個函數(shù)相等

設(shè)有兩個函數(shù)f:ABg:AB,f=g當(dāng)且僅當(dāng)對任何x∈A，有f(x)=g(x)。

.5六.函數(shù)的類型

例子：X1

Y。。。。。123ab。csX

Y。。。。。123ab4。。cgX1

Y1。。。。。123abd。。chX

Y。。。。。123ab4。。cfRf=YRs=YRgYRhY1一對一一對一.6函數(shù)的類型1.滿射的：f:XY是函數(shù)，如果ranf=Y,則稱f是滿射的。2.入射的：f:XY是函數(shù)，如果對于任何x1,x2∈X,如果

x1≠x2

有f(x1)≠f(x2),(或者若f(x1)=f(x2),則x1=x2),則稱f是入射的，也稱f是單射的，也稱f是一對一的。3.雙射的：f:XY是函數(shù)，如果f既是滿射的，又是入射的，則稱f是雙射的，也稱f是一一對應(yīng)的。特別地：：

Y是單射；：

是雙射。

思考題：如果f:XX是入射的函數(shù)，則必是滿射的，所以f也是雙射的。此命題在什么條件下成立嗎？.75-2函數(shù)的復(fù)合

關(guān)系的復(fù)合：設(shè)R是從X到Y(jié)的關(guān)系，S是從Y到Z的關(guān)系，則R和S的復(fù)合關(guān)系記作R

S。定義為：

R

S={<x,z>|x

X

z

Z

y(y

Y

<x,y>

R

<y,z>

S)}.8函數(shù)的復(fù)合定義：設(shè)f:X

Y,g:W

Z是函數(shù),若f(X)W,則g

f={<x,z>|x

X

z

Z

y(y

Y

<x,y>

f

<y,z>

g)}稱為g在f的左邊可復(fù)合。.9定理：兩個函數(shù)的復(fù)合是一個函數(shù)。證明：設(shè)f:X

Y,g:W

Z是函數(shù),且f(X)W。（1）對任意的xX，因?yàn)閒是函數(shù)，故存在唯一的序偶<x,y>，使得y=f(x)成立,而f(x)f(X)W,又因?yàn)間是函數(shù)，故存在唯一的序偶<y,z>，使得z=g(y)成立，根據(jù)復(fù)合定義，<x,z>g°f,即domg°f=X.（2）假設(shè)<x,z1>g°f且<x,z2>g°f，由復(fù)合定義存在y1Yy2Y，使得<x,y1>f<y1,z1>g<x,y2>f<y2,z2>g,由于f、g為函數(shù)，所以有，y1=y2，因而z1=z2。由（1）、（2）得g°f是X到Z的函數(shù)。.102023/12/811函數(shù)的復(fù)合一.定義:f:X

Y,g:Y

Z是函數(shù),則定義g

f={<x,z>|x

X

z

Z

y(y

Y

<x,y>

f

<y,z>

g)}則稱g

f

為f與g的復(fù)合函數(shù)(左復(fù)合).結(jié)論:g

f(x)=g(f(x))二.復(fù)合函數(shù)的計(jì)算計(jì)算方法同復(fù)合關(guān)系的計(jì)算.

.12

例f:X

Y,g:Y

ZX={1,2,3}Y={1,2,3,4,}Z={1,2,3,4,5,}f={<1,2>,<2,4>,<3,1>}g={<1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1>}則g

f＝用關(guān)系圖復(fù)合:三.函數(shù)復(fù)合的性質(zhì)定理1（滿足可結(jié)合性）。f:X

Y,g:Y

Z,h:Z

W是函數(shù),則(h

g)

f=h

(g

f)。3。2。1。3。2。1。4XYZ。3。2。1。4。5。3。2。1。3。2。1。4。5XZg

ffg.13定理2.f:X

Y,g:Y

Z是兩個函數(shù),則

⑴如果f和g是滿射的，則g

f

也是滿射的；

⑵如果f和g是入射的，則g

f

也是入射的；

⑶如果f和g是雙射的，則g

f

也是雙射的。證明：⑴設(shè)f和g是滿射的，因g

f:XZ,任取z∈Z,因g:Y

Z是滿射的，所以存在y∈Y,使得z=g(y),又因f:X

Y是滿射的，所以存在x∈X,使得y=f(x),于是有z=g(y)=g(f(x))=g

f(x),所以g

f

是滿射的。⑵設(shè)f和g是入射的，因g

f:XZ,任取x1,x2∈X,x1≠x2，因f:X

Y是入射的，f(x1)≠f(x2),而f(x1),f(x2)∈Y，因g:Y

Z是入射的，g(f(x1))≠g(f(x2))

即g

f(x1)≠g

f(x2)所以g

f

也是入射的。

.14定理3⑴如果gf

是滿射的，則g是滿射的；⑵如果gf

是入射的，則f是入射的；

⑶如果gf

是雙射的，則f是入射的和g是滿射的。定理4f:X

Y是函數(shù),則

f

IX=f且IY

f=f

。.155-3逆函數(shù)R是A到B的關(guān)系，其逆關(guān)系RC是B到A的關(guān)系。

RC={<y,x>|<x,y>R}f:XYfC:YX,是否是函數(shù)？。3。2。1。c。b。a。3。2。1。c。b。af:XYfC:YX.16定理1若f是XY的雙射，則fC是YX的函數(shù)。證明：（1）對任意的y∈Y，由f是雙射，得f是滿射，所以ranf=Y

故domfC=ranf=Y

（2）對任意的y∈Y，若存在x1∈X，x2∈X使

<y,x1>∈fC

且<y,x2>∈fC

則<x1,y>∈f且<x2,y>∈f

由于f是單射，有x1=x2。由（1）、（2），fC是YX的函數(shù)。.17逆函數(shù)的定義定義：設(shè)f是XY的雙射函數(shù)，則稱fC：YX為f的逆函數(shù)，并記f-1。定理：f-1是YX的雙射函數(shù)。證明：由于ranf-1=domf=X，所以，f-1是滿射。對任意x∈X，若存在y1,y2∈Y,使得

<y1,x>∈f-1

且<y2,x>∈f-1

則<x,y1>∈f且<x,y2>∈f，由于f是函數(shù)，所以y1=y2，即f-1是單射。因此，f-1是雙射。.18二.性質(zhì)1.定理1設(shè)f:XY是雙射的函數(shù)，則(f-1)-1=f。

2.定理2設(shè)f:XY是雙射的函數(shù)，則有

f-1

f=IX

且f

f-1=IY。證明：先證明定義域、陪域相等。因?yàn)閒:XY是雙射的，f-1:YX也是雙射的，所以

f-1

f:X

X,IX:X

X可見f-1

f與IX

具有相同的定義域和陪域。再證它們的對應(yīng)規(guī)律相同：x∈X，因f:XY，yY,使得y=f(x),又f可逆，故f-1(y)=x，于是

f-1

f(x)=f-1(f(x))=f-1(y)=x=IX(x)

同理可證

f

f-1

=IY。

.193.定理3令f:X

Y,g:Y

X是兩個函數(shù),如果g

f=IX

且f

g=IY,則g=f-1

。證明：⑴證f和g都可逆。因?yàn)間

f=IX，IX是雙射的，由關(guān)系復(fù)合性質(zhì)3得，f是入射的和g是滿射的。同理由

f

g=IY，得g是入射的和f是滿射的。所以f和g都可逆。⑵顯然f-1和g具有相同的定義域和陪域。X

Y。。。。。123ab。cf。。。123Xf-1。。。123X。。。123XIX.20⑶證明它們的對應(yīng)規(guī)律相同。任取yY，f-1(y)=f-1

IY(y)

=f-1

(f

g)

(y)

=(f-1

f)

g

(y)

=(