2023北京平谷區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京平谷高二（上）期末數(shù)學(xué)2023.1注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè)，共150分，考試時(shí)間為120分鐘．2．試題所有答案必須書(shū)寫(xiě)在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題紙交回，試卷按學(xué)校要求保存好．第Ⅰ卷選擇題（共40分）104401.3x+2y+1=0x在軸上的截距為（）1121312C.??D.A.B.3()，()，則線段）A1B2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（()2)2,3)0,1)A.B.C.D.3.一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同球，球的編號(hào)分別為23．從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，那么取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率為（）1132312A.B.C.D.D.6y=x4.已知圓x2+y2?3x++1=0關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)等于（m）332A.?B.?C.3325.已知平面mn，，直線，，下列命題中真命題是（）⊥，m⊥，則⊥⊥，n⊥，則∥若m∥n，m⊥，則n⊥A.若mB.D.，∥，n，則m∥nC.若m若m6.已知圓C：x2+y2?2y?4=0，直線l：3xy60，則直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為（+?=）A.10B.C.5D.27.“m0”是“方程x2?2+m=0表示雙曲線”（）A.充分而不必要條件C.充分必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件()，其圓心到直線3x+4y+13=0的距離的最小值為（）8.已知半徑為2圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.0B.1C.2D.69.某地區(qū)工會(huì)利用健步行APP”開(kāi)展健步走活動(dòng)．為了解會(huì)員的健步走情況，工會(huì)在某天從系統(tǒng)中隨機(jī)抽取了)7)))，57,9，，)))，)21100015,1717,19，，，名會(huì)員中步數(shù)少于千步的人數(shù)為（）A.B.C.D.x22y2210.1，分別是橢圓F+=1（a0P是橢圓上一點(diǎn)，且垂直于2b2ab35xcosF=軸，，則橢圓的離心率為（）123212A.B.C.D.252第卷非選擇題（共分）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共分，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線直線x+3y10的傾斜角為_(kāi)______________.?=12.北京市某高中有高一學(xué)生nn情況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取了一個(gè)容量為的樣本，其中高三學(xué)生有人，則的值等于______．x22y2?=（a085的值為_(kāi)___________．a(chǎn)13.已知雙曲線a16=2px（p0）的焦點(diǎn)為F0)，則拋物線C的方程是______；若M是C上一14.已知拋物線C：y2點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)，且M為N的中點(diǎn)，則=______．=1，P為W15.在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線W的方程是x2+y2+y面四個(gè)命題：①曲線W上的點(diǎn)關(guān)于軸，軸對(duì)稱(chēng)；xy②曲線W上兩點(diǎn)間的最大距離為22；1,1；22④曲線W圍成的圖形的面積小于③的取值范圍為．3則以上命題中正確的序號(hào)有______．三、解答題（本大題共6小題，共85ABCD?ABCD16.如圖，在正方體中，正方體的棱長(zhǎng)為2，E為的中點(diǎn)．11111⊥（1）求證：（2）求直線；1AD1E與平面所成角的正弦值；AD1E的距離．1（3BC到平面117.某公司招聘員工，指定三門(mén)考試課程，有兩種考試方案．方案一：考試三門(mén)課程，至少有兩門(mén)及格為考試通過(guò)；方案二：在三門(mén)課程中，隨機(jī)選取兩門(mén)，這兩門(mén)都及格為考試通過(guò)．假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的概率分別是0.5，，0.9，且三門(mén)課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響．求：（1）該應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率；（2）該應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)概率．x22y22518.已知橢圓C：+=1（ab04P為圓Mx：2+y=162ab3上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記線段OP與橢圓C交點(diǎn)為Q，求的取值范圍．19.某高中高一名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成720,30)，40)，，80,90，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示．（1）從總體的名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于的概率；（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)；（3）估計(jì)隨機(jī)抽取的名學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)；（4）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．20.如圖，四棱雉P?中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，EPD的中點(diǎn)．為（1）求證：PB∥平面AEC；（2）求證：平面PCD⊥平面APD；（3）設(shè)平面DAE與平面AEC夾角為60°，AP1，AD==3，求AB長(zhǎng)．x22y22(2,1)在橢圓C上，且右焦點(diǎn)+1ab0的兩個(gè)焦點(diǎn)是=()F1F2M，點(diǎn)21.已知橢圓C：，ab(2,0)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與直線OM平行，且與橢圓交于AB兩點(diǎn)．連接MA、與x軸交于2點(diǎn)D，．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；+=22（2）求證：．參考答案第Ⅰ卷選擇題（共40分）104401.【答案】D【解析】y=0xx【分析】令直線方程中的得出的值即是直線在軸上的截距.【詳解】令直線3x+2y+1=0中的y=0，1x得，31即直線3x+2y+1=0在軸上的截距為，x?3故選：D2.【答案】B【解析】【分析】通過(guò)空間直角坐標(biāo)系已知線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)求中點(diǎn)坐標(biāo)，只需將各坐標(biāo)相加并除以，即可得出中點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)()，()，A1B1+31+11+1線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，222即線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)是()，故選：B.3.【答案】C【解析】【分析】利用列舉法列出所有可能情況，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】從編號(hào)為、3、4的4個(gè)球中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，其可能結(jié)果有()，()，()，(3)，(4)，(4)共個(gè)，1,21,31,46其中滿足編號(hào)之和不大于4的有，()()共個(gè)，1,21,322613P==所以取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率故選：C4.【答案】B【解析】【分析】把圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為直線過(guò)圓心,點(diǎn)代入直線計(jì)算即可.y=xx2+y2?3x++1=0關(guān)于對(duì)稱(chēng),【詳解】因?yàn)閳A3m22y=x,?x2+y2?3x10的圓心++=所以直線過(guò)圓3m=?,解得m=?3，經(jīng)檢驗(yàn)，m=3滿足題意，即得22故選:B.5.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面垂直和面面垂直的性質(zhì)與判定定理、線面平行的判定定理和性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.m⊥，//【詳解】對(duì)于A：，A錯(cuò)誤，對(duì)于B：，m⊥，n⊥，由平行線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面可知，故B正確；對(duì)于C：m⊥，n⊥m，由面面垂直判定定理可知⊥若，故C錯(cuò)誤；//,n，m//n或與互為異面直線或與相交，故D錯(cuò)誤.mnmn對(duì)于D：故選：B.6.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)圓的一般方程求圓心和半徑再結(jié)合半徑弦長(zhǎng)和圓心到直線距離的關(guān)系式,計(jì)算即可.4044+?(?)【詳解】已知圓C：x2+y2?2y?4=0,所以圓心C(),半徑為==5,r230+1?62+25102圓心()到直線l：3x+y?6=0的距離d===C101010所以直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2r2?d2=25?=2=1044故選:A.7.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出方程表示雙曲線的條件，即可判斷出結(jié)論.m=0x2?2=?m不表示雙曲線；【詳解】若時(shí)，方程x2若m0時(shí)，方程2??2=?m+y2=1為雙曲線，則m0，x?m∴m0是方程x22=?m表示雙曲線的充分必要條件，故選：C.8.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)得到圓的圓心的軌跡方程，再利用點(diǎn)到線的距離公式求解.【詳解】半徑為2的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,b)，則(a2b2=4?+?(1,1)所以該圓的圓心的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓故圓心到直線3x+4y+13=0的距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離減半徑，即31+41+13205?2=?2=232+42故選：C.9.【答案】D【解析】【分析】分別求出健步走的步數(shù)在)，)))的人數(shù)，即得解.3,55,77,9，，【詳解】這1000名會(huì)員中健步走的步數(shù)在)內(nèi)的人數(shù)為)3,50.0221000=40；5,70.0321000=60；健步走的步數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為健步走的步數(shù)在7,9)內(nèi)的人數(shù)為0.0521000=100；健步走的步數(shù)在)內(nèi)的人數(shù)為0.0521000=100；40+60+100+100=300.所以這1000名會(huì)員中健步走的步數(shù)少于千步的人數(shù)為人.故選：D.10.A【解析】a,b,ca2=b2+c2計(jì)算即可得到離心率.【詳解】由已知cos1PF235cosF=x，且垂直于軸122b2=12c，又在橢圓中通徑的長(zhǎng)度為=，2a443sinFPF=,tanFPF=所以12125431F2cb2,tanF==2=故即122a2ac2e4==,2e+e?2=0,2a2?c21?e23(2e1e20?)(+)=又因?yàn)?e1,1e=解得2故選：A第卷非選擇題（共分）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共分，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線【答案】【解析】33【分析】由直線x+3y?1=0的斜率為k=?，得到tan=?,[0,180)，即可求解.00333【詳解】由題意，可知直線x+3y10的斜率為k=??=，33[00,1800)，解得=150，0設(shè)直線的傾斜角為，則tan=?,3即換線的傾斜角為1500.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問(wèn)題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.n【詳解】因?yàn)槌槿×艘粋€(gè)容量為的樣本，其中高三學(xué)生有11275=n=33，所以有n300+250+275故答案為：.13.【答案】【解析】1①.8②.y=x2a,b,c【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求出,再求漸近線方程即可.x22y2?=1（a0=【詳解】因?yàn)殡p曲線）的焦距為85,所以2c85,即a16又因?yàn)閏2=a2+b2,所以165=a2+16,即a2=64,可得a=8;1b因?yàn)殡p曲線漸近線方程為y===y=xx又因?yàn)閍8,b4,所以雙曲線漸近線方程為a21y=x故答案為:8;2y2=4x②.314.【答案】①.【解析】p=2px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,0,已知焦點(diǎn)坐標(biāo)求得2【分析】利用C：y2p,得到拋物線的方程；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得M的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義求得M到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而得到所求.=2px(p0)的焦點(diǎn)為F0)，可得p2，則拋物線C的方程是y=4x.=【詳解】拋物線C：y2212由M為的中點(diǎn)，N在軸上，的橫坐標(biāo)為，F(xiàn)的橫坐標(biāo)為，得M的橫坐標(biāo)為yN，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，pM是拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線C：y2=2px(p0)的準(zhǔn)線方程為x=?=?1,2p132=xM+=+1=，22FN=2FM=3.2y=4x；3.故答案為：15.【答案】①③【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,最值及圖像特征分別判斷命題即可.Px,y)在曲線W【詳解】對(duì)于①,設(shè)((?)Px,y也在曲線W的方程上因?yàn)榈姆匠躺?上的點(diǎn)關(guān)于軸，軸對(duì)稱(chēng)故①正確=1?y,又因?yàn)榍€W的方程是x+y=1?y+y,2x=1?2y0P(?x,y)也在曲線W的方程上,所以曲線Wxy=x2+y22+y+y=1,2對(duì)于③+y2=1?y,即得x22222,所以x1120y,=1?y,1,故③正確得21212y0時(shí),曲線Wy=1?x2),曲線WA1,0yxB對(duì)于④當(dāng)?shù)姆匠虨榕c軸交點(diǎn)與軸交點(diǎn),曲線W上的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)可以得到曲線的大致圖像,xW112曲線W圍成的圖形的面積大于4S=41=1,故④錯(cuò)誤;22=21=2對(duì)于②,如圖及曲線W的對(duì)稱(chēng)性可知,曲線W上兩點(diǎn)間的最大距離為,故②錯(cuò)誤;故答案①③三、解答題（本大題共6小題，共8516.）證明見(jiàn)解析2（2）（3）323【解析】AD,AB,AAx,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，向量法即可證）以A為原點(diǎn)，所在的直線分別為1出；AD1E（2）求出平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)線面角的向量公式即可求出；（3）根據(jù)點(diǎn)到平面的距離向量公式即可求出．【小問(wèn)1詳解】AD,AB,AAx,y,z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則以A為原點(diǎn)，所在的直線分別為1()()()A0,0,0,B2,0,D2,0,2,1()()AB=2,0AD=2,0,21ABAD1=20+02+20=0AB⊥AD1【小問(wèn)2詳解】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，()()()()A0,0,0,A0,0,2,D2,0,2,E2,111AA=(0,0,2)，AD1=(2,0,2)，AE=(2,1)，∴1n+2z=0y+z=0設(shè)平面的一個(gè)法向量為)，則，AD1En=(x,y,zn=x=?y=?1，∴n=(?2)，令z2，則AD1E所成角為，則sin=設(shè)直線與平面|＝1|n1422AD1E所成角的正弦值為||＝，故直線與平面．24+1+4313【小問(wèn)3詳解】∵(C2,0)，∴=(2,0,2)由（）知，平面所的法向量為n=(?2)，12AD1EBCn=0∴BC//平面E，111BCAD1EAD1E距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面的距離，所以到平面1n223()dAB=2,0，==|n|4+1+417.）0.75（2）0.43;【解析】）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接計(jì)算即可；（2）分情況結(jié)合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解.）記該應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的事件分別為A，B，C，PA=0.5PB0.6PC0.9則()，()=，()=，應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率：)+()+()+P(ABC)1PABCPABCPABC=(=+(?)+(?)0.50.60.910.50.60.9+0.51?0.6)0.90.50.610.9=0.27+0.27+0.18+0.03=0.75；13（2）應(yīng)聘者用方案二選擇任意兩科的概率為，考試通過(guò)的概率：131313(PAB)+(PBC)+(PAC)2=111=0.50.6+0.60.9+0.50.9333=0.1+0.18+0.15=0.43.x2y2+=118.）94（2）1,2【解析】）根據(jù)橢圓的離心率公式及b2=a2?c2，即可求得和的值，求得橢圓方程；x[?3，即可求得|PQ|的取值范圍；ab512（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式|OQ=4+【小問(wèn)1詳解】，根據(jù)，3]19c5由題意可知：2b=4，e==，b2=a2?c2=4，則a=3，c=5a3x2y2+=1；∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：94【小問(wèn)2詳解】PQ=OP?OQ=4?OQ由題意可知：，x219y12設(shè)()，則1Qx,y+=1，14495192=12+12=12+4?x21=4+∴，x3,3，當(dāng)=2x=3，當(dāng)1=3，x=0由∴時(shí)，時(shí)，11的取值范圍2；19.）（2）人（3）眾數(shù)為75；測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)為78.75（4）3:2【解析】）由對(duì)立事件結(jié)合頻率分布直方圖先得出數(shù)不小于的頻率，即可得出分?jǐn)?shù)小于的頻率，則可得出總體的名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于的概率估計(jì)值；（2）先由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于的頻率，即可得出分?jǐn)?shù)不小于的人數(shù)，在集合題意即可得出總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)；（3）總數(shù)為頻率分布直方圖中頻率最高的分?jǐn)?shù)區(qū)間的中間值，測(cè)評(píng)成績(jī)的分位數(shù)先得出從前到后的頻率之和為0.75時(shí)在那個(gè)區(qū)間，在通過(guò)頻率求出；（4）先由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于的學(xué)生人數(shù)，在通過(guò)已知得出樣本中的男女生比例，即可得出總體中男女生的比例估計(jì).【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于的頻率為：()0.02+0.04+0.0210=0.8，則分?jǐn)?shù)小于的頻率為：1?0.8=0.2，故從總體的名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于的概率估計(jì)為；【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于的頻率為：(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9，則分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為：100?1000.9?5=5人，5則總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為：500=25人；100【小問(wèn)3詳解】由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在區(qū)間70,80)的頻率最高，則隨機(jī)抽取的名學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)估計(jì)為75，由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)小于的頻率為0.4，分?jǐn)?shù)小于的頻率為0.8，則測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)落在區(qū)間70,80)上，0.350.470+10=78.75；則測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)為【小問(wèn)4詳解】(+)0.020.041010060=由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于的學(xué)生人數(shù)為人，因?yàn)闃颖局蟹謹(jǐn)?shù)不小于的男女生人數(shù)相等160=30所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于的男生人數(shù)為人，2又因?yàn)闃颖局杏幸话肽猩姆謹(jǐn)?shù)不小于，所以樣本中的男生共有2=人，則樣本中的女生共有?=人，所以總體中男生和女生人數(shù)的比例估計(jì)為60:40=3:2.20.）答案見(jiàn)解析3（2）答案見(jiàn)解析（）2【解析】）連BD交于O點(diǎn)，連接OE，由線面平行判定定理可證；（2）證明CD⊥平面則應(yīng)用面面垂直的判定定理證明即可；（3）建立空間坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用法向量的夾角公式運(yùn)算得出的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】連BD交于O點(diǎn)，連接OE，∵O為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn).∴//，OE平面AEC，PB平面AECPB//平面AEC【小問(wèn)2詳解】∵PA平面⊥ABCD，CDABCD平面，⊥CD，∵ABCD為矩形，⊥CD,PAPAD,DA又PAADA,=平面平面PAD∴CD⊥平面PAD，又CD平面．平面PCD⊥平面APD；【小問(wèn)3詳解】以A原點(diǎn)，以ABAD為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示，312設(shè)AB＝，則（，，，（，3，，（，3，（，，（，aA000Ca0D00P001E0，2312∴=（，3，0AE=（0，，AP=（0，，1，AC2顯然m=（1，，）為平面的一個(gè)法向量，+3y=0n設(shè)平面ACE法向量為n=（xy，z，即3，1n=0y+z=0223令z=3得n=（，﹣1，3a∵平面DAE與平面AEC夾角為60°，31mm=∴|cos＜，＞|||2，3a4+a2332a==解得，即AB．2x2y2+=121.）42（2）證明見(jiàn)解析【解析】(2,1)(2,0)即可得出MF22⊥x軸，再通過(guò)勾股定理即可得出，再結(jié)1）通過(guò)且