2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題14 角、相交線與平行線（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（強(qiáng)化訓(xùn)練）（全國通用）（教師版）

專題14角、相交線與平行線（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（強(qiáng)化訓(xùn)練）【考點(diǎn)1角、鐘面角、方向角】1．（2022·北京西城·北京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）下列四個(gè)圖形中，能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角的圖形是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．角還可以用一個(gè)希臘字母表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字表示．【詳解】解：能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個(gè)角的圖形是選項(xiàng)A中的圖，選項(xiàng)B，C，D中的圖都不能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個(gè)角的圖形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的概念，有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．角可以用三個(gè)大寫字母表示，其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．2．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）在3：30、6：40、9：00、12：20中，時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌茸畲蟮氖牵?/p>

）A．3：30 B．6：40 C．9：00 D．12：20【答案】D【分析】根據(jù)時(shí)針的旋轉(zhuǎn)角減去分針的旋轉(zhuǎn)角，可得答案．【詳解】解：A、3：30時(shí)時(shí)針與分針的夾角是90°?1B、6：40時(shí)時(shí)針與分針的夾角是30°×2?30°×40C、9：00時(shí)時(shí)針與分針的夾角是90°，D、12：20時(shí)時(shí)針與分針的夾角是30°×4?30°×20所以時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌茸畲蟮氖?2：20，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，利用了時(shí)針與分針的夾角是時(shí)針的旋轉(zhuǎn)角減去分針的旋轉(zhuǎn)角．3．（2022·河北邯鄲·校聯(lián)考三模）如圖，已知A，B為兩座海島，若一個(gè)燈塔在海島A北偏東65°的方向上，在海島B北偏西35°的方向上，則燈塔可以表示為（

）A．點(diǎn)C B．點(diǎn)D C．點(diǎn)E D．點(diǎn)F【答案】B【分析】根據(jù)方位角的定義，結(jié)合圖形分析即可解答．【詳解】解：一個(gè)燈塔在海島A北偏東65°的方向上，在海島B北偏西35°的方向上，則燈塔可以表示為：D點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，熟練掌握方位角的定義，并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東德州·校聯(lián)考中考模擬）在下列時(shí)間段內(nèi)時(shí)鐘的時(shí)針和分針會(huì)出現(xiàn)重合的是（

）A．5：20-5：26 B．5：26-5：27 C．5：27-5：28 D．5：28-5：29【答案】C【詳解】分析：解這個(gè)問題的難處在于時(shí)針轉(zhuǎn)過多大的角度，這就要弄清楚時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度的關(guān)系．每一小時(shí)，分針轉(zhuǎn)動(dòng)360°，而時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)30°，依據(jù)這一關(guān)系列出方程，可以求出．詳解：設(shè)：從5:20開始，經(jīng)過x分鐘，時(shí)針和分針會(huì)出現(xiàn)重合．此時(shí)分針指向4，時(shí)針與分針之間的夾角是30+20×0.5=40則：6x?0.5x=40x≈7.27，即從5:20開始，經(jīng)過大約7.27分鐘，時(shí)針和分針會(huì)出現(xiàn)重合，在5:27?5:28時(shí)間段內(nèi)重合.故選C.點(diǎn)睛：考查鐘面角，鐘面角里時(shí)針和分針的轉(zhuǎn)動(dòng)問題本質(zhì)上就是行程中的追擊問題，根據(jù)追擊問題的解題思路解方程即可.5．（2022·河北邯鄲·校考三模）如圖，∠AOB的一邊OB經(jīng)過的點(diǎn)是（

）A．P點(diǎn) B．Q點(diǎn) C．M點(diǎn) D．N點(diǎn)【答案】D【分析】組成角的兩邊是射線，射線的特點(diǎn)有：①只有一個(gè)端點(diǎn)；②直的；③向一邊無線延伸．據(jù)此可用直尺去連接OB，看矩形內(nèi)的哪個(gè)點(diǎn)在這條射線上即可．【詳解】解：畫出射線OB可知，經(jīng)過點(diǎn)N．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了角、射線的定義和畫法，解題的關(guān)鍵是知道射線是直的．【考點(diǎn)2對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角】6．（2022·河北保定·統(tǒng)考二模）下列四個(gè)圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)頂角的意義求解．【詳解】解：對(duì)頂角指的是有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角，所以A兩角只有一條邊互為反向延長(zhǎng)線，另一條邊沒有互為反向長(zhǎng)線，不符合題意；B兩角也是只有一條邊互為反向延長(zhǎng)線，另一條邊沒有互為反向長(zhǎng)線，不符合題意；C兩角有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角，符合題意；D兩角沒有公共頂點(diǎn)，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角的應(yīng)用，熟練掌握對(duì)頂角的意義是解題關(guān)鍵．7．（2022·陜西西安·二模）當(dāng)光線從空氣中射入某種液體中時(shí)，光線的傳播方向發(fā)生了變化，在物理學(xué)中這種現(xiàn)象叫做光的折射．如圖，AB⊥液面MN于點(diǎn)D，一束光線沿CD射入液面，在點(diǎn)D處發(fā)生折射，折射光線為DE，點(diǎn)F為CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若入射角∠1=50°，折射角∠2=36°，則∠EDF的度數(shù)為（

）A．14° B．16° C．18° D．25°【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等，計(jì)算角的差即可；【詳解】解：∵F點(diǎn)在CD延長(zhǎng)線上，∴∠1=∠FDB=50°，∴∠EDF=∠FDB-∠2=14°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的概念：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，且一個(gè)角的兩條邊分別是另一個(gè)角的兩條邊的反向延長(zhǎng)線，那么這兩個(gè)角就叫做對(duì)頂角．8．（2022·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個(gè)全等的等腰三角形拼成的，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．28° B．36° C．45° D．72°【答案】B【分析】根據(jù)題意可得五個(gè)全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個(gè)正五邊形，利用正多邊形內(nèi)角和可得∠EAB=∠ACD=108°，再由鄰補(bǔ)角得出∠ACB=∠EAC=72°，結(jié)合圖形代入求解即可．【詳解】解：如圖所示，五個(gè)全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個(gè)正五邊形，∴∠EAB=∠ACD=180°×(5?2)5∴∠ACB=∠EAC=180°?108°=72°，∴∠BAC=∠EAB-∠EAC=108°?72°=36°，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查正多邊形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．9．（2022·廣西玉林·校聯(lián)考一模）下列各圖中，∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角的是(

)A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可知：只有D圖中的是鄰補(bǔ)角，其它都不是．故選D．10．（2022·廣西河池·統(tǒng)考三模）如圖，直線a與b相交，∠1+∠2=240°，∠3=______．【答案】60°##60度【分析】先根據(jù)∠1=∠2，∠1+∠2=240°，求出∠1的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求解即可．【詳解】解：∵∠·1+∠2=240°，∠1=∠2，∴∠1=∠2=120°，∴∠3=180°-∠1=60°，故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，正確求出∠1的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3補(bǔ)角、余角】11．（2022·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？级＃?）已知∠α=35°19′，則∠α的余角等于______；（2）已知∠β的補(bǔ)角為120°37′46″，∠β=______°．【答案】

54°41′

59°22′14″【分析】（1）根據(jù)互余兩角之和為90°，可得出答案；（2）根據(jù)互補(bǔ)兩角之和為180°，可得出答案．【詳解】解：（1）∠α的余角=90°-∠α=90°-35°19'=54°41′，故答案為：54°41′；（2）∠β=180°-120°37′46″=59°22′14″．故答案為：59°22′14″．【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握：互余兩角之和為90°，互補(bǔ)兩角之和為180°．12．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）若兩個(gè)互補(bǔ)的角的度數(shù)之比為1∶2,則這兩個(gè)角中較小的角是______度.【答案】60【分析】余角是指如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么稱這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱互余，也可以說其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．補(bǔ)角是指如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫互為補(bǔ)角．其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角．可用未知數(shù)表示出這兩個(gè)互補(bǔ)角的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義，可列出方程求得它們的值，進(jìn)而可求出較小角的余角．【詳解】解：依題意，設(shè)這兩個(gè)互補(bǔ)的角的度數(shù)為x、2x；則有：x+2x=180°，解得：x=60°；∴90°-x=30°；故這兩個(gè)角中較小角的余角的度數(shù)是30°．故答案是：30°【點(diǎn)睛】此題綜合考查余角與補(bǔ)角，解答此類題一般先用未知數(shù)表示所求角的度數(shù)，再根據(jù)一個(gè)角的余角和補(bǔ)角列出代數(shù)式和方程求解．13．（2022·云南昆明·云大附中?？寄M預(yù)測(cè)）若∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠1互余，∠2+∠3=120°，則∠2?∠1=______．【答案】30°##30度【分析】根據(jù)余角與補(bǔ)角的定義即可求出答案．【詳解】解：∵∠1+∠2=180°，∠3+∠1=90°，∴180°?∠2=90°?∠3，即∠2?∠3=90°，∵∠2+∠3=120°，∴∠2?∠3=90°解得：∠2=105°∠3=15°∴∠1=75°，∴∠2?∠1=105°?75°=30°，故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查余角與補(bǔ)角的定義以及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是正確理解余角與補(bǔ)角的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．14．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，△EBF為等腰直角三角形，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，四邊形ABCD是正方形．⑴求證：△ABE≌△CBF；⑵CF與AE有什么特殊的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）CF⊥AE，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BE=BF，∠EBF=90°，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠ABC=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠EBA=∠CBF，最后根據(jù)SAS證明結(jié)果；（2）延長(zhǎng)CF，交AE于點(diǎn)G，根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)得出∠AEB+∠BFG=180°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出∠EGF+∠EBF=180°，從而可得∠EGF=90°，即可得到結(jié)果.【詳解】解：（1）∵△EBF為等腰直角三角形，∴BE=BF，∠EBF=90°，則∠EBA+∠FBA=90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，則∠ABF+∠CBF=90°，∴∠EBA=∠CBF，又∵BE=BF，AB=BC，∴△ABE≌△CBF（SAS）；（2）延長(zhǎng)CF，交AE于點(diǎn)G，由（1）得：∠CFB=∠AEB，∵∠CFB+∠BFG=180°，∴∠AEB+∠BFG=180°，∴∠EGF+∠EBF=180°，∵∠EBF=90°，∴∠EGF=90°，∴CF⊥AE.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意證明△ABE≌△CBF.15．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學(xué)?？既＃┤鐖D，在等腰△ABC中，AB=BC，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F．(1)如圖1，求證：四邊形DBFE是菱形；(2)如圖2，連接BE，請(qǐng)直接寫出圖中與∠ABE互余的所有角．【答案】(1)過程見解析(2)∠A，∠C，∠CEF，∠AED【分析】對(duì)于（1），根據(jù)中位線的定義和性質(zhì)得出DE∥BC，DE=12BC，再根據(jù)EF∥AB，得出四邊形DBFE是平行四邊形，然后根據(jù)DB=對(duì)于（2），先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABE+∠A=90°，可知與∠ABE互余的角為∠A，再確定與∠A相等的角即可．（1）∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，DB=1∴DE∥BC，DE=1∵EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形．∵AB=BC，∴BD=DE，∴平行四邊形DBFE是菱形；（2）∠A，∠C，∠CEF，∠AED．∵AB=BC，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∴∠ABE+∠A=90°．∵AB=BC，∴∠A=∠C，∴∠ABE+∠C=90°．∵EF∥AB，∴∠A=∠CEF，∴∠ABE+∠CEF=90°．∵DE∥BC，∴∠C=∠AED，∴∠ABE+∠AED=90°．所以與∠ABE互余的角有∠A，∠C，∠CEF，∠AED．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中位線的定義和性質(zhì)，互余的定義等，靈活的選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角】16．（2022·浙江杭州·校聯(lián)考中考模擬）兩條直線被第三條直線所截，∠1是∠2的同旁內(nèi)角，∠2是∠3的內(nèi)錯(cuò)角．（1）畫出示意圖，標(biāo)出∠1，∠2，∠3．（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)36°【分析】（1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角進(jìn)行分析即可，進(jìn)而畫出圖形即可；（2）利用鄰補(bǔ)角的關(guān)系可求出∠3的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖所示：（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，∴設(shè)∠3＝x，則∠2＝2x，∠1＝4x，故x+4x＝180°，解得：x＝36°，故∠3的度數(shù)為36°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三線八角以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，得出∠1與∠3的關(guān)系是解題關(guān)鍵．17．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）如圖，與∠1是內(nèi)錯(cuò)角的是（

）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義，即兩條直線被第三條直線所截，位于截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間的兩個(gè)角，解答即可．【詳解】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義，得：∠1是內(nèi)錯(cuò)角的是∠4．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了內(nèi)錯(cuò)角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并理解內(nèi)錯(cuò)角的定義．18．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考模擬）如圖，下列說法中不正確的是（

）A．∠1和∠3是同旁內(nèi)角 B．∠2和∠3是內(nèi)錯(cuò)角C．∠2和∠4是同位角 D．∠3和∠5是對(duì)頂角【答案】C【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義、內(nèi)錯(cuò)角的定義、同位角的定義和對(duì)頂角的定義逐一判斷即可．【詳解】A．∠1和∠3是同旁內(nèi)角，故正確，不合題意；B．∠2和∠3是內(nèi)錯(cuò)角，故正確，不合題意；C．∠2和∠4不是同位角，故錯(cuò)誤，符合題意；D．∠3和∠5是對(duì)頂角，故正確，不合題意；故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角、同位角和對(duì)頂角的判斷，掌握同旁內(nèi)角的定義、內(nèi)錯(cuò)角的定義、同位角的定義和對(duì)頂角的定義是解決此題的關(guān)鍵．19．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考模擬）如圖，∠1的同旁內(nèi)角共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角定義即可得解.【詳解】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義可得，∠1的同旁內(nèi)角有：∠ACE,∠D,∠DCE.故選C20．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，有下列3個(gè)結(jié)論：①能與∠DEF構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角的角的個(gè)數(shù)是2；②能與∠EFB構(gòu)成同位角的角的個(gè)數(shù)是1；③能與∠C構(gòu)成同旁內(nèi)角的角的個(gè)數(shù)是4，以上結(jié)論正確的是_____．【答案】①②．【分析】根據(jù)同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形進(jìn)行判定．【詳解】解：①能與∠DEF構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角的角的個(gè)數(shù)有2個(gè)，即∠EFA和∠EDC，故正確；②能與∠EFB構(gòu)成同位角的角的個(gè)數(shù)只有1個(gè)：即∠FAE，故正確；③能與∠C構(gòu)成同旁內(nèi)角的角的個(gè)數(shù)有5個(gè)：即∠CDE，∠B，∠CED，∠CEF，∠A，故錯(cuò)誤；所以結(jié)論正確的是①②．故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，熟記“三線八角”中相關(guān)的定義和概念，掌握同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5角的和差】21．（2022·北京平谷·統(tǒng)考中考模擬）如圖，射線OB、OC在∠AOD的內(nèi)部，下列說法：①若∠AOC＝∠BOD＝90°，則與∠BOC互余的角有2個(gè)；②若∠AOD+∠BOC＝180°，則∠AOC+∠BOD＝180°；③若OM、ON分別平分∠AOD，∠BOD，則∠MON＝12∠AOB④若∠AOD＝150°、∠BOC＝30°，作∠AOP＝12∠AOB、∠DOQ＝12∠COD，則∠其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)余角和補(bǔ)角的定義和角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．④要分兩種情況討論.∠AOP、∠DOQ是在內(nèi)部還是外部.【詳解】解：①∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，∴與∠BOC互余的角有2個(gè)；正確；②∵∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BCO＝∠AOC+∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠BOD＝180°；故正確；③如圖1，∵OM、ON分別平分∠AOD，∠BOD，∴∠DOM＝12∠AOD，∠DON＝12∠∴∠MON＝∠DOM﹣∠DON＝12（∠AOD﹣∠BOD）＝∠AOB④如圖2，∵∠AOD＝150°、∠BOC＝30°，∴∠AOB+∠COD＝150°﹣30°＝120°，∵∠AOP＝12∠AOB、∠DOQ＝12∠∴∠AOP+∠DOQ＝12（∠AOB+∠COD∴∠POQ＝150°﹣60°＝90°，如圖3，∵∠AOD＝150°、∠BOC＝30°，∴∠AOB+∠COD＝150°﹣30°＝120°，∵∠AOP＝12∠AOB、∠DOQ＝12∠∴∠AOP+∠DOQ＝12（∠AOB+∠COD∴∠POQ＝150°+60°＝210°，綜上所述，∠POQ＝90°或210°，故錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角，角平分線的定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．22．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）笑笑將一副三角板按如圖所示的位置放置，△DOE的直角頂點(diǎn)O在邊BC的中點(diǎn)處，其中∠A=∠DOE=90°,∠B=45°，∠D=60°，△DOE繞點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，且OD，OE分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，當(dāng)AN=4，NC=2時(shí)，MN的長(zhǎng)為______．【答案】2【分析】連接AO，證明△AOM≌△CONASA，得AM=NC=2，在利用勾股定理求出MN【詳解】如圖，連接AO，∵由題意可知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，O是邊BC的中點(diǎn)∴∠B=∠C=45°，OA=OB=OC，AO⊥BC，∠BAO=∠CAO=∴∠AON+∠CON=90°，∠BAO=∠C=45°∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠AON=90°，∴∠AOD=∠CON，∴△AOM≌△CONASA∴AM=NC=2，∵在Rt△AMN中，由勾股定理得：MN∴MN=A故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，和勾股定理，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．23．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，將筆記本活頁兩角向內(nèi)折疊，使角的頂點(diǎn)A落在A′處，頂點(diǎn)D落在D′處，BC，（1）如圖1，使邊BD′與邊BA′重合，若∠1=30°，求（2）如圖2，使邊BD沿著BE折疊后的邊BD′落在∠1內(nèi)部，若∠1=40°，設(shè)∠A′BD′=α，∠EBD=β，求【答案】（1）60°，90°；（2）0°＜α＜40°，50°＜β＜70°【分析】（1）由∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，可得∠2=12∠A′BD（2）由折疊的性質(zhì)得到∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，得到α和β的關(guān)系，再結(jié)合BD在∠1內(nèi)部，可得各自的范圍．【詳解】解：（1）∵角的頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，BC為折痕，∴∠1=∠ABC=30°．∴∠A'BD=180°-30°-30°=120°，∵∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，∴∠2=∠DBE=12∠A′BD∴∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°．（2）由折疊的性質(zhì)可得：∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，∴∠A′BD=180°-∠ABC-∠1=100°，∵∠A′BD=∠DBD′-∠A′BD′，∠A′BD′=α，∴2β-α=100°，∴α=2β-100°，∵BD在∠1內(nèi)部，∴0°＜α＜40°，∴0°＜2β-100°＜40°，∴50°＜β＜70°．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，平角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用法則不變性解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．24．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，兩條直線AB，CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC=∠AOD，射線OM（與射線OB重合）繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON（與射線OD重合）繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為12°/s．兩射線OM，ON同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（1）圖中一定有________個(gè)直角；當(dāng)t=3時(shí)，∠MON的度數(shù)為________，∠BON的度數(shù)為________∠MOC的度數(shù)為________．（2）當(dāng)0<t<12時(shí)，若∠AOM=3∠AON?60°，試求出（3）當(dāng)0<t<6時(shí)，探究7∠COM+2∠BON∠MON的值：在t滿足怎樣的條件時(shí)是定值；在t【答案】（1）4，171°，126°，45°；（2）107或10；（3）當(dāng)0<t<103時(shí)，7∠COM+2∠BON∠MON不是定值，當(dāng)【分析】（1）根據(jù)兩條直線AB、CD交于點(diǎn)O，∠AOC=∠AOD，可得四個(gè)直角，當(dāng)t=3時(shí)，根據(jù)射線運(yùn)動(dòng)速度求出角度；（2）分兩種情況討論，當(dāng)0<t≤7.5時(shí)和當(dāng)7.5<t<12時(shí)，根據(jù)∠AOM=3∠AON?60（3）先判斷當(dāng)∠MON為平角時(shí)t的值，再分兩種情況討論，當(dāng)0<t<103時(shí)和當(dāng)103【詳解】解：（1）∵∠AOC=∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOC=∠AOD=90°，∴∠BOC=∠BOD=90°，∴一定有4個(gè)直角，當(dāng)t=3時(shí)，∠BOM=3×15=45°，∠DON=3×12=36°，∴∠MON=45°+36°+90°=171°，∠BON=90°+36°=126°，∠MOC=90°?45°=45°，故答案是：4，171°，126°，45°；（2）當(dāng)ON與OA重合時(shí)，t=90÷12=7.5s，當(dāng)OM與OA重合時(shí)，t=180÷15=12s，①如圖，當(dāng)0<t≤7.5時(shí)，∠AON=90°?12t，∠AOM=180°?15t，∵∠AOM=3∠AON?60°，∴180°?15°t=390°?12°t?60°，解得②如圖，當(dāng)7.5<t<12時(shí)，∠AON=12°t?90°，∠AOM=180°?15°t，∵∠AOM=3∠AON?60°，∴180°?15°t=312°t?90°?60°，解得綜上：若∠AOM=3∠AON?60°，則t的值為（3）當(dāng)∠MON=180°時(shí)，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15°t+90°+12°t=180°，解得t=10①如圖，當(dāng)0<t<10∠COM=90°?15°t，∠BON=90°+12°t，∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15°t+90°+12°t=27°t+90°，∴7∠COM+2∠BON∠MON②如圖，當(dāng)103∠BOM=15°t，∠DON=12°t，∠MON=360°?∠BOM+∠BOD+∠DON∴7∠COM+2∠BON∠MON綜上：當(dāng)0<t<103時(shí)，7∠COM+2∠BON∠MON不是定值，當(dāng)10【點(diǎn)睛】本題考查角度的計(jì)算綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握角度和差關(guān)系的運(yùn)用，將角度用t表示出來，列方程進(jìn)行求解，需要注意進(jìn)行分類討論．25．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知O是直線AB上一點(diǎn)，將一個(gè)直角三角尺OMN按圖①方式放置，直角邊ON在直線AB上，另一條直角邊OM與AB的夾角∠AOM=90°，射線OC在∠AOM內(nèi)部．（1）如圖②，將三角尺OMN繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OM平分∠BOC時(shí)，試判斷∠AON與∠CON的大小關(guān)系，并說明理由．（2）若∠AOC=60°，三角尺OMN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，每秒旋轉(zhuǎn)5°，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t，則當(dāng)t為何值時(shí)∠CON=∠MOB？（3）在（2）的條件下，在三角尺OMN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，∠CON+∠MOB的值能否為定值？若能，求t的取值范圍．【答案】（1）∠AON=∠CON；（2）t=15；（3）能是定值，12<t<18．【分析】（1）由∠MON=90°，得到∠AON+∠BOM=90°，∠NOC+∠COM=90°，利用OM平分∠BOC推出∠BOM=∠COM，由此得到∠AON=∠CON；（2）畫出圖形，由∠CON=∠MOB推出∠AOC+2∠CON=90°，利用∠AOC=60°計(jì)算得出∠CON=15°，根據(jù)公式計(jì)算出旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t；（3）∠CON+∠MOB能是定值，當(dāng)∠MON在∠BOC內(nèi)部時(shí)，∠CON+∠MOB=180°-∠AOC-∠MON=30°，旋轉(zhuǎn)角60°<∠AON<90°，計(jì)算得出t．【詳解】（1）∠AON=∠CON，理由如下：∵∠MON=90°，∴∠AON+∠BOM=90°，∠NOC+∠COM=90°，∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=∠COM，∴∠AON=∠CON；（2）如圖，∵∠MON=90°，∴∠AON+∠BOM=90°，∵∠CON=∠MOB，∴∠CON+∠AON=90°，∴∠AOC+2∠CON=90°，∵∠AOC=60°，∴∠CON=15°，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t=(60+15)÷5=15（秒）；（3）∠CON+∠MOB能是定值，如圖，∵∠MON=90°，∠AOC=60°，∴當(dāng)∠MON在∠BOC內(nèi)部時(shí)，∠CON+∠MOB=180°-∠AOC-∠MON=30°，∴∠CON+∠MOB是定值，此時(shí)60°<∠AON<90°，∴12<t<18．．【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì)，角度互余互補(bǔ)的關(guān)系計(jì)算，運(yùn)動(dòng)角的問題，這是一道角度的基礎(chǔ)題，但是有難度．【考點(diǎn)6角的大小比較】26．（2022·山東臨沂·校聯(lián)考一模）下列各圖中，∠1大于∠2的是（

）A．B． C．D．【答案】B【詳解】分析：根據(jù)對(duì)頂角相等的性質(zhì)；兩直線平行，同位角相等的性質(zhì)；同弧所對(duì)的圓周角相等；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角的性質(zhì)．根據(jù)各性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．詳解：A、根據(jù)對(duì)頂角相等，得：∠1=∠2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．B、根據(jù)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，得∠1大于∠2，正確；C、根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得：∠1=∠2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、根據(jù)兩條直線平行，同位角相等，以及對(duì)頂角相等，得：∠1=∠2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)頂角相等的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（2022·北京大興·統(tǒng)考一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則∠ABC與∠ACB的大小關(guān)系為：∠ABC_______∠ACB（填“>”，“=”或“<”）．【答案】<【分析】在網(wǎng)格中構(gòu)建和∠ACB一樣大的角，比較即可．【詳解】解：如圖所示：∠DBC=∠ACB=45°，AB在∠DBC內(nèi)部，所以，∠ABC<∠ACB，故答案為：<．【點(diǎn)睛】本題考查了角的比較，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過網(wǎng)格轉(zhuǎn)換，把兩個(gè)要比較的角放在一起，直接判斷．28．（2022·湖南邵陽·校聯(lián)考中考模擬）如圖，∠AOB，∠BOC，∠AOC的大小關(guān)系用“＞”連接起來：________

．【答案】∠AOC＞∠AOB＞∠BOC【詳解】分析：根據(jù)所給出的圖形可直接得出答案．詳解：根據(jù)題意得：∠AOC＞∠AOB＞∠BOC．故答案為∠AOC＞∠AOB＞∠BOC．點(diǎn)睛：此題考查了角的大小比較，根據(jù)圖形能正確的表示出各角是本題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題．29．（2022·天津河西·統(tǒng)考中考模擬）如圖，已知∠AOB是銳角，過點(diǎn)O作射線OD，∠COD=2∠AOD．（1）當(dāng)∠BOD=2∠AOC，且射線OD在∠AOC的內(nèi)部時(shí)，找出圖中另一對(duì)成2倍關(guān)系的角，并說明理由；（2）當(dāng)射線OD在∠AOC的外部時(shí)，探索∠AOB，∠BOC，∠BOD之間的等量關(guān)系；（3）若∠COD>∠BOC，求∠BOC的取值范圍．【答案】（1）∠BOC=2∠COD，詳見解析；（2）∠BOD=2∠AOB?∠BOC；（3）當(dāng)射線OD在∠AOC的內(nèi)部時(shí)，∠BOC<36°；當(dāng)射線OD在∠AOC的外部時(shí)，∠BOC<60°【分析】（1）根據(jù)題意，OD在∠AOC內(nèi)且將其分為三份，∠AOC=3∠AOD，∠COD=2∠AOD，再根據(jù)∠BOD=2∠AOC，進(jìn)而得出∠BOC=∠BOD?∠COD=4∠AOD=2∠COD；（2）根據(jù)題意，OD在∠AOC外部且∠AOC=∠AOD，根據(jù)∠BOD=∠AOB+∠AOD即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)已知∠AOB是銳角，并找出其與∠BOC的關(guān)系，即可找出∠BOC的范圍．【詳解】解：（1）根據(jù)題意畫圖如下：由已知，∠COD=2∠AOD可得∠AOC=3∠AOD又因?yàn)椤螧OD=2∠AOC，所以∠BOD=6∠AOD所以∠BOC=∠BOD?∠COD=4∠AOD=2∠COD（2）根據(jù)題意畫圖如下：由已知，∠COD=2∠AOD可得∠AOC=∠AOD又因?yàn)椤螦OC=∠AOB?∠BOC，所以∠AOD=∠AOB?∠BOC所以∠BOD=∠AOB+∠AOD=2∠AOB?∠BOC（3）當(dāng)OD在∠AOC內(nèi)時(shí)，圖如（1）所示．此時(shí)，有等式∠AOC=3∠AOD，∠COD=2∠AOD成立，而∠COD>∠BOC，所以2∠AOD>∠BOC，所以∠AOC>3所以∠AOB=∠AOC+∠BOC>3又因?yàn)椤螦OB是銳角，所以5解得，∠BOC<36°；當(dāng)OD在∠AOC的外部時(shí)，圖如（2）所示．此時(shí)有∠AOC=1所以∠AOB=∠AOC+∠BOC>3又因?yàn)椤螦OB是銳角，所以3解得，∠BOC<60°綜上，當(dāng)OD在∠AOC內(nèi)時(shí)，若∠COD>∠BOC，需要滿足∠BOC<36°；當(dāng)OD在∠AOC的外部時(shí)，若∠COD>∠BOC，需要滿足∠BOC<60°．【點(diǎn)睛】這道題考察的是角的計(jì)算和比較．分情況畫出OD，看圖找出角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．30．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，M，N分別為OA，OC上的點(diǎn)，線段OM，ON同時(shí)分別以30°/s，10°/s的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為

（1）如圖（1），若∠AOB=120°，OM，ON逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到OM′，①若OM，ON的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間t為2，則∠BON②若OM′平分∠AOC，ON′平分（2）如圖（2），若∠AOB=4∠BOC，當(dāng)OM，ON分別在∠AOC，∠BOC內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)猜想∠COM與∠BON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）①40゜；②60゜；（2）∠COM=3∠BON，理由見解析．【分析】（1）①先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根據(jù)∠AOB=120°計(jì)算即可得解；②先由角平分線求出∠AOM′=∠COM′=12∠AOC，∠BON′=∠CON′=12∠BOC，再求出∠COM′+∠CON′=12（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t，表示出∠CON、∠AOM，然后列方程求解得到∠BON、∠COM的關(guān)系，再整理即可得解．【詳解】（1）∵線段OM、ON分別以30°/s、10°/s的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2s，∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°，∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°，∵∠AOB=120°，∴∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°；故答案為：40°；②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，∴∠AOM′=∠COM′=12∠AOC，∠BON′=∠CON′=1∴∠COM′+∠CON′=12∠AOC+12∠BOC=12即∠MON=60°；（2）∠COM=3∠BON，理由如下：設(shè)∠BOC=x，則∠AOB=4x，∠AOC=3x，∵旋轉(zhuǎn)t秒后，∠AOM=30t，∠CON=10t，∴∠COM=3x-30t=3（x-10t），∠NOB=x-10t，∴∠COM=3∠BON．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，讀懂題目信息，準(zhǔn)確識(shí)圖并表示出相關(guān)的角度，然后列出方程是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7點(diǎn)到直線的距離】31．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知直線a//b，點(diǎn)M到直線a的距離是5cm，到直線b的距離是3cm，那么直線a和b之間的距離是（A．2cm B．6cm C．8cm D．2cm或8cm【答案】D【分析】點(diǎn)M可能在兩平行直線之間，也可能在兩平行直線的同一側(cè)，分兩種情況討論即可．【詳解】解：如圖1，直線a和b之間的距離為：5—3=2（cm）；如圖2，直線a和b之間的距離為：5+3=8（cm）.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線之間的距離，解決問題的關(guān)鍵是分類討論，從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度叫兩條平行線之間的1距離．32．（2022·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，已知，直線l，AB⊥l，BC⊥l，B為垂足，下列說法正確的是（）A．點(diǎn)A到l的距離是線段AB B．點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是線段ACC．A、C、B三點(diǎn)共線 D．A、C、B三點(diǎn)不一定共線【答案】C【分析】逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】A.點(diǎn)A到l的距離是線段AB的長(zhǎng)度，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是線段AC的長(zhǎng)度，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.∵AB⊥l，BC⊥l，∴A、C、B三點(diǎn)共線，故該選項(xiàng)正確；D.A、C、B三點(diǎn)共線，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三點(diǎn)共線和點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)與點(diǎn)的距離，掌握距離的定義是關(guān)鍵．33．（2022·吉林松原·?？家荒＃┬∶鲄⒓犹h(yuǎn)比賽，他從地面踏板P處起跳落到沙坑中，兩腳后跟與沙坑的接觸點(diǎn)分別為A，B，小明未站穩(wěn)一只手撐到沙坑C點(diǎn)，則跳遠(yuǎn)成績(jī)測(cè)量正確的圖是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由于C點(diǎn)到踏板最近，則C點(diǎn)到踏板的垂線段的長(zhǎng)為跳遠(yuǎn)成績(jī)．【詳解】解：跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該為身體與沙坑的接觸點(diǎn)中到踏板的垂線段長(zhǎng)的最小值．由于C點(diǎn)到踏板最近，所以C點(diǎn)到踏板的垂線段的長(zhǎng)為跳遠(yuǎn)成績(jī)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，點(diǎn)到直線的距離，掌握垂線的定義以及垂線段最短是解題的關(guān)鍵．34．（2022·陜西西安·陜西師大附中?？既＃┤鐖D，正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，則DF的最小值為__________．【答案】2【分析】AB上截取AG=EC，過點(diǎn)D作DH⊥CF交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，證明△AGE≌△ECF，△DCH是等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】如圖，AB上截取AG=EC，過點(diǎn)D作DH⊥CF交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵正方形ABCD中，AB=4，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，∴BG=BE∴△BEG是等腰直角三角形∴∠AEF=90°,∠ABE=∠C=90°,∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEC=90°∴∠GAE=∠BAE=∠CEF∴△AGE≌△ECF∴∠AGE=∠ECF=135°∴∠DCF=45°∴F在射線CF上運(yùn)動(dòng)，則△DCH是等腰直角三角形，∴F與H點(diǎn)重合時(shí)，DF取得最小值，等于DH=∵DC=4∴DH=2即DF的最小值為2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，垂線段最短，求得F的軌跡是解題的關(guān)鍵．35．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖1，圖形l外一點(diǎn)P與圖形l上各點(diǎn)連接的所有線段中，若線段PA1最短，則線段PA1的長(zhǎng)度稱為點(diǎn)(1)觀察：如圖2中，線段PA1的長(zhǎng)度是點(diǎn)P1到線段AB的距離；線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)P(2)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為（2，1）、（3，2）、（5，0），直線AB與x軸相交于點(diǎn)C．點(diǎn)P（a，0）（a＞0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到線段AB的距離為d．發(fā)現(xiàn)：①∠BCD=°；②若a=2，求d的值；(3)嘗試：若d=2，求a(4)拓展：若點(diǎn)P在線段OD上運(yùn)動(dòng)，且d為整數(shù)，請(qǐng)直接寫出a的值．【答案】(1)P(2)①45；②d=1(3)a的值為1或3(4)2?3或2或【分析】（1）根據(jù)“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”分析判斷即可；（2）①利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式，進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得出結(jié)論；②利用新定義解答即可；（3）利用分類討論的思想，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，利用新定義的意義解答即可；（4）利用分類討論的思想，分三種情況：①點(diǎn)P在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，②點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，③點(diǎn)P在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，利用d為整數(shù)，令d=2、d=1、d=2，利用勾股定理求出線段PE、PC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得線段OP的長(zhǎng)，則結(jié)論可得．(1)解：由“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”可知，線段P2H的長(zhǎng)度是點(diǎn)P2故答案為：P2(2)①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A（2，1）、B（3，2）代入，可得2k+b=13k+b=2，解得k=1∴直線AB的解析式為y=x?1，令y=0，則x?1=0，解得x=1，∴C（1，0），∴OC=1，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，如圖1，則E（2，0），∴OE=2，AE=1，∴CE=OE?OC=1，∴AE=CE，∴∠BCD=∠CAE=45°．故答案為：45；②若a=2，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，∴線段AE的長(zhǎng)度為點(diǎn)P到線段AB的距離d，∴d=AE=1；(3)①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，PA的長(zhǎng)為P到線段AB的距離d，∵AC=AE2+CE2∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴a=1；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的垂線段的長(zhǎng)度為P到線段AB的距離d，過點(diǎn)A作AF⊥AB交x軸于點(diǎn)F，如圖2，∵∠BCD=45°，∴CF=2AC=2，∴點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，∵OF=OC+CF=3，∴P（3，0），即a＝3．綜上所述，若d=2，a(4)（4）①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，PA的長(zhǎng)為點(diǎn)P到線段AB的距離d，∵PA>AE，d為整數(shù)，∴當(dāng)d=2時(shí)，即PA=2，如圖3，∴PE=P∴OP=OE?PE=2?3∴P（2?3，0），即a=2?②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PA=d=1，符合題意，∴P（2，0），即a＝2；③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的垂線段的長(zhǎng)度為P到線段AB的距離d，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，如圖4，當(dāng)d=2時(shí)，即PH=2，∵∠BCD=45°，∴CP=2∴OP=OC+CP=22∴a=22當(dāng)d=3時(shí)，即PH=3，∵∠BCD=45°，∴CP=2∴OP=OC+CP=32綜上所述，若點(diǎn)P在線段OD上運(yùn)動(dòng)，且d為整數(shù)，則a的值為2?3或2或2【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用新定義是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)8相交線與平行線】36．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）下列說法中正確的個(gè)數(shù)為（）①在平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和垂直；②在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；④有限小數(shù)是有理數(shù)，無限小數(shù)是無理數(shù)；⑤從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)，平行線的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，平行線，平行公理及推論，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：①在平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系只有：平行和相交（夾角為直角時(shí)垂直），故①不符合題意；②在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故②符合題意；③在平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行，故③不符合題意；④有限小數(shù)是有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故④不符合題意；⑤從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離，故⑤不符合題意．故符合題意的是②，共1個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)，平行線的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，平行線，平行公理及推論，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．37．（2022·北京·統(tǒng)考一模）根據(jù)語句“直線l1與直線l2相交，點(diǎn)M在直線l1上，直線l2不經(jīng)過點(diǎn)A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)直線l1與直線l2相交，點(diǎn)M在直線l1上，直線l【詳解】解：A．直線l2經(jīng)過點(diǎn)MB．點(diǎn)M不在直線l1C．點(diǎn)M不在直線l1D．直線l1與直線l2相交，點(diǎn)M在直線l1上，直線l故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相交線以及點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，兩條直線交于一點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線．38．（2022·貴州畢節(jié)·二模）作圖題(1)過點(diǎn)M作直線AB的平行線l；(2)將三角形ABC平移到三角形A'B'C'，使得點(diǎn)B與點(diǎn)B'重合．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的定義畫出圖形即可；（2）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可．(1)如圖，連接CM，直線l即為直線CM，理由，設(shè)網(wǎng)格的每個(gè)格子的邊長(zhǎng)為1，則利用勾股定理易求得AB=CM=5，AM=BC=10，根據(jù)平行四邊形的判定定理可知ABCM是平行四邊形，則有AB∥直線l即為所求；(2)如圖，B′相對(duì)于B點(diǎn)，是將B點(diǎn)向下移動(dòng)2個(gè)單位，再向右移動(dòng)三個(gè)單位，據(jù)此將A、C兩點(diǎn)也按照如此的移動(dòng)軌跡即可找到A′和C′即得到△A′B′C′【點(diǎn)睛】本題考查作圖、平行線的定義、平行四邊形的判定、勾股定理以及平移性質(zhì)的知識(shí)，熟練掌握平行線的定義、平行四邊形的判定以及平移的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．39．（2022·湖北武漢·校聯(lián)考一模）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，僅用無刻度尺的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按步驟完成下列問題：（1）在圖1中，①過B作AC邊上的高BH（H為垂足）．②在AB邊上找一點(diǎn)P，使tan∠ACP＝12（2）在圖2中，①在BC邊上找一點(diǎn)D，使AD平分∠BAC．②AC邊上找一點(diǎn)E，使DE∥AB．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）①見解析；②見解析【分析】（1）取格點(diǎn)T，作直線BT交AC的延長(zhǎng)線于H．取格點(diǎn)W，R，Q，連接WR，AQ交于點(diǎn)J，連接CJ交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；（2）取格點(diǎn)O，連接AO交BC于點(diǎn)D，取網(wǎng)格線與AC的交點(diǎn)E，D，E即為所求點(diǎn)．【詳解】解：（1）如圖，線段BH即為所求，點(diǎn)P即為所求；（2）如圖，點(diǎn)D即為所求，點(diǎn)E即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．40．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）為了探究n條直線能把平面最多分成幾部分,我們從最簡(jiǎn)單的情形入手:①一條直線把平面分成2部分;②兩條直線可把平面最多分成4部分;③三條直線可把平面最多分成7部分;④四條直線可把平面最多分成11部分;……把上述探究的結(jié)果進(jìn)行整理,列表分析:直線條數(shù)把平面最多分成的部分?jǐn)?shù)寫成和的形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………(1)當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí),把平面最多分成____部分,寫成和的形式:______;

(2)當(dāng)直線條數(shù)為10時(shí),把平面最多分成____部分;

(3)當(dāng)直線條數(shù)為n時(shí),把平面最多分成多少部分?【答案】(1)16；(2)56；(3)n(n+1)2【分析】（1）根據(jù)已知探究的結(jié)果可以算出當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí)，把平面最多分成16部分；（2）通過已知探究結(jié)果，寫出一般規(guī)律，當(dāng)直線為n條時(shí)，把平面最多分成1+1+2+3+…+n，求和即可．【詳解】（1）16;1+1+2+3+4+5.（2）56.根據(jù)表中規(guī)律知,當(dāng)直線條數(shù)為10時(shí),把平面最多分成56部分,即1+1+2+3+…+10=56.（3）當(dāng)直線條數(shù)為n時(shí),把平面最多分成1+1+2+3+…+n=n(【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化，通過直線分平面探究其中的隱含規(guī)律，運(yùn)用了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，解決此題關(guān)鍵是寫出和的形式．【考點(diǎn)9平行公理及其推論】41．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB∥EF，則α、β、γ的關(guān)系是（

）A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝360° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ【答案】B【分析】如圖，作GH∥AB．利用平行線的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】如圖，作GH∥AB．∵AB∥EF，GH∥AB，∴GH∥EF，∴∠BCG+∠CGH＝180°，∠FDG+∠HGD＝180°，∴∠BCG+∠CGH+∠HGD+∠FDG＝360°，∴α+β+γ＝360°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型．42．（2022·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖所示，AB∥CD，則∠A+∠E+∠F+∠C等于（

）A．180° B．360° C．540° D．720°【答案】C【詳解】解：作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故選：C．43．（2022·四川德陽·統(tǒng)考一模）如圖，若AB//EF，AB//A．∠2+∠3?∠1=180° B．∠1?∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=180° D．∠1+∠2+?∠3=180°【答案】A【分析】已知AB//EF，【詳解】∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠CGE，∴∠3?∠1=∠CGE?∠1=∠BGE，∵AB∥EG，∴∠2+∠BGE=180°即∠2+∠3?∠1=180°故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了平行定理，兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行；兩條直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．44．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面內(nèi)作到直線m距離為5的平行線，可作平行線的條數(shù)有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【答案】C【分析】根據(jù)平行公理即可知直線m的上方和下方各有1條直線與直線m的距離為5的平行線．【詳解】如圖可知，作出的平行線分別在直線m的上方和下方各1條．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行公理．掌握經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行是解答本題的關(guān)鍵．45．（2022·吉林·吉林省實(shí)驗(yàn)?？家荒＃┤鐖D，直線l∥m，將含有45°角的三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線m上，若∠1=25°，則【答案】20°##20度【分析】過B作BE∥m，則根據(jù)平行公理及推論可知l∥BE，然后可證明得到∠1+∠2=∠ABC=45°，因此可求得∠2=20°．【詳解】解：過B作BE∥m，如圖所示：∵l∥m，∴BE∥l，∴∠1=∠CBE，∠2=∠ABE，∵∠CBE+∠ABE=45°，∴∠2=45°?25°=20°．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行線公理的應(yīng)用，作出輔助線，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)10平行線的判定與性質(zhì)】46．（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）平面內(nèi)，給定不在同一直線上的點(diǎn)A，B，C，如圖所示．點(diǎn)O到點(diǎn)A，B，C的距離均等于a（a為常數(shù)），到點(diǎn)O的距離等于a的所有點(diǎn)組成圖形G，∠ABC的平分線交圖形G于點(diǎn)D，連接AD，CD．(1)求證：AD=CD；(2)過點(diǎn)D作DE⊥BA，垂足為E，作DF⊥BC，垂足為F，延長(zhǎng)DF交圖形G于點(diǎn)M，連接CM，若AD=CM，判斷直線DE與圖形G的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)DE是圖形G⊙O的切線；理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可知圖形G是△ABC的外接圓⊙O，根據(jù)圓周角定理的推論即可證明．（2）連接OD．根據(jù)等量代換思想和等腰三角形的性質(zhì)確定BC是⊙O的直徑，根據(jù)等邊對(duì)等角和等量代換思想確定∠ABD=∠ODB，根據(jù)平行線的判定定理和性質(zhì)，切線的判定定理即可證明．（1）證明：如下圖所示．根據(jù)題意可知圖形G是△ABC的外接圓⊙O．∵∠ABC的平分線交圖形G于點(diǎn)D，∴∠ABD=∠CBD．∴AD∴AD=CD．（2）解：DE是圖形G⊙O的切線，理由如下．如下圖所示，連接OD．∵AD=CM，AD=CD，∴CD=CM．∵DF⊥BC，∴DF=FM．∴BC垂直平分DM．∵⊙O的圓心O一定在弦DM的垂直平分線上，∴點(diǎn)O在BC上．∴BC是⊙O的直徑．∴OB=OD．∴∠CBD=∠ODB．∵∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ODB．∴AB//OD．∴∠BED+∠EDO=180°．∵DE⊥AB，∴∠BED=90°．∴∠EDO=180°-∠BED=90°．∴DE⊥OD．∴DE是圖形G⊙O的切線．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理的推論，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定定理，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．47．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)E、F在直線AB上，點(diǎn)G在線段CD上，ED與FG交于點(diǎn)H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD，試判斷∠AED與∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】∠AED+∠D=180°，理由見解析【分析】根據(jù)平行線的判定定理得出CE∥FG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C=∠FGD，求出∠FGD=∠EFG，根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：∠AED+∠D=180°，理由是：∵∠CED=∠GHD，∴CE∥FG，∴∠C=∠FGD，∵∠C=∠EFG，∴∠FGD=∠EFG，∴AB∥CD，∴∠AED+∠D=180°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定定理，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．48．（2022·福建三明·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線