原子物理與量子力學(xué)課件：力學(xué)量用厄米算符表達(dá)

原子物理與量子力學(xué)§4.1算符及其運(yùn)算規(guī)則（一）算符算符：只是代表對(duì)函數(shù)施加某種運(yùn)算的符號(hào)，是一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言工具。例如等。量子力學(xué)中的力學(xué)量在與波函數(shù)的作用中，往往表現(xiàn)為一種運(yùn)算形式，例如動(dòng)量與相當(dāng)，自由粒子體系的能量與相當(dāng)。于是，用算符表示力學(xué)量的假設(shè)被人們初步認(rèn)識(shí)。在量子力學(xué)中常把它稱為是把算符“作用”到波函數(shù)上,作用的結(jié)果是得到了另外一個(gè)波函數(shù).（二）算符的運(yùn)算規(guī)則

如果量子力學(xué)的力學(xué)量F在經(jīng)典力學(xué)中有對(duì)應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個(gè)力學(xué)量的算符,將代入由經(jīng)典表示式，即

如果沒有經(jīng)典力學(xué)表達(dá)式的量子力學(xué)力學(xué)量，比如電子的自旋，它的算符由量子力學(xué)獨(dú)立建立。例如，角動(dòng)量算符(三)算符運(yùn)算的基本性質(zhì)定義1：線性算符

由于態(tài)疊加原理，在量子力學(xué)中的力學(xué)量算符應(yīng)是線性算符。滿足以下運(yùn)算規(guī)則的算符稱為線性算符：ψ1、ψ2是任意的兩個(gè)波函數(shù)，c1與c2是兩個(gè)任意復(fù)常數(shù)。定義2：?jiǎn)挝凰惴麊挝凰惴?/p>

：對(duì)任意波函數(shù)運(yùn)算后保持不變的算符，即其中ψ是任意波函數(shù)。那么，就說算符定義3：兩個(gè)算符相等若兩個(gè)算符和作用于任意一個(gè)波函數(shù)ψ所得的運(yùn)算結(jié)果相同（即同一個(gè)函數(shù)），則稱兩個(gè)算符相等。例2：不能說算符與算符相等，因?yàn)樗鼈兪亲饔迷谝粋€(gè)特定的函數(shù)上，而不是作用于任意的函數(shù)上。定義4：算符之和如果把算符作用在任意函數(shù)ψ，所得到的結(jié)果和把算符分別作用在ψ上得到的兩個(gè)新函數(shù)之和相等，即稱算符等于與之和。寫作例3：哈密頓算符就是動(dòng)能算符與勢(shì)能算符之和。算符求和滿足交換律與結(jié)合律，當(dāng)然，線性算符之和仍是線性算符。定義5：算符之積如果把算符作用于任意函數(shù)u

上得到一個(gè)新函數(shù)，且再使算符對(duì)這個(gè)新函數(shù)作用所得的結(jié)果等于另一個(gè)算符直接作用在

u

上所得的結(jié)果，即稱算符為算符與的乘積。寫成注意算符之積對(duì)波函數(shù)運(yùn)算的先后次序，不能隨便交換。一般地說算符之積不滿足交換律，即定義6：對(duì)易式定義任意兩個(gè)算符、的對(duì)易式為則稱算符不對(duì)易；若若則稱算符對(duì)易。類似地，定義兩個(gè)算符、的反對(duì)易式為若或，稱算符和反對(duì)易。下面是幾個(gè)常見的對(duì)易式滿足的恒等式定義7：逆算符設(shè)能夠唯一地解出，即則稱為算符的逆算符。并非所有的算符都存在逆算符。性質(zhì)：若算符存在逆算符，則定義8：波函數(shù)的內(nèi)積“標(biāo)積”一個(gè)量子體系的任意兩個(gè)波（態(tài)）函數(shù)與的內(nèi)積定義為其中指對(duì)全空間的積分，是積分體積微元。由內(nèi)積的定義式，可以證明式中c1、c2為任意常數(shù)。定義9：轉(zhuǎn)置算符算符的轉(zhuǎn)置算符定義式中與是任意兩個(gè)波函數(shù)?；蛘邔懗啥x10：復(fù)共軛算符算符的復(fù)共軛算符定義為算符的復(fù)共軛可以把相應(yīng)算符中的所有量換成復(fù)共軛就行了。例6：在坐標(biāo)表象中算符的厄米共軛算符定義為定義11：厄米共軛算符實(shí)際上，算符的厄米共軛算符等價(jià)于共軛轉(zhuǎn)置算符，即證明：于是，有推論4：定義12：厄米算符厄米算符也稱為自共軛算符，滿足以下關(guān)系：由于厄米算符的平均值必是實(shí)數(shù)，滿足力學(xué)量是可觀測(cè)量（也是實(shí)數(shù)）的要求，在量子力學(xué)中，力學(xué)量用厄米算符算符表達(dá)。例8：等都是厄米算符證明：動(dòng)量算符為厄米算符是厄米算符推論5：若是厄米算符，則。推論6：若兩個(gè)厄米算符對(duì)易，則是厄米算符。例10：定義徑向動(dòng)量算符證明：證明：§4.2量子力學(xué)中的力學(xué)量用厄米算符表達(dá)(一)量子力學(xué)中的力學(xué)量用厄米算符表達(dá)1測(cè)量的平均值與漲落若測(cè)得結(jié)果A1的次數(shù)為m1，A2為m2，…，An為mn。設(shè)總次數(shù)為M，即M=m1+m2+…+mn，則測(cè)量該物理量的平均值為某一測(cè)量值A(chǔ)i的次數(shù)mi與總測(cè)量次數(shù)的M之比mi/M稱為Ai的概率，記為Pi。因此上式可用測(cè)量概率來表示

當(dāng)可能值為離散值時(shí):一個(gè)物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的概率求和；當(dāng)可能值為連續(xù)值時(shí)：一個(gè)物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的概率密度求積分。位置平均值量子力學(xué)中，粒子處于波函數(shù)為態(tài)，在時(shí)刻t，粒子位置在x~x+dx之間的概率正比于，粒子的平均位置如果是歸一化的，則動(dòng)量平均值對(duì)于歸一化波函數(shù)，動(dòng)量的平均值,是位置的函數(shù)對(duì)于給定的波函數(shù)，測(cè)量粒子的動(dòng)量在范圍內(nèi)的概率為，其中可以通過傅里葉變換得到。借助于來計(jì)算動(dòng)量的平均值式中用到傅立葉逆變換及的算符運(yùn)算規(guī)則。這樣，就得到在中計(jì)算動(dòng)量的公式平均值和漲落量子力學(xué)中計(jì)算力學(xué)量（相應(yīng)的算符為）在態(tài)下的平均值公式為某一物理量的測(cè)量結(jié)果則圍繞平均值有漲落（偏差）。定義漲落為記稱為測(cè)量結(jié)果的不確定度例1：求一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子基態(tài)平均動(dòng)量厄米算符的性質(zhì)厄米算符及測(cè)量平均值的定義，證明厄米算符兩個(gè)重要定理。定理：體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必為實(shí)數(shù)。

證明：由厄米算符的定義，在任意狀態(tài)下，厄米算符的平均值為則平均值必為實(shí)數(shù)。逆定理：在任何狀態(tài)下，平均值均為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符。推論設(shè)為厄米算符，則在任意態(tài)下，量子力學(xué)中力學(xué)量一定是線性厄米算符量子力學(xué)中的力學(xué)量都用算符來表示，力學(xué)量的平均值是由力學(xué)量算符和相應(yīng)狀態(tài)決定，定義為實(shí)驗(yàn)上可觀測(cè)的力學(xué)量，要求在任何狀態(tài)下平均值都是實(shí)數(shù)。根據(jù)厄米算符的性質(zhì)定理及其逆定理知道，只有厄米算符能滿足這個(gè)要求。而且量子力學(xué)狀態(tài)波函數(shù)滿足態(tài)疊加原理。(二)厄米算符的本征值與本征函數(shù)體系只有處于某些特殊的狀態(tài)，測(cè)量力學(xué)量A

所得的結(jié)果才是完全確定的，即漲落這種狀態(tài)稱為力學(xué)量A

的本征態(tài)。即這個(gè)方程是算符的本征方程本征態(tài)下，厄米算符與本征函數(shù)性質(zhì)定理1

厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù)。證明：假定體系處于本征態(tài)，則厄米算符在任何狀態(tài)下的平均值必為實(shí)數(shù)，所以An也必為實(shí)數(shù)。定理2

對(duì)于一個(gè)厄米算符，屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。即兩個(gè)波函數(shù)彼此正交。簡(jiǎn)并態(tài)問題

簡(jiǎn)并態(tài)：在求解量子力學(xué)體系的本征值問題時(shí)，力學(xué)量的同一個(gè)本征值有多個(gè)不同的本征態(tài)（波函數(shù)），體系處于這樣的狀態(tài)稱為簡(jiǎn)并態(tài)。設(shè)力學(xué)量A的本征方程為即屬于本征值的本征態(tài)有個(gè)，稱本征值為重簡(jiǎn)并。量子力學(xué)體系當(dāng)出現(xiàn)簡(jiǎn)并時(shí)，簡(jiǎn)并態(tài)不一定彼此正交。通過適當(dāng)線性組合，使之彼此正交。令此即個(gè)波函數(shù)的線性疊加構(gòu)成的波函數(shù)。選擇組合系數(shù)，使具有正交性，即總可以找到一組，使上式的正交性條件滿足?！?.3不確定度關(guān)系（一）量子力學(xué)的基本對(duì)易式與角動(dòng)量的對(duì)易式

在量子力學(xué)中，同時(shí)涉及幾個(gè)力學(xué)量時(shí)，如何取值？在經(jīng)典力學(xué)中，兩個(gè)或者多個(gè)力學(xué)量永遠(yuǎn)可以同時(shí)有確定值。在量子力學(xué)中，當(dāng)體系處于任意可能態(tài)時(shí)，算符表示的力學(xué)量A沒有確定值；如果是不同算符表示的不同力學(xué)量，一般情況下就更不能同時(shí)有確定值，只能在特殊情況下才能同時(shí)有確定值。不同力學(xué)量能否同時(shí)有確定值依賴于它們各自的算符及其相互關(guān)系。1.量子力學(xué)的基本對(duì)易式下面以第一個(gè)式子為例證明，設(shè)ψ為任意波函數(shù)則由ψ的任意性得以上對(duì)易式概括為2.角動(dòng)量對(duì)易式角動(dòng)量算符在直角坐標(biāo)系下運(yùn)用算符運(yùn)算角動(dòng)量分量與坐標(biāo)分量之間的對(duì)易關(guān)系記憶方法：從左至右以依次循環(huán)指標(biāo)為正，任何一個(gè)指標(biāo)錯(cuò)位即為負(fù)，相同指標(biāo)則為零。角動(dòng)量分量之間的對(duì)易關(guān)系證明按照算符的行列式展開規(guī)則經(jīng)典物理中自己與自己差乘一定等于零。而在量子力學(xué)中角動(dòng)量與角動(dòng)量差乘可以不等于0.這主要是因?yàn)榻莿?dòng)量在量子力學(xué)總不同于經(jīng)典力學(xué)，其根源是本征值為量子化的。角動(dòng)量平方算符與角動(dòng)量分量算符的對(duì)易關(guān)系角動(dòng)量平方算符為可以證明(二)不確定度關(guān)系不確定度關(guān)系的物理表述及物理意義指量子力學(xué)體系中同時(shí)觀測(cè)兩個(gè)力學(xué)量（如A，B），得到的測(cè)量結(jié)果的不確定度所滿足的關(guān)系，即若這兩個(gè)力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符彼此對(duì)易，則它們存在共同的本征態(tài)，在該本征態(tài)下的測(cè)量值就是相應(yīng)的本征值；否則，它們沒有共同本征態(tài)，同時(shí)測(cè)量時(shí)的測(cè)量值滿足上述不確定度關(guān)系，其本質(zhì)是微觀粒子波粒二象性的表現(xiàn)。不確定度關(guān)系推導(dǎo)若算符和不對(duì)易時(shí)，常記為是一個(gè)力學(xué)量算符或普通的數(shù)。首先定義注意，仍為厄米算符，若巧妙設(shè)計(jì)積分利用的厄米性，可推出最后得出不確定關(guān)系

記為兩個(gè)力學(xué)量不對(duì)易時(shí)，導(dǎo)致兩力學(xué)量不能同時(shí)有確定,或者說，它們不能有共同本征函數(shù)。例如所以可見，若動(dòng)量確定，；則，即位置完全不確定。試想，動(dòng)量為的自由粒子以波長(zhǎng)的狀態(tài)（平面波）彌散于空間時(shí)，你能說出粒子的確定位置嗎？反之，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)本征函數(shù)可寫為即位于點(diǎn)r的波（粒子）是許多不同波長(zhǎng)（動(dòng)量）的平面波的疊加，你能說出該波的波長(zhǎng)（粒子的動(dòng)量）是多少嗎？總之，不確定關(guān)系所揭示的是量子力學(xué)規(guī)律的特點(diǎn)，是粒子具有波動(dòng)性的必然結(jié)果。應(yīng)用不確定關(guān)系估算一些力學(xué)量的不確定范圍可參見教材。共同本征態(tài)兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件體系處于任意狀態(tài)ψ(x)時(shí)，力學(xué)量

A

一般沒有確定值。如果力學(xué)量A

有確定值，ψ(x)必為

A的本征態(tài)，即如果有另一個(gè)力學(xué)量B

在ψ

態(tài)中也有確定值，則ψ

一定也是B

的