人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 24.7 弧、弦、圓心角（知識(shí)講解）

專(zhuān)題24.7弧、弦、圓心角（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解圓心角的概念；掌握在同圓或等圓中，三組量：兩個(gè)圓心角、兩條弦、兩條弧，只要有一組量相等，就可以推出其它兩組量對(duì)應(yīng)相等，及其它們?cè)诮忸}中的應(yīng)用．【要點(diǎn)梳理】圓心角定義如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．2.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．3.推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等；在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等；在同圓或等圓中，圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。特別說(shuō)明：(1)一個(gè)角要是圓心角，必須具備頂點(diǎn)在圓心這一特征；(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.4.弦、弧、圓心角、弦心距的關(guān)系：在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等，(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對(duì)應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對(duì)的弧也分別相等)。*如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等?！镜湫屠}】類(lèi)型一、圓心角概念1．已知點(diǎn)、、、在圓上，且切圓于點(diǎn)，于點(diǎn)，對(duì)于下列說(shuō)法：①圓上是優(yōu)??；②圓上是優(yōu)??；③線(xiàn)段是弦；④和都是圓周角；⑤是圓心角，其中正確的說(shuō)法是________．【答案】①②③⑤【分析】根據(jù)優(yōu)弧的定義，弦的定義，圓周角的定義，圓心角的定義逐項(xiàng)分析判斷即可解：，都是大于半圓的弧，故①②正確，在圓上，則線(xiàn)段是弦；故③正確；都在圓上，是圓周角而點(diǎn)不在圓上，則不是圓周角故④不正確；是圓心，在圓上是圓心角故⑤正確故正確的有：①②③⑤故答案為：①②③⑤【點(diǎn)撥】本題考查了優(yōu)弧的定義，弦的定義，圓周角的定義，圓心角的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．優(yōu)弧是大于半圓的弧，任意圓上兩點(diǎn)的連線(xiàn)是弦，頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，頂點(diǎn)在圓心，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓心角．舉一反三：【變式1】如圖，是的弦，，則________．【答案】【分析】根據(jù)同圓中半徑相等，可得，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果．解：∵，∴，又，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等邊對(duì)等角得出是解題的關(guān)鍵．【變式2】在⊙O中，AB是直徑，AB＝2，C是上一點(diǎn)，D、E分別是、的中點(diǎn)，M是弦DE的中點(diǎn)，則CM的取值范圍是__________________．【答案】1﹣≤CM＜【分析】如圖，連接OD、OC、OE，先計(jì)算出∠DOC+∠COE＝90°，則可判斷△ODE為等腰直角三角形，所以DE＝OD＝，則OM＝DE＝；由C點(diǎn)在弧DE上，則0≤∠COM＜45°，根據(jù)三角形的性質(zhì)，∠COM越大，CM越長(zhǎng)，當(dāng)O、M、C共線(xiàn)時(shí)CM最小，C在點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)CM最長(zhǎng)，即OC-OM≤CM＜ME；解：如圖，連接OD、OC，∵AB為直徑，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∵D、E分別是、的中點(diǎn)，∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，∴△ODE為等腰直角三角形，∴DE＝OD＝，∵M(jìn)是弦DE的中點(diǎn)，∴OM＝DE＝，∵C點(diǎn)在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，△OMC中，OM，OC的長(zhǎng)度確定，∴∠COM越大，CM越長(zhǎng)，∴O、C、M共線(xiàn)時(shí)CM最小，C在點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)CM最長(zhǎng)；∴CM≥1﹣，當(dāng)C點(diǎn)在A點(diǎn)或B點(diǎn)時(shí)，CM＝，∴CM的取值范圍是1﹣≤CM＜．【點(diǎn)撥】本題考查了圓心角的概念，三角形的三邊關(guān)系；根據(jù)三角形的性質(zhì)判斷CM的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．類(lèi)型二、圓心角與它所對(duì)弧的度數(shù)2．如圖，在扇形OAB中，，將扇形OAB沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊，點(diǎn)O恰好落在弧AB上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則弧AD的度數(shù)為_(kāi)___________．【答案】##50度【分析】連接，先根據(jù)折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差可得，由此即可得．解：如圖，連接，則，由折疊的性質(zhì)得：，，是等邊三角形，，，，則弧的度數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、圓弧的度數(shù)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，已知點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，交圓于點(diǎn)，則的度數(shù)為_(kāi)_____度．【答案】60【分析】先判定△POQ是等邊三角形，然后根據(jù)圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等求解即可．解：∵PQ=PO，PO=OQ，∴PQ=PO=OQ，∴△POQ是等邊三角形，∴∠POQ=60°，∴的度數(shù)為60度故答案為：60．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AO⊥BC于F，D為的中點(diǎn)，E是BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，若∠DAE＝，則∠CAD＝_______．【答案】【分析】根據(jù)垂徑定理由得，根據(jù)圓周角定理得，而由得，所以，，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，于是，從而得到∠CAD的度數(shù)．解：∵，∴，∴，∵D為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．故答案為：36°．【點(diǎn)撥】本題主要考察了圓周角定理、圓心角和弧的關(guān)系、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及垂徑定理，能夠找到與之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型三、用弧、弦、圓心角關(guān)系求解3．如圖，AB是半圓的直徑，C，D是半圓上的兩點(diǎn)，且的度數(shù)為40°，，求的度數(shù)．【答案】【分析】分別求出∠ACD，∠ACB即可解決問(wèn)題．解：∵AB是半圓的直徑，∴，∵的度數(shù)為40°，∴，∴，∵四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．舉一反三：【變式1】已知⊙O中，弦AB的長(zhǎng)等于⊙O的半徑，求弦所對(duì)的圓心角和圓周角的度數(shù)．【答案】弦AB所對(duì)的圓心角是60°，圓周角是30°或150°．試題分析：畫(huà)出圖形，連接OA、OB，因?yàn)锳B=OA=OB，所以∠AOB=60°．分兩種情況，①在優(yōu)弧上任取一點(diǎn)C，連接CA，CB，則∠C=∠AOB=30°；②在劣弧上任取一點(diǎn)D，連接AD、BD，由圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得∠C+∠ADB=180°，所以∠ADB=180°－∠C=150°．解：畫(huà)出圖形：連接OA、OB，∵AB=OA=OB，∴∠AOB=60°．分兩種情況：①在優(yōu)弧上任取一點(diǎn)C，連接CA，CB，則∠C=∠AOB=30°；②在劣弧上任取一點(diǎn)D，連接AD、BD，∵四邊形ADBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C+∠ADB=180°，∴∠ADB=180°－∠C=150°．綜上所述，弦AB所對(duì)的圓心角是60°，圓周角是30°或150°．【點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵在于需考慮到兩種情況，然后結(jié)合圓的性質(zhì)求解.【變式2】如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)D是半圓O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，連接AD，分別交CE、CB于點(diǎn)P、Q，連接AC．（1）求證：GP＝GD；（2）求證：P是線(xiàn)段AQ的中點(diǎn)；（3）連接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半徑和CE的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)分析；（2）證明見(jiàn)分析；（3）半徑為；CE=．【分析】（1）結(jié)合切線(xiàn)的性質(zhì)以及已知得出∠GPD=∠GDP，進(jìn)而得出答案；（2）利用圓周角定理得出PA，PC，PQ的數(shù)量關(guān)系進(jìn)而得出答案；（3）直接利用勾股定理結(jié)合三角形面積得出答案．解：（1）證明：連接OD，則OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EAP+∠GPD=∠EPA+∠EAP=90°，∴∠GPD=∠GDP；∴GP=GD；（2）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB于E，∴∠CEB=90°，∴∠ACE+∠ECB=∠ABC+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠ABC=∠CAP，∴PC=PA，∵∠ACB=90°，∴∠CQA+∠CAP=∠ACE+∠PCQ=90°，∴∠PCQ=∠CQA，∴PC=PQ，∴PA=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點(diǎn)；（3）連接CD，∵弧AC=弧CD，∴CD=AC，∵CD=2，∴AC=2，∵∠ACB=90°，∴AB==，故⊙O的半徑為，∵CE×AB=AC×BC，∴CE=2×4，∴CE=．【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解決本題的關(guān)鍵．類(lèi)型四、用弧、弦、圓心角關(guān)系證明4．如圖，在⊙O中，，弦AB與CD相交于點(diǎn)M．(1)求證：．(2)連接AC，AD，若AD是⊙O的直徑．求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)分析(2)證明見(jiàn)分析【分析】（1）利用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系解決問(wèn)題即可；（2）利用圓周角定理可得，再利用三角形外角性質(zhì)可得，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°可得，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等量代換可證結(jié)論．(1)證明：∵，∴，∴，∴．(2)證明：∵，∴，∴，∵AD是⊙O的直徑，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角為90°，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用所學(xué)相關(guān)知識(shí)．舉一反三：【變式1】如圖，在中，B，C是的三等分點(diǎn)，弦AC，BD相交于點(diǎn)E．求證：；連接CD，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)130°【分析】（1）根據(jù)B，C是的三等分點(diǎn)，求出，再根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出即可；（2）根據(jù)圓周角定理得出∠CAD=∠BDA=∠BDC=25°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AED，再求出答案即可．解：(1)證明：B，C是的三等分點(diǎn)，∴AC=BD；(2)連接AD，∵∠BDC=25°，∴∠CAD=∠BDA=∠BDC=25°，∵∠AED+∠CAD+∠BDA=180°，∴∠AED=180°-∠CAD-∠BDA=180°-25°-25°=130°，∴∠BEC=∠AED=130°，故答案為：130°．【點(diǎn)撥】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和圓周角定理，能熟記圓心角、弧、弦之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在⊙O中，＝，CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E．(1)求證：CD＝CE；(2)若∠AOB＝120°，OA＝2，求四邊形DOEC的面積．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到∠AOC＝∠BOC，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OD，根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．(1)解：連接OC，∵＝，∴∠AOC＝∠